初中數(shù)學(xué)幾何模型匯總-二 倍長中線模型

數(shù)學(xué)模型-倍長中線模型

模型分析：倍長中線主要用于證明全等三角形，其主要是在全等三角形的判定

過程中，給出中線，通過延長輔助線的方法證明三角形全等及其他，達(dá)到解題

的目的.

其主要的圖形特征和證明方法如下圖：

已知：在三角形ABC中，。為BC邊中點(diǎn)，

輔助線：延長A0到點(diǎn)D使AO=DO,

結(jié)論：AAOB^ADOC

證明：延長AO到點(diǎn)D使AO=DO,

由中點(diǎn)可知，OB=OC,

在aAOB和△DOC中

OA=OD

<ZAOB=ZDOC

OB=OC

.?.△AOB絲△DOC

同理下圖中仍能得到aAOB絲ZiDOC

A

規(guī)律總結(jié)：由倍長中線法證明三角形全等的過程一般均是用SAS的方法，這是

由于作出延長線后出現(xiàn)的對頂角決定的.

補(bǔ)充：關(guān)于倍長中線的其他模型

①向中線做垂直，易證△BEO會

步驟：延長A0到點(diǎn)D,過點(diǎn)B,C分別向AD作垂線，垂足為E,D,

易證△BEO名△CDO(AAS)

②過中線做任意三角形證明全等，易證ABDO名△CEO

步驟：AC上任意選取一點(diǎn)E,連接E0并延長到點(diǎn)D,使EO=DO,連接BD,

易證△BDO絲△CEO(SAS)

實(shí)例精練：

1.如圖，在平行四邊形ABC。中，C￡>=2A0=8,E為AO上一點(diǎn)，尸為。。的

C.ED+BC=EB

P.S四邊形OE8C=2SvEFB

【答案】P

【解析】

［分析］根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以得到8=2AD=2BC=8,且P為。。的中點(diǎn),

所以CE=5C=4,由此可判斷A選項(xiàng)；再結(jié)合平行線的性質(zhì)可以得到

NCFB=NFBA,由此可判斷3選項(xiàng)；同時(shí)延長所和交于點(diǎn)P,

DF=CF,/DFE=/PFC,/D=/FCP可以證得ADFE*CFP,所以

E￡>+5C=CP+BC=8P,由此可以判斷C選項(xiàng)；由于AOEE3ACEP,所以

S四邊形DEBC=SvBEP，由此可以判斷。選項(xiàng)；

【詳解】?.?四邊形ABCO是平行四邊形

CD=2AD=2BC=S

???CF=BC=A

由于條件不足，所以無法證明班'=4,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

CF=BC=4

???ZCFB=ZFBC

???DC//AB

ZCFB=ZFBC=ZFBA

■■■ZABC=2ZABF

故8選項(xiàng)錯(cuò)誤；

同時(shí)延長EF和交于點(diǎn)P

AD||BP

■■■^D=AFCP

DF=CF

：.在△DFE和ACEP中：＜NDFE=2PFC

ZD=ZFCP(ASA)

^DFE=^CFP

??.ED+BC=CP+BC=BP

由于條件不足，并不能證明8尸=8￡,故。選項(xiàng)錯(cuò)誤;

???ADFENACFP

S四邊形OEBC=SvBEP

/為DC的中點(diǎn)

S'BEP=2SVBEF=S四邊形OEBC

故。選項(xiàng)正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定，根據(jù)題意作出

相應(yīng)的輔助線是求解本題的關(guān)鍵.

2.如圖，AB\\CD,ZBCD=90°,AB=I,3C=CO=2,E為AD上的中點(diǎn)，則BE

【答案邙

【解析】

【分析】延長BE交CD于點(diǎn)F,證VABE絲VDEE,則BE=EF=^BF,故再在直角

2

三角形BCF中運(yùn)用勾股定理求出BF長即可.

【詳解】解：延長BE交CD于點(diǎn)F,

「AB平行CD,則NA=NEDC,ZABE=ZDFE,

又E為AD上的中點(diǎn)，.?.BE=EF,

所以V43EADFE.

