高考數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率考點(diǎn)歸納

高中數(shù)學(xué)精講精練第十一章統(tǒng)計(jì)與概率

【知識(shí)圖解】

*估計(jì)

簡

單

隨

機(jī)

抽

樣

【方法點(diǎn)撥】

1、準(zhǔn)確理解公式和區(qū)分各種不同的概念

正確使用概率的加法公式與乘法公式、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差的計(jì)算公式.注意事件的獨(dú)立性與

互斥性是兩個(gè)不同的概念，古典概型與幾何概型都是等可能事件，對(duì)立事件一定是互斥事件，反之

卻未必成立.

2、掌握抽象的方法

抽象分為簡單的隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣.系統(tǒng)抽樣適用于總體較多情況，分層抽樣適用于總

體由幾個(gè)差異明顯的部分組成的情況.

3、學(xué)會(huì)利用樣本和樣本的特征數(shù)去估計(jì)總體

會(huì)列頻率分布表，會(huì)畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，并體會(huì)它們各自特點(diǎn)，特別注意頻

率分布直方圖的縱坐標(biāo)為頻率/組距；會(huì)計(jì)算樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)、方差（標(biāo)準(zhǔn)差），利用樣本的平均數(shù)

可以估計(jì)總體的平均數(shù)，利用樣本的方差估計(jì)總體的穩(wěn)定程度.

4、關(guān)于線性回歸方程的學(xué)習(xí)

在線性相關(guān)程度進(jìn)行校驗(yàn)的基礎(chǔ)上，建立線性回歸分析的基本算法步驟.學(xué)會(huì)利用線性回歸的方法和

最小二乘法研究回歸現(xiàn)象，得到的線性回歸方程（不要求記憶系數(shù)公式）可用于預(yù)測(cè)和估計(jì)，為決

策提供依據(jù).

第1課抽樣方法

【考點(diǎn)導(dǎo)讀】

1.抽樣方法分為簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣.

2.系統(tǒng)抽樣適用于總體個(gè)數(shù)較多情況，分層抽樣適用于總體由幾個(gè)差異明顯的部分組成的情況.

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1.為了了解全校900名高一學(xué)生的身高情況，從中抽取90名學(xué)生進(jìn)行測(cè)量，下列說法正確的是④.

①總體是900②個(gè)體是每個(gè)學(xué)生③樣本是90名學(xué)生④樣本容量是90

2.對(duì)總數(shù)為N的一批零件抽取一個(gè)容量為30的樣本，若每個(gè)零件被抽到的概率為0.25,則N的值為120.

3.高三年級(jí)有12個(gè)班，每班50人按1—50排學(xué)號(hào)，為了交流學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，要求每班學(xué)號(hào)為18的同學(xué)留

下進(jìn)行交流，這里運(yùn)用的是系統(tǒng)抽樣法.

4.某校有學(xué)生2000人，其中高三學(xué)生500人.為了解學(xué)生身體情況，采用按年級(jí)分層抽樣的方法，從

該校學(xué)生中抽取一個(gè)200人的樣本，則樣本中高三學(xué)生的人數(shù)為50

5.將參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的1000名學(xué)生編號(hào)如下：0001,0002,0003,…，1000,打算從中抽取一個(gè)容量為

50的樣本，按系統(tǒng)抽樣的方法分成50個(gè)部分，如果第一部分編號(hào)為0001,0002,0003,…，0020,第

一部分隨機(jī)抽取一個(gè)號(hào)碼為0015,則抽取的第40個(gè)號(hào)碼為0795.

【范例解析】

例1：某車間工人加工一種軸100件，為了了解這種軸的直徑，要從中抽取10件軸在同一條件下測(cè)量，

如何采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本？

分析簡單隨機(jī)抽樣一般采用兩種方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法.

解法1：（抽簽法）將100件軸編號(hào)為1,2,…，100,并做好大小、形狀相同的號(hào)簽，分別寫上這100

個(gè)數(shù)，將這些號(hào)簽放在一起，進(jìn)行均勻攪拌，接著連續(xù)抽取10個(gè)號(hào)簽，然后測(cè)量這個(gè)10個(gè)號(hào)簽對(duì)應(yīng)的

軸的直徑.

解法2：（隨機(jī)數(shù)表法）將100件軸編號(hào)為00,01,…99,在隨機(jī)數(shù)表中選定一個(gè)起始位置，如取第21

行第1個(gè)數(shù)開始，選取10個(gè)為68,34,30,13,70,55,74,77,40,44,這10件即為所要抽取的樣

本.

點(diǎn)評(píng)從以上兩種方法可以看出，當(dāng)總體個(gè)數(shù)較少時(shí)用兩種方法都可以，當(dāng)樣本總數(shù)較多時(shí)，方法2

優(yōu)于方法1.

例2、某校高中三年級(jí)的295名學(xué)生已經(jīng)編號(hào)為1,2,……,295,為了了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，要按1：

5的比例抽取一個(gè)樣本，用系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行抽取，并寫出過程.

