專題2.6 軸對(duì)稱圖形（章節(jié)復(fù)習(xí)+考點(diǎn)講練）教師版

2023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)同步專題熱點(diǎn)難點(diǎn)專項(xiàng)練習(xí)專題2.6軸對(duì)稱圖形（章節(jié)復(fù)習(xí)+考點(diǎn)講練）知識(shí)點(diǎn)01：軸對(duì)稱1.軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱（1）軸對(duì)稱圖形

如果一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸.軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.（2）軸對(duì)稱定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的性質(zhì)：①關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形形狀相同，大小相等，是全等形；②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，則對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；③兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么它們的交點(diǎn)在對(duì)稱軸上.（3）軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別:軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，軸對(duì)稱圖形是指具有特殊形狀的一個(gè)圖形；軸對(duì)稱涉及兩個(gè)圖形，而軸對(duì)稱圖形是對(duì)一個(gè)圖形來(lái)說(shuō)的.聯(lián)系：如果把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條軸對(duì)稱；如果把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形．2.線段的垂直平分線垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線．3.作軸對(duì)稱圖形（1）幾何圖形都可以看作由點(diǎn)組成，我們只要分別作出這些點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再連接這些點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形；（2）對(duì)于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點(diǎn)（如線段端點(diǎn)）的對(duì)稱點(diǎn)，連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形.4.用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱點(diǎn)（,）關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（,－）；點(diǎn)（,）關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（－,）；點(diǎn)（,）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（－,－）.知識(shí)點(diǎn)02：線段、角的軸對(duì)稱性1.線段的軸對(duì)稱性（1）線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線是它的對(duì)稱軸.（2）線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等；

（3）線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：到線段兩個(gè)端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線2.角的軸對(duì)稱性（1）角是軸對(duì)稱圖形，角的平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸.（2）角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.（3）角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.知識(shí)點(diǎn)03：等腰三角形1.等腰三角形

（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質(zhì)①等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即“等邊對(duì)等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個(gè)底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（即“等角對(duì)等邊”）.2.等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60°.（3）等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.3.直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.【典例精講】（2022秋?攸縣期末）如圖，已知AB＝CB，要使四邊形ABCD成為一個(gè)軸對(duì)稱圖形，還需添加一個(gè)條件，你添加的條件是AD＝CD．（只需寫一個(gè)，不添加輔助線）【思路點(diǎn)撥】軸對(duì)稱圖形的定義即可得到結(jié)論．【規(guī)范解答】解：AD＝CD，理由：在△ABD與△CBD中，，∴△ABD≌△CBD，∴四邊形ABCD是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，故答案為：AD＝CD．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了軸對(duì)稱圖形，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1-1】（2021秋?濮陽(yáng)期末）正方形再任意涂黑一個(gè)，則所得黑色圖案是軸對(duì)稱圖形的情況有4種．【思路點(diǎn)撥】利用軸對(duì)稱圖形定義進(jìn)行補(bǔ)圖即可．【規(guī)范解答】解：如圖所示：，共4種，故答案為：4．【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是掌握如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．【變式訓(xùn)練1-2】（2023?徐州一模）在下列“綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水”四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．【規(guī)范解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確；B、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形，判斷軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合．【變式訓(xùn)練1-3】（2022秋?永嘉縣校級(jí)月考）在圖①補(bǔ)充2個(gè)小方塊，在圖②、③、④中分別補(bǔ)充3個(gè)小方塊，分別使它們成為軸對(duì)稱圖形．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義解答即可．【規(guī)范解答】解：作軸對(duì)稱圖形如下（答案不唯一）：【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形．解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形的定義．軸對(duì)稱圖形的定義：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．【典例精講】（2023春?鐵西區(qū)月考）如圖（1）～（4），回答下列問(wèn)題．a(chǎn)．從圖形①到圖形②進(jìn)行了平移的是（2）（3）．b．從圖形①到圖形②進(jìn)行了軸對(duì)稱的是（1）（4）．c．對(duì)（2）、（4）并進(jìn)行如下解答．如果是軸對(duì)稱，找出對(duì)稱軸；如果是平移，是怎樣的平移？【思路點(diǎn)撥】a．根據(jù)平移變換的定義判斷即可；b．根據(jù)軸對(duì)稱的定義判斷即可；c．利用平移變換，軸對(duì)稱變換的性質(zhì)判斷即可．【規(guī)范解答】解：a．從圖形①到圖形②進(jìn)行了平移的是（2）（3）；故答案為：（2），（3）；b．從圖形①到圖形②進(jìn)行了軸對(duì)稱的是（1）（4）；故答案為：（1）（4）c．（2）是平移變換，圖①向左平移5個(gè)單位再向下平移3個(gè)單位得到圖②．（4）是軸對(duì)稱變換，對(duì)稱軸是x軸．