數(shù)理統(tǒng)計課件-方差分析

如某種農(nóng)作物的收獲量受作物品種、肥料種類及數(shù)量等的影響；選擇不同的品種、肥料種類及數(shù)量進(jìn)行試驗(yàn)，日常生活中經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，影響一個事物的因素很多，希望找到影響最顯著的因素第一頁第二頁，共82頁?？茨囊粋€影響大？并需要知道起顯著作用的因素在什么時候起最好的影響作用。方差分析就是解決這些問題的一種有效方法。第二頁第三頁，共82頁。

ANOVA由英國統(tǒng)計學(xué)家R.A.Fisher首創(chuàng)，為紀(jì)念Fisher，以F命名，故方差分析又稱F檢驗(yàn)（Ftest）。用于推斷多個總體均數(shù)有無差異第三頁第四頁，共82頁。因素（因子）——可以控制的試驗(yàn)條件因素的水平——因素所處的狀態(tài)或等級單（雙）因素方差分析——討論一個（兩個）因素對試驗(yàn)結(jié)果有沒有顯著影響。第四頁第五頁，共82頁。例如：某廠對某種晴棉漂白工藝中酸液濃度（g/k）進(jìn)行試驗(yàn)，以觀察酸液濃度對汗布沖擊強(qiáng)力有無顯著影響。序號沖擊強(qiáng)力濃度123456A116.215.115.814.817.115.0

A216.817.517.115.918.417.7A319.020.118.918.220.519.7方差分析就是把總的試驗(yàn)數(shù)據(jù)的波動分成1、反映因素水平改變引起的波動。2、反映隨機(jī)因素所引起的波動。然后加以比較進(jìn)行統(tǒng)計判斷，得出結(jié)論。第五頁第六頁，共82頁。第一節(jié)方差分析的基本問題一、方差分析的內(nèi)容二、方差分析的基本思想三、方差分析的原理第六頁第七頁，共82頁。一、方差分析的內(nèi)容

該飲料在五家超市的銷售情況超市無色粉色橘黃色綠色1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8（一）例題

某飲料生產(chǎn)企業(yè)研制出一種新型飲料。飲料的顏色共有四種，分別為橘黃色、粉色、綠色和無色透明。這四種飲料的營養(yǎng)含量、味道、價格、包裝等可能影響銷售量的因素全部相同?，F(xiàn)從地理位置相似、經(jīng)營規(guī)模相仿的五家超級市場上收集了前一時期該飲料的銷售情況，見表。試分析飲料的顏色是否對銷售量產(chǎn)生影響。第七頁第八頁，共82頁。一、方差分析的內(nèi)容（二）幾個基本概念因素或因子所要檢驗(yàn)的對象稱為因子要分析飲料的顏色對銷售量是否有影響，顏色是要檢驗(yàn)的因素或因子水平因素的具體表現(xiàn)稱為水平A1、A2、A3、A4四種顏色就是因素的水平觀察值在每個因素水平下得到的樣本值每種顏色飲料的銷售量就是觀察值第八頁第九頁，共82頁。一、方差分析的內(nèi)容試驗(yàn)這里只涉及一個因素，因此稱為單因素四水平的試驗(yàn)總體因素的每一個水平可以看作是一個總體比如A1、A2、A3、A4四種顏色可以看作是四個總體樣本數(shù)據(jù)上面的數(shù)據(jù)可以看作是從這四個總體中抽取的樣本數(shù)據(jù)第九頁第十頁，共82頁。（一）比較兩類誤差，以檢驗(yàn)均值是否相等（二）比較的基礎(chǔ)是方差比（三）如果系統(tǒng)(處理)誤差顯著地不同于隨機(jī)誤差，則均值就是不相等的；反之，均值就是相等的（四）誤差是由各部分的誤差占總誤差的比例來測度的二、方差分析的基本思想第十頁第十一頁，共82頁。三、方差分析的原理（一）兩類誤差隨機(jī)誤差在因素的同一水平(同一個總體)下，樣本的各觀察值之間的差異比如，同一種顏色的飲料在不同超市上的銷售量是不同的不同超市銷售量的差異可以看成是隨機(jī)因素的影響，或者說是由于抽樣的隨機(jī)性所造成的，稱為隨機(jī)誤差

