2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期重難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)突破（人教A版2019）專題1.1 空間向量及其運(yùn)算（七個(gè)重難點(diǎn)突破）含解析

2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期重難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)突破（人教A版2019）專題1.1空間向量及其運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)1空間向量的有關(guān)概念1．空間向量的定義及表示定義在空間，把具有方向和大小的量叫做空間向量長(zhǎng)度或?？臻g向量的大小叫做空間向量的長(zhǎng)度或模表示方法幾何表示法空間向量用有向線段表示，有向線段的長(zhǎng)度表示空間向量的模符號(hào)表示法若向量的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則也可記作，其模記為或2.幾類特殊的空間向量名稱方向模表示法零向量任意0記為單位向量1或相反向量相反相等記為共線向量相同或相反或相等向量相同相等或知識(shí)點(diǎn)2空間向量的線性運(yùn)算1.空間向量的加減運(yùn)算加法運(yùn)算三角形法則語(yǔ)言敘述首尾順次相接，首指向尾為和圖形敘述平行四邊形法則語(yǔ)言敘述共起點(diǎn)的兩邊為鄰邊作平行四邊形，共起點(diǎn)對(duì)角線為和圖形敘述減法運(yùn)算三角形法則語(yǔ)言敘述共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量圖形敘述2.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算定義與平面向量一樣，實(shí)數(shù)λ與空間向量的乘積仍然是一個(gè)向量，稱為空間向量的數(shù)乘幾何意義與向量的方向相同的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的倍與向量的方向相反，其方向是任意的3.空間向量的運(yùn)算律交換律結(jié)合律，分配律知識(shí)點(diǎn)3共線向量與共面向量1.直線的方向向量定義：把與平行的非零向量稱為直線的方向向量．2．共線向量與共面向量的區(qū)別共線(平行)向量共面向量定義位置關(guān)系表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，這些向量叫做共線向量或平行向量平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量特征方向相同或相反特例零向量與任意向量平行充要條件共線向量定理：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量，的充要條件是存在實(shí)數(shù)使共面向量定理：若兩個(gè)向量不共線，則向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使對(duì)空間任一點(diǎn)O，空間中四點(diǎn)共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得對(duì)空間中任意一點(diǎn)，都有重難點(diǎn)1空間向量的線性運(yùn)算1．如圖，在空間四邊形中，，，分別是，，的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各式：(1)；(2)；(3)．2．如圖，點(diǎn)M，N分別是四面體ABCD的棱AB和CD的中點(diǎn)，求證：.3．在正六棱柱中，化簡(jiǎn)，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果．

4．如圖.空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在OA上，且滿足，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．5．如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD一A1B1C1D1中，，E，F(xiàn)，G，H，P，Q分別是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中點(diǎn)，求證：.

6．如圖，設(shè)A是所在平面外的一點(diǎn)，G是的重心.求證：.7．如圖，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)．記，，則下列正確的是（

）A． B．C． D．重難點(diǎn)2共線問(wèn)題8．設(shè)，是空間中兩個(gè)不共線的向量，已知，，，且A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)_____；9．在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底面和側(cè)面的中心，若，則_____．10．(多選)若空間中任意四點(diǎn)O，A，B，P滿足=m+n，其中m+n=1，則結(jié)論正確的有（

）A．P∈直線AB B．P?直線ABC．O，A，B，P四點(diǎn)共面 D．P，A，B三點(diǎn)共線11．已知，.（1）若與的方向相同，且，則λ的值為_(kāi)____；（2）若與的方向相反，且，則λ的值為_(kāi)____.12．已知是空間的一個(gè)基底，下列不能與，構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的是（

）A． B． C． D．13．已知平面單位向量，滿足，且，，，若使成立的正數(shù)有且只有一個(gè)，則的取值范圍為_(kāi)____.14．如圖，在正方體中，E在上，且，F(xiàn)在對(duì)角線A1C上，且若.（1）用表示.（2）求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.15．如圖，已知為空間的9個(gè)點(diǎn)，且，，，，，.求證：（1）；（2）.重難點(diǎn)3向量的共面問(wèn)題16．已知空間、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)為空間中任意一點(diǎn)，若，則（

）A．2 B． C．1 D．17．已知點(diǎn)在平面內(nèi)，并且對(duì)空間任一點(diǎn)，，則_____．18．已知三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面外的任意一點(diǎn)，判斷在下列各條件下的點(diǎn)與點(diǎn)是否共面．(1)；(2)．19．已知為兩個(gè)不共線的非零向量，且，，，求證：四點(diǎn)共面．20．，，是三個(gè)不共面的向量，，，，且，，，四點(diǎn)共面，則的值為_(kāi)____.21．下列條件中，一定使空間四點(diǎn)P?A?B?C共面的是（

