2023-2024學(xué)年云南省大理市下關(guān)重點(diǎn)學(xué)校高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年云南省大理市下關(guān)重點(diǎn)學(xué)校高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x>0A.(0,+∞) B.(12.若iz=?2+iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.“1<k<5”是方程“xA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分又不必要條4.已知cos(π4+x)A.?2425 B.?725 C.5.已知a=20.5，b=log36，c=log4A.a>b>c B.b>c6.已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,bA.5 B.3 C.27.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+πA.(74,94) B.[8.已知點(diǎn)A(?m,0)，B(m,0)，若圓C：A.4 B.5 C.6 D.7二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.甲、乙兩人下棋，下成和棋的概率為12，乙獲勝的概率為13，則下列說法錯(cuò)誤的是(

)A.甲獲勝的概率是16 B.甲不輸?shù)母怕蕿?2 C.乙輸?shù)母怕适?3 10.已知點(diǎn)F1、F2是雙曲線x2a2?y2b2A.|PF1|=3a B.△PF1F11.已知函數(shù)f(x)=A.y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π,0)中心對稱 B.y=f12.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1mA.該正方體的外接球體積為3π

B.底面半徑為0.5m，高為1m的圓錐體能夠被整體放入該正方體

C.三棱錐A?BEF的體積為定值

D.當(dāng)E與D三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知向量a，b的夾角為π3且滿足a=(1,3)，14.已知A為拋物線C：y2=2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為1215.有一個(gè)帶蓋的直三棱柱形容器，其高為32，底部是一個(gè)直角三角形，兩條直角邊的長分別為3和4，若不考慮容器壁的厚度，在該容器內(nèi)放入一個(gè)球，則球的最大表面積為______．16.已知F2為橢圓mx2+y2=4m(0<m<1四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(1,0)，直線l截圓C的最長弦長為2，圓心為C(2,3)．

(Ⅰ)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ18.(本小題12分)

函數(shù)f(x)=sin4x+23sinxcosx?cos4x．

(119.(本小題12分)

近年來綠色發(fā)展理念逐漸深入人心，新能源汽車發(fā)展受到各國重視，2023年我國新能源汽車產(chǎn)銷再創(chuàng)新高.我國某新能源汽車生產(chǎn)企業(yè)在加大生產(chǎn)的同時(shí)，狠抓質(zhì)量管理，該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的新能源汽車中隨機(jī)抽取了100輛，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下六組：[40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100]，得到如圖2的頻率分布直方圖．

(Ⅰ)求出直方圖中m的值；

(Ⅱ)利用樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)該企業(yè)所生產(chǎn)的新能源汽車的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表，中位數(shù)精確到0.01)；

(Ⅲ)該企業(yè)規(guī)定：質(zhì)量指標(biāo)值小于7020.(本小題12分)

如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱DD1，BB1上，且2DE=ED1，BF=2FB21.(本小題12分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，

a=27，b=2，且3cosA(ccos22.(本小題12分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短軸長為2，點(diǎn)P在橢圓C上，與兩焦點(diǎn)圍成的三角形面積的最大值為3．

(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)當(dāng)P為橢圓C的右頂點(diǎn)時(shí)，直線l與橢圓C答案和解析1.【答案】B

【解析】解：函數(shù)y=2x+1的值域?yàn)?1,+∞)，故B={y|y>1}，

2.【答案】A

【解析】解：iz=?2+i，

則z=?2+ii=1+2i3.【答案】B

【解析】解：方程x2k?1+y25?k=1表示橢圓?5?k>0k?1>05?k≠4.【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查二倍角公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

由cos(π4+x)=35利用二倍角公式可得cos(π2+2x)=?725，即?si5.【答案】B

【解析】解：a=20.5=2<32，b=log36.【答案】A

【解析】解：雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線上第二象限內(nèi)一點(diǎn)，若漸近線y=bax垂直平分線段PF2，|PF1|=2a，

設(shè)F2(c,0)，F(xiàn)2(c7.【答案】D

【解析】解：令t=ωx+π4∈(π4,ωπ+π4)，則y=8.【答案】C

【解析】解：圓C：x2+y2?6x?8y+24=0，即(x?3)2+(y?4)2=1；

其圓心為(3,4)，半徑r=1，

設(shè)AB的中點(diǎn)為M，

又由點(diǎn)A(?m,0)，B(m,0)，得M(0,0)，|AB|=2|m|，

以AB為直徑的圓M：x2+y2=m29.【答案】BC【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對于A，甲獲勝的概率是1?12?13=16，A正確；

對于B，甲不輸即甲獲勝或和棋，其概率12+16=23，B錯(cuò)誤；

對于C，乙輸即甲獲勝的概率為1?1210.【答案】AC【解析】解：已知點(diǎn)F1、F2是雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，且|PF2|=a，PF1⊥PF2，

對于選項(xiàng)A，

由雙曲線的定義可得：|PF1|?|PF2|=2a，

又|PF2|=a，

則|PF1|=3a，

故選項(xiàng)A正確；

對于選項(xiàng)B，已知PF1⊥11.【答案】AB【解析】解：A中，因?yàn)閒(2π?x)=cos(2π?x)sin2(2π?x)=?cosxsin2x，所以f(2π?x)+f(x)=0，