系統(tǒng)誤差在因素的不同水平(不同總體)下，各觀察值之間的差異比如，同一家超市，不同顏色飲料的銷售量也是不同的這種差異可能是由于抽樣的隨機(jī)性所造成的，也可能是由于顏色本身所造成的，后者所形成的誤差是由系統(tǒng)性因素造成的，稱為系統(tǒng)誤差第十一頁第十二頁，共82頁。三、方差分析的原理（二）兩類方差組內(nèi)方差因素的同一水平(同一個總體)下樣本數(shù)據(jù)的方差比如，無色飲料A1在5家超市銷售數(shù)量的方差組內(nèi)方差只包含隨機(jī)誤差組間方差因素的不同水平(不同總體)下各樣本之間的方差比如，A1、A2、A3、A4四種顏色飲料銷售量之間的方差組間方差既包括隨機(jī)誤差，也包括系統(tǒng)誤差第十二頁第十三頁，共82頁。三、方差分析的原理（三）方差的比較如果不同顏色(水平)對銷售量(結(jié)果)沒有影響，那么在組間方差中只包含有隨機(jī)誤差，而沒有系統(tǒng)誤差。這時，組間方差與組內(nèi)方差就應(yīng)該很接近，兩個方差的比值就會接近1。如果不同的水平對結(jié)果有影響，在組間方差中除了包含隨機(jī)誤差外，還會包含有系統(tǒng)誤差，這時組間方差就會大于組內(nèi)方差，組間方差與組內(nèi)方差的比值就會大于1。當(dāng)這個比值大到某種程度時，就可以說不同水平之間存在著顯著差異。第十三頁第十四頁，共82頁。三、方差分析的原理（四）基本假定每個總體都應(yīng)服從正態(tài)分布對于因素的每一個水平，其觀察值是來自服從正態(tài)分布總體的簡單隨機(jī)樣本比如，每種顏色飲料的銷售量必需服從正態(tài)分布各個總體的方差必須相同對于各組觀察數(shù)據(jù)，是從具有相同方差的總體中抽取的比如，四種顏色飲料的銷售量的方差都相同觀察值是獨(dú)立的比如，每個超市的銷售量都與其他超市的銷售量獨(dú)立第十四頁第十五頁，共82頁。三、方差分析的原理在上述假定條件下，判斷顏色對銷售量是否有顯著影響，實(shí)際上也就是檢驗(yàn)具有同方差的四個正態(tài)總體的均值是否相等的問題如果四個總體的均值相等，可以期望四個樣本的均值也會很接近1、四個樣本的均值越接近，我們推斷四個總體均值相等的證據(jù)也就越充分2、樣本均值越不同，我們推斷總體均值不同的證據(jù)就越充分第十五頁第十六頁，共82頁。三、方差分析的原理3、如果原假設(shè)成立，即H0:m1=m2=m3=m4四種顏色飲料銷售的均值都相等沒有系統(tǒng)誤差

這意味著每個樣本都來自均值為

、差為

2的同一正態(tài)總體

Xf(X)

1

2

3

4

第十六頁第十七頁，共82頁。三、方差分析的原理4、如果備擇假設(shè)成立，即H1:mi(i=1，2，3，4)不全相等至少有一個總體的均值是不同的有系統(tǒng)誤差這意味著四個樣本分別來自均值不同的四個正態(tài)總體

Xf(X)

3

1

2

4

第十七頁第十八頁，共82頁。第二節(jié)單因素方差分析一、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)二、單因素方差分析的步驟三、單因素方差分析中的其它問題Xf(X)