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，平移變換的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，讀懂圖象信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．【變式訓(xùn)練2-1】（2023春?茌平區(qū)期末）在折紙游戲中，小穎將一張長(zhǎng)方形紙片ABCD按如圖所示方式折疊，AE、AF為折痕，點(diǎn)B、D折疊后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B′、D′，若∠B′AD′＝12°，則∠EAF的度數(shù)為39°．【思路點(diǎn)撥】利用角的和差以及軸對(duì)稱的性質(zhì)計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：∵∠B'AD'＝12°，∴2∠EAF＝90°﹣12°＝78°，∴∠EAF＝39°．故答案為：39°．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)和角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握角的和差計(jì)算．【變式訓(xùn)練2-2】（2023春?達(dá)川區(qū)校級(jí)期末）如圖，AC，BD在AB的同側(cè)，AC＝10，BD＝3，AB＝8，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，若∠CMD＝120°，則CD的最大值是17．【思路點(diǎn)撥】作點(diǎn)A關(guān)于CM的對(duì)稱點(diǎn)A'，點(diǎn)B關(guān)于DM的對(duì)稱點(diǎn)B'，由∠CMD＝120°，可推出△A'MB'為等邊三角形，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可推出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于CM的對(duì)稱點(diǎn)A'，點(diǎn)B關(guān)于DM的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接A'C，A'M，A'B'，MB'，B'D'，∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝60°，∴∠CMA'+DMB'＝60°，∴∠A'MB'＝60°，∵M(jìn)A'＝MB'，∴△A'MB'為等邊三角形，∵點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，AB＝8，∴AM＝4，∵CD≤CA'+A'B'+B'D＝CA+AM+BD＝10+4+3＝17，∴CD的最大值為17，故答案為：17．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，正確作出輔助線利用三角形的三邊關(guān)系求解是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2-3】（2023春?鄆城縣期末）如圖，四邊形ABCD沿直線l對(duì)折后互相重合，如果AD∥BC，有下列結(jié)論：①AB∥CD；②AB＝CD；③AB⊥BC；④AO＝OC．其中正確的結(jié)論是①②④．（把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上）【思路點(diǎn)撥】四邊形ABCD沿直線l對(duì)折后互相重合，即△ABC與△ADC關(guān)于l對(duì)稱，又有AD∥BC，則有四邊形ABCD為平行四邊形．根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知．【規(guī)范解答】解：因?yàn)閘是四邊形ABCD的對(duì)稱軸，AD∥BC，所以①AB∥CD，正確；②AB＝BC，正確；③AC⊥BD，錯(cuò)誤；④AO＝OC，正確．故正確的有①、②、④．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等，對(duì)應(yīng)的角、線段都相等．【典例精講】（2021秋?大同區(qū)校級(jí)期末）如圖，在3×3的正方形的網(wǎng)格中，格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形，圖中的△ABC為格點(diǎn)三角形，在圖中最多能畫出（）個(gè)格點(diǎn)三角形與△ABC成軸對(duì)稱．A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)分別確定出不同的對(duì)稱軸，然后作出軸對(duì)稱三角形即可得解【規(guī)范解答】解：如圖，最多能畫出6個(gè)格點(diǎn)三角形與△ABC成軸對(duì)稱．故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了利用軸對(duì)稱變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)并準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，本題難點(diǎn)在于確定出不同的對(duì)稱軸．【變式訓(xùn)練3-1】（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，∠AOB＝40°，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作P點(diǎn)關(guān)于直線OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)C，D，連接OP，OC，OD，CD，PC，PD．則（1）∠CPD的度數(shù)是140°；（2）∠OCD的度數(shù)是50°．【思路點(diǎn)撥】（1）先根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出OA是線段PC的垂直平分線，故可得出OP＝OC，∠COA＝∠POA＝∠COP，∠OCP＝∠OPC，同理可知∠POB＝∠DOB，∠OPD＝∠ODP，進(jìn)而可得出結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：（1）∵點(diǎn)P，C關(guān)于直線OA對(duì)稱，∴OP＝OC，∠COA＝∠POA＝∠COP，∴∠OCP＝∠OPC＝＝；同理可知∠POB＝∠DOB＝∠POD，∴∠OPD＝∠ODP＝＝，∵∠AOB＝40°，∴∠COP+∠POD＝2∠AOB＝80°，∴∠CPD＝∠OPC+∠OPD＝+＝＝＝140°．故答案為：140°．（2）∵點(diǎn)P，C關(guān)于直線OA對(duì)稱，點(diǎn)P，D關(guān)于直線OB對(duì)稱，∴OP＝OC，OP＝OD，∴OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC．由（1）知，∠COD＝∠COP+∠POD＝2∠AOB＝80°，∴∠OCD＝＝＝50°．故答案為：50°．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟知等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和等于180°是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3-2】（2017春?天橋區(qū)期中）如圖是由三個(gè)小正方形組成的圖形請(qǐng)你在圖中補(bǔ)畫一個(gè)小正方形使補(bǔ)畫后的圖形為軸對(duì)稱圖形，共有4種補(bǔ)法．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)軸對(duì)稱與對(duì)稱軸的定義，即可求得答案．【規(guī)范解答】解：如圖：補(bǔ)畫一個(gè)小正方形使補(bǔ)畫后的圖形為軸對(duì)稱圖形，共有4種補(bǔ)法．．故答案為：4．【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，此題難度適中，注意如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折，直線兩側(cè)的圖形能夠完全重合，這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形；對(duì)稱軸：折痕所在的這條直線叫做對(duì)稱軸．【變式訓(xùn)練3-3】（2023春?冷水灘區(qū)校級(jí)期末）如圖，在2×2的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．請(qǐng)分別在下列圖中畫一個(gè)位置不同、頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的三角形，使其與三角形ABC成軸對(duì)稱圖形，并用虛線標(biāo)出你設(shè)計(jì)圖形的所有對(duì)稱軸．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)設(shè)計(jì)圖形即可．【規(guī)范解答】解：所求圖形，如圖所示．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了作軸對(duì)稱圖形，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義作圖是解題的關(guān)鍵．