分析按1：5分段，每段5人，共分59段，每段抽取一人，關(guān)鍵是確定第1段的編號(hào).

解：按照1：5的比例，應(yīng)該抽取的樣本容量為295+5=59,我們把259名同學(xué)分成59組，每組5人，

第一組是編號(hào)為1?5的5名學(xué)生，第2組是編號(hào)為6?10的5名學(xué)生，依次下去，59組是編號(hào)為291?

295的5名學(xué)生.采用簡單隨機(jī)抽樣的方法，從第一組5名學(xué)生中抽出一名學(xué)生，不妨設(shè)編號(hào)為k（lWk

<5）,那么抽取的學(xué)生編號(hào)為k+5L（L=0,1,2,……,58）,得到59個(gè)個(gè)體作為樣本，如當(dāng)k=3時(shí)的樣本

編號(hào)為3,8,13,.......,288,293.

點(diǎn)評(píng)系統(tǒng)抽樣可按事先規(guī)定的規(guī)則抽取樣本.本題采用的規(guī)則是第一組隨機(jī)抽取的學(xué)生編號(hào)為k,那么

第m組抽取的學(xué)生編號(hào)為k+5（m-l）.

例3：一個(gè)地區(qū)共有5個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，人口3萬人，其中人口比例為3：2：5：2：3,從3萬人中抽取一個(gè)300

人的樣本，分析某種疾病的發(fā)病率，已知這種疾病與不同的地理位置及水土有關(guān)，問應(yīng)采取什么樣的方

法？并寫出具體過程.

分析采用分層抽樣的方法.

解：因?yàn)榧膊∨c地理位置和水土均有關(guān)系，所以不同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的發(fā)病情況差異明顯，因而采用分層抽樣的方

法，具體過程如下：

（1）將3萬人分為5層，其中一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)為一層.

（2）按照樣本容量的比例隨機(jī)抽取各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的樣本.

300X3/15=60（人），300X2/15=40（人），300X5/15=100（人），300X2/15=40（人），300X3/15=60

（人），因此各鄉(xiāng)鎮(zhèn)抽取人數(shù)分別為60人、40人、100人、40人、60人.

（3）將300人組到一起,即得到一個(gè)樣本.

點(diǎn)評(píng)分層抽樣在日常生活中應(yīng)用廣泛，其抽取樣本的步驟尤為重要，應(yīng)牢記按照相應(yīng)的比例去抽取.

【反饋演練】

1.一個(gè)總體中共有200個(gè)個(gè)體，用簡單隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，則某一特定個(gè)

體被抽到的可能性是0.1.

2.為了了解參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的2000名運(yùn)動(dòng)員的年齡情況，從中抽取100名運(yùn)動(dòng)員；就這個(gè)問題，下列說法

中正確的有2個(gè).

①2000名運(yùn)動(dòng)員是總體；②每個(gè)運(yùn)動(dòng)員是個(gè)體；③所抽取的100名運(yùn)動(dòng)員是一個(gè)樣本；

④樣本容量為100；⑤這個(gè)抽樣方法可采用按年齡進(jìn)行分層抽樣；⑥每個(gè)運(yùn)動(dòng)員被抽到的概率相等.

3.對(duì)于簡單隨機(jī)抽樣，下列說法中正確的命題為①②③④.

①它要求被抽取樣本的總體的個(gè)數(shù)有限，以便對(duì)其中各個(gè)個(gè)體被抽取的概率進(jìn)行分析；②它是從總體中

逐個(gè)地進(jìn)行抽取，以便在抽取實(shí)踐中進(jìn)行操作；③它是一種不放回抽樣；④它是一種等概率抽樣，不僅

每次從總體中抽取一個(gè)個(gè)體時(shí)，各個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等，而且在整個(gè)抽樣過程中，各個(gè)個(gè)體被抽取

的概率也相等，從而保證了這種方法抽樣的公平性.

4.某公司甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150個(gè)、120個(gè)、180個(gè)、150個(gè)銷售點(diǎn).公司為了調(diào)查銷售

的情況，需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有20個(gè)特

大型銷售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)調(diào)查其收入和售后服務(wù)等情況，記這項(xiàng)調(diào)查為②.則完成①、②這兩項(xiàng)調(diào)

查宜采用的抽樣方法依次是分層抽樣法，簡單隨機(jī)抽樣法.

5.下列抽樣中不是系統(tǒng)抽樣的是③.

①.從標(biāo)有1?15號(hào)的15個(gè)球中，任選三個(gè)作樣本，按從小號(hào)到大號(hào)排序，隨機(jī)選起點(diǎn)以后i0+5,

r0+10(超過15則從1再數(shù)起)號(hào)入樣:

②.工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，用傳送帶將產(chǎn)品送入包裝車間前，檢驗(yàn)人員從傳送帶上每隔五分鐘抽一件產(chǎn)品進(jìn)行

檢驗(yàn)；

③.搞某一市場(chǎng)調(diào)查，規(guī)定在商場(chǎng)門口隨機(jī)抽一個(gè)人進(jìn)行詢問調(diào)查，直到調(diào)查到事先規(guī)定的人數(shù)為止；

④.電影院調(diào)查觀眾的某一指標(biāo)，通知每排(每排人數(shù)相同)座位號(hào)為14的觀眾留下座談.