1

2

3

4

第十八頁第十九頁，共82頁。一、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

觀察值(j)因素(A)i

水平A1水平A2

…水平Ak12::n

x11x12…x1kx21x22…x2k::::::::xn1

xn2…xnk第十九頁第二十頁，共82頁。二、單因素方差分析的步驟（一）提出假設(shè)（二）構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計量（三）統(tǒng)計決策第二十頁第二十一頁，共82頁。二、單因素方差分析的步驟（一）提出假設(shè)1、一般提法H0:m1=m2=…=

mk(因素有k個水平）H1:m1

，m2

，…，mk不全相等2、對前面的例子H0:m1=m2=m3=m4顏色對銷售量沒有影響H0:m1

，m2

，m3，m4不全相等顏色對銷售量有影響第二十一頁第二十二頁，共82頁。二、單因素方差分析的步驟（二）構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計量1、為檢驗(yàn)H0是否成立，需確定檢驗(yàn)的統(tǒng)計量

2、構(gòu)造統(tǒng)計量需要計算水平的均值全部觀察值的總均值離差平方和均方(MS)

第二十二頁第二十三頁，共82頁。二、單因素方差分析的步驟①假定從第i個總體中抽取一個容量為ni的簡單隨機(jī)樣本，第i個總體的樣本均值為該樣本的全部觀察值總和除以觀察值的個數(shù)②計算公式為式中：ni為第i個總體的樣本觀察值個數(shù)

xij為第i個總體的第j個觀察值

第二十三頁第二十四頁，共82頁。二、單因素方差分析的步驟③全部觀察值的總和除以觀察值的總個數(shù)④計算公式為第二十四頁第二十五頁，共82頁。二、單因素方差分析的步驟實(shí)例

四種顏色飲料的銷售量及均值超市(j)水平A(i)無色(A1)粉色(A2)橘黃色(A3)綠色(A4)1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8合計136.6147.8132.2157.3573.9水平均值觀察值個數(shù)

x1=27.32n1=5x2=29.56n2=5x3=26.44n3=5x4=31.46n4=5總均值x=28.695第二十五頁第二十六頁，共82頁。二、單因素方差分析的步驟全部觀察值與總平均值的離差平方和反映全部觀察值的離散狀況其計算公式為前例的計算結(jié)果：

SST=(26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+…+(32.8-28.695)2=115.9295第二十六頁第二十七頁，共82頁。二、單因素方差分析的步驟計算SSE①每個水平或組的各樣本數(shù)據(jù)與其組平均值的離差平方和②反映每個樣本各觀察值的離散狀況，又稱組內(nèi)離差平方和③該平方和反映的是隨機(jī)誤差的大?、苡嬎愎綖榍袄挠嬎憬Y(jié)果：SSE=39.084第二十七頁第二十八頁，共82頁。二、單因素方差分析的步驟計算SSA①各組平均值與總平均值的離差平方和②反映各總體的樣本均值之間的差異程度，又稱組間平方和③該平方和既包括隨機(jī)誤差，也包括系統(tǒng)誤差④計算公式為前例的計算結(jié)果：SSA=76.8455第二十八頁第二十九頁，共82頁。二、單因素方差分析的步驟三個平方和的關(guān)系總離差平方和(SST)、誤差項(xiàng)離差平方和(SSE)、水平項(xiàng)離差平方和(SSA)之間的關(guān)系SST=SSE+SSA第二十九頁第三十頁，共82頁。離差平方和的分解與顯著檢驗(yàn)記：將Q進(jìn)行分解：由于第三十頁第三十一頁，共82頁。故：在假設(shè)H0成立的條件下，可以證明：相互獨(dú)立第三十一頁第三十二頁，共82頁。理論證明第三十二頁第三十三頁，共82頁。第三十三頁第三十四頁，共82頁。第三十四頁第三十五頁，共82頁。第三十五頁第三十六頁，共82頁。二、單因素方差分析的步驟三個平方和的作用①SST反映了全部數(shù)據(jù)總的誤差程度；SSE反映了隨機(jī)誤差的大小；SSA反映了隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的大?、谌绻僭O(shè)成立，即H1＝H2