BE=EF=-BF,AB=DF=1

2

：.CF=1

在直角三角形BCF中，BF=Vl2+22=y/5.

???BEJBF當(dāng)

【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造三角形全等，找到線段的關(guān)系，然后運(yùn)用勾

股定理求解.

A

CD

3.如圖，A48C中，。為的中點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，連接8E并延長交AC于

F,BE=AC,且8/=9,CF=6,那么AE的長度為

【答案】:3；

2

【解析】

【分析】延長A。至G使AD=DG,連接BG,得出/^CD=AGBD,得出

AC=BG=BE,所以得出AAEE是等腰三角形，根據(jù)已知線段長度建立等量關(guān)系計(jì)

算.

如圖：延長AD至G使AT>=DG,連接BG

在AACD和AGBO中：

CD=BD

<ZADC=NBDG

AD=DG

：.MCD^AGBD

：.NC4D=NG,AC=BG

?；BE=AC

：.BE=BG

：.NG=/BEG

NBEG=ZAEF

ZAEF^ZEAF

：.EF=AF

，AF+CF=BF-EF

即AF+6=9-EF

【點(diǎn)睛】倍長中線是常見的輔助線、全等中相關(guān)的角的代換是解決本題的關(guān)鍵.

4.如圖，平行四邊形ABCD中，CE_L4Z）于E,點(diǎn)F為邊4B中點(diǎn)，

AD=-CD,/CEF=40°,則ZAEE=

2

【答案】30。

【解析】

［分析］延長EF、CB交于點(diǎn)、G,連接FC,先依據(jù)全等的判定和性質(zhì)得到FE=FG,

依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到=依據(jù)平行四邊

形的對邊相等及等量代換得到BF=BC,依據(jù)三角形等邊對等角得到

NECG=NG=50。、NBFC=NFCG=5。。,依據(jù)三角形內(nèi)角和得到NGFC,通過

作差即得所求.

【詳解】解：延長￡尸、CB交于點(diǎn)G,連接FC,

AED

G—BC

?.?平行四邊形ABC。中，

AD//BC,AB=CD,AD=BC,

；.ZA=NGBF,ZAFE=NBFG,NGCE=CEO=90°,

又???點(diǎn)F為邊AB中點(diǎn)，得=

2

□(ASA),ZG=90°-ZC￡F=50°,

FE=FG,

□FC=FE=FG,

口N產(chǎn)。G=NG=50。，

ZGFC=180°-ZFCG—NG=80°,

BF=3AB,AD=^CD,AB=CD,AD=BC,

：.BF=BC,

口ZBR?=ZFCG=50°,

□NBFG=Z.GFC-NBFC=30°,

，ZAFE=NBFG=3。。,

故答案為：30°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊上的

中線等于斜邊的一半、三角形等邊對等角、三角形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角

三角形.

5.已知：如圖所示，AD平分NS4C,M是BC的中點(diǎn)，MF//AD,分別交CA延長

線，AB于F、E.

求證：BE=CF.

F

【答案】見解析.

【解析】

【分析】過B作BN〃AC交EM延長線于N點(diǎn)，易證△BMNGACMF,可得CF=

BN,然后由MF//AD,AD平分NBAC可得NF=NDAC=NBAD=NBEM,ZBEM

=NN,所以BE=BN=CF.

【詳解】證明：過B作BN〃AC交EM延長線于N點(diǎn)，

：BN〃AC,BM=CM,

...NBMN=NCMF,NN=NF,

/.△BMN^ACMF,

/.CF=BN,

又,；MF//AD,AD平分NBAC,

NF=ZDAC=ZBAD=ZBEM,

/.ZBEM=ZN,

/.BE=BN=CF.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等

知識，作輔助線構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

6.如圖所示，在A4BC中，交BC于點(diǎn)。，點(diǎn)E是3。中點(diǎn)，防〃A￡)交C4

的延長線于點(diǎn)尸，交A3于點(diǎn)G,若BG=CF,求證：為ZBAC的平分線.

