廣東省東莞市2022年中考數(shù)學(xué)模擬題（一模）分層分類匯編-05解答題（中檔題）

廣東省東莞市2022年中考數(shù)學(xué)模擬題（一模）精選分層分類匯

編-05解答題（中檔題）

一.一次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

1.（2022?東莞市一模）2022年北京冬奧會(huì)的吉祥物冰墩墩和雪容融深受國(guó)內(nèi)外廣大朋友的

喜愛，在某北京奧運(yùn)官方特許零售店購(gòu)買3個(gè)冰墩墩和2個(gè)雪容融需要560元；購(gòu)買1

個(gè)冰墩墩和3個(gè)雪容融需要420元.

（1）求每個(gè)冰墩墩和雪容融的售價(jià)分別是多少元？

（2）該店在開始銷售這兩種吉祥物的第一天就很快全部售馨，于是從廠家緊急調(diào)配商品，

現(xiàn)擬租用甲、乙兩種車共8輛，若每輛甲種車的租金為400元，每輛乙種車的租金為280

元.若乙種車不超過3輛，設(shè)租用甲種車。輛，總租金為卬元，求卬與。的關(guān)系式，并

求總租金的最低費(fèi)用.

二.反比例函數(shù)綜合題（共1小題）

2.（2022?東莞市一模）RtAABC在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖所示，反比例函數(shù)>=區(qū)g

x

0）在第一象限內(nèi)的圖象與3c邊交于點(diǎn)。（4,1）,與A2邊交于點(diǎn)E（2,n）.

（1）求反比例函數(shù)的解析式和〃值；

（2）當(dāng)區(qū)_」時(shí)，求直線AB的解析式.

三.二次函數(shù)綜合題（共2小題）

3.（2022?東莞市一模）如圖，拋物線y=a?-2辦-3。（?>0）與x軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)

A在點(diǎn)2的左邊），與y軸交于點(diǎn)C,且。3=0C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，若點(diǎn)P是線段8c（不與8,C重合）上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作無(wú)軸的垂線交拋

物線于M點(diǎn)，連接CM,當(dāng)△PCM和△ABC相似時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)P是直線3c（不與B,C重合）上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于

M點(diǎn)，連接CM,將沿CM對(duì)折，如果點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N恰好落在），軸上，求此時(shí)

點(diǎn)P的坐標(biāo);

4.(2022?東莞市一模)如圖，拋物線丫=a?+法-4經(jīng)過A(-3,0),B(5,-4)兩點(diǎn),

與y軸交于點(diǎn)C,連接A8,AC,BC.

(1)求拋物線的解析式；

5.(2022?東莞市一模)如圖，AZ)是△ABC的角平分線，DE、OF分別是△A8D和4402

的高.

(1)求證：A。垂直平分EF；

(2)若AB+AC=10,DE=3,求△ABC的面積S^ABC.

6.(2022?東莞市校級(jí)一模)如圖1,正方形A8C。中，E、尸分別是邊CD、AQ上的點(diǎn),

NEB尸=45

（1）小聰同學(xué)通過將△8AF繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△8CG,得至”/EBG=NEBF=

45°.

①請(qǐng)直接寫出線段CE、EF、4尸之間的數(shù)量關(guān)系：（用等式表示）；

②若AB=2,E為C。邊中點(diǎn)，求A尸.

（2）如圖2,將正方形ABCD改為矩形，且AB=2,BC=3,其他條件不變，即：E、F

分別是邊CD、AO上的點(diǎn)，NEBF=45°.

③記EF=y,CE+AF=x,試探究y與尤之間的數(shù)量關(guān)系（用等式表示）；

④當(dāng)8口LEF時(shí)，求線段EF的長(zhǎng).

圖1圖2

六.切線的判定與性質(zhì)（共2小題）

7.（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖，△ABC中，AC=BC,以BC為直徑的00與底邊AB交

于點(diǎn)D,過。作OELAC,垂足為E.

（1）證明：DE為。。的切線；

（2）連接。￡若si"=3,△OEC的面積為6,求。。的半徑.

8.（2022?東莞市一模）如圖，8。是。。的直徑，A是BZ）延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在。。上,

BCA-AE,交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,BC交。。于點(diǎn)尸，且E是命的中點(diǎn).

