河南省洛陽(yáng)一中2024年高三上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題含解析

河南省洛陽(yáng)一中2024年高三上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿(mǎn)足（且），若，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B． C． D．2．某校8位學(xué)生的本次月考成績(jī)恰好都比上一次的月考成績(jī)高出50分，則以該8位學(xué)生這兩次的月考成績(jī)各自組成樣本，則這兩個(gè)樣本不變的數(shù)字特征是（）A．方差 B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．平均數(shù)3．一只螞蟻在邊長(zhǎng)為的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行，則在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于的區(qū)域內(nèi)的概率為()A． B． C． D．4．已知的垂心為，且是的中點(diǎn)，則（）A．14 B．12 C．10 D．85．如圖，在正方體中，已知、、分別是線(xiàn)段上的點(diǎn)，且.則下列直線(xiàn)與平面平行的是（）A． B． C． D．6．在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿(mǎn)足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽(yáng)的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為()A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.17．空間點(diǎn)到平面的距離定義如下：過(guò)空間一點(diǎn)作平面的垂線(xiàn)，這個(gè)點(diǎn)和垂足之間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．已知平面，，兩兩互相垂直，點(diǎn)，點(diǎn)到，的距離都是3，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足到的距離與到點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是（）A． B．3 C． D．8．已知雙曲線(xiàn)：（，）的焦距為.點(diǎn)為雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)，若點(diǎn)到雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的距離為，則雙曲線(xiàn)的離心率是（）A． B． C．2 D．39．執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入，，則計(jì)算機(jī)輸出的數(shù)是（）A． B． C． D．10．已知，，，則()A． B． C． D．11．已知是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)滿(mǎn)足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．12．已知隨機(jī)變量X的分布列如下表：X01Pabc其中a，b，.若X的方差對(duì)所有都成立，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．驗(yàn)證碼就是將一串隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)字或符號(hào)，生成一幅圖片，圖片里加上一些干擾象素（防止），由用戶(hù)肉眼識(shí)別其中的驗(yàn)證碼信息，輸入表單提交網(wǎng)站驗(yàn)證，驗(yàn)證成功后才能使用某項(xiàng)功能.很多網(wǎng)站利用驗(yàn)證碼技術(shù)來(lái)防止惡意登錄，以提升網(wǎng)絡(luò)安全.在抗疫期間，某居民小區(qū)電子出入證的登錄驗(yàn)證碼由0，1，2，…，9中的五個(gè)數(shù)字隨機(jī)組成.將中間數(shù)字最大，然后向兩邊對(duì)稱(chēng)遞減的驗(yàn)證碼稱(chēng)為“鐘型驗(yàn)證碼”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一個(gè)“鐘型驗(yàn)證碼”，則該驗(yàn)證碼的中間數(shù)字是7的概率為_(kāi)_________.14．直線(xiàn)是曲線(xiàn)的一條切線(xiàn)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則實(shí)數(shù)__________.15．設(shè)集合，，則____________.16．二項(xiàng)式的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為_(kāi)____，含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在△ABC中，角所對(duì)的邊分別為向量，向量，且.（1）求角的大?。唬?）求的最大值.18．（12分）定義：若數(shù)列滿(mǎn)足所有的項(xiàng)均由構(gòu)成且其中有個(gè)，有個(gè)，則稱(chēng)為“﹣數(shù)列”．（1）為“﹣數(shù)列”中的任意三項(xiàng)，則使得的取法有多少種？（2）為“﹣數(shù)列”中的任意三項(xiàng)，則存在多少正整數(shù)對(duì)使得且的概率為.19．（12分）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系，判斷直線(xiàn)為參數(shù)）與圓的位置關(guān)系．20．（12分）試求曲線(xiàn)y＝sinx在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式，其中M，N．21．（12分）本小題滿(mǎn)分14分）已知曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），求直線(xiàn)被曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段的長(zhǎng)度22．（10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，為等邊三角形，平面平面ABCD，M，N分別是線(xiàn)段PD和BC的中點(diǎn).（1）求直線(xiàn)CM與平面PAB所成角的正弦值；（2）求二面角D-AP-B的余弦值；（3）試判斷直線(xiàn)MN與平面PAB的位置關(guān)系，并給出證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性用方程法求出的解析式，進(jìn)而求出，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求出結(jié)論.【詳解】依題意有，①，②①②得，又因?yàn)?，所以，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)的解析式、函數(shù)的性質(zhì)，要熟記復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法，屬于中檔題.2、A【解析】