＝…＝Hk為真，則表明沒有系統(tǒng)誤差，組間平方和SSA除以自由度后的均方與組內(nèi)平方和SSE和除以自由度后的均方差異就不會太大；如果組間均方顯著地大于組內(nèi)均方，說明各水平(總體)之間的差異不僅有隨機(jī)誤差，還有系統(tǒng)誤差③判斷因素的水平是否對其觀察值有影響，實(shí)際上就是比較組間方差與組內(nèi)方差之間差異的大?、転闄z驗(yàn)這種差異，需要構(gòu)造一個用于檢驗(yàn)的統(tǒng)計量第三十六頁第三十七頁，共82頁。二、單因素方差分析的步驟計算均方MS①各離差平方和的大小與觀察值的多少有關(guān)，為了消除觀察值多少對離差平方和大小的影響，需要將其平均，這就是均方，也稱為方差②計算方法是用離差平方和除以相應(yīng)的自由度③三個平方和的自由度分別是SST的自由度為n-1，其中n為全部觀察值的個數(shù)SSA的自由度為k-1，其中k為因素水平(總體)的個數(shù)SSE的自由度為n-kn-1=(k-1)+(n-k)第三十七頁第三十八頁，共82頁。二、單因素方差分析的步驟④SSA的均方也稱組間方差，記為MSA，計算公式為⑤SSE的均方也稱組內(nèi)方差，記為MSE，計算公式為第三十八頁第三十九頁，共82頁。二、單因素方差分析的步驟計算檢驗(yàn)的統(tǒng)計量F①將MSA和MSE進(jìn)行對比，即得到所需要的檢驗(yàn)統(tǒng)計量F②當(dāng)H0為真時，二者的比值服從分子自由度為k-1、分母自由度為n-k的F分布，即第三十九頁第四十頁，共82頁。二、單因素方差分析的步驟如果均值相等，F(xiàn)=MSA/MSE1a

F分布F

(k-1,n-k)0拒絕H0不能拒絕H0F第四十頁第四十一頁，共82頁。宇傳華制作

第四十一頁第四十二頁，共82頁。三、計算的簡化1、對SST、SSE、SSA計算簡化。（給出一個簡化的計算公式和數(shù)據(jù)簡化的方法）令：第四十二頁第四十三頁，共82頁。同樣可推出：2、數(shù)據(jù)的簡化：試驗(yàn)數(shù)據(jù)經(jīng)過變換

數(shù)據(jù)簡化后對F值的計算沒有影響，不會影響檢驗(yàn)的結(jié)果方差分析表方差來源離差平方和自由度F值F0.05F0.01顯著性因素ASSAk-1試驗(yàn)誤差SSEn-k總誤差SSTn-1第四十三頁第四十四頁，共82頁。二、單因素方差分析的步驟（三）統(tǒng)計決策將統(tǒng)計量的值F與給定的顯著性水平

的臨界值F

進(jìn)行比較，作出接受或拒絕原假設(shè)H0的決策1、根據(jù)給定的顯著性水平

，在F分布表中查找與第一自由度df1＝k-1、第二自由度df2=n-k相應(yīng)的臨界值F

若F>F

，則拒絕原假設(shè)H0

，表明均值之間的差異是顯著的，所檢驗(yàn)的因素(A)對觀察值有顯著影響若F

F

，則不能拒絕原假設(shè)H0

，表明所檢驗(yàn)的因素(A)對觀察值沒有顯著影響第四十四頁第四十五頁，共82頁。二、單因素方差分析的步驟方差來源平方和SS自由度df均方MSF值組間(因素影響)

組內(nèi)(誤差)