（1）求證：AC是。。的切線;

（2）若A￡）=4,AE=4后，求BC的長(zhǎng).

9.（2022?東莞市一模）如圖，在△ABC中，NCAO為△A8C的外角.

（1）尺規(guī)作圖：作/。。的平分線4E（保留作圖痕跡可加黑，不寫作法）;

（2）若48=4C,在（1）的條件下，求證：AE//BC.

A.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共1小題）

10.（2022?東莞市--模）如圖1,正方形AZJEF中，ND4F=90°,點(diǎn)8、C分別在邊A。、

4尸上，且AB=AC.

（1）如圖2,當(dāng)aABC繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0°<a<90°）時(shí)，請(qǐng)判斷線段與線

段CF的位置、數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）當(dāng)AABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，當(dāng)A8=2,皿=我/時(shí)，求NCE4的正弦

值.

圖I

九.相似三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）

11.（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖1,在矩形ABC。中，AB=5,AD=8,點(diǎn)E在邊CD上,

tan/BAE=2,點(diǎn)F是線改AE上一點(diǎn)，連接CF.

（1）連接8F,請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作FG_LA8,垂足為G點(diǎn)（保留作圖痕跡，不要求寫出

作法）.若tan/ABF=匹，求線段4尸的長(zhǎng).

3

（2）如圖2,若C尸=』8C,AE的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)”，求的面積.

圖I圖2

一十.解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共1小題）

12.（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖，樓房8。的前方豎立著旗桿4c.小亮在B處觀察旗桿

頂端C的仰角為45°,在。處觀察旗桿頂端C的俯角為30°,樓高8。為20米.求旗

桿AC的高度.

一十一.列表法與樹狀圖法（共3小題）

13.（2022?東莞市一模）2022年3月23日“天宮課堂”第二課正式開講，神月十三號(hào)乘組

航天員翟志別、王亞平、葉光富在中國(guó)空間站進(jìn)行太空授課，神奇的太空實(shí)驗(yàn)堪稱宇宙

級(jí)精彩!某校為此組織全校學(xué)生進(jìn)行了“航天知識(shí)競(jìng)賽”，教務(wù)處從中隨機(jī)抽取了n名學(xué)

生的競(jìng)賽成績(jī)（滿分100分，每名學(xué)生的成績(jī)記為x分）分成如表中四組，并得到如下

不完整的頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

分組頻數(shù)

A：60?70a

B：70?8018

C：80?9024

D：90?100b

(1)n的值為,a的值為,b的值為.

(2)請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖并計(jì)算肩形統(tǒng)計(jì)圖中表示“C”的形圓心角的度數(shù)

為_______

(3)競(jìng)賽結(jié)束后，九年級(jí)一班從本班獲得優(yōu)秀(x^80)的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中

隨機(jī)為抽取兩名宣講航天知識(shí)，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求恰好抽到甲、乙兩名同學(xué)

的概率.

14.(2022?東莞市一模)新冠疫情防控期間，銀川市某中學(xué)積極開展“停課不停學(xué)”網(wǎng)絡(luò)教

學(xué)活動(dòng).為了了解初中生每日線上學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)t(單位：小時(shí))的情況，在全校范圍內(nèi)隨

機(jī)抽取了部分初中生進(jìn)行調(diào)查，并將所收集的數(shù)據(jù)分組整理，繪制了如圖所示的不完整

A:Q<t<1

B:1</<2

C:2<t<3

D:3<r<4

E:4<r<5

根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

(1)在這次調(diào)查活動(dòng)中，一共抽取了多少名初中生？

(2)若該校有2000名初中生，請(qǐng)你估計(jì)該校每日線上學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在“3WtV4”范圍的初

中生共有多少名？

(3)每日線上學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)恰好在“2W，＜3”范圍的初中生中有甲、乙、丙、丁4人表現(xiàn)

特別突出，現(xiàn)從4人中隨機(jī)選出2人分享在線學(xué)習(xí)心得，用列表或畫樹狀圖的方法求恰

好選中甲和乙的概率.