）A． B．C． D．22．若{，，}構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，知識(shí)點(diǎn)1空間向量的夾角如圖，已知兩個(gè)非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量的夾角，記作，夾角的范圍：，特別地，如果，那么向量互相垂直，記作知識(shí)點(diǎn)2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算1．空間向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即．零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即.2．?dāng)?shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律交換律分配律3．投影向量在空間，向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個(gè)平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，，向量稱為向量在向量上的投影向量．4．?dāng)?shù)量積的性質(zhì)若，為非零向量，則（1）；（2）；（3），；（4）；（5）重難點(diǎn)4空間向量數(shù)量積的運(yùn)算23．在正四面體中，棱長(zhǎng)為1，且D為棱的中點(diǎn)，則的值為（

）.A． B． C． D．24．如圖，在直三棱柱中，，、分別為棱、的中點(diǎn)，則_____.25．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為棱上任意一點(diǎn)，則=_____.26．給出下列命題：①空間中任意兩個(gè)單位向量必相等；②若空間向量滿足，則；③在向量的數(shù)量積運(yùn)算中；④對(duì)于非零向量，由，則，其中假命題的個(gè)數(shù)是_____．27．已知空間四面體D-ABC的每條棱長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．28．設(shè)、為空間中的任意兩個(gè)非零向量，有下列各式：①；②；③；④.其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．29．已知向量，向量與的夾角都是，且，試求(1)；(2)．30．在三棱錐中，已知，，，則_____重難點(diǎn)5用數(shù)量積解決夾角問(wèn)題31．如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱AA1的長(zhǎng)度為4，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°.用向量法求：(1)BD1的長(zhǎng)；(2)直線BD1與AC所成角的余弦值.32．（多選）如圖所示，平行六面體，其中，，，，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．B．C．直線與直線是相交直線D．與所成角的余弦值為33．已知向量都是空間向量，且，則_____.34．已知不共面的三個(gè)向量都是單位向量，且?jiàn)A角都是，則向量和的夾角為（

）A． B． C． D．35．如圖，在平行六面體中，，，，點(diǎn)為線段中點(diǎn)．(1)求；(2)求直線與所成角的余弦值．36．如圖，二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A，B，線段和分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱l．若，則平面與平面夾角的余弦值為_(kāi)____．重難點(diǎn)6投影向量37．在標(biāo)準(zhǔn)正交基下，已知向量，，則向量在上的投影為_(kāi)____，在上的投影之積為_(kāi)____．38．已知，向量為單位向量，，則空間向量在向量方向上投影為_(kāi)____．39．如圖，在長(zhǎng)方體中，已知，，，分別求向量在、、方向上的投影數(shù)量．40．如圖，已知平面，，，則向量在上的投影向量等于_____.41．在棱長(zhǎng)為的正方體中，向量在向量方向上的投影向量的模是_____．42．如圖，在三棱錐中，平面，，，．(1)確定在平面上的投影向量，并求；(2)確定在上的投影向量，并求．重難點(diǎn)7用數(shù)量積求線段長(zhǎng)度43．棱長(zhǎng)為1的正四面體（四個(gè)面都是正三角形）中，若是的中點(diǎn)，在上且，記，，.(1)用向量，，表示向量；(2)若，求.44．如圖，在平行六面體中，，，，，，則線段的長(zhǎng)為（

）A．5 B．3 C． D．45．如圖，在平行六面體中，，，，，，，則用表示及線段的長(zhǎng)為分別為（

）

A．， B．，C．， D．，46．如圖，在直三棱柱中，，分別為，，的中點(diǎn)，分別記，，為，，.(1)用，，表示，；(2)若，，求.47．如圖所示，在平行四邊形中，，，將它沿對(duì)角線折起，使與成角，則間的距離等于（