12.【答案】BC【解析】解：對于選項(xiàng)A，記該正方體的外接圓半徑為R，

則(2R)2=12+12+12=3，

即R=32，

則該正方體的外接球體積為3π2，

即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)B，頂點(diǎn)放在正方體上表面中心，底面圓為正方體下底面內(nèi)切圓時(shí)可以放下底面半徑為0.5m，高為1m的圓錐體，

即選項(xiàng)B正確；

對于選項(xiàng)C，如圖1，由正方體的性質(zhì)可得四邊形BDD1B1是矩形，

所以S△BEF=12EF?BB1=12×22×1=24，

連接AC交BD于點(diǎn)O，

由正方體的性質(zhì)可得AO⊥平面BDD1B1，

所以AO是點(diǎn)A到平面BDD1B1的距離，

又AO=22，

所以VA?BEF=13S△BEF?A13.【答案】3

【解析】解：由a=(1,3)，可得|a|=1214.【答案】6

【解析】【分析】本題考查拋物線的定義和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

直接利用拋物線的定義和性質(zhì)解題即可．【解答】

解：A為拋物線C：y2=2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，

因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離相等，15.【答案】9π【解析】解：設(shè)該容器直角三角形底的內(nèi)切圓半徑為r，則12×3×4=12r(3+4+5)，解得r=1，

因?yàn)閞=1>12×16.【答案】29【解析】解：設(shè)F1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)，

由橢圓的定義可得2a=|PF1|+|PF2|，

即|PF2|=2a?|PF1|，

則|PA|?|PF2|=|PA|?(2a?|PF1|)=17.【答案】解：(Ⅰ)由已知得圓心為C(2,3)，

l截圓C的最長弦為直徑，則r=1，

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?2)2+(y?3)2=1．

(Ⅱ)直線l經(jīng)過點(diǎn)P(1,0)，與圓C相切，

當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，方程為l：x=1，與圓C相切，滿足題意；

當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為l：y【解析】(Ⅰ)依題意求出圓C的半徑，直接可以寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)直線與圓相切轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離等于半徑，設(shè)直線方程即可求出直線斜率，即可求出直線方程．

本題考查了求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓相切的充要條件，考查了方程思想及轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．18.【答案】解：(1)f(x)=23sinxcosx+(sin2x+cos2x)(sin2x?cos2x)=2sin(2x?π6)；【解析】(1)首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)利用函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換，求出函數(shù)19.【答案】解：(Ⅰ)由10×(0.010+0.015+0.015+m+0.025+0.005)=1，得m=0.030．

(Ⅱ)平均數(shù)為x=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71，

設(shè)中位數(shù)為n，則0.1+0.15+0.15+(n?70)×0.03=0.5，得n=2203≈73.33，

故可以估計(jì)該企業(yè)所生產(chǎn)新能源汽車的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為71，中位數(shù)為73.33．

(Ⅲ)如圖，100輛樣本中一等品、二等品各有60輛、40輛，

抽取的5輛車中一等品有3輛，記為a，b，c，

二等品2【解析】(Ⅰ)由頻率分布直方圖的性質(zhì)列方程，能求出m的值．

(Ⅱ)由頻率分布直方圖能求出平均數(shù)和中位數(shù)．

(Ⅲ)抽取的5輛車中一等品有3輛，記為a，b，c，二等品2輛，記為A，B，利用列舉法能求出這2輛新能源汽車中恰好有1輛為一等品的概率．

本題考查頻率分布直方圖、平均數(shù)、中位數(shù)、古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．20.【答案】(Ⅰ)證明：在棱CC1上取點(diǎn)G，使得C1G=12CG，

連接DG，F(xiàn)G，C1E，C1F，如圖所示，

則在長方體ABCD?A1B1C1D1中，

易得AF/?/DG且AF=DG，DG//EC1且DG=EC1，

所以AF/?/EC1且AF=EC1，

故四邊形AEC1F為平行四邊形，

所以A，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面；

(Ⅱ)解：在長方體ABCD?A1B1C1D1中，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C1?x【解析】(Ⅰ)在棱CC1上取點(diǎn)G，連接DG，F(xiàn)G，C1E，C1F，證得AF/?/EC1且AF=E21.【答案】解：(1)因?yàn)?cosA(ccosB+bcosC)+asinA=0，

由正弦定理可得：3cosA(sinCcosB+sinBcosC)+sinAsinA=0，

所以3cosAsin(B+C)【解析】本題考查了三角形正余弦定理，三角形面積公式，屬于中檔題．

(1)由正弦定理可將等式化簡，再由三角形中的角的范圍求出A的值；

(2)由(1)可求出c邊，進(jìn)而由余弦定理可得cosC的值，再由三角形AD⊥22.【答案】解：(Ⅰ)因?yàn)闄E圓C的短軸長為2，

所以2b=2，①

因?yàn)榈玃與兩焦點(diǎn)圍成的三角形面積的最大值為3，

所以bc=3，②，

又a2+b2=c2，③

聯(lián)立①②③，解得a=2，b=1，c