【答案】見解析

【解析】

【分析】延長莊,截取E〃=EG,連接CH,可證dBEG也△(?￡〃,即可求得NQN/G4

即可求得即可解題.

【詳解】證明：延長尸E,截取EH=EG,連接C”,

是3c中點(diǎn)，

：.BE=CE,

：.NBEG=NCEH,

在［BEG和Z!CE//中，

BE=CE

</BEG=NCEH,

GE=EH

:.XBEGgMCEH(SAS),

：.NBGE=NH,

：.NBGE=NFGA=/H,

:.BG=CH,

，：CF=BG,

：.CH=CF,

/./F=NH=/FGA,

'：EF//AD,

：.ZF=ZCAD,NBAD=/FGA,

：.NCAD=NBAD,

平分NB/C.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本

題中求證」8EG0ZXCE”是解題的關(guān)鍵.

7.已知：如圖所示，在八4BC中，AD為中線，8尸交ARAC分別于E,F,如果

BE=AC,求證：AF=EF.

【答案】詳見解析

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，延長AD到點(diǎn)G,得到華ACDG,利用全等

三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等進(jìn)行等量代換，得到AAEF中的兩個(gè)角相等，然

后用等角對等邊證明AE等于EF.

【詳解】證明：延長ED至G,使DG=DE,連結(jié)GC,

?.,在AABC中，AO為中線,

.,.BD=CD,

在△/DC和△G08中，

BD=CD

<ZBDE=ZCDG

DE=DG

：.ABDEmACDG,

:.BE=CG,ZBED=ZCGD,

?;BE=AC,

AC-GC)

ZAGC=CAG.

又?；NBED=ZAEF,

：.ZAEF^AEAF,

：.AF=EF.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過作輔助線構(gòu)建全等

三角形.

8.如圖所示，AO為AABC的角平分線，旦F分別在30,4)上，DC=DE,若

EF//AB.

求證：EF=AC.

【答案】詳見解析

【解析】

【分析】延長FD至G,使。G=。/，連結(jié)CG,可證M)EF^\DCG,則EF=CG,

利用全等三角形和角平分線以及平行線的性質(zhì)可得NGAC=NAGC，根據(jù)等角對

等邊得AC=CG,即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：延長FD至G,使DG=DF,連結(jié)CG,

?；DC=DE,ZEDF=ZCDG,DG=DF

：.ADEF^/^DCG,

:.EF=CG,ZEFG=ZCGD

?：EFHAB,

:.ZEFG=NBAD,

又/BAD=4CAD,

ZGAC^ZAGC,

AC-GC,

：.EF=AC.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是證4EDF與4CDG全等.

Q.如圖所示，在AA3C中，A￡＞為中線，NBAO=90,A6=2AO,求ND4c的度

【答案】450

【解析】

【分析】延長AD至E,使班=4),連結(jié)CE,則AADBgAEDC,根據(jù)全等三角

形的性質(zhì)得EC=AB,NE=/BAD=90°,由AB=2AD可得EC=AE,可得AAEC是

等腰直角三角形，即可得NDAC的度數(shù).

【詳解】解：延長AD至E,使DE=AD，連結(jié)CE,

VBD=CD,ZADB=ZEDC

:.AA。的AEDC,

，EC=AB,NE=Z&4￡)=90°,

VAB=2AD,DE=AD

/.AB=AE=EC

??.△AEC是等腰直角三角形，

，ZDAC=45°.

故答案為450.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵

是作輔助線構(gòu)建全等三角形和等腰直角三角形.

1O.已知：如圖，在AABC中，NC=90。，。為AB的中點(diǎn)，E、尸分別在

AC.上，且￡D_LF。于。.求證：AE2+BF1=EF2-

【答案】詳見解析

【解析】

【分析】通過倍長線段OE,將AE、BF、EF轉(zhuǎn)化到ABGF中，再證ABGR為直

角三角形.