【典例精講】（2023春?邯鄲月考）小蘭從鏡子中看到掛在她背后墻上的四個(gè)鐘如圖所示，其中時(shí)間最接近四點(diǎn)鐘的是（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)求解，在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱．【規(guī)范解答】解：經(jīng)過(guò)鏡面反射后，四點(diǎn)變?yōu)榘它c(diǎn)，那么答案應(yīng)該是最接近八點(diǎn)的圖形，故選：C．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查鏡面反射的原理與性質(zhì)．解決此類題應(yīng)認(rèn)真觀察，注意技巧．【變式訓(xùn)練4-1】（2022秋?公安縣期中）小明從平面鏡里看到鏡子對(duì)面電子鐘的示數(shù)的像如圖所示，這時(shí)的時(shí)刻應(yīng)是（）A．15：01 B．10：21 C．21：10 D．10：51【思路點(diǎn)撥】根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)求解，在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱來(lái)解答此題．【規(guī)范解答】解：方法一：將顯示的像數(shù)字依次左右互換并將每一個(gè)數(shù)字左右反轉(zhuǎn)，得到時(shí)間為15：01；方法二：將顯示的像后面正常讀數(shù)為15：01就是此時(shí)的時(shí)間．故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】考查了鏡面對(duì)稱，解決此類題應(yīng)認(rèn)真觀察，注意技巧．①平面鏡成像的特點(diǎn)之一就是左右上下互換，數(shù)字時(shí)鐘的像對(duì)應(yīng)的時(shí)間一般從后面讀數(shù)即為像對(duì)應(yīng)的時(shí)間，也可將數(shù)字左右互換，并將每一個(gè)數(shù)字左右反轉(zhuǎn)，即為像對(duì)應(yīng)的時(shí)間．②讀取時(shí)間問(wèn)題可以把試卷反過(guò)來(lái)直接去讀．【變式訓(xùn)練4-2】（2022秋?清河區(qū)校級(jí)期末）如圖是從鏡子里看到的號(hào)碼，則實(shí)際號(hào)碼應(yīng)是3265．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱；據(jù)此分析并作答．【規(guī)范解答】解：根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，關(guān)于鏡面對(duì)稱，又在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好順序顛倒，則這個(gè)號(hào)碼是3265．故答案為：3265．【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了鏡面對(duì)稱，正確理解對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意體會(huì)物體與鏡面平行放置和垂直放置的不同．【變式訓(xùn)練4-3】（2021秋?恩施市校級(jí)期末）一轎車的車牌在水中的倒影是，則該車的牌照號(hào)碼為鄂Q?W6E01．【思路點(diǎn)撥】直接利用鏡面對(duì)稱的性質(zhì)得出答案．【規(guī)范解答】解：如圖所示：該車的牌照號(hào)碼為鄂Q?W6E01．．故答案為：鄂Q?W6E01．【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了鏡面對(duì)稱，正確掌握鏡面對(duì)稱的定義是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4-4】如圖，兩平面鏡所成的角為θ．一束光線由點(diǎn)P發(fā)出，經(jīng)OB，OA兩次反射后回到點(diǎn)P．已知PQ∥OA，PR∥OB，判斷△OQR的形狀．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)反射易知∠BQP＝∠OQR，∠PRA＝∠ORQ，根據(jù)題中所給的平行可得到△OQR中三個(gè)角都等于60°，那么這個(gè)三角形為等邊三角形．【規(guī)范解答】解：∵PQ∥OA，∴∠BQP＝∠O＝θ．∴∠BQP＝∠OQR＝θ．又∵PR∥OB，∴∠PRA＝∠O＝θ，∴∠QRO＝∠PRA＝θ．∵∠QRO+∠OQR+∠QOR＝180°，∴3θ＝180°．∴θ＝60°．∴∠QRO＝∠QOR＝60°．∴△OQR是等邊三角形．【考點(diǎn)評(píng)析】需注意利用反射的性質(zhì)得到入射光線與水平線的夾角等于反射光線與水平線的夾角，利用平行的性質(zhì)把相應(yīng)的角轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形中求解．【典例精講】（2023春?宜城市期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，則重疊部分△AFC的面積為（）A．12 B．10 C．8 D．6【思路點(diǎn)撥】由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出∠FCA＝∠FAC，證出AF＝CF，設(shè)AF＝CF＝x，DF＝8﹣x，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理得出方程，解方程求出AF，△AFC的面積＝CF×AD，即可得出結(jié)果．【規(guī)范解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝8，AD＝BC＝4，∠D＝90°，AB∥DC，∴∠BAC＝∠FCA，由折疊的性質(zhì)得：∠FAC＝∠BAC，∴∠FCA＝∠FAC，∴AF＝CF，設(shè)AF＝CF＝x，DF＝8﹣x，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理得：AD2+DF2＝AF2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，∴△AFC的面積＝CF×AD＝×5×4＝10；故選：B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握翻折變換和矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5-1】（2023春?平南縣期末）如圖所示，△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB，AC邊翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝28：5：3，則∠α的度數(shù)為（）A．80° B．100° C．60° D．45°【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理易計(jì)算出∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠1＝∠BAE＝140°，∠E＝∠3＝15°，∠ACD＝∠E＝15°，可計(jì)算出∠EAC，然后根據(jù)∠α+∠E＝∠EAC+∠ACD，即可得到∠α＝∠EAC．【規(guī)范解答】解：設(shè)∠3＝3x，則∠1＝28x，∠2＝5x，∵∠1+∠2+∠3＝180°，∴28x+5x+3x＝180°，解得x＝5°，∴∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°，∵△ABE是△ABC沿著AB邊翻折180°形成的，∴∠1＝∠BAE＝140°，∠E＝∠3＝15°，∴∠EAC＝360°﹣∠BAE﹣∠BAC＝360°﹣140°﹣140°＝80°，又∵△ADC是△ABC沿著AC邊翻折180°形成的，∴∠ACD＝∠E＝15°，而∠α+∠E＝∠EAC+∠ACD，∴∠α＝∠EAC＝80°．故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等．也考查了三角形的內(nèi)角和定理以及周角的定義．【變式訓(xùn)練5-2】（2023春?圍場(chǎng)縣期末）把一張矩形ABCD紙片按如圖方式折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，點(diǎn)C與點(diǎn)F重合（E、F兩點(diǎn)均在BD上），折痕分別為BH、DG．若AB＝6cm，BC＝8cm，則線段FG的長(zhǎng)為3cm．【思路點(diǎn)撥】由折疊的性質(zhì)得到三角形CDG與三角形FDG全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到FD＝CD，F(xiàn)G＝CG，在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)，設(shè)FG＝x，表示出BG與BF，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到FG的長(zhǎng)．