6.為了解初一學(xué)生的身體發(fā)育情況，打算在初一年級(jí)10個(gè)班的某兩個(gè)班按男女生比例抽取樣本，正確

的

抽樣方法是③.

①隨機(jī)抽樣②分層抽樣③先用抽簽法，再用分層抽樣④先用分層抽樣，再用隨機(jī)數(shù)表法

7.寫出下列各題的抽樣過程.

(1)請(qǐng)從擁有500個(gè)分?jǐn)?shù)的總體中用簡單隨機(jī)抽樣方法抽取一個(gè)容量為30的樣本.

(2)某車間有189名職工，現(xiàn)在要按1：21的比例選派質(zhì)量檢查員，采用系統(tǒng)抽樣的方式進(jìn)行.

(3)一個(gè)電視臺(tái)在因特網(wǎng)上就觀眾對(duì)某一節(jié)目喜愛的程度進(jìn)行調(diào)查，參加調(diào)查的總?cè)藬?shù)為12000人，其中

持各種態(tài)度的人數(shù)如下：

很喜愛喜愛一般不喜愛

2435456739261072

打算從中抽取60人進(jìn)行詳細(xì)調(diào)查，如何抽??？

解：(D①將總體的500個(gè)分?jǐn)?shù)從001開始編號(hào)，一直到500號(hào)；

②從隨機(jī)數(shù)表第1頁第0行第2至第4列的758號(hào)開始使用該表；

③抄錄入樣號(hào)碼如下：335、044、386、446、027、420、045、094、382、5215>342、148、407、349、

322、027、002、323、141、052、177、001、456、491、261、036、240、115、143、402

④按以上編號(hào)從總體至將相應(yīng)的分?jǐn)?shù)提取出來組成樣本，抽樣完畢.

(2)采取系統(tǒng)抽樣189+21=9,所以將189人分成9組，每組21人，在每一組中隨機(jī)抽取1人，這9

人組成樣本.

(3)采取分層抽樣總?cè)藬?shù)為12000人，12000+60=200,

2345,,...,4567”.3926,.人，“1072,A.

11,?,145人，----—22,?,167人，-----—19…余126,---------5…才;72人

200200200200

所以從很喜愛的人中剔除145人，再抽取11人；從喜愛的人中剔除167人，再抽取22人；從一般喜愛

的人中剔除126人，再抽取19人；從不喜愛的人中剔除72人，再抽取5人.

第2課總體分布的估計(jì)

【考點(diǎn)導(dǎo)讀】

1.掌握頻率分布直方圖、折線圖表與莖葉圖的做法，體會(huì)它們各自的特點(diǎn).

2.會(huì)用頻率分布直方圖、折線圖表與莖葉圖對(duì)總體分布規(guī)律進(jìn)行估計(jì).

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1.一個(gè)容量為n的樣本，分成若干組，已知某組的頻數(shù)和頻率分別為60,0.25,則n的值是240

2.用樣本頻率分布估計(jì)總體頻率分布的過程中，下列說法正確的是③

①總體容量越大，估計(jì)越精確②總體容量越小，估計(jì)越精確

③樣本容量越大，估計(jì)越精確④樣本容量越小，估計(jì)越精確

3.已知某工廠工人加工的零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如右圖所示

（以零件個(gè)數(shù)的前兩位為莖，后一位為葉），那么工人生產(chǎn)

零件的平均個(gè)數(shù)及生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)超過130的比例分別是1078

120.5與10%.1102223666778

120012234466788

130234

4.容量為100的樣本數(shù)據(jù)，按從小到大的順序分為8組，如下表:

組號(hào)12345678

頻數(shù)1013X141513129

第三組的頻數(shù)和頻率分別是14和0.4.

5.200輛汽車通過某一段公路時(shí)的時(shí)速頻率

分布直方圖如圖所示，則時(shí)速在［50,60）的汽

車大約有&輛.

【范例解析】

例1.如圖，從參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中抽出60名，將其成績（均為整數(shù)）整理后畫出的頻率分布直

方圖如下：觀察圖形，回答下列問題：

（2）估計(jì)這次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的及格率（60分及以上為及格）.

解：（1）頻率為：0.025x10=0.25,頻數(shù)：60x0.25=15

（2）0.015x10+0.025x10+0.03x10+0.005x10=0.75.

例2.在參加世界杯足球賽的32支球隊(duì)中，隨機(jī)抽取20名隊(duì)員，調(diào)查其年齡為25,21,23,25,27,

29,25,28,30,29,26,24,25,27,26,22,24,25,26,28.填寫下面的頻率分布表，據(jù)此估計(jì)全

體隊(duì)員在哪個(gè)年齡段的人數(shù)最多？占總數(shù)的百分之幾？并畫出頻率分布直方圖.