15.(2022?東莞市一模)學(xué)校團(tuán)委組織4名學(xué)生周末到社區(qū)參加志愿者活動(dòng)，2名學(xué)生為一

組.已知這4名學(xué)生1名來(lái)自七年級(jí)，1名來(lái)自八年級(jí)，2名來(lái)自九年級(jí)，請(qǐng)用列表或畫

樹狀圖的方法，求九年級(jí)的2名學(xué)生恰好分在同一個(gè)組的概率.

廣東省東莞市2022年中考數(shù)學(xué)模擬題（一模）精選分層分類匯

編一05解答題（中檔題）

參考答案與試題解析

一.一次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

1.（2022?東莞市一模）2022年北京冬奧會(huì)的吉祥物冰墩墩和雪容融深受國(guó)內(nèi)外廣大朋友的

喜愛，在某北京奧運(yùn)官方特許零售店購(gòu)買3個(gè)冰墩墩和2個(gè)雪容融需要560元；購(gòu)買1

個(gè)冰墩墩和3個(gè)雪容融需要420元.

（1）求每個(gè)冰墩墩和雪容融的售價(jià)分別是多少元？

（2）該店在開始銷售這兩種吉祥物的第一天就很快全部售馨，于是從廠家緊急調(diào)配商品，

現(xiàn)擬租用甲、乙兩種車共8輛，若每輛甲種車的租金為400元，每輛乙種車的租金為280

元.若乙種車不超過3輛，設(shè)租用甲種車。輛，總租金為w元，求w與。的關(guān)系式，并

求總租金的最低費(fèi)用.

【解答】解：（1）設(shè)1個(gè)冰墩墩的售價(jià)為x元，1個(gè)雪容融的售價(jià)為y元，根據(jù)題意，

得」3x+2y=560,

Ix+3y=420

解得卜=120,

ly=100

答：1個(gè)冰墩墩的售價(jià)為120元，1個(gè)雪容融的售價(jià)為100元；

（2）設(shè)租用甲種車。輛，則租用乙種車（8-〃）輛，總租金為w元，

根據(jù)題意得：w=400o+280（8-a）=120a+2240,

由題意得8-aW3,

解得

V120>0,

卬隨。的增大而增大，

二當(dāng)a=5時(shí)，w有最小值為2840,

止匕時(shí)8-。=3,

即當(dāng)租用甲種車3輛，租用乙種車5輛，總租金最低，最低費(fèi)用為2840元.

答：w與a關(guān)系式為w=120a+2240,最低費(fèi)用為2840元.

二.反比例函數(shù)綜合題（共1小題）

2.(2022?東莞市一模)RtZXABC在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖所示，反比例函數(shù)y=K(k￥

x

0)在第一象限內(nèi)的圖象與BC邊交于點(diǎn)。(4,1),與AB邊交于點(diǎn)E(2,〃).

(1)求反比例函數(shù)的解析式和〃值；

(2)當(dāng)理時(shí)，求直線AB的解析式.

【解答】解：(1),-D(4,1)在反比例函數(shù)y=K的圖象上，

X

.?.Z=4義1=4,

反比例函數(shù)的解析式為：產(chǎn)生

X

?.?點(diǎn)E在反比例函數(shù)的圖象上，將點(diǎn)E代入反比例函數(shù)解析式得:

：△ABC是直角三角形，

:.NBHE=ZBCA,

又；NB=NB,

：.△ABCs/\EBH,

?.BH=BC=—1，

EHAC2

由(1)知E(2,2),C(4,0),

：.EH=2,BH=\,

：.B(4,3),

設(shè)直線AB的解析式為卜=心:+〃，將B(4,3),E(2,2)代入得:

[4k+b=3

l2k+b=2

b=l

...直線AB的解析式為：y=lx+1.

三.二次函數(shù)綜合題（共2小題）

3.（2022?東莞市一模）如圖，拋物線y=o?-2辦-3〃（?>0）與x軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)

A在點(diǎn)8的左邊），與y軸交于點(diǎn)C,且OB=OC.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，若點(diǎn)尸是線段8c（不與B,C重合）上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋

物線于歷點(diǎn)，連接CM,當(dāng)△PC7W和△ABC相似時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)尸是直線BC（不與B,C重合）上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于

〃點(diǎn)，連接CM,將沿CM對(duì)折，如果點(diǎn)尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N恰好落在y軸上，求此時(shí)