【詳解】延長。至G,使DG=DE,連結(jié)BG、FG,

\AD=BD,ZADE=NBDG,

：./SADE^NBDG,

：.AE=BG,ZA=ZDBG,

AC//BG,

ZC+NFBG=180。，:.NFBG=90°,

BG2+BF2^GF2,

又YED上FD,ED=GD,

：.EF=GF,

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，正確添加輔助線，熟練掌

握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

11.閱讀下面材料：

數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問題：

如圖，為△Z8C中線，點(diǎn)E在NC上，BE交AD于點(diǎn)、F,AE=EF.求證：AC

=BF.

A

(1)□思路一的輔助線的作法是:

□思路二的輔助線的作法是：.

(2)請你給出一種不同于以上兩種思路的證明方法(要求：只寫出輔助線的作

法，并畫出相應(yīng)的圖形，不需要寫出證明過程).

【答案】(1)□延長至點(diǎn)G,使連接8G；□作8G=59交NO的延

長線于點(diǎn)G；(2)詳見解析

【解析】

【分析】(1)□依據(jù)"S可證得再利用可以進(jìn)一步證得

NG=/FAE=/AFE=NBFG,從而證明結(jié)論.

□作BG=BF交AD的延長線于點(diǎn)G.利用可證得NG=ZBFG=ZAFE=

NFAE,再依據(jù)44s可以進(jìn)一步證得△/DC9△GZ)3,從而證明結(jié)論.

(2)作8G〃工。交的延長線于G,證明(AAS),得出ZC=

BG,證出NG=N8EG,得出8G=8尸，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：(1)□延長至點(diǎn)G,使QG=ZO,連接8G,如圖口，理由如下：

,.Z。為△/8C中線，

：.BD=CD,

AD=DG

在△/DC和△GDB中，＜NADC=NGDB,

CD=BD

：.AADC^/XGDB(SAS),

：.AC=BG,

'：AE=EF,

:.NC4D=NEE4,

'：ZBFG=ZG,ZG=ZCAD,

：.ZG=ZBFG,

：.BG=BF,

：.AC=BF.

故答案為：延長力。至點(diǎn)G,使OG=4O,連接8G；

A

E

□作8G=8/交的延長線于點(diǎn)G,如圖□.

理由如下：*;BG=BF,

：.4G=/BFG,

?：AE=EF,

:.NEAF=/EFA,

■:/EFA=/BFG,

：.ZG=ZEAF,

ZCAD=ZG

在*AOC和△GDB中，＜NADC=ZGDB,

CD=BD

:.AADgAGDB(AAS)9

：.AC=BG,

：.AC=BF；

故答案為：作8G=5/交力。的延長線于點(diǎn)G：

G

圖②

(2)作8G〃/C交/。的延長線于G,如圖□所示:

則NG=NC4。，

?.1。為△45C中線，

：.BD=CD,

NC4O=NG

在△ZOC和△G03中，＜NADC=NGDB,

CD=BD

:AADC經(jīng)￡GDB(//S),

：.AC=BG,

'：AE=EF,

:.NCAD=NEE4,

,：ZBFG=ZEFA,ZG=ZCAD,

：.ZG=ZBFG,

:.BG=BF,

：.AC=BF.

圖③

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、其中一般證

明兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理：AAS、ASA、SAS、SSS,需要同學(xué)們靈活運(yùn)

用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會做輔助線解決問題.

工2.閱讀

□1）閱讀理解:

cFD

如圖①，在^ABC中,若AB=10LJAC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使DE=AD,再連接BE（或?qū)ACD

繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。得到AEBD）,把AB「ACI22AD集中在AABE中，利用

三角形三邊的關(guān)系即可判斷.

中線AD的取值范圍是□

□2）問題解決：

如圖②，在AABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DELDF于點(diǎn)DDDE交AB于點(diǎn)

EE1DF交AC于點(diǎn)F,連接EF,求證：BE+CFOEFD

□3）問題拓展：

如圖③，在四邊形ABCD中，ZB+ZD=180℃CB=CDDZBCD=140°,以C為頂

點(diǎn)作一個(gè)70。角，角的兩邊分別交ABDAD于EDF兩點(diǎn)，連接EF,探索線段

BE1DF口EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【答案】口1口2口人）」8」02）證明見解析；（3LJBE+DF=EF；理由見解析.