通過(guò)方差公式分析可知方差沒(méi)有改變，中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)都發(fā)生了改變.【詳解】由題可知，中位數(shù)和眾數(shù)、平均數(shù)都有變化.本次和上次的月考成績(jī)相比，成績(jī)和平均數(shù)都增加了50，所以沒(méi)有改變，根據(jù)方差公式可知方差不變.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查樣本的數(shù)字特征，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.3、A【解析】

求出滿(mǎn)足條件的正的面積，再求出滿(mǎn)足條件的正內(nèi)的點(diǎn)到頂點(diǎn)、、的距離均不小于的圖形的面積，然后代入幾何概型的概率公式即可得到答案．【詳解】滿(mǎn)足條件的正如下圖所示：其中正的面積為，滿(mǎn)足到正的頂點(diǎn)、、的距離均不小于的圖形平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，陰影部分區(qū)域的面積為.則使取到的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)、、的距離都大于的概率是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題．4、A【解析】

由垂心的性質(zhì)，得到，可轉(zhuǎn)化，又即得解.【詳解】因?yàn)闉榈拇剐?，所以，所以，而，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算和向量的數(shù)量積的運(yùn)算率，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.5、B【解析】

連接，使交于點(diǎn)，連接、，可證四邊形為平行四邊形，可得，利用線(xiàn)面平行的判定定理即可得解．【詳解】如圖，連接，使交于點(diǎn)，連接、，則為的中點(diǎn)，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，且，、分別為、的中點(diǎn)，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，因此，平面.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)面平行的判定，考查了推理論證能力和空間想象能力，屬于中檔題．6、A【解析】

由題意得到關(guān)于的等式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得亮度的比值.【詳解】?jī)深w星的星等與亮度滿(mǎn)足,令,.故選A.【點(diǎn)睛】本題以天文學(xué)問(wèn)題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算.7、D【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到軸的距離的最小值，利用到軸的距離等于到點(diǎn)的距離得到點(diǎn)軌跡方程，得到，進(jìn)而得到所求最小值.【詳解】如圖，原題等價(jià)于在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，是第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，求點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到軸的距離的最小值．設(shè)，則，化簡(jiǎn)得：，則，解得：，即點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中點(diǎn)面距離最值的求解，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確求得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，進(jìn)而根據(jù)軌跡方程構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.8、A【解析】

由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式建立的等式，變形后可求得離心率．【詳解】由題意，一條漸近線(xiàn)方程為，即，∴，，即，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線(xiàn)的離心率，掌握漸近線(xiàn)方程與點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式是解題基礎(chǔ)．9、B【解析】

先明確該程序框圖的功能是計(jì)算兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，再利用輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算即可.【詳解】本程序框圖的功能是計(jì)算，中的最大公約數(shù)，所以，，，故當(dāng)輸入，，則計(jì)算機(jī)輸出的數(shù)是57.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖的功能，做此類(lèi)題一定要注意明確程序框圖的功能是什么，本題是一道基礎(chǔ)題.10、B【解析】

利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將數(shù)據(jù)和做對(duì)比，即可判斷.【詳解】由于，，故.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬基礎(chǔ)題.11、B【解析】

先利用對(duì)稱(chēng)得，根據(jù)可得，由幾何性質(zhì)可得，即，從而解得漸近線(xiàn)方程.【詳解】如圖所示：由對(duì)稱(chēng)性可得：為的中點(diǎn)，且，所以，因?yàn)?，所以，故而由幾何性質(zhì)可得，即，故漸近線(xiàn)方程為，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的知識(shí)，考查了雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程，由題意得出是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.12、D【解析】