）A． B．1 C．或2 D．1或48．平行六面體中，，則的長(zhǎng)為（

）A．10 B． C． D．49．棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是，DB的中點(diǎn)，G在棱CD上，且，H是的中點(diǎn)．(1)求．(2)求FH的長(zhǎng)．專題1.1空間向量及其運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)1空間向量的有關(guān)概念1．空間向量的定義及表示定義在空間，把具有方向和大小的量叫做空間向量長(zhǎng)度或?？臻g向量的大小叫做空間向量的長(zhǎng)度或模表示方法幾何表示法空間向量用有向線段表示，有向線段的長(zhǎng)度表示空間向量的模符號(hào)表示法若向量的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則也可記作，其模記為或2.幾類特殊的空間向量名稱方向模表示法零向量任意0記為單位向量1或相反向量相反相等記為共線向量相同或相反或相等向量相同相等或知識(shí)點(diǎn)2空間向量的線性運(yùn)算1.空間向量的加減運(yùn)算加法運(yùn)算三角形法則語(yǔ)言敘述首尾順次相接，首指向尾為和圖形敘述平行四邊形法則語(yǔ)言敘述共起點(diǎn)的兩邊為鄰邊作平行四邊形，共起點(diǎn)對(duì)角線為和圖形敘述減法運(yùn)算三角形法則語(yǔ)言敘述共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量圖形敘述2.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算定義與平面向量一樣，實(shí)數(shù)λ與空間向量的乘積仍然是一個(gè)向量，稱為空間向量的數(shù)乘幾何意義與向量的方向相同的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的倍與向量的方向相反，其方向是任意的3.空間向量的運(yùn)算律交換律結(jié)合律，分配律知識(shí)點(diǎn)3共線向量與共面向量1.直線的方向向量定義：把與平行的非零向量稱為直線的方向向量．2．共線向量與共面向量的區(qū)別共線(平行)向量共面向量定義位置關(guān)系表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，這些向量叫做共線向量或平行向量平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量特征方向相同或相反特例零向量與任意向量平行充要條件共線向量定理：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量，的充要條件是存在實(shí)數(shù)使共面向量定理：若兩個(gè)向量不共線，則向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使對(duì)空間任一點(diǎn)O，空間中四點(diǎn)共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得對(duì)空間中任意一點(diǎn)，都有重難點(diǎn)1空間向量的線性運(yùn)算1．如圖，在空間四邊形中，，，分別是，，的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由于是的中點(diǎn),所以，再根據(jù)空間向量的加法運(yùn)算即可求出結(jié)果；（2）由于是的中點(diǎn),所以，再根據(jù)空間向量的減法運(yùn)算即可求出結(jié)果；（3）由于，分別，的中點(diǎn)，所以，又是的中點(diǎn)，，再根據(jù)空間向量的加法運(yùn)算即可求出結(jié)果；(1)解：因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，；(2)解：因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以，所以，；(3)解：因?yàn)椋謩e，的中點(diǎn)，所以，又是的中點(diǎn)，，所以，.2．如圖，點(diǎn)M，N分別是四面體ABCD的棱AB和CD的中點(diǎn)，求證：.【答案】詳見(jiàn)解析.【分析】取的中點(diǎn)，連接，，由，，即可求證.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，在中，，在中，，所以.3．在正六棱柱中，化簡(jiǎn)，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果．

【答案】，作圖見(jiàn)解析【分析】先利用正六棱柱的性質(zhì)證得，從而利用空間向量的線性運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)榱呅问钦呅?，所以，，又在正六棱柱中，，所以，故是平行四邊形，則，所以，向量在圖中標(biāo)記如下，

4．如圖.空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在OA上，且滿足，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算直接求解即可.【詳解】.故選：D.5．如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD一A1B1C1D1中，，E，F(xiàn)，G，H，P，Q分別是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中點(diǎn)，求證：.

【答案】證明見(jiàn)解析.【分析】先利用基底表示出，進(jìn)而證得成立.【詳解】，則，則.6．如圖，設(shè)A是所在平面外的一點(diǎn)，G是的重心.求證：.【答案】證明見(jiàn)解析.【分析】連接，延長(zhǎng)后交于點(diǎn)E，利用G是的重心即可得到與之間的關(guān)系.【詳解】連接，延長(zhǎng)后交于點(diǎn)E，連接，由G為的重心，可得，，則，則，又，則.7．如圖，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)．記，，則下列正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用平行六面體的性質(zhì)以及空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可知：在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，則，所以，故選：.重難點(diǎn)2共線問(wèn)題8．設(shè)，是空間中兩個(gè)不共線的向量，已知，，，且A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)；【答案】；【分析】A，B，D三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)，使得，再由已知條件表示出與,建立方程組可求出和值．【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得，即，所以，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量中三點(diǎn)共線問(wèn)題，共線向量定理常常用來(lái)解決此問(wèn)題．9．在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底面和側(cè)面的中心，若，則．【答案】/－0.5【分析】作圖，連接連接，，構(gòu)造三角形中位線解題﹒【詳解】如圖，連接，，則點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，易知，且，∴，即，∴．故答案為：10．(多選)若空間中任意四點(diǎn)O，A，B，P滿足=m+n，其中m+n=1，則結(jié)論正確的有（