【規(guī)范解答】解：由折疊的性質(zhì)得：△CDG≌△FDG，∴FD＝CD＝AB＝6cm，F(xiàn)G＝CG，在Rt△BCD中，BC＝8cm，CD＝AB＝6cm，根據(jù)勾股定理得：BD＝＝10cm，在Rt△BGF中，設(shè)FG＝CG＝x，則有BG＝BC﹣CG＝（8﹣x）cm，BF＝BD﹣DF＝10﹣6＝4cm，根據(jù)勾股定理得：（8﹣x）2＝x2+42，整理得：﹣16x+64＝16，即16x＝48，解得：x＝3，則FG＝3cm，故答案為：3cm【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），勾股定理，利用了方程的思想，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5-3】（2023春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖①，凹四邊形ABCD形似圓規(guī)，這樣的四邊形稱為“規(guī)形”，（1）如圖①，在規(guī)形ABCD中，若∠A＝80°，∠BDC＝130°，∠ACD＝30°，則∠ABD＝20°；（2）如圖②，將△ABC沿DE，EF翻折，使其頂點(diǎn)A，B均落在點(diǎn)O處，若∠CDO+∠CFO＝72°，則∠C＝54°；（3）如圖③，在規(guī)形ABCD中，∠BAC、∠BDC的角平分線AE、DE交于點(diǎn)E，且∠B＞∠C，試探究∠B，∠C，∠E之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）連接AD，并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，知∠3＝∠1+∠B、∠4＝∠2+∠C，相加可得∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，據(jù)此可得答案；（2）由折疊的性質(zhì)可得∠A＝∠DOE，∠B＝∠EOF，可得∠DOF＝∠A+∠B，由三角形內(nèi)角和定理可得∠A+∠B＝180°﹣∠C，即可求∠C的度數(shù)；（3）由（1）知∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，根據(jù)角平分線知∠3＝∠BDC＝（∠BAC+∠B+∠C），結(jié)合∠E＝∠5﹣∠3、∠5＝∠1+∠B，根據(jù)∠E＝∠1+∠B﹣∠3可得答案．【規(guī)范解答】解：（1）如圖1，連接AD，并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，則∠3＝∠1+∠B、∠4＝∠2+∠C，∴∠3+∠4＝∠1+∠2+∠B+∠C，即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，∵∠A＝80°，∠BDC＝130°，∠ACD＝30°，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠BAC﹣∠ACD＝20°，故答案為：20；（2）∵將△ABC沿DE，EF翻折，頂點(diǎn)A，B均落在點(diǎn)O處，∴∠A＝∠DOE，∠B＝∠EOF，∴∠DOF＝∠A+∠B，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+∠B＝180°﹣∠C，∵∠DOF＝∠C+∠CDO+∠CFO＝180°﹣∠C，∴∠C+72°＝180°﹣∠C，∴∠C＝54°．（3）∠E＝∠B﹣∠C．理由：如圖3，由（1）知∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，∵DE平分∠BDC，∴∠3＝∠BDC＝（∠BAC+∠B+∠C），∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠BAC，∵∠E＝∠5﹣∠3，∠5＝∠1+∠B，∴∠E＝∠1+∠B﹣∠3＝∠BAC+∠B﹣∠BDC＝∠BAC+∠B﹣（∠BAC+∠B+∠C）＝∠B﹣∠C，即∠E＝∠B﹣∠C．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5-4】（2022秋?洛陽(yáng)期末）如圖，在等腰△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，折疊∠ABC使得點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕交AB、BC、BD于點(diǎn)E、F、G，連接CE交BD于點(diǎn)H．（1）求證：BH＝AC；（2）連接GC，若∠BGC＝2∠A，CD＝5，求GD的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）由折疊的性質(zhì)可得EB＝EC，∠BCE＝∠ABC＝45°，EF垂直平分BC，由“ASA”可證△BEH≌△CEA，可得結(jié)論；（2）通過(guò)證明∠DCG＝∠DGC，可求GD＝CD＝5．【規(guī)范解答】（1）證明：∵折疊，∴CE＝BE，∠ECB＝∠CBA＝45°，EF垂直平分BC，∵∠CEB＝∠CEA＝90°，∵CB＝AB，∠ABC＝45°．∴．∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝22.5°，∵BD平分∠ABC．∴．∴∠EBH＝∠ACE．在△BEH和△CEA中，，∴△BEH≌△CEA（ASA），∴BH＝AC．（2）解：∵∠BGC＝2∠A＝135°，∴∠DGC＝45°，∵EF垂直平分BC，∴GC＝GB，∴∠GCB＝∠GBC＝22.5°，∴∠DCG＝∠ACB﹣∠GCB＝45°，∴∠DCG＝∠DGC，∴GD＝CD＝5．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了翻折變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【典例精講】（2022秋?南陽(yáng)期末）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E．若△ABC的面積為26，AB＝8，BC＝5，則DE的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路點(diǎn)撥】作DF⊥BC于F，如圖，根據(jù)角平分線的定義得到DE＝DC，再利用三角形面積公式得到×6×DF+×8×DE＝26，然后求出DE的長(zhǎng)．【規(guī)范解答】解：作DF⊥BC于F，如圖，∵BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∵S△ABC＝S△ABD+S△CBD，∴×5×DF+×8×DE＝26，∴DE＝26，∴DE＝4．故選：D．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．【變式訓(xùn)練6-1】（2023春?招遠(yuǎn)市期末）如圖，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分線CP、AP交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF．則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)（）①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【思路點(diǎn)撥】過(guò)P作PQ⊥AC于Q，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PQ＝PN，PQ＝PM，求出PQ＝PM＝PN，求出∠PMA＝∠PNC＝∠PQA＝∠PQC＝90°，根據(jù)全等三角形的判定得出Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，再逐個(gè)判斷即可．【規(guī)范解答】解：過(guò)P作PQ⊥AC于Q，∵∠ACF、∠EAC的角平分線CP、AP交于點(diǎn)P，PM⊥BE，PN⊥BF，∴PM＝PQ，PQ＝PN，∴PM＝PN，∴P在∠ABC的角平分線上，即BP平分∠ABC，故①正確；∵PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，∴∠PMA＝∠PQA＝90°，∠PQC＝∠PNC＝90°，在Rt△PMA和Rt△PQA中，，∴Rt△PMA≌Rt△PQA（HL），∴∠MPA＝∠QPA，同理Rt△PQC≌Rt△PNC，∴∠QPC＝∠NPC，∵∠PMA＝∠PNC＝90°，∴∠ABC+∠MPN＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ABC+2∠APC＝180°，故②正確；∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC，∴∠FCA＝∠ABC+∠CAB＝2∠PCN，又∵∠PCN＝∠ABC+∠CPB，∴∠ABC+∠CAB＝2（∠ABC+∠CPB），∴∠CAB＝2∠CPB，故③正確；∵Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，∴S△PAC＝S△MAP+S△NCP，故④正確；即正確的個(gè)數(shù)是4，故選：D．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了角平分線的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練6-2】（2023春?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．（1）如圖1，若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BDC的度數(shù)．（2）如圖2，連接AD，作DE⊥AB，DE＝1，AC＝4，求△ADC的面積．