總和SSASSESSTk-1n-kn-1MSAMSEMSAMSE2、單因素方差分析表第四十五頁第四十六頁，共82頁。二、單因素方差分析的步驟第四十六頁第四十七頁，共82頁。二、單因素方差分析的步驟3、例題為了對幾個行業(yè)的服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行評價，消費(fèi)者協(xié)會在零售業(yè)、旅游業(yè)、航空公司、家電制造業(yè)分別抽取了不同的樣本，其中零售業(yè)抽取7家，旅游業(yè)抽取了6家，航空公司抽取5家、家電制造業(yè)抽取了5家，然后記錄了一年中消費(fèi)者對總共23家服務(wù)企業(yè)投訴的次數(shù)，結(jié)果如表9.7。試分析這四個行業(yè)的服務(wù)質(zhì)量是否有顯著差異？(

＝0.05)第四十七頁第四十八頁，共82頁。二、單因素方差分析的步驟消費(fèi)者對四個行業(yè)的投訴次數(shù)

觀察值(j)行業(yè)(A)零售業(yè)旅游業(yè)航空公司家電制造業(yè)12345675755464554534762496054565551494855477068636960第四十八頁第四十九頁，共82頁。二、單因素方差分析的步驟

（計算結(jié)果）解：設(shè)四個行業(yè)被投訴次數(shù)的均值分別為，m1、m2

、m3、m4

，則需要檢驗(yàn)如下假設(shè)

H0:m1=m2=m3

=

m4(四個行業(yè)的服務(wù)質(zhì)量無顯著差異)H1:m1

，m2

，m3，m4不全相等(有顯著差異)Excel輸出的結(jié)果如下結(jié)論：拒絕H0。四個行業(yè)的服務(wù)質(zhì)量有顯著差異第四十九頁第五十頁，共82頁。例：前例題

1、對數(shù)據(jù)的簡化得下表：序號沖擊強(qiáng)力濃度123456

A1-8-19-12-221-20-801454

A2-251-1114714396A32031191235271443820由表中數(shù)據(jù)可算出第五十頁第五十一頁，共82頁。計算計算出F值：第五十一頁第五十二頁，共82頁。方差來源離差平方和自由度F值F0.05F0.01顯著性因素A4217.3228.383.686.38**(十分顯著）試驗(yàn)誤差1114.715總誤差533217列表：說明：

說明酸液濃度對汗布沖擊強(qiáng)力有十分顯著的影響。第五十二頁第五十三頁，共82頁。第五十三頁第五十四頁，共82頁。SiS1S2S3S4合計值5.994.153.784.716.65第五十四頁第五十五頁，共82頁。H0：即4個試驗(yàn)組總體均數(shù)相等H1：4個試驗(yàn)組總體均數(shù)不全相等

檢驗(yàn)水準(zhǔn)

一、建立檢驗(yàn)假設(shè)第五十五頁第五十六頁，共82頁。二、計算離均差平方、自由度、均方第五十六頁第五十七頁，共82頁。三、計算F值第五十七頁第五十八頁，共82頁。四、下結(jié)論第五十八頁第五十九頁，共82頁。

[例題]某公司計劃引進(jìn)一條生產(chǎn)線.為了選擇一條質(zhì)量優(yōu)良的生產(chǎn)線以減少日后的維修問題,他們對6種型號的生產(chǎn)線作了初步調(diào)查,每種型號調(diào)查4條,結(jié)果列于表8-1。這些結(jié)果表示每個型號的生產(chǎn)線上個月維修的小時數(shù)。試問由此結(jié)果能否判定由于生產(chǎn)線型號不同而造成它們在維修時間方面有顯著差異?第五十九頁第六十頁，共82頁。表4－1對6種型號生產(chǎn)線維修時數(shù)的調(diào)查結(jié)果序號型號1234A型9.58.811.47.8B型4.37.83.26.5C型6.58.38.68.2D型6.17.34.24.1E型10.04.85.49.6F型9.38.77.210.1第六十頁第六十一頁，共82頁。表4－5計算列表臺號型號1234TiTi2A型9.58.811.47.837.51406.25358.49B型4.37.83.26.521.8475.24131.82C型6.58.38.68.231.6998.56252.34D型6.17.34.24.121.7470.89124.95E型10.04.85.49.629.8888.04244.36F型9.38.77.210.135.31246.09316.034.2.4顯著性檢驗(yàn)第六十一頁第六十二頁，共82頁。 再將計算結(jié)果分別代入SA與SE兩式中，得到