【解析】

【分析】（1）延長AD至E,使DE=AD,由SAS證明DACDEJ^EBD,得出BE=AC=6,

在1ABE中，由三角形的三邊關(guān)系求出AE的取值范圍，即可得出AD的取值范圍；

（2）延長FD至點(diǎn)M,使DM=DF,連接BM、EM,同（1）得□BMDIDCFD,

得出BM=CF,由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EM=EF,在DBME中，由三角形的

三邊關(guān)系得出BE+BM>EM即可得出結(jié)論；

（3）延長AB至點(diǎn)N,使BN=DF,連接CN,證出口NBC7D,由SAS證明

□NBCnDFDC,得出CN=CF,□NCB=DFCD,證出口ECN=7（T=DECF,再由SAS

證明DNCEUDFCE,得出EN=EF,即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：延長AD至E,使DE=AD,連接BE,如圖」所示：

□AD是BC邊上的中線，

□BD=CD,

在DBDE和DCDA中，BD=CD,「BDE=「1CDA,DE=AD,

□□BDEODCDA(SAS),

口BE=AC=6,

在EOABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB-BE<AE<AB+BE,

□10-6<AE<10+6,即4VAEV16,

□2<AD<8；

故答案為2<ADV8；

(2)證明：延長FD至點(diǎn)M,使DM=DF,連接BM、EM,如圖口所示:

同(1)得：□BMDdDCFD(SAS),

□BM=CF,

□DEODF,DM=DF,

□EM=EF,

在E1BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM>EM,

□BE+CF>EF；

(3)解：BE+DF=EF；理由如下:

延長AB至點(diǎn)N,使BN=DF,連接CN,如圖3所示：

□□ABC+FD=180°,□NBC+QABC=180°,

□□NBC=DD,

在口NBC和二FDC中，

BN=DF,ONBCRD,BC=DC,

□□NBCDnFDC(SAS),

□CN=CF,□NCB=JFCD,

□□BCD=140°,□ECF=70°,

□□BCE+DFCD=70°,

□□ECN=70°=DECF,

在EiNCE和口FCE中，

CN=CF,□ECN=nECF,CE=CE,

□DNCEODFCE(SAS),

□EN=EF,

□BE+BN=EN,

□BE+DF=EF.

CFD

考點(diǎn)：全等三角形的判定和性質(zhì)；三角形的三邊關(guān)系定理.

13.如圖，在DABC中，AB=AC,D為線段BC的延長線上一點(diǎn)，且DB=DA,

BE1AD于點(diǎn)E,取BE的中點(diǎn)F,連接AF.

⑴若AC=gAE=5求BE的長；

⑵在(1)的條件下，如果口口=45。，求DABD的面積.

(3)若JBACRDAF,求證：2AF=AD；

【答案】(1)273;(2)9；(3)見詳解

【解析】

【分析】(1)在Rta/EB中，利用勾股定理即可解決問題；

(2)由ND=45?？勺C得BE=DE,再利用三角的面積公式計(jì)算即可；

(3)如圖，延長力R至〃點(diǎn)，使4F=MF,連接首先證明△力跖絲

再證明4ABM咨4ACD即可.

【詳解】(1)解：???AB=AC,AC=V15,

AB=y/15,

VBE±AD,AE=6,

在RtAAEB中，BE=^AB--AE2=7(V15)2-(V3)2=273;

(2)解：VBE±AD,ZD=45°,

AZEBD=ZD=45°,

ABE=DE=2V3,

???AD—AE+DE—yfi+25/3—3>/3，

：?s2AD.BE=；乂3值20=9；

(3)證明：如圖，延長ZE至M點(diǎn)，使2尸=兒/E連接

，EF=BF,

在A/E尸和△MBR中，

AF=FM

<ZAFE=NBFM

EF=BF

:.△AEF^AMBF{SAS},

，NE4E=NFMB,

J.AE//MB