解：（1）

分組頻數(shù)頻率

[20.5,22.5)20.1

[22.5,24.5)30.15

[24.5,26.5)80.4

[26.5,28.5)40.2

[28.5,30.5]30.15

合計(jì)201

分組頻數(shù)頻率

[20.5,22.5)

[22.5,24.5

[24.5,26.5)

[26.5,28.5)

[28.5,30.5]

合計(jì)

(3)估計(jì)全體隊(duì)員在24.5?26.5處人數(shù)最多，占總數(shù)的百分之四十.

【反饋演練】

1.對(duì)于樣本頻率直方圖與總體密度曲線的關(guān)系，下列說法正確的是④

①頻率分布直方圖與總體密度曲線無關(guān)②頻率分布直方圖就是總體密度曲

線

③樣本容量很大的頻率分布直方圖就是總體密度曲線

④如果樣本容量無限增大,分組的組距無限的減小,那么頻率分布直方圖就會(huì)無限接近于總體密度曲線

2.在某餐廳內(nèi)抽取100人,其中有30人在15歲以下,35人在16至25歲,25人在26至45歲,10人在46歲

以上，則數(shù)0.35是16到25歲人員占總體分布的

①概率②頻率③累計(jì)頻率④頻數(shù)

3.10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12.

設(shè)其平均數(shù)為a,中位數(shù)為b,眾數(shù)為c,則a,b,c的大小關(guān)系為c>b>a

4.已知樣本：10,8,6,10,13,8,10,12,11,7,8,9,11,9,12,9,10,11,12,12則頻率為0.3的范圍是(2)

(1)[5.5,7.5)(2)[7.5,9.5)(3)[9.5,11.5)(4)[11.5,13.5]

5.已知10個(gè)數(shù)據(jù)如下:63,65,67,69,66,64,66,64,65,68.根據(jù)這些數(shù)據(jù)制作頻率直方圖，

其

中[64.5,66.5)這組所對(duì)應(yīng)矩形的高為0.2

6.某中學(xué)高一年級(jí)有400人，高二年級(jí)有320人，高三有280人，以每人被抽取的頻率為0.2,向

該

中學(xué)抽取一個(gè)樣本容量為n的樣本，則n=200

7.一個(gè)容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后，組距與頻數(shù)如下：[10,20),2;[20,30),3;[30,40),4;

[40,50),5;[50,60),4；[60,70],2.則樣本在區(qū)間(-8.50)上的頻率為0.7

8.觀察新生嬰兒的體重，其頻率分布直方圖如圖所示，則新生嬰兒體重在(2700.3其01的頻率為0.3

(第8題)

9.某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了50名輯/哥如他們?cè)谀骋惶旄髯哉n外閱讀所用

時(shí)間的數(shù)據(jù)，結(jié)果用右上面的條形圖表示.根據(jù)條形圖可得這50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時(shí)

間為0.9小時(shí)_______

10.從甲、乙兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取15個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，相關(guān)指標(biāo)的檢驗(yàn)結(jié)果為：

甲：534,517,528,522,513,516,527,526,520,508,533,524,518,522,512；

乙：512,520,523,516,530,510,518,521,528,532,507,516,524,526,514.

(1).畫出上述數(shù)據(jù)莖葉圖；

(2).試比較分析甲、乙兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)零件的情況.8507

解(1)用指標(biāo)的兩位數(shù)作莖，然后作莖葉圖：8763251024668

(2)從圖中可以看出，甲機(jī)器生產(chǎn)零件的指標(biāo)

876422052013468

分布大致對(duì)稱，指標(biāo)平均在520左右，中位數(shù)

435302

和眾數(shù)均為522；乙機(jī)器生產(chǎn)零件的指標(biāo)分布為

大致對(duì)稱，指標(biāo)平均在520左右，中位數(shù)和眾數(shù)

分別為520和516,總的來看，甲機(jī)器生產(chǎn)的零

件的指標(biāo)略大些..

點(diǎn)評(píng)注意作莖葉圖時(shí)，莖可以放兩位數(shù).

第3課總體特征數(shù)的估計(jì)

【考點(diǎn)導(dǎo)讀】

理解樣本數(shù)據(jù)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義并且會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差，使學(xué)生掌握通過合理抽樣對(duì)總體

穩(wěn)定性作出科學(xué)的估計(jì)的思想.

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1.已知數(shù)據(jù)飛，毛,…，x,的平均數(shù)為1=5,則數(shù)據(jù)3±+7,3%+7,…，3x+7的平均數(shù)為22.

MX+NY

2.若M個(gè)數(shù)的平均數(shù)是X,N個(gè)數(shù)的平均數(shù)是Y,則這M+N個(gè)數(shù)的平均數(shù)是------

M+N

3.數(shù)據(jù)a1，a2,a3,…，an的方差為。1則數(shù)據(jù)2ai,2a2,2a3,…，2a”的方差為4。上.

