高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八篇 平面解析幾何 第5節(jié) 拋物線習(xí)題 理試題

第5節(jié)拋物線【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)拋物線的定義與應(yīng)用4,5,6,8,10拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及應(yīng)用1,2,3直線與拋物線的位置關(guān)系7,12,14拋物線的綜合應(yīng)用9,11,13基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練(時(shí)間:30分鐘)1.(2016·重慶南開中學(xué)月考)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(C)(A)14 (B)12 (C)2 解析:焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離d=p=2.故選C.2.(2017·四川巴中一診)若坐標(biāo)原點(diǎn)到拋物線y=mx2的準(zhǔn)線的距離為2,則m等于(D)(A)8 (B)±8 (C)±14 (D)±解析:將其化為標(biāo)準(zhǔn)方程:x2=1m所以|14m|=2?m=±3.(2016·陜西西安質(zhì)檢)若拋物線C:y2=x的焦點(diǎn)為F,A(x0,y0)是C上一點(diǎn),|AF|=54x0,則x0(A)1 (B)2 (C)4 (D)8解析:因?yàn)?p=1,故p2=1而|AF|=x0+14=54x解之得x0=1,故選A.4.(2017·河南百校聯(lián)盟質(zhì)檢)已知拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離與其到對(duì)稱軸的距離之比為5∶4,且|AF|>2,則A點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為(B)(A)3 (B)42 (C)4 (D)43解析:設(shè)A(x,y),則x+1y=54?y2所以A(4,4)到原點(diǎn)的距離為42,選B.5.(2017·湖北黃石調(diào)研)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為103(A)133 (B)143 (C)5 解析:|AB|=|AF|+|BF|=(xA+1)+(xB+1)=(xA+xB)+2=103+2=16故選D.6.(2016·廣東茂名二模)若動(dòng)圓的圓心在拋物線y=112x2(A)(0,2) (B)(0,-3)(C)(0,3) (D)(0,6)解析:直線y+3=0是拋物線x2=12y的準(zhǔn)線,由拋物線的定義知拋物線上的點(diǎn)到直線y=-3的距離與到焦點(diǎn)(0,3)的距離相等,所以此圓恒過定點(diǎn)(0,3).7.(2017·重慶巴蜀中學(xué)月考)已知拋物線y2=4x焦點(diǎn)為F,過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若△AOB的面積為4,則|AB|等于(D)(A)6 (B)8 (C)12 (D)16解析:設(shè)A(y124,y1),B(y2所以y2y224-1=由△AOB的面積為4得12×|y1-y2|×1=4?y12因此|AB|=y18.(2016·豫南九校聯(lián)考)已知點(diǎn)P是拋物線x2=4y上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在x軸上的射影是點(diǎn)Q,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(8,7),則|PA|+|PQ|的最小值為(C)(A)7 (B)8 (C)9 (D)10解析:拋物線的焦點(diǎn)為F(0,1),準(zhǔn)線方程為y=-1,根據(jù)拋物線的定義知,|PF|=|PM|=|PQ|+1.所以|PA|+|PQ|=|PA|+|PM|-1=|PA|+|PF|-1≥|AF|-1=82當(dāng)且僅當(dāng)A,P,F三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立,則|PA|+|PQ|的最小值為9.故選C.9.導(dǎo)學(xué)號(hào)18702477已知拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M(1,m)到其焦點(diǎn)的距離為5,雙曲線x2-y2a=1的左頂點(diǎn)為A,若雙曲線一條漸近線與直線AM垂直,則實(shí)數(shù)a=解析:拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M(1,m)到其焦點(diǎn)的距離d=1+p2所以p=8,拋物線方程為y2=16x,設(shè)點(diǎn)M(1,4),點(diǎn)A(-1,0),kAM=4-所以-a=-12即a=14答案:110.(2016·山西忻州模擬)已知P為拋物線y2=4x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),Q為圓x2+(y-4)2=1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是.

解析:由題意知,圓x2+(y-4)2=1的圓心為C(0,4),半徑為1,拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),根據(jù)拋物線的定義,點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離之和即點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)F的距離之和,因此|PQ|+|PF|≥|PC|+|PF|-1≥|CF|-1=17-1.答案:17-1能力提升練(時(shí)間:15分鐘)11.導(dǎo)學(xué)號(hào)18702478設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為R,過拋物線C上一點(diǎn)P作準(zhǔn)線l的垂線,垂足為Q,若△QRF的面積為2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(A)(A)(1,2)或(1,-2) (B)(1,4)或(1,-4)(C)(1,2) (D)(1,4)解析:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),因?yàn)椤鱍RF的面積為2,所以12×2×|y0|=2,即|y0所以x0=14×所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)或(1,-2).故選A.12.(2017·湖北襄陽月考)已知直線l:y=k(x+1)(k>0)與拋物線C:y2=4x相交于A,B兩點(diǎn),且A,B兩點(diǎn)在拋物線C準(zhǔn)線上的射影分別是M,N,若|AM|=2|BN|,則k的值是(C)(A)13 (B)23 (C)23解析:設(shè)B(x,y),直線y=k(x+1)過定點(diǎn)(-1,0),由|AM|=2|BN|得A(2x+1,2y),所以y解得xk=2-0113.(2017·湖南長(zhǎng)沙摸底測(cè)試)拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與雙曲線x2-y2=1相交于A,B兩點(diǎn),若△ABF為等邊三角形,則p=.

解析:拋物線準(zhǔn)線為y=-p2,代入雙曲線得|x|=1+p24,焦點(diǎn)F(0,p2),故p答案:2314.導(dǎo)學(xué)號(hào)18702479已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn).(1)若AF→=3FB(2)設(shè)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng),原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為C,求四邊形OACB面積的最小值.解:(1)依題意可設(shè)直線AB:x=my+1,聯(lián)立x=my+1設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系得y因?yàn)锳F→=3FB所以y1=-3y2,所以m2=13所以AB的斜率為3或-3.(2)SOACB=2S△AOB=2×12|OF||y1-y2=|y1-y2|=(=16m2當(dāng)m=0時(shí),四邊形OACB的面積最小,最小值為4.好題天天練1.導(dǎo)學(xué)號(hào)18702480已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),點(diǎn)E在C的準(zhǔn)線上,且在x軸上方,線段EF的垂直平分線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)Q(-1,32)(A)(1,2) (B)(2,22)(C)(3,23) (D)(4,4)解題關(guān)鍵:設(shè)出E點(diǎn)坐標(biāo),利用|EQ|=|QF|解出E點(diǎn)坐標(biāo),再利用kEF與kQP的關(guān)系寫出QP方程,聯(lián)立方程組求解.解析:由題意,得拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1,F(1,0).設(shè)E(-1,y),因?yàn)镻Q為EF的垂直平分線,所以|EQ|=|FQ|,即y-32=(-所以kEF=4-0-1-所以直線PQ的方程為y-32=1即x-2y+4=0.由x-2即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,4),故選D.2.導(dǎo)學(xué)號(hào)18702481拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,已知點(diǎn)A,B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足∠AFB=120°.過弦AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN,垂足為N,則|MN(A)33 (B)1