）A．P∈直線AB B．P?直線ABC．O，A，B，P四點(diǎn)共面 D．P，A，B三點(diǎn)共線【答案】ACD【解析】由題意可得，代入向量式化簡(jiǎn)可得，可得向量共線，進(jìn)而可得三點(diǎn)共線，可得結(jié)論．【詳解】解:因?yàn)?，所以，所?，即=n()，即=n，所以共線.又有公共起點(diǎn)A，所以P，A，B三點(diǎn)在同一直線上，即P∈直線AB.因?yàn)?m+n，故O，A，B，P四點(diǎn)共面.故答案為：ACD【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的共線問(wèn)題，熟練表示出向量共線的條件是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．11．已知，.（1）若與的方向相同，且，則λ的值為；（2）若與的方向相反，且，則λ的值為.【答案】【分析】根據(jù)向量共線可得答案.【詳解】由于，所以當(dāng)，同向時(shí)，；當(dāng)，反向時(shí)，.故答案為：①；②.12．已知是空間的一個(gè)基底，下列不能與，構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)基底向量任意兩向量不共線，三個(gè)向量不共面可判斷求解.【詳解】由，，兩式相加可得，即與共面故不能與，構(gòu)成空間的另一個(gè)基底．故選：A13．已知平面單位向量，滿足，且，，，若使成立的正數(shù)有且只有一個(gè)，則的取值范圍為.【答案】/【分析】由向量的模的計(jì)算公式得，再根據(jù)一元二次方程的根的判別式可求得答案.【詳解】解：，，，則，所以，所以，故.由于使成立的正數(shù)有且只有一個(gè)，故關(guān)于以為未知數(shù)的一元二次方程有且只有一個(gè)正實(shí)數(shù)根，故，解得，當(dāng)時(shí)，故舍去，則.故的范圍是唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，故答案為：.14．如圖，在正方體中，E在上，且，F(xiàn)在對(duì)角線A1C上，且若.（1）用表示.（2）求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由已知得，由此可得答案；（2）由已知得，由此可得證.【詳解】解：（1）因?yàn)?，，所以，所以；?），又與相交于B，所以E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.15．如圖，已知為空間的9個(gè)點(diǎn)，且，，，，，.求證：（1）；（2）.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由題意，，轉(zhuǎn)化，代入結(jié)合題干條件運(yùn)算即得證；（2）由題意，，又，運(yùn)算即得證【詳解】證明：（1）∴.（2）.重難點(diǎn)3向量的共面問(wèn)題16．已知空間、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)為空間中任意一點(diǎn)，若，則（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)空間四點(diǎn)共面的充要條件代入即可解決.【詳解】，即整理得由、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，可得，解之得故選：B17．已知點(diǎn)在平面內(nèi)，并且對(duì)空間任一點(diǎn)，，則．【答案】【分析】根據(jù)四點(diǎn)共面的知識(shí)列方程，由此求得.【詳解】由于平面，所以，解得.故答案為：18．已知三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面外的任意一點(diǎn)，判斷在下列各條件下的點(diǎn)與點(diǎn)是否共面．(1)；(2)．【答案】(1)共面(2)不共面【分析】（1）根據(jù)空間向量的共面定理及推論，即可求解；（2）根據(jù)空間向量的共面定理及推論，即可求解；【詳解】（1）解：因?yàn)槿c(diǎn)不共線，可得三點(diǎn)共面，對(duì)于平面外的任意一點(diǎn)，若，即，又因?yàn)?，根?jù)空間向量的共面定理，可得點(diǎn)與共面.（2）解：因?yàn)槿c(diǎn)不共線，可得三點(diǎn)共面，對(duì)于平面外的任意一點(diǎn)，若，此時(shí)，根據(jù)空間向量的共面定理，可得點(diǎn)與不共面．19．已知為兩個(gè)不共線的非零向量，且，，，求證：四點(diǎn)共面．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】用共面向量定理證明共面，即可得四點(diǎn)共面．【詳解】設(shè)，則，，又為兩個(gè)不共線的非零向量，，，，四點(diǎn)共面，故原命題得證．20．，，是三個(gè)不共面的向量，，，，且，，，四點(diǎn)共面，則的值為.【答案】-3【分析】由題知存在實(shí)數(shù)，，使得，代入條件，比較系數(shù)列方程求解.【詳解】若，，，四點(diǎn)共面，則存在實(shí)數(shù)，，使得，即，所以，解得，，.故答案為：-3.21．下列條件中，一定使空間四點(diǎn)P?A?B?C共面的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】要使空間中的、、、四點(diǎn)共面，只需滿足，且即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；對(duì)于B選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；對(duì)于C選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；對(duì)于D選項(xiàng)，，,所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)共面.