【思路點(diǎn)撥】（1）先根據(jù)角平分線的定義得到∠DBC＝30°，∠DCB＝20°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算∠BDC的度數(shù)；（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如圖2，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DH＝DE＝DF＝2，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算△ADC的面積．【規(guī)范解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣30°﹣20°＝130°；（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如圖2，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，∴DH＝DE＝2，∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，∴DF＝DH＝1，∴△ADC的面積＝DF?AC＝×1×4＝2．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．【變式訓(xùn)練6-3】（2023春?萬(wàn)源市校級(jí)期末）如圖，△ABC與△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，過(guò)A作AF⊥DE垂足為F，DE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接AG．（1）求證：GA平分∠DGB；（2）若S四邊形DGBA＝6，AF＝，求FG的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）先過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，判定△ABC≌△AED，得出AF＝AH，再判定Rt△AFG≌Rt△AHG，即可得出∠AGF＝∠AGH；（2）先判定Rt△ADF≌Rt△ABH，得出S四邊形DGBA＝S四邊形AFGH＝6，再根據(jù)Rt△AFG≌Rt△AHG，求得Rt△AFG的面積＝3，進(jìn)而得到FG的長(zhǎng)．【規(guī)范解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，∵△ABC與△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴S△ABC＝S△AED，又∵AF⊥DE，即×DE×AF＝×BC×AH，∴AF＝AH，又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AG＝AG，∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL），∴∠AGF＝∠AGH，即GA平分∠DGB；（注：由AF＝AH，AF⊥DE，AH⊥BC，也可以直角得到GA平分∠DGB．）（2）∵△ABC≌△ADE，∴AD＝AB，又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AF＝AH，∴Rt△ADF≌Rt△ABH（HL），∴S四邊形DGBA＝S四邊形AFGH＝6，∵Rt△AFG≌Rt△AHG，∴Rt△AFG的面積＝3，∵AF＝，∴×FG×＝3，解得FG＝4．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，解題時(shí)注意：全等三角形的面積相等．【典例精講】（2022秋?梁子湖區(qū)期末）如圖：DE是△ABC中AC邊的垂直平分線，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，則△EBC的周長(zhǎng)為（）厘米．A．16 B．18 C．26 D．28【思路點(diǎn)撥】利用線段垂直平分線的性質(zhì)得AE＝CE，再等量代換即可求得三角形的周長(zhǎng)．【規(guī)范解答】解：∵DE是△ABC中AC邊的垂直平分線，∴AE＝CE，∴△EBC的周長(zhǎng)＝BC+BE+CE＝BC+BE+CE＝BC+AB＝10+8＝18（厘米），故選：B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．【變式訓(xùn)練7-1】（2023?武安市二模）如圖，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，點(diǎn)O是AC、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，連接AO、BO，若∠AOB＝α，則∠AIB的大小為（）A．α B．α+90° C．α+90° D．180°+α【思路點(diǎn)撥】連接CO并延長(zhǎng)至D，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OA＝OC，OB＝OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到（∠OCA+∠OCB）＝α．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠IAB+∠IBA＝180°﹣∠AIB，根據(jù)角平分線的定義得到∠IAB+∠IBA＝90°﹣，求出∠AIB，【規(guī)范解答】解：連接CO并延長(zhǎng)至D，∵點(diǎn)O是AC、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，∴OA＝OC，OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∵∠AOD是△AOC的一個(gè)外角，∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，同理，∠BOD＝2∠OCB，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝α，∴∠OCA+∠OCB＝，∴∠ACB＝，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，∴∠IAB+∠IBA＝（∠CAB+∠CBA）＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣，∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）＝90°+，故選：B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練7-2】（2022秋?路北區(qū)校級(jí)期末）如圖，DP所在直線是BC的垂直平分線，垂足是點(diǎn)P，DP與∠BAC的平分線相交于點(diǎn)D，若∠BAC＝86°，則∠BDC＝94度．【思路點(diǎn)撥】先過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于E，DF⊥AC于F，易證得△DEB≌△DFC（HL），即可得∠BDC＝∠EDF，又由∠EAF+∠EDF＝180°，即可求得答案．【規(guī)范解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC于F，∵AD是∠BOC的平分線，∴DE＝DF，∵DP是BC的垂直平分線，∴BD＝CD，在Rt△DEB和Rt△DFC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）．∴∠BDE＝∠CDF，∴∠BDC＝∠EDF，∵∠DEB＝∠DFC＝90°，∴∠EAF+∠EDF＝180°，∵∠BAC＝86°，∴∠BDC＝∠EDF＝94°，故答案為：94．【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題注意掌握輔助線的作法，掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．30．（2023?鄞州區(qū)模擬）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是邊AB的垂直平分線，D為垂足，DE交AC于點(diǎn)，且AB＝8，BC＝6，則△BEC的周長(zhǎng)是16．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【規(guī)范解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，∵DE是邊AB的垂直平分線，∴EA＝EB，∴△BEC的周長(zhǎng)＝BC+EC+BE＝BC+EC+EA＝BC+AC＝16，故答案為：16．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練7-3】（2023春?萬(wàn)源市校級(jí)期末）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點(diǎn)F、G，BC＝8．求△AEG周長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，利用線段垂直平分線定理得到AE＝BE，AG＝CG，等量代換即可求出所求．【規(guī)范解答】解：∵△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點(diǎn)F、G，∴AE＝BE，AG＝CG，∵BC＝BE+EG+CG＝8，∴AE+EG+AG＝8，則△AEG的周長(zhǎng)為8．【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【典例精講】（2022秋?合肥期末）如圖，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC，交AB于點(diǎn)E．