4.已知同一總體的兩個(gè)樣本，甲的樣本方差為"一，乙的樣本方差為6-J5,則下列說法

<2+1

正確的是④.

①甲的樣本容量?、谝业臉颖救萘啃、奂椎牟▌?dòng)較?、芤业牟▌?dòng)較小

【范例解析】

例1.下面是一個(gè)班在一次測(cè)驗(yàn)時(shí)的成績，分別計(jì)算男生和女生的成績平均值、中位數(shù)以及眾數(shù)?試分析

一下該班級(jí)學(xué)習(xí)情況.

男生：55,55,61,65,68,68,71,72,73,74,75,78,80,81,82,87,94；

女生：53,66,70,71,73,73,75,80,80,82,82,83,84,85,87,88,90,93,94,97.

解：17名男生成績的平均值是72.9分，中位數(shù)是73分，眾數(shù)為55和68.

20名女生成績的平均值是80.3分，中位數(shù)是82分，眾數(shù)為73,80和82.

從上述情況來看，這個(gè)班女生成績明顯好于男生成績.

例2.為了比較甲，乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的成績，在相同的條件下對(duì)他們進(jìn)行了10次測(cè)驗(yàn)，測(cè)得他們的環(huán)

數(shù)如下：

環(huán)數(shù)1098765

甲(次)321202

乙(次)222220

試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷他們誰更優(yōu)秀.

解：x甲=8,x乙=8,S甲2=3.4,S乙2=2,所以乙更優(yōu)秀

例3.某化肥廠甲、乙兩個(gè)車間包裝肥料，在自動(dòng)包裝傳送帶上每隔30分鐘抽取一包產(chǎn)品，

稱其重量，分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下：

甲：102,101,99,98,103,98,99；

乙：110,115,90,85,75,115,110.

(1)這種抽樣方法是哪一種方法？

(2)計(jì)算甲、乙兩個(gè)車間產(chǎn)品的平均數(shù)與方差，并說明哪個(gè)車間產(chǎn)品較穩(wěn)定？

解：(1)采用的方法是：系統(tǒng)抽樣；

(2)Z=-002+101+99+98+103+98+99)=100；

7

一1

x乙a10+115+90+85+75+115+110)=100；

,1

5%=-(4+1+1+4+9+4+D=3.42857；

」(100+225+100+225+625+225+100)=228.57

乙7

S)<S2乙故甲車間產(chǎn)品比較穩(wěn)定.

點(diǎn)評(píng)以樣本估計(jì)總體，在生產(chǎn)生活經(jīng)常用到，發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，從而更好地指導(dǎo)實(shí)踐.

【反饋演練】

1.下列說法中，正確的是④.

①頻率分布直方圖中各小長方形的面積不等于相應(yīng)各組的頻率

②一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是這組數(shù)據(jù)的方差的平方

③數(shù)據(jù)2,3,4,5的方差是數(shù)據(jù)4,6,8,10的方差的一半

④一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大

2.從甲、乙兩班分別任意抽出10名學(xué)生進(jìn)行英語口語測(cè)驗(yàn)，其測(cè)驗(yàn)成績的方差分別為S.2=13.2,

S?2=26.26,則①.

①甲班10名學(xué)生的成績比乙班10名學(xué)生的成績整齊

②乙班10名學(xué)生的成績比甲班10名學(xué)生的成績整齊

③甲、乙兩班10名學(xué)生的成績一樣整齊

④不能比較甲、乙兩班10名學(xué)生成績的整齊程度

3.已知樣本為101,98,102,100,99,則樣本標(biāo)準(zhǔn)差為五

4.某班45人，一次數(shù)學(xué)考試，班級(jí)均分72分.己知不及格人數(shù)為5人，他們的平均成績是52分，則及

格學(xué)生的平均分為74.5分.

5.高三年級(jí)1000名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)其中測(cè)試.高三年級(jí)組隨機(jī)調(diào)閱了100名學(xué)生的試卷(滿分為150分),

成績記錄如下：

成績

345678910

(分)

人數(shù)681015153583

求樣本平均數(shù)和樣本方差.

??-6x3+8x4+10x5+15x6+15x7+35x8+8x9+3x10?！?/p>

解：x=-----------------------------------------------------=6.77

100

s1=-!-[6x(3—工產(chǎn)+8x(4—5)2+10x(5—元了+15x(6—工『

60

+15X(7-X)2+35X(8-X)2+8X(9-X)2+3X(10-X)2]=3.1171

6.兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)直徑為10的零件，為了檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，質(zhì)量質(zhì)檢員從兩臺(tái)機(jī)床的產(chǎn)品中各抽取4

件進(jìn)行測(cè)量，結(jié)果如下：

機(jī)床甲109.81010.2

機(jī)床乙10.1109.910

如果你是質(zhì)量檢測(cè)員，在收集到上述數(shù)據(jù)后，你將通過怎樣的運(yùn)算來判斷哪臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的零件質(zhì)量更符

合要求.

