經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)（第三版） 教案 3.投入產(chǎn)出模式

第3講投入產(chǎn)出模式建立與決策咨詢總產(chǎn)值價(jià)值形成問題及解決方案教學(xué)目標(biāo)：會(huì)建立投入產(chǎn)出模型，掌握投入產(chǎn)出模型的求解；教學(xué)內(nèi)容：討論總產(chǎn)值形成問題及解決方案；教學(xué)重點(diǎn)：掌握直接消耗系數(shù)以及總產(chǎn)值價(jià)值形成問題及模型建立；教學(xué)難點(diǎn)：總產(chǎn)值價(jià)值形成問題與線性方程組的聯(lián)系。復(fù)習(xí)：1.矩陣的線性運(yùn)算，矩陣的乘法，逆矩陣以及轉(zhuǎn)置矩陣；2.mmult,minverse以及transpose函數(shù)；3.用逆矩陣求解線性方程組。一、問題引入總產(chǎn)值價(jià)值形成問題引例6.1按照我國對三大產(chǎn)業(yè)的劃分,將國民經(jīng)濟(jì)體系分為工業(yè)、農(nóng)業(yè)和服務(wù)業(yè)三個(gè)部門.設(shè)某年對它們的產(chǎn)品總產(chǎn)值分布進(jìn)行調(diào)查的結(jié)果如表6-1所示(表中數(shù)據(jù)均表示以萬億元人民幣計(jì)的產(chǎn)品價(jià)值).表6-1投入產(chǎn)出表單位:萬億元產(chǎn)出投入中間使用最終需求總產(chǎn)出工業(yè)農(nóng)業(yè)服務(wù)業(yè)中間投入工業(yè)農(nóng)業(yè)服務(wù)業(yè)31.51.50.61.80.612410.40.73.915610最初投入(增值)933總投入15610試建立線性方程組來確定當(dāng)工業(yè)、農(nóng)業(yè)和服務(wù)業(yè)面臨的最終需求分別為33萬億元、8萬億元和16萬億元時(shí),各部門的總產(chǎn)出應(yīng)該是多少.問題分析任何產(chǎn)品生產(chǎn)的技術(shù)過程都是一個(gè)投入產(chǎn)出過程,引例要求我們回答的就是分析系統(tǒng)各部門之間相互輸入(投入)和輸出(產(chǎn)出)的產(chǎn)品的數(shù)量關(guān)系.當(dāng)我們考慮一個(gè)經(jīng)濟(jì)體系時(shí),會(huì)發(fā)現(xiàn)每種產(chǎn)業(yè)都需要使用其他產(chǎn)業(yè)的“產(chǎn)出”作為自己的原材料,反過來,它所“產(chǎn)出”的產(chǎn)品又必然是某些別的產(chǎn)業(yè)的“投入”,從而構(gòu)成了相互依賴的關(guān)系.比如,把一個(gè)經(jīng)濟(jì)體系分成農(nóng)業(yè)、工業(yè)和服務(wù)業(yè)三大部分,農(nóng)業(yè)要利用服務(wù)業(yè)(如運(yùn)輸)和工業(yè)(如農(nóng)機(jī))的“產(chǎn)出”,反過來,服務(wù)業(yè)與工業(yè)當(dāng)然也要用到農(nóng)業(yè)產(chǎn)品作為它們的“投入”.那么,如何把各部門的投入來源和產(chǎn)出去向縱橫交叉地編制成投入產(chǎn)出表?如何根據(jù)投入產(chǎn)出表的平衡關(guān)系,建立投入產(chǎn)出模型?如何借助投入產(chǎn)出表和投入產(chǎn)出模型進(jìn)行各種經(jīng)濟(jì)分析?這些正是我們要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.總產(chǎn)值價(jià)值形成問題的數(shù)學(xué)模型從表6-1可以歸納出以下基本的平衡關(guān)系:(1)從縱向看,中間投入+最初投入=總投入.以工業(yè)部門為例(第一列),工業(yè)部門消耗了它自身的投入3萬億元,消耗了來自農(nóng)業(yè)部門的投入1.5萬億元,消耗了來自服務(wù)業(yè)的投入1.5萬億元,同時(shí),它的最初投入為9萬億元,則它的總投入量為15萬億元.(2)從橫向看,中間使用+最終需求=總產(chǎn)出.以農(nóng)業(yè)部門為例(第二行),農(nóng)業(yè)部門向工業(yè)部門的輸出為1.5萬億元,向它自身的輸出為1.8萬億元,向服務(wù)業(yè)的輸出為2萬億元,同時(shí),它向其他機(jī)構(gòu)(如政府、出口等)的輸出(最終需求)為0.7萬億元,則它的總產(chǎn)出為6萬億元.(3)每一個(gè)部門的總投入等于該部門的總產(chǎn)出.定義6.1計(jì)算每個(gè)部門總產(chǎn)出1元價(jià)值的產(chǎn)品時(shí),將相應(yīng)各部門向該部門的直接輸出所占的比例稱為直接消耗系數(shù).