（1）若AE＝4，則DE的長(zhǎng)為4；（2）若AB＝10，則DE的長(zhǎng)為5．【思路點(diǎn)撥】（1）證明∠EAD＝∠EDA，此為解題的關(guān)鍵性結(jié)論；證明∠EAD＝∠EDA，即可解決問(wèn)題．（2）證明DE為直角△ABD斜邊的中線，即可解決問(wèn)題．【規(guī)范解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE∥AC，∴∠EAD＝∠CAD，∠EDA＝∠CAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴DE＝AE＝4，故答案為：4；（2）∵BD⊥AD，∠EAD＝∠EDA，∴∠EBD+∠EAD＝∠BDE+∠EDA，∴∠EBD＝∠BDE，∴DE＝BE．∵∠EAD＝∠EDA，∴DE＝AE，∵DE＝BE，∴DE＝AB＝×10＝5．故答案為：5．【考點(diǎn)評(píng)析】該題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用問(wèn)題；靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、判斷是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練8-1】（2022秋?天山區(qū)校級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，∠DAB的平分線交BC于點(diǎn)E，DE⊥AE，若AD＝12，BC＝8，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．32 B．20 C．16 D．28【思路點(diǎn)撥】延長(zhǎng)AB、DE相交于點(diǎn)F，根據(jù)△AED≌△AEF得到DE＝EF，AD＝AF，再證明△DEC≌△FEB得到DC＝BF，從而推算出四邊形ABCD的周長(zhǎng)等于2AD+BC得到答案．【規(guī)范解答】解：如圖所示，延長(zhǎng)AB、DE相交于點(diǎn)F，∵∠DAB的平分線交BC于點(diǎn)E，∴∠DAE＝∠FAE，∵DE⊥AE，∴∠AED＝∠AEF＝90°，∵AE＝AE，∴△AED≌△AEF（SAS），∴DE＝EF，AD＝AF，∵AB∥DC，∴∠CDE＝∠EFB，在△DEC和△FEB中，，∴△DEC≌△FEB（ASA），∴DC＝BF，∵AB+DC＝AB+BF＝AF＝12，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)為AD+AB+BC+DC＝AD+AF+BC＝12+12+8＝32，故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查全等三角形、平行線和角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形、平行線和角平分線的相關(guān)知識(shí)．【變式訓(xùn)練8-2】（2023春?淄博期末）如圖，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，則CD等于（）A．3cm B．4cm C．1.5cm D．2cm【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，可得∠AOC＝∠BOC，又因?yàn)镃D∥OB，求得∠C＝∠AOC，則CD＝OD可求．【規(guī)范解答】解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC；又∵CD∥OB，∴∠C＝BOC，∴∠C＝∠AOC；∴CD＝OD＝3cm．故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了等腰三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及平行線的性質(zhì)，注意等腰三角形的判定定理：等角對(duì)等邊．【變式訓(xùn)練8-3】（2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC中，D為AC中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，連接DE，且∠ABC＝2∠DEC，若AB＝7，CE＝12，則BC的長(zhǎng)度為17．【思路點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)A作AF∥DE，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，利用已知條件可得△BAF為等腰三角形，則BF可求；利用三角形的中位線定理可得FE＝EC＝12，則BE可求，BC＝EC+BE，結(jié)論可得．【規(guī)范解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AF∥DE，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖，則∠F＝∠DEC，∵∠ABC＝∠F+∠BAF，∴∠ABC＝∠DEC+∠BAF，∵∠ABC＝2∠DEC，∴∠DEC＝∠BAF．∴∠F＝∠BAF．∴BF＝BA＝7．∵AF∥DE，D為AC中點(diǎn)，∴FE＝EC＝12．∴BE＝FE﹣BF＝12﹣7＝5．∴BC＝EC+BE＝12+5＝17．故答案為：17．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，三角形的內(nèi)角和定理的推論，過(guò)點(diǎn)A作AF∥DE，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，構(gòu)造等腰三角形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練8-4】（2023春?大竹縣校級(jí)期末）（1）如圖1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，過(guò)點(diǎn)D作EF∥BC，分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，則圖中共有5個(gè)等腰三角形；EF與BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系是BE+CF＝EF，△AEF的周長(zhǎng)是20（2）如圖2，若將（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改為“若△ABC為不等邊三角形，AB＝8，AC＝10”其余條件不變，則圖中共有2個(gè)等腰三角形；EF與BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系是什么？證明你的結(jié)論，并求出△AEF的周長(zhǎng)（3）已知：如圖3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，則EF與BE、CF之間又有何數(shù)量關(guān)系呢？直接寫出結(jié)論不證明．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，然后求出∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得BE＝DE，CF＝DF，然后解答即可；（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，然后求出∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得BE＝DE，CF＝DF，然后解答即可；（3）由（2）知BE＝ED，CF＝DF，然后利用等量代換即可證明BE、CF、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系．【規(guī)范解答】解：（1）BE+CF＝EF．理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，∴∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，∴BE＝DE，CF＝DF，AE＝AF，∴等腰三角形有△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC共5個(gè)，∴BE+CF＝DE+DF＝EF，即BE+CF＝EF，△AEF的周長(zhǎng)＝AE+EF+AF＝AE+BE+AF+FC＝AB+AC＝20．故答案為：5；BE+CF＝EF；20；（2）BE+CF＝EF，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，∴BE＝DE，CF＝DF，∴等腰三角形有△BDE，△CFD，∴BE+CF＝DE+DF＝EF，即BE+CF＝EF．可得△AEF的周長(zhǎng)為18．（3）BE﹣CF＝EF，由（1）知BE＝ED，∵EF∥BC，∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD，∴CF＝DF，又∵ED﹣DF＝EF，∴BE﹣CF＝EF．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查的是等腰三角形的性質(zhì)和判斷，熟練掌握等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【典例精講】（2023春?寧波期末）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，點(diǎn)F在BC延長(zhǎng)線上，且EB＝EF，若BD＝4，BF＝8，則線段DE的長(zhǎng)為2．