解：先考慮各自的平均數(shù)：設(shè)機(jī)床甲的平均數(shù)、方差分別為用、s：；機(jī)床乙的平均數(shù)、方差分別為豆、

_10+9.8+10+10.2一10.1+10+9.9+10

x.=-----------------=10,%,=------------------=10

144

...兩者平均數(shù)相同，再考慮各自的方差：

22222

5)=1[(10-10)+(9.8-10)+(10-10)+(10.2-10)]=0.02

=1[(10-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(9.9-10)2]=0.005

:s；>s；，，機(jī)床乙的零件質(zhì)量更符合要求.

第4課案例分析

【考點(diǎn)導(dǎo)讀】

1.會(huì)作兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系.

2.知道最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程.

3.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、方法及其初步應(yīng)用，了解回歸與分析的基本思想、方法及其初步應(yīng)用.

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1.根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)：可求出與的線性回歸方程是y=0.7x-0.1

X-1012

y-1011

2.線性回歸方程》="+〃表示的直線必經(jīng)過的一個(gè)定點(diǎn)是QJ)

3.設(shè)有一個(gè)直線回歸方程為y=2-l.5x,則變量X增加一個(gè)單位時(shí)③.

①y平均增加1.5個(gè)單位②y平均增加2個(gè)單位

③y平均減少L5個(gè)單位@y平均減少2個(gè)單位

4.對(duì)于給定的兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),下列說法正確的是③.

①都可以分析出兩個(gè)變量的關(guān)系②都可以用一條直線近似地表示兩者的關(guān)系

③都可以作出散點(diǎn)圖④都可以用確定的表達(dá)式表示兩者的關(guān)系

5.對(duì)于兩個(gè)變量之間的相關(guān)系數(shù),下列說法中正確的是③.

①卜|越大，相關(guān)程度越大

②|r|e(O,+8),|r|越大，相關(guān)程度越小，"|越小，相關(guān)程度越大

③|r|VI且|r|越接近于1,相關(guān)程度越大；|r|越接近于0,相關(guān)程度越小

【范例解析】

例1.在對(duì)人們的休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中女性70人，男性54人.女性中有43人

主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)；男性中有21人主要的休閑方式是看電視,

另外33人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng).

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2x2的列聯(lián)表；(2)判斷性別與休閑方式是否有關(guān)系.

解：(1)2x2的列聯(lián)表

看電視運(yùn)動(dòng)總計(jì)

女432770

男213354

總計(jì)6460124

(2)假設(shè)“休閑方式與性別無關(guān)”

;124x(43x33-27x21)2

計(jì)算/—70x54x64x60=6.201

因?yàn)?25.024,所以有理由認(rèn)為假設(shè)“休閑方式與性別無關(guān)”是不合理的,

即有97.5%的把握認(rèn)為“休閑方式與性別有關(guān)”.

點(diǎn)評(píng)對(duì)兩個(gè)變量相關(guān)性的研究，可先計(jì)算力2的值，并根據(jù)臨界表進(jìn)行估計(jì)與判斷.

例3.一個(gè)車間為了為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了10次實(shí)驗(yàn)，測(cè)得如

下數(shù)據(jù)：

零件數(shù)X(個(gè))102030405060708090100

加工時(shí)間y(分)626875818995102108115122

(1)y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系？

(2)如果y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程；

(3)據(jù)此估計(jì)加工200個(gè)零件所用時(shí)間為多少？

解：(1)r=0.998.查表可得0.05和n-2相關(guān)系數(shù)臨界=0632,

由廠＞@)5知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系?

(2)回歸直線方程為9=0.668x4-54.96

（3）估計(jì)加工200個(gè)零件所用時(shí)間189分.

【反饋演練】

1.下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是④.

①角度與它的余弦值②正方形的邊長與面積

③正n邊形的邊數(shù)和頂點(diǎn)角度之和④人的年齡與身高

2.為了考察兩個(gè)變量x和y之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩個(gè)同學(xué)各自獨(dú)立的做10次和15次試驗(yàn)，并

且

利用線性回歸方法，求得回歸直線分布為4和4，已知在兩人的試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對(duì)變量X的觀察數(shù)據(jù)的平均

值

恰好相等都為s,對(duì)變量y的觀察數(shù)據(jù)的平均值恰好相等都為t,那么下列說法正確的是①.

①直線4和4有交點(diǎn)（s,t）②直線4和4相交，但是交點(diǎn)未必是（s,t）

③直線乙和4平行④直線《和4必定重合

3.下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是④.

①正方體的棱長和體積②單位圓中角的度數(shù)和所對(duì)弧長

③單產(chǎn)為常數(shù)時(shí)，土地面積和總產(chǎn)量④日照時(shí)間與水稻的畝產(chǎn)量

4.對(duì)于回歸方程y=4.75x+257,當(dāng)x=28時(shí)，y的估計(jì)值為390.