根據(jù)X的分布列列式求出期望,方差,再利用將方差變形為,從而可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值為,進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】由X的分布列可得X的期望為,又,所以X的方差,因?yàn)?所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最大值,又對(duì)所有成立,所以,解得,故選:D.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了隨機(jī)變量的期望?方差的求法,結(jié)合了概率?二次函數(shù)等相關(guān)知識(shí),需要學(xué)生具備一定的計(jì)算能力,屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

首先判斷出中間號(hào)碼的所有可能取值，由此求得基本事件的總數(shù)以及中間數(shù)字是的事件數(shù)，根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式計(jì)算出所求概率.【詳解】根據(jù)“鐘型驗(yàn)證碼”中間數(shù)字最大，然后向兩邊對(duì)稱(chēng)遞減，所以中間的數(shù)字可能是.當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.所以該驗(yàn)證碼的中間數(shù)字是7的概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型概率計(jì)算，考查分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、分類(lèi)乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.14、【解析】

根據(jù)切線(xiàn)的斜率為，利用導(dǎo)數(shù)列方程，由此求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得切線(xiàn)方程，通過(guò)對(duì)比系數(shù)求得的值.【詳解】，則，所以切點(diǎn)為，故切線(xiàn)為，即，故.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程有關(guān)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

先解不等式,再求交集的定義求解即可.【詳解】由題,因?yàn)?解得,即,則,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算,考查解一元二次不等式.16、【解析】

將代入二項(xiàng)式可得展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可得出項(xiàng)的系數(shù).【詳解】將代入二項(xiàng)式可得展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和為.二項(xiàng)式的展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，解得，因此，展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）2【解析】

（1）轉(zhuǎn)化條件得，進(jìn)而可得，即可得解；（2）由化簡(jiǎn)可得，由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1），，由正弦定理得，即，又，，又，，，由可得.（2）由（1）可得，，，，，，的最大值為2.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等變換的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.18、（1）16；（2）115.【解析】

(1)易得使得的情況只有“”,“”兩種,再根據(jù)組合的方法求解兩種情況分別的情況數(shù)再求和即可.(2)易得“”共有種,“”共有種.再根據(jù)古典概型的方法可知,利用組合數(shù)的計(jì)算公式可得,當(dāng)時(shí)根據(jù)題意有,共個(gè)；當(dāng)時(shí)求得,再根據(jù)換元根據(jù)整除的方法求解滿(mǎn)足的正整數(shù)對(duì)即可.【詳解】解：（1）三個(gè)數(shù)乘積為有兩種情況：“”,“”,其中“”共有：種,“”共有：種,利用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得：為“﹣數(shù)列”中的任意三項(xiàng),則使得的取法有：種．（2）與(1)同理,“”共有種,“”共有種,而在“﹣數(shù)列”中任取三項(xiàng)共有種,根據(jù)古典概型有：,再根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算公式能得到：,時(shí),應(yīng)滿(mǎn)足,,共個(gè),時(shí),應(yīng)滿(mǎn)足,視為常數(shù),可解得,,根據(jù)可知,,,,根據(jù)可知,,（否則）,下設(shè),則由于為正整數(shù)知必為正整數(shù),,,化簡(jiǎn)上式關(guān)系式可以知道：,均為偶數(shù),設(shè),則,由于中必存在偶數(shù),只需中存在數(shù)為的倍數(shù)即可,,．檢驗(yàn)：符合題意,共有個(gè),綜上所述：共有個(gè)數(shù)對(duì)符合題意．【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合的基本方法,同時(shí)也考查了組合數(shù)的運(yùn)算以及整數(shù)的分析方法等,需要根據(jù)題意19、直線(xiàn)與圓C相切．【解析】

首先把直線(xiàn)和圓轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程，進(jìn)一步利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的應(yīng)用求出直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系．【詳解】直線(xiàn)為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為．圓轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為，轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式為，所以圓心到直線(xiàn)，的距離．直線(xiàn)與圓C相切．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系式的應(yīng)用，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．20、y＝2sin2x．【解析】

計(jì)算MN，計(jì)算得到函數(shù)表達(dá)式.【詳解】∵M(jìn)，N，∴MN，∴在矩陣MN變換下，→∴曲線(xiàn)y＝sinx在矩陣