故選：D.22．若{，，}構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】C【分析】由平面向量基本定理逐項(xiàng)判斷可得答案．【詳解】由平面向量基本定理得：對(duì)于A選項(xiàng)，，所以，，三個(gè)向量共面；對(duì)于B選項(xiàng)，，，，三個(gè)向量共面；對(duì)于C選項(xiàng)，則存在實(shí)數(shù)使得，則共面，與已知矛盾，因此C選項(xiàng)中向量不共面；對(duì)于D選項(xiàng)，，所以三個(gè)向量共面；故選：C．知識(shí)點(diǎn)1空間向量的夾角如圖，已知兩個(gè)非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量的夾角，記作，夾角的范圍：，特別地，如果，那么向量互相垂直，記作知識(shí)點(diǎn)2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算1．空間向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即．零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即.2．?dāng)?shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律交換律分配律3．投影向量在空間，向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個(gè)平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，，向量稱為向量在向量上的投影向量．4．?dāng)?shù)量積的性質(zhì)若，為非零向量，則（1）；（2）；（3），；（4）；（5）重難點(diǎn)4空間向量數(shù)量積的運(yùn)算23．在正四面體中，棱長(zhǎng)為1，且D為棱的中點(diǎn)，則的值為（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】在正四面體中，由中點(diǎn)性質(zhì)可得，則可代換為，由向量的數(shù)量積公式即可求解.【詳解】如圖，因?yàn)镈為棱的中點(diǎn)，所以，，由正四面體得性質(zhì)，與的夾角為60°，同理與的夾角為60°，，，故，故選：D.24．如圖，在直三棱柱中，，、分別為棱、的中點(diǎn)，則.【答案】【分析】分析可知，，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，則，同理可知，所以，.故答案為：.25．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為棱上任意一點(diǎn)，則=.【答案】1【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求解.【詳解】如圖，在正方體中，為棱上任意一點(diǎn)，則，，.故答案為：1.26．給出下列命題：①空間中任意兩個(gè)單位向量必相等；②若空間向量滿足，則；③在向量的數(shù)量積運(yùn)算中；④對(duì)于非零向量，由，則，其中假命題的個(gè)數(shù)是．【答案】4【分析】根據(jù)空間向量的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)量積公式，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】對(duì)于①：空間中任意兩個(gè)單位向量的方向不能確定，故不一定相等，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：空間向量滿足，但方向可能不同，故不能得到，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：由，可得，所以，無(wú)法得到，故④錯(cuò)誤.所以錯(cuò)誤的命題個(gè)數(shù)為4.故答案為：427．已知空間四面體D-ABC的每條棱長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得，再利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得到答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)分別是的中點(diǎn)，所以，，所以，則，又因?yàn)榭臻g四面體D-ABC的每條棱長(zhǎng)都等于1，所以是等邊三角形，則，所以.故選：B．.28．設(shè)、為空間中的任意兩個(gè)非零向量，有下列各式：①；②；③；④.其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空間向量數(shù)量積的定義可判斷①、②、③；利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律可判斷④.【詳解】對(duì)于①，，①正確；對(duì)于②，向量不能作比值，即錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，設(shè)、的夾角為，則，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得，④正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算性質(zhì)判斷等式的正誤，屬于基礎(chǔ)題.29．已知向量，向量與的夾角都是，且，試求(1)；(2)．