5.某高校"統(tǒng)計(jì)初步"課程的教師隨機(jī)調(diào)查了選該課的一些學(xué)生情況，具體數(shù)據(jù)如下表：

非統(tǒng)計(jì)專業(yè)統(tǒng)計(jì)專業(yè)

男1310

女720

為了判斷主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)是否與性別有關(guān)系，根據(jù)

表中的數(shù)據(jù)，得到/=50X13x20二1藝7）：4344，因?yàn)樾?3.841,所以判定主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)系,

23x27x20x30

那么這種判斷出錯(cuò)的可能性為5%.

6.為了研究失重情況下男女飛行員暈飛船的情況，抽取了89名被試者，他們的暈船情況匯總?cè)缦卤?，?/p>

據(jù)獨(dú)立性假設(shè)檢驗(yàn)的方法，不能認(rèn)為在失重情況下男性比女性更容易暈船（填能或不能）

暈機(jī)不暈機(jī)合計(jì)

男性233255

女性92534

合計(jì)325789

7.打鼾不僅影響別人休息，而且可能與患某種疾病有關(guān)，下表是一次調(diào)查所得的數(shù)據(jù)，試問：每一晚都

打鼾與患心臟病有關(guān)嗎？

患心臟病未患心臟病合計(jì)

每一晚都打鼾30224254

不打鼾2413551379

合計(jì)5415791633

解：提出假設(shè)H。：打鼾與患心臟病無關(guān)，根據(jù)數(shù)據(jù)得

21633x（30x1355-24x224）'“八、+,工、/

r=-------------------------—?68.03.當(dāng)Ho成立時(shí)，2>6.635的概率為1%,而這時(shí)L

54x1579x254x1379

/=68.03>6.635,所以我們有99%的把握認(rèn)為打鼾與患心臟病有關(guān).

第5課古典概型

【考點(diǎn)導(dǎo)讀】

1.在具體情境中，了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性及頻率的穩(wěn)定性，進(jìn)一步了解概率的意義以及概率與頻

率的區(qū)別.

2.正確理解古典概型的兩大特點(diǎn)：1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；2）每個(gè)基本事件出

現(xiàn)的可能性相等.

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1.某射手在同一條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下表所示：

射擊次數(shù)n102050100200500

擊中靶心次數(shù)m8194492178455

擊中靶心的頻率生

n

（1）填寫表中擊中靶心的頻率；

（2）這個(gè)射手射擊一次，擊中靶心的概率約是什么？

分析：事件A出現(xiàn)的頻數(shù)11A與試驗(yàn)次數(shù)n的比值即為事件A的頻率，當(dāng)事件A發(fā)生的頻率力（A）穩(wěn)定

在某個(gè)常數(shù)上時(shí)，這個(gè)常數(shù)即為事件A的概率.

解：⑴表中依次填入的數(shù)據(jù)為：0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.

（2）由于頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.89,所以這個(gè)射手擊一次，擊中靶心的概率約是0.89.

點(diǎn)評(píng)概率實(shí)際上是頻率的科學(xué)抽象，求某事件的概率可以通過求該事件的頻率而得之.

2.將一枚硬幣向上拋擲10次，其中正面向上恰有5次是隨機(jī)事件（必然、隨機(jī)、不可能）

3.下列說法正確的是③.

①任一事件的概率總在（0.1）內(nèi)②不可能事件的概率不一定為0

③必然事件的概率一定為1④以上均不對(duì)

3

4.一枚硬幣連擲3次，只有一次出現(xiàn)正面的概率是一

8_

5.從分別寫有A、B、C、D、E的5張卡片中，任取2張，這2張卡片上的字母恰好是按字母順序相鄰的

2

概率為一

5

【范例解析】

例L連續(xù)擲3枚硬幣，觀察落地后這3枚硬幣出現(xiàn)正面還是反面.

（1）寫出這個(gè)試驗(yàn)的基本事件；

（2）求這個(gè)試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)；

（3）“恰有兩枚正面向上”這一事件包含哪幾個(gè)基本事件？

解：（1）這個(gè)試驗(yàn)的基本事件Q=｛（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反,

正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反））；

（2）基本事件的總數(shù)是8.

（3）“恰有兩枚正面向上”包含以下3個(gè)基本事件：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）.

點(diǎn)評(píng)一次試驗(yàn)中所有可能的結(jié)果都是隨機(jī)事件，這類隨機(jī)事件稱為基本事件.

例2.拋擲兩顆骰子，求：

（1）點(diǎn)數(shù)之和出現(xiàn)7點(diǎn)的概率；

（2）出現(xiàn)兩個(gè)4點(diǎn)的概率.

解：作圖，從下圖中容易看出基本事件空間與點(diǎn)集S=｛（x,y）|xCN,yCN,lWx<6,l<yW6｝中的

元

素一一對(duì)應(yīng).因?yàn)镾中點(diǎn)的總數(shù)是6X6=36(個(gè))，所以基本事件總數(shù)n=36.