【解答】解：(1)在y=o?-2ax-3a(<?>0)中,

令y=0,得：ox2-2or-3a=0,

解得：Xl=3,X2=-b

???A(-1,0),B(3,0),

：.OB=3,

OB=OC,

???OC=3,

：.C(0,-3),

:.-3。=-3,

??Cl=\f

???拋物線解析式為:y=x1-2x-3；

(2)設(shè)直線8c解析式為

(3,0),C(0,-3),

..j3k+b=0,解得：［k=l,

lb=-3lb=-3

直線BC解析式為：y=x-3,

設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(〃力rrr-2m-3),

"MLr軸,

:.P(tn,m-3),

：.PM=/n-3-Cm"-2m-3)=-〃/+3機(jī),

?：OB=OC,N3OC=90°,

：.CB=y/2OB,

:.CP=\pim,

'：A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),

：.OB=OC,AC=A/7Q,BC=3&,

...NPBA=NOCB=45°-ZMPC,

若△PCM和△ABC相似，分兩種情況：

①當(dāng)△CPMSACBA,

?PCPMianV2m-m2+3m

BCAB3724

解得：加=$,

3

:.p(2-A)；

33

②當(dāng)△CPMS&BC,

?PC即m__nT+3m

"AB"BC''4"3V2

解得：=

2

:.p（旦，-旦）;

22

綜上所述，點(diǎn)p的坐標(biāo)為（回，-2）或（3,-2）；

3322

（3）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m2-2m-3）,

當(dāng)點(diǎn)P在〃的上方時(shí)，由（2）知尸M=-病+3"?,CP=?m,

???△PCM沿CM對(duì)折，點(diǎn)尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N恰好落在y軸上，

:./PCM=/NCM,

???PM〃y軸，

ZNCM=/PMC,

:?/PCM=NPMC,

：?PC=PM,

：.Mm=-m1+3m,

整理得："/+（5/2-3）m=0,

解得：nzi=O（舍去），n:2=3-J5，

當(dāng)機(jī)=3-&時(shí)，機(jī)-3=-

：.P（3-V2--V2）.

當(dāng)點(diǎn)P在M點(diǎn)下方時(shí)，PM=ni2-3m,

同理可得。萬(wàn)機(jī)=序-3〃?，

解得〃”=0（舍去），m2=3+J5，

：.P（3+&,&）,

綜上所述，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（3-&,-V2）或（3+近,企）.

4.（2022?東莞市一模）如圖，拋物線），=“/+法-4經(jīng)過A（-3,0）,B（5,-4）兩點(diǎn),

與y軸交于點(diǎn)C,連接AB,AC,BC.

（1）求拋物線的解析式；

(2)求證：4B平分NC40.

[9a_3b_4=0

【解答】(1)解：將A(-3,0),8(5,-4)代入得:

I25a+5b-4=-4

解得:

...拋物線的解析式為-立x-4；

66

(2)證明：由拋物線解析式丫=?-且r-4可知，點(diǎn)C(0,-4),

66

VA(-3,0),B(5,-4),

?''AC—432+42-5，

VC(0,-4),B(5,-4),

.?.8C〃x軸，BC=5,

；.NBAD=/ABC,

?：CA=CB,

:.NCAB=NABC,

：.ZCAB=ZBAD,

平分/CAO.

四.角平分線的性質(zhì)(共1小題)

5.(2022?東莞市一模)如圖，4。是aABC的角平分線，DE、。尸分別是△ABO和△4CD

的高.

(1)求證：A。垂直平分EF；

(2)若A8+AC=10,DE=3,求△ABC的面積S^ABC.

A

【解答】(1)證明：是△ABC的角平分線，DE、OF分別是△48。和△ACD的高，

：.DE=DF,

在Rt/XAED與RtAAFD中，

[AD=AD,

lDE=DF，

ARtAAED^RtAAFD(HL),

：.AE=AF,

,:DE=DF,

，4。垂直平分EF；

(2)解：'：DE=DF,AB+AC=10,DE=3,

=

；.SMBC=SAABD+SAACD-|AB-ED+yAC'DFyDE(AB+AC)=yX3X10=5

五.四邊形綜合題(共1小題)

6.(2022?東莞市校級(jí)一模)如圖1,正方形ABC。中，E、尸分別是邊CD、A力上的點(diǎn)，

NEBF=45°.