直接消耗系數(shù)是常數(shù).由表6-1可知，工業(yè)部門的總產(chǎn)出為15萬億元,而工業(yè)生產(chǎn)過程中所消耗的農(nóng)業(yè)產(chǎn)品為1.5萬億元,所以單位工業(yè)產(chǎn)品所消耗的農(nóng)業(yè)產(chǎn)品為0.1元.類似地,將三個(gè)部門的中間投入數(shù)據(jù)分別除以本部門的總產(chǎn)出,便可得到直接消耗系數(shù)表,見表6-2.表6-2直接消耗系數(shù)表產(chǎn)出投入中間使用總產(chǎn)出工業(yè)農(nóng)業(yè)服務(wù)業(yè)中間投入工業(yè)農(nóng)業(yè)服務(wù)業(yè)3151.1.0.1.0.11021041015610顯然,直接消耗系數(shù)表示每生產(chǎn)單位價(jià)值產(chǎn)品所需直接消耗的各部門產(chǎn)品的價(jià)值,它是對產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行預(yù)測或規(guī)劃工作的基礎(chǔ).比如,若設(shè)工業(yè)、農(nóng)業(yè)和服務(wù)業(yè)的計(jì)劃總產(chǎn)出分別為x1萬億元、x2萬億元和x3萬億元,由表6-2便可得計(jì)劃投入產(chǎn)出表,見表6-3.表6-3計(jì)劃投入產(chǎn)出表單位:萬億元產(chǎn)出投入中間使用最終需求總產(chǎn)出工業(yè)農(nóng)業(yè)服務(wù)業(yè)中間投入工業(yè)農(nóng)業(yè)服務(wù)業(yè)0.2x10.1x10.1x10.1x20.3x20.1x20.1x30.2x30.4x333816x1x2x3于是,根據(jù)投入產(chǎn)出表的平衡關(guān)系,有以下消耗平衡方程組QUOTE0.2x1+0.1整理,得QUOTE0.8x1－0投入產(chǎn)出方程組的矩陣表示三元一次方程組(6.2)又稱為線性方程組，從引例6.的解決過程不難發(fā)現(xiàn)，投入產(chǎn)出問題的本質(zhì)是將問題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)線性方程組.直接消耗系數(shù)表和最終需求(表6-3)可以用矩陣表示如下：，稱矩陣A為投入產(chǎn)出問題的直接消耗系數(shù)矩陣.顯然,aij表示每生產(chǎn)單位價(jià)值第j種產(chǎn)品所需直接消耗的第i種產(chǎn)品的價(jià)值.投入產(chǎn)出方程組(6.1)可以表示為整理得(I－A)X=Y.(6.3)式(6.6)即為方程組(6.2)的矩陣形式,稱為矩陣方程.如果矩陣I－A可逆,則在矩陣方程(6.6)兩邊同時(shí)左乘矩陣(I－A)-1,可得解的矩陣表示為X=(I－A)-1Y(6.4)其中,(I－A)-1為矩陣I－A的逆矩陣,稱為里昂惕夫逆矩陣.求解一個(gè)投入產(chǎn)出方程組,通常用逆矩陣法:先求出里昂惕夫逆矩陣(I－A)-1,再利用式(6.4)求出X.利用Excel中的minverse函數(shù)和mmult函數(shù)求解上述方程組,得x1=50,x2=30,x3=40.所以,當(dāng)工業(yè)、農(nóng)業(yè)和服務(wù)業(yè)面臨的最終需求分別為33萬億元、8萬億元和16萬億元時(shí),三個(gè)部門的總產(chǎn)出應(yīng)該為50萬億元、30萬億元和40萬億元.完全消耗系數(shù)矩陣記表示單位價(jià)值的為完全消耗系數(shù)矩陣，其計(jì)算公式如下：。針對表一數(shù)據(jù)的完全消耗系數(shù)矩陣B為。矩陣B從更深層次上揭示了各產(chǎn)業(yè)部門間的相互依賴關(guān)系，如：若工業(yè)部門面臨的最終需求增加1元，那么不僅要增加0.2元工業(yè)產(chǎn)品、0.1元的農(nóng)業(yè)產(chǎn)品和0.1元服務(wù)業(yè)產(chǎn)品作為直接消耗，而且還將有約0.12(0.32-0.2)元工業(yè)產(chǎn)品、0.16(0.26-0.1)元農(nóng)業(yè)產(chǎn)品和0.16(0.26-0.1)元服務(wù)業(yè)產(chǎn)品作為間接消耗。這表明，在統(tǒng)籌產(chǎn)品部門的經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)時(shí)，要充分考慮各個(gè)部門的承受能力，協(xié)調(diào)發(fā)展，這對經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的計(jì)劃決策是十分重要而有意義的。