第一自由度 第二自由度第六十二頁第六十三頁，共82頁。

查F分布表得 由于，故拒絕H0。 該結(jié)論說明，至少有一種生產(chǎn)線型號的效應(yīng)不為零，這等價于至少有兩種型號的生產(chǎn)線的平均維修時數(shù)是有顯著差異的。方差來源平方和

自由度均方F比組間SA55.55511.11組內(nèi)SE56.72183.15總和ST112.2723---方差分析表第六十三頁第六十四頁，共82頁。二、雙因素方差分析的假定條件（一）每個總體都服從正態(tài)分布對于因素的每一個水平，其觀察值是來自正態(tài)分布總體的簡單隨機(jī)樣本（二）各個總體的方差必須相同對于各組觀察數(shù)據(jù)，是從具有相同方差的總體中抽取的（三）觀察值是獨(dú)立的第六十四頁第六十五頁，共82頁。第三節(jié)雙因素方差分析一、雙因素方差分析的類型二、雙因素方差分析的假定條件三、雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)四、雙因素方差分析的例題第六十五頁第六十六頁，共82頁。三、雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

因素A(i)因素(B)j平均值

B1B2…BrA1A2::Ak

x11x12…x1kx21x22…x2k::::::::xr1

xr2…

xrk

::平均值

…第六十六頁第六十七頁，共82頁。三、雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

是因素A的第i個水平下各觀察值的平均值

是因素B的第j個水平下的各觀察值的均值

是全部kr個樣本數(shù)據(jù)的總平均值第六十七頁第六十八頁，共82頁。三、雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（一）提出假設(shè)1、對因素A提出的假設(shè)為H0:m1=m2

=…=mi=…=mk(mi為第i個水平的均值)H1:mi

(i=1,2,…,k)

不全相等2、對因素B提出的假設(shè)為H0:m1=m2=…=mj=…=mr(mj為第j個水平的均值)H1:mj

(j=1,2,…,r)

不全相等第六十八頁第六十九頁，共82頁。三、雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（二）構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計量1、為檢驗(yàn)H0是否成立，需確定檢驗(yàn)的統(tǒng)計量

2、構(gòu)造統(tǒng)計量需要計算總離差平方和水平項(xiàng)平方和誤差項(xiàng)平方和均方

第六十九頁第七十頁，共82頁。三、雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（三）計算總離差平方和SST全部觀察值與總平均值的離差平方和反映全部觀察值的離散狀況計算公式為第七十頁第七十一頁，共82頁。三、雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（四）計算SSA、SSB和SSE1、因素A的離差平方和SSA2、因素B的離差平方和SSB3、誤差項(xiàng)平方和SSE第七十一頁第七十二頁，共82頁。三、雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（五）各平方和的關(guān)系總離差平方和(SST)、水平項(xiàng)離差平方和(SSA和SSB)、誤差項(xiàng)離差平方和(SSE)之間的關(guān)系SST=SSA+SSB+SSE

第七十二頁第七十三頁，共82頁。三、雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（六）計算均方MS1、各離差平方和的大小與觀察值的多少有關(guān)，為消除觀察值多少對離差平方和大小的影響，需要將其平均，這就是均方，也稱為方差2、計算方法是用離差平方和除以相應(yīng)的自由度3、三個平方和的自由度分別是總離差平方和SST的自由度為kr-1因素A的離差平方和SSA的自由度為k-1因素B的離差平方和SSB的自由度為r-1隨機(jī)誤差平方和SSE的自由度為(k-1)×(r-1)第七十三頁第七十四頁，共82頁。三、雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)4、因素A的均方，記為MSA，計算公式為5、因素B的均方，記為MSB

，計算公式為6、隨機(jī)誤差項(xiàng)的均方，記為MSE

，計算公式為第七十四頁第七十五頁，共82頁。三、雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(七)計算檢驗(yàn)的