定義域和值域金典例題

一.復(fù)合函數(shù)求定義域的幾種題型解:由題意知:解：由題意知:的定義域?yàn)榫毩?xí)定義域?yàn)椋x域題型三：函數(shù)的定義域，求含參數(shù)的取值范圍解:定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，對(duì)(1)當(dāng)K=0時(shí),3≠0成立當(dāng)時(shí)，由以上〔1〕〔2〕知，練習(xí):假設(shè)函數(shù)的定義域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解:∵定義域是R,當(dāng)時(shí),顯然適合題意.當(dāng)時(shí)綜上知:實(shí)數(shù)a的取值范圍為方法總結(jié)：函數(shù)y=f[g(x)]的定義域是〔a，b〕，求f(x)的定義域，其方法是：利用a<x<b，求得g(x)的范圍就是f(x)的定義域；函數(shù)y=f(x)的定義域是〔a，b〕，求f[g(x)]的定義域，其方法是：利用a<g(x)<b，求得x的范圍就是f[g(x)]的定義域；函數(shù)值域七種常見(jiàn)求法配方法求函數(shù)的值域。。例2、假設(shè),試求的最大值。最大值。x觀察法x例3.求函數(shù)的值域。局部分式法求的值域。解：〔利用局部分式法〕由，可得值域小結(jié)：分式函數(shù)，如果在其自然定義域〔代數(shù)式自身對(duì)變量的要求〕內(nèi)，值域?yàn)?；如果是條件定義域〔對(duì)自變量有附加條件〕，采用局部分式法將原函數(shù)化為，用復(fù)合函數(shù)法來(lái)求值域。四、判別式法例4.求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)化為關(guān)于x的一元二次方程〔1〕當(dāng)時(shí)，解得：〔2〕當(dāng)y=1時(shí)，，而故函數(shù)的值域?yàn)楦静坏仁椒ǎ豪呵蠛瘮?shù)的值域解：原函數(shù)可化為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故值域?yàn)橛薪缧苑ǎ骸卜秦?fù)性〕求函數(shù)的值域例7.求函數(shù)的值域。解：由原函數(shù)式可得：∵∴解得：故所求函數(shù)的值域?yàn)槠撸?數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域。結(jié)合圖形不難得到：。例16.求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化簡(jiǎn)得：-01-0134-4xy求的值域解法一：〔圖象法〕可化為觀察得值域例析幾類(lèi)函數(shù)的值域問(wèn)題函數(shù)的值域或最值問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。下述幾類(lèi)值域問(wèn)題，是出現(xiàn)頻率較高，且極易出錯(cuò)的類(lèi)型?，F(xiàn)評(píng)述如下，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助。一、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問(wèn)題二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問(wèn)題，常見(jiàn)的有三種類(lèi)型，〔1〕“軸定區(qū)間定〞型，〔2〕“軸動(dòng)區(qū)間定〞型，〔3〕“軸定區(qū)間動(dòng)〞型。這三種類(lèi)型都是根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間的位置關(guān)系，來(lái)確定函數(shù)的值域。第〔2〕、〔3〕種類(lèi)型，可按閉區(qū)間將數(shù)軸分成三個(gè)局部來(lái)分類(lèi)，對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間內(nèi)，在區(qū)間左側(cè)或右側(cè)，只要對(duì)這三種情況討論，就可確定函數(shù)的值域。例1、〔1〕，求其值域?！?〕，求其值域?！?〕，求其值域。解：〔1〕易得值域?yàn)?。解：?〕對(duì)稱(chēng)軸為(ⅰ)當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，易得值域?yàn)?ⅱ)當(dāng)時(shí)，，假設(shè)，假設(shè)，那么。即當(dāng)時(shí)，值域?yàn)楫?dāng)時(shí)，值域?yàn)椤！并！钞?dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，，值域?yàn)榫C上所述：當(dāng)時(shí)值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，值域?yàn)?；?dāng)時(shí)值域?yàn)?。解：?〕，對(duì)稱(chēng)軸為(ⅰ)當(dāng)即時(shí)，在上為增函數(shù)，值域?yàn)?ⅱ)當(dāng)即時(shí)，假設(shè)那么；假設(shè)那么即當(dāng)時(shí)，值域?yàn)楫?dāng)時(shí)，值域?yàn)?ⅲ)當(dāng)即時(shí)，在上為減函數(shù)，值域?yàn)榫C上所述:當(dāng)時(shí),值域?yàn)?當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?當(dāng)時(shí),值域?yàn)槎⑿稳绲暮瘮?shù)值域問(wèn)題由于函數(shù)的圖像形如“對(duì)勾反對(duì)勾〞，因此把它叫“對(duì)勾反對(duì)勾〞型函數(shù)。它在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間和上單調(diào)遞減。在求其值域時(shí)，可用其單調(diào)性來(lái)解決。例2、〔1〕求的值域?！?〕求的值域。〔3〕求的值域。解：〔1〕易得其在時(shí)取得最小值。時(shí)，值域?yàn)榻猓骸?〕在上為增函數(shù)，值域?yàn)榻猓骸?〕在時(shí)取得最小值，〔ⅰ〕當(dāng)即時(shí)在上為增函數(shù)，故值域?yàn)椤并ⅰ钞?dāng)即時(shí)在時(shí)取得最小值，其最大值在或處取得。令那么故當(dāng)時(shí)，值域?yàn)楫?dāng)時(shí)，值域?yàn)椤并！钞?dāng)即時(shí)在為減函數(shù)，值域?yàn)榫C上所述：當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，值域?yàn)楫?dāng)時(shí)，值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，值域?yàn)?。三、形如〔、不同?〕的函數(shù)的值域形如〔、不同為0〕的函數(shù)，假設(shè)恒成立，可將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次方程，用判別時(shí)法來(lái)求值域。用此方法時(shí)，需注意項(xiàng)的系數(shù)為0的情況下的值。另外，這種形式的函數(shù)，也可以用均值不等式來(lái)求值域。方法是：在分子、分母中湊次數(shù)較低的一方，再變形成可用均值不等式的形式。例3、求函數(shù)的值域。解法一：由原式得：當(dāng)時(shí)，由那么當(dāng)時(shí)函數(shù)有意義且在內(nèi)，因此，函數(shù)的值域?yàn)榻夥ǘ河稍瘮?shù)得：〔ⅰ〕當(dāng)時(shí)，〔ⅱ〕當(dāng)時(shí)〔當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等