【思路點(diǎn)撥】過(guò)E點(diǎn)作EH⊥BF，設(shè)DE＝x，根據(jù)△ABC是等邊三角形，DE∥BC，得到△ADE是等邊三角形，已知BD＝4，得到EC＝BD＝4，AB＝BC＝AC＝4+x，∠ACB＝60°，在Rt△CHE中，求得CH＝2，表示出BH＝2+x，根據(jù)△EBF是等腰三角形，BF＝8，得到BH＝FH＝4，即可求得線段DE的長(zhǎng)．【規(guī)范解答】解：過(guò)E點(diǎn)作EH⊥BF，設(shè)DE＝x，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC＝60°，∠AED＝∠ACB＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∵BD＝4，∴EC＝BD＝4，AB＝BC＝AC＝4+x，∠ACB＝60°，在Rt△CHE中，∵∠ACB＝60°，EC＝BD＝4，∴∠HEC＝180°﹣∠ACB﹣∠EHC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴，∴BH＝BC﹣CH＝4+x﹣2＝2+x，∵EB＝EF，∴△EBF是等腰三角形，∵EH⊥BF，BF＝8，∴BH＝FH＝4，∴2+x＝4，∴x＝2，∴DE＝2．故答案為：2．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，含有30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練9-1】（2023春?淄博期末）如圖，D是等邊△ABC的邊AC上的一點(diǎn)，E是等邊△ABC外一點(diǎn)，若BD＝CE，∠1＝∠2，則對(duì)△ADE的形狀最準(zhǔn)確的是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．不等邊三角形【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)已知利用SAS判定△ABD≌△ACE得出AD＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，從而推出△ADE是等邊三角形．【規(guī)范解答】解：∵三角形ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∵BD＝CE，∠1＝∠2，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴△ADE是等邊三角形．故選：C．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了等邊三角形的判定和全等三角形的判定方法，掌握等邊三角形的判定和全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵，做題時(shí)要對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)靈活運(yùn)用．【變式訓(xùn)練9-2】．（2023?廬陽(yáng)區(qū)模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，且BD＝CD．點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，且∠EDF＝90°，M為邊EF的中點(diǎn)，連接CM交DF于點(diǎn)N．若DF∥AB，則CM的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等邊三角形邊長(zhǎng)為2，在Rt△BDE中求得DE的長(zhǎng)，再根據(jù)CM垂直平分DF，在Rt△CDN中求得CN，最后根據(jù)線段和可得CM的長(zhǎng)．【規(guī)范解答】解：∵等邊三角形邊長(zhǎng)為2，BD＝CD，∴BD＝，CD＝，∵等邊三角形ABC中，DF∥AB，∴∠FDC＝∠B＝60°，∵∠EDF＝90°，∴∠BDE＝30°，∴DE⊥BE，∴∠BED＝90°，∵∠B＝60°，∴∠BDE＝30°，∴BE＝BD＝，∴DE＝＝，如圖，連接DM，則Rt△DEF中，DM＝EF＝FM，∵∠FDC＝∠FCD＝60°，∴△CDF是等邊三角形，∴CD＝CF＝，∴CM垂直平分DF，∴∠DCN＝30°，DN＝FN，∴Rt△CDN中，DN＝，CN＝，∵M(jìn)為EF的中點(diǎn)，∴MN＝DE＝，∴CM＝CN+MN＝+＝，故選：C．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了三角形的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定等．熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練9-3】（2023春?開江縣校級(jí)期末）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng)．（1）當(dāng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是1cm/s，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是2cm/s，當(dāng)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），當(dāng)t＝2時(shí)，判斷△BPQ的形狀，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)它們的速度都是1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），則當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形？【思路點(diǎn)撥】（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得：AB＝6cm，∠B＝60°，當(dāng)t＝2時(shí)，計(jì)算BP和BQ的長(zhǎng)，根據(jù)等邊三角形的判定可得結(jié)論；（2）若△PBQ是直角三角形，則∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，根據(jù)直角三角形含30度角的性質(zhì)列方程可解答．【規(guī)范解答】解：（1）如圖，根據(jù)題意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，當(dāng)t＝2時(shí)，AP＝2cm，BQ＝4cm，∵△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，∴AB＝6cm，∠B＝60°，∴BP＝4cm，∴BP＝BQ，∴△BPQ是等邊三角形；（2）△PBQ中，BP＝6﹣t，BQ＝t，若△PBQ是直角三角形，則∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，①當(dāng)∠BQP＝90°時(shí)，∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴BQ＝BP，即t＝，解得：t＝2；②當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，同理得：BP＝BQ，即6﹣t＝t，解得：t＝4，答：當(dāng)t＝2s或t＝4s時(shí)，△PBQ是直角三角形．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了直角三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握直角三角形含30度角的性質(zhì)是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練9-4】（2022秋?青秀區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，△ABC、△CDE都是等邊三角形，AD、BE相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別是線段AD、BE的中點(diǎn)．（1）求證：AD＝BE；（2）求∠DOE的度數(shù)；（3）求證：△MNC是等邊三角形．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，求出∠ACD＝∠BCE，證△ACD≌△BCE即可；（2）根據(jù)全等求出∠ADC＝∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可；（3）求出AM＝BN，根據(jù)SAS證△ACM≌△BCN，推出CM＝CN，求出∠NCM＝60°即可．【規(guī)范解答】解：（1）∵△ABC、△CDE都是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE．（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵等邊三角形DCE，∴∠CED＝∠CDE＝60°，∴∠ADE+∠BED＝∠ADC+∠CDE+∠BED，＝∠ADC+60°+∠BED，＝∠CED+60°，＝60°+60°，＝120°，∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°，答：∠DOE的度數(shù)是60°．