二、企業(yè)產(chǎn)銷預(yù)測模型1．問題的提出某企業(yè)2009年的投入產(chǎn)出表如下(單位：萬元)。2011年計(jì)劃三種產(chǎn)品的庫存量不變，銷售量分別比2009年增加30%、20%、40%，試預(yù)測該企業(yè)的總產(chǎn)品、中間產(chǎn)品、外購產(chǎn)品的投入產(chǎn)出情況。表6-42009年投入產(chǎn)出表(萬元)產(chǎn)出投入中間產(chǎn)品最終產(chǎn)品總產(chǎn)品產(chǎn)品1產(chǎn)品2產(chǎn)品3庫存銷售產(chǎn)品1--4912924410551819產(chǎn)品229139920112701產(chǎn)品33717061077最終投入外購產(chǎn)品910760302其它投入9091450455總投入1819270110772．解決方案根據(jù)表6-4，求得直接消耗系數(shù)矩陣為，而2011年三種產(chǎn)品的最終產(chǎn)出分別為設(shè)2011年三種產(chǎn)品的總產(chǎn)值則解得即2011年三種產(chǎn)品的總產(chǎn)值分別為2230.1萬元、3179.5萬元和1359.4萬元。下面討論該企業(yè)2011年中間產(chǎn)品和外購產(chǎn)品的投入產(chǎn)出情況。以產(chǎn)品2為例，2011年產(chǎn)品2的總投入為3179.5萬元，而單位價(jià)值產(chǎn)品2所消耗的產(chǎn)品1為0.1818元(見直接消耗系數(shù)矩陣)，所以，2011年產(chǎn)品2所消耗的產(chǎn)品1價(jià)值為3179.5×0.1818=578萬元。類似地，可得2011年的中間產(chǎn)品使用情況表(見表8-6)。由表6-4，可得三種產(chǎn)品生產(chǎn)過程中外購產(chǎn)品占總投入的比例系數(shù)分別為0.5003、0.2814和0.2804，所以2011年三種產(chǎn)品生產(chǎn)過程中的外購產(chǎn)品價(jià)值分別為1115.7萬元、894.6萬元和381.2萬元。類似可得2011年其他投入分別為1114.4萬元、1706.9萬元和574.3萬元。匯總以上數(shù)據(jù)，得該企業(yè)2011年的投入產(chǎn)出情況表，見表6-5。表6-52011年投入產(chǎn)出表產(chǎn)出投入中間產(chǎn)品最終產(chǎn)品總產(chǎn)品產(chǎn)品1產(chǎn)品2產(chǎn)品3庫存銷售產(chǎn)品1--578.036.62441371.52230.1產(chǎn)品2367.33992413.23179.5產(chǎn)品3371988.41359.4最終投入外購產(chǎn)品1115.7894.6381.2其它投入1114.41706.9574.3總投入2230.13179.51359.4可見，總產(chǎn)品、中間產(chǎn)品、外購產(chǎn)品以及其它投入(如折舊、利潤稅金、企業(yè)管理費(fèi)和工資等)會(huì)隨著三種產(chǎn)品的銷量增長而增長。習(xí)題1.表6-7是某經(jīng)濟(jì)體系中A、B兩個(gè)部門的投入產(chǎn)出資料,如果最終需求變成對A為210百萬元,對B為147百萬元,那么這個(gè)經(jīng)濟(jì)體系中各部門的總產(chǎn)出是多少?表6-7投入產(chǎn)出表單位:百萬元產(chǎn)出投入使用方最終需求總產(chǎn)出AB生產(chǎn)方AB1206040401401003002002.對由M(制造)、L(勞動(dòng))和A(農(nóng)業(yè))三個(gè)部門組成的經(jīng)濟(jì)體系進(jìn)行調(diào)查,它們的產(chǎn)品投入產(chǎn)出分析資料如表6-8所示.表6-8投入產(chǎn)出表單位:億元產(chǎn)出投入買方最終需求總產(chǎn)出MLA賣方MLA12030667.5112.59201030392.5297.5155600450200當(dāng)對M、L和A的最終需求變?yōu)?50億元、330億元和67億元時(shí),列出相應(yīng)的表格,建立方程組,然后求出M、L和A新的總產(chǎn)出是多少.3.假定國民經(jīng)濟(jì)分為農(nóng)業(yè)、工業(yè)和其他三個(gè)部門,其投入產(chǎn)出的相互關(guān)系見表6-9.表6-9投入產(chǎn)出表單位:億元中間產(chǎn)品最終產(chǎn)品總產(chǎn)出農(nóng)業(yè)工業(yè)其他中間投入農(nóng)業(yè)工業(yè)其他3249469046606900865039001150700050007845141219414191443446122