(1)記“點(diǎn)數(shù)之和出現(xiàn)7點(diǎn)”的事件為A,從圖中可看到事件A包含的基本事件數(shù)共6個(gè)：(6,1),(5,

61

2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6),所以P(A)=一=-.

366

(2)記“出現(xiàn)兩個(gè)4點(diǎn)”的事件為B,則從圖中可看到事件B包含的基本事件數(shù)只有1個(gè)：(4,4).所

點(diǎn)評(píng)在古典概型下求P(A),關(guān)鍵要找出A所包含的基本事件個(gè)數(shù)然后套用公式

=事件A包含基本事件的個(gè)數(shù)加

()一基本事件的總數(shù)〃

變題.在一次口試中，考生要從5道題中隨機(jī)抽取3道進(jìn)行回答，答對(duì)其中2道題為優(yōu)秀，答對(duì)其中1

道題為及格，某考生能答對(duì)5道題中的2道題，試求：

(1)他獲得優(yōu)秀的概率為多少；

(2)他獲得及格及及格以上的概率為多少；

點(diǎn)撥：這是一道古典概率問題，須用枚舉法列出基本事件數(shù).

解：設(shè)這5道題的題號(hào)分別為1,2,3,4,5,則從這5道題中任取3道回答，有(1,2,3),(1,2,4),

(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),

(2,4,5),(3,4,5)共10個(gè)基本事件.

3

(1)記“獲得優(yōu)秀”為事件4則隨機(jī)事件人中包含的基本事件個(gè)數(shù)為3,故P(A)=3.

109

(2)記“獲得及格及及格以上”為事件B,則隨機(jī)事件B中包含的基本事件個(gè)數(shù)為9,故P(B)=熱.

點(diǎn)評(píng)：使用枚舉法要注意排列的方法，做到不漏不重.

例3.從含有兩件正品a”a2和一件次品b的三件產(chǎn)品中，每次任取一件，每次取出后不放回，連續(xù)取

兩

次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率.

解：每次取出一個(gè)，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有6個(gè)，即(a?a2),

(a,,b2),(a2,a>),(a2,bi),(bi,a)(b2,a2).其中小括號(hào)內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，

右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)用A表示“取出的兩種中，恰好有一件次品”這一事件，則

42

A=[(a,,b,),(a2,b,).a)(b,,a2)]事件A由4個(gè)基本事件組成,因而,P(A)=-=-

63

【反饋演練】

1.某人進(jìn)行打靶練習(xí)，共射擊10次，其中有2次中10環(huán)，有3次環(huán)中9環(huán)，有4次中8環(huán)，有1次未

中靶，試計(jì)算此人中靶的概率，假設(shè)此人射擊1次，試問中靶的概率約為」2_中1。環(huán)的概率約

為0.2.

9

分析：中靶的頻數(shù)為9,試驗(yàn)次數(shù)為10,所以中靶的頻率為一=0.9,所以中靶的概率約為0.9.

10

解：此人中靶的概率約為0.9；此人射擊1.次，中靶的概率為0.9；中10環(huán)的概率約為0.2.

2.一棟樓房有4個(gè)單元，甲乙兩人被分配住進(jìn)該樓，則他們同住一單元的概率是。.人.

3.在第1,3,6,8,16路公共汽車都要?？康囊粋€(gè)站(假定這個(gè)站只能?？恳惠v汽車)，有一位乘客等候第

6

路或第16路汽車.假定當(dāng)時(shí)各路汽車首先到站的可能性相等，則首先到站正好是這位乘客所需乘的汽車

的

2

概率等于-

5

3

4.把三枚硬幣一起拋出，出現(xiàn)2枚正面向上，一枚反面向上的概率是-

8

3

5.有5根細(xì)木棒，長度分別為1,3,5,7,9,從中任取三根，能搭成三角形的概率是—

10

6.從1,2,3,9這9個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)數(shù)字，

(1)2個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)的概率為—

18

4

(2)2個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為-

9

O

7.某小組共有10名學(xué)生，其中女生3名，現(xiàn)選舉2名代表，至少有1名女生當(dāng)選的概率為—

15

8.A、B、C、D、E排成一排，A在B的右邊(A、B可以不相鄰)的概率是—

2

9.在大小相同的5個(gè)球中，2個(gè)是紅球，3個(gè)是白球，若從中任取三個(gè)，則所取的2個(gè)球中至少有一個(gè)紅

7

球的概率是—

10

10.用紅、黃、藍(lán)三種不同顏色給下圖中3個(gè)矩形隨機(jī)涂色，每個(gè)矩形只涂一種顏色，求:

(1)3個(gè)矩形顏色都相同的概率；(2)3個(gè)矩形顏色都不同的概率.

解：所有可能的基本事件共有27個(gè)，如圖所示.

久

紅

r紅Fr

紅