（3）證明：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC又∵點(diǎn)M、N分別是線段AD、BE的中點(diǎn)，∴AM＝AD，BN＝BE，∴AM＝BN，在△ACM和△BCN中，∴△ACM≌△BCN，∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，又∠ACB＝60°，∴∠ACM+∠MCB＝60°，∴∠BCN+∠MCB＝60°，∴∠MCN＝60°，∴△MNC是等邊三角形．【考點(diǎn)評(píng)析】本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行推理，此題綜合性比較強(qiáng)，有一定的代表性．【典例精講】（2022秋?盤山縣期末）如圖，在△ABC中，∠ACB為直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D．若BD＝1，則AB＝4．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)∠ACB為直角，∠A＝30°，求出∠B的度數(shù)，再根據(jù)CD⊥AB于D，求出∠DCB＝30°，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可直接求出答案．【規(guī)范解答】解：∵∠ACB為直角，∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，∵CD⊥AB于D，∴∠DCB＝90°﹣∠B＝30°，∴AB＝2BC，BC＝2BD，∴AB＝4BD＝4．故答案為：4．【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查學(xué)生對(duì)含30度角的直角三角形的性質(zhì)這一知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題的突破點(diǎn)是利用∠ACB為直角和CD⊥AB于D，求出∠DCB＝90°﹣∠B＝30°．【變式訓(xùn)練10-1】（2023春?定州市期末）在Rt△ABC中，∠C＝30°，斜邊AC的長(zhǎng)為5cm，則AB的長(zhǎng)為（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【思路點(diǎn)撥】由題意可得，∠B是直角，AB＝AC，直接代入即可求得AB的長(zhǎng)．【規(guī)范解答】解：∵△ABC為直角三角形，∠C＝30°，∴AB＝AC＝2.5cm．故選：B．【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查的是直角三角形的性質(zhì)，30°的直角邊所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．【變式訓(xùn)練10-2】（2022秋?盤山縣期末）如圖，OC平分∠AOB，且∠AOB＝60°，點(diǎn)P為OC上任意點(diǎn)，PM⊥OA于M，PD∥OA，交OB于D，若OM＝3，則PD的長(zhǎng)為（）A．2 B．1.5 C．3 D．2.5【思路點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)P作PN⊥OB于N，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得PN＝PM，根據(jù)角平分線的定義求出∠AOC＝30°，然后求出PM，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠PDN＝60°，求出∠DPN＝30°，再求解即可．【規(guī)范解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥OB于N，∵OC平分∠AOB，PM⊥OA，∴PN＝PM，∵OC平分∠AOB，且∠AOB＝60°，∴∠AOC＝∠AOB＝×60°＝30°，∵OM＝3，∴PM＝3×＝，∵PD∥OA，∴∠PDN＝∠AOB＝60°，∴∠DPN＝90°﹣60°＝30°，∴PD＝÷＝2．故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，解直角三角形以及平行線的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練10-3】（2023春?蒲城縣期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠BAC＝120°，M是BC的中點(diǎn)，MN⊥AB，垂足為點(diǎn)N，D是BM的中點(diǎn)，連接AD，過(guò)點(diǎn)B作BC的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若BE＝6，則BN的長(zhǎng)為9．【思路點(diǎn)撥】連接AM，由△BDE≌△MDA，可證AM＝BE＝6，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABM＝∠ACM＝30°，然后根據(jù)含30°角的三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可．【規(guī)范解答】解：連接AM，∵∠ABC＝∠C，∴AB＝AC，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴AM⊥BC．∵M(jìn)N⊥AB，∴∠AMD＝∠DBE＝90°．∵D是BM的中點(diǎn)，∴BD＝DM．∵∠BDE＝∠ADM，∴△BDE≌△MDA（ASA），∴AM＝BE＝6．∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABM＝∠ACM＝30°，∴AB＝2AM＝12，∴．∵∠ABM＝30°，∴，∴．故答案為：9．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形和30°角的直角三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練10-4】（2022秋?棗陽(yáng)市期末）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分線BE交AC于點(diǎn)E．點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，且AD＝AC，CD，BE交于點(diǎn)M．（1）求∠DMB的度數(shù)；（2）若CH⊥BE于點(diǎn)H，AB＝16，求MH的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可得∠ABC的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義可得∠ABE的度數(shù)，根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形的內(nèi)角和定理可得∠ADC的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠DMB的度數(shù)；（2）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，可得AB＝2BC，BC＝2CH，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得CH＝MH，進(jìn)而即可得出AB＝4MH，即可得出答案．【規(guī)范解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BE是∠ABC的角平分線，∴∠ABE＝∠CBE＝30°，∵∠A＝30°，AC＝AD，∴，∴∠DMB＝∠ADC﹣∠ABE＝45°；（2）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∵CH⊥BE，∠CBE＝30°，∴BC＝2CH，∴AB＝4CH，∵∠CMH＝∠DMB＝45°，在Rt△CHM中，∠HCM＝90°﹣∠CMH＝45°，∴∠CMH＝∠HCM，∴CH＝MH，∴AB＝4MH．∵AB＝16，∴．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了直角三角形的兩個(gè)銳角互余，角平分線的定義，等邊對(duì)等角以及三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【典例精講】（2023春?益陽(yáng)期末）如圖，在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中點(diǎn)，連接AO、DO．若AO＝3，則DO的長(zhǎng)為3．【思路點(diǎn)撥】利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【規(guī)范解答】解：在Rt△BAC和Rt△BDC中，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中點(diǎn)，∴AO＝BC，DO＝BC，∴DO＝AO，∵AO＝3，∴DO＝3，故答案為3．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．【變式訓(xùn)練11-1】（2023春?高新區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，BE⊥AC于E，與CD相交于點(diǎn)F，H是BC邊的中點(diǎn)，連接DH與BE相交于點(diǎn)G，下列結(jié)論：①；②∠A＝67.5°；③△DGF是等腰三角形；④S四邊形ADGE＝S四邊形GHCE．正確的有（）個(gè)．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)角平分線的定義求出∠BAE＝∠CBE，求出BD＝CD，