【答案】(1)11(2)【分析】（1）計(jì)算，展開(kāi)計(jì)算得到答案.（2），代入計(jì)算得到答案.【詳解】（1）向量，向量與的夾角都是，且，，；（2）30．在三棱錐中，已知，，，則【答案】【分析】用表示，根據(jù)條件列出方程建立的關(guān)系，利用等量代換計(jì)算即得.【詳解】設(shè)，顯然，則，即，而，即，于是得，，，則有，所以.故答案為：重難點(diǎn)5用數(shù)量積解決夾角問(wèn)題31．如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱AA1的長(zhǎng)度為4，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°.用向量法求：(1)BD1的長(zhǎng)；(2)直線BD1與AC所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量模的計(jì)算公式和向量的數(shù)量積的運(yùn)算即得出BD1的長(zhǎng)；（2）分別求出的值，代入數(shù)量積求夾角公式，即可求得異面直線BD1與AC所成角的余弦值．【詳解】（1）∵，＝24，∴的長(zhǎng)為，（2）∵，∴，∴，∵，，∴＝，所以直線BD1與AC所成角的余弦值為．32．（多選）如圖所示，平行六面體，其中，，，，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．B．C．直線與直線是相交直線D．與所成角的余弦值為【答案】ABD【分析】對(duì)選項(xiàng)A，根據(jù)，再平方即可判斷A正確，對(duì)選項(xiàng)B，根據(jù)，即可判斷B正確，對(duì)選項(xiàng)C，根據(jù)圖形即可判斷C錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)D，根據(jù)空間向量夾角公式即可判斷D正確.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，，則，所以，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，，所以，故B正確；對(duì)C，直線與直線是異面直線，C錯(cuò)誤；對(duì)D，，，，，，，所以，，于是與所成角的余弦值為.故選：ABD33．已知向量都是空間向量，且，則.【答案】【分析】利用向量夾角公式、范圍及已知求的大小.【詳解】由題設(shè)，而，，所以.故答案為：34．已知不共面的三個(gè)向量都是單位向量，且?jiàn)A角都是，則向量和的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意計(jì)算得，，進(jìn)而計(jì)算夾角即可得答案.【詳解】解：由題意，得，所以，設(shè)向量和的夾角為，則，又，所以.故選：C.35．如圖，在平行六面體中，，，，點(diǎn)為線段中點(diǎn)．(1)求；(2)求直線與所成角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】(1)首先設(shè)，，，得到，再平方即可得到答案；(2)由，得，代入計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)樵谄叫辛骟w中，點(diǎn)在線段上，且滿足．設(shè)，，，這三個(gè)向量不共面，構(gòu)成空間的一個(gè)基底．所以．，，．（2）由（1）知，，，，，直線與所成角的余弦值為．36．如圖，二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A，B，線段和分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱l．若，則平面與平面夾角的余弦值為．【答案】【分析】設(shè)這個(gè)二面角的度數(shù)為，由題意得，從而得到．【詳解】解：設(shè)平面與平面的夾角的度數(shù)為，由題意得，且，即，，解得，平面與平面的夾角的余弦值為．故答案為：．重難點(diǎn)6投影向量37．在標(biāo)準(zhǔn)正交基下，已知向量，，則向量在上的投影為，在上的投影之積為．【答案】-1256【分析】根據(jù)向量的加法求得，即可得在，，上的投影分別為-12，8，7，即可得答案.【詳解】解：易得，所以在，，上的投影分別為-12，8，7，其在，上的投影之積為．故答案為：-12；56.38．已知，向量為單位向量，，則空間向量在向量方向上投影為．【答案】【分析】根據(jù)投影的定義結(jié)合已知條件求解即可.【詳解】因?yàn)?，向量為單位向量，，所以向量在向量方向上投影為．故答案為?9．如圖，在長(zhǎng)方體中，已知，，，分別求向量在、、方向上的投影數(shù)量．【答案】向量在、、方向上的投影數(shù)量分別為、、.【分析】分析可得，利用投影數(shù)量公式可求得向量在、、方向上的投影數(shù)量.【詳解】解：非零向量在非零向量方向上的投影數(shù)量為，由空間向量的平行六面體法則可得，在長(zhǎng)方體中，，因此，向量在方向上的投影數(shù)量為，向量在方向上的投影數(shù)量為，向量在方向上的投影數(shù)量為.40．如圖，已知平面，，，則向量在上的投影向量等于.【答案】【分析】先求出，再根據(jù)投影向量的公式計(jì)算即可.【詳解】平面，則，向量在上的投影向量為故答案為：.41．在棱長(zhǎng)為的正方體中，向量在向量方向上的投影向量的模是．【答案】【分析】由正方體的性質(zhì)可得向量與向量夾角為，先求出的值，進(jìn)而可得答案.【詳解】棱長(zhǎng)為的正方體中向量與向量夾角為，所以向量在向量方向上的投影向量是向量在向量方向上的投影向量的模是，故答案為：42．如圖，在三棱錐中，平面，，，．(1)確定在平面上的投影向量，并求；(2)確定在上的投影向量，并求．【答案】(1)在平面上的投影向量