(1)小聰同學(xué)通過將△8AF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至XBCG,彳等到/EBG=NEBF=

45°.

①請(qǐng)直接寫出線段CE、EF、AF之間的數(shù)量關(guān)系：EF=EC+AF(用等式表示)；

②若AB=2,E為CD邊中點(diǎn),求AF.

(2)如圖2,將正方形ABCD改為矩形，且AB=2,8c=3,其他條件不變，即：E、F

分別是邊C。、4。上的點(diǎn)，NEBF=45；

③記EF=y,CE+AF=x,試探究y與x之間的數(shù)量關(guān)系(用等式表示)；

④當(dāng)BFLEF時(shí)，求線段EF的長(zhǎng).

圖I圖2

【解答】解：(1)①由題意可知△BAF也△火u

：.BF=BG,AF=CG,BF=BG,

；NEBG=NEBF=45°,BE=BE,

.?.△BFE絲ZXBGE(SAS),

：.EF=EG,

"：EG=EC+CG=EC+AF,

：.EF=EC+AF,

故答案為：EF=EC+AF.

②若點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，

:.DE=EC=1,

設(shè)AF=x,則CG=x,DF=2-x,

由①可知，EF=\+x,

在RtaDEf1中，ZD=90°,由勾股定理可得，(2-x)2+12=(1+x)2,

解得x=2,BPAF=1.

33

(2)③將aAB尸繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至APBM,延長(zhǎng)BM交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,過

點(diǎn)M作例于點(diǎn)N,連接EM,

由旋轉(zhuǎn)可得，ZBPM=90°,BF=BM,BP=AB=2,NABF=/PBM,

，NCPM=90°,PC=MH=\,

:NBCN=90°,

四邊形PMNC是矩形，

：.PM=CH=AF,

：.CE+CH=x,

:NFBE=45°,

AZABF+ZEBC^45Q,即NPBM+NEBC=/E8M=45°,

\"BF=BF,NFBE+NEBM=45°,BE=BE,

:.△BE04BEM(SAS),

：.EM=BF=y,

在RtZ\MHE中，由勾股定理可得，MH2+EH2=EM2,

A12+x2=y2,即y=4乂2+1-

@'：BFLEF,

.?.△BFE是等腰直角三角形，

：.FB=FE,ZAFB+ZDFE=90°,

VZAFB+ZABF^90Q,

ZABF=NDFE,

VZA=ZD=90°,

二.△ABF/ADFECAAS),

：.DF=2,AF=DE=\,

:.EF=Q

六.切線的判定與性質(zhì)(共2小題)

7.(2022?東莞市校級(jí)一模)如圖，△A8C中，AC=BC,以BC為直徑的。0與底邊AB交

于點(diǎn)。，過。作Z)E_L4C,垂足為E.

(1)證明：OE為。0的切線；

(2)連接OE.若sin/l=3,/XOEC的面積為6,求。。的半徑.

5

fE

B

【解答】（1）證明：如圖1,連接0Q,

???AC=8C,

：.ZB=ZA,

;OB=OD,

:?/B=NODB,

：.ZODB=ZA,

：.OD//AC,

DELAC,

：.OD±DEf

*：OD是半徑，

???￡>￡為OO的切線；

(2)解：如圖2,連接OQ,DC,

圖2

??,8。是。。的直徑,

：.ZBDC=^ADC=90Q,

ZCDE+ZA￡>E=90°,

VDE±AC,

AZA+ZADE=90°,

???NA=NCZ)E,

9

***sinA=±,

5

/.sinZCDE=sinA=—,

5

VsinA=Il￡.,sin/C￡>E=絲，

ACCD

?,DC_CE_3,

,,AC=CDV

設(shè)CE=3x,則CD=5x,

?,*=爭(zhēng)QE=?2_CE2r⑸產(chǎn)-⑶)2=以，

o

\'OD//AC,△OEC的面積為6,

=

S^OECSACED=6,

,，-y*CE?DE=6,^J-1-p3x*4x=6,

解得：x=l或-1(不符合題意，舍去)，

.,.AC=>^vV=^X1=空，

333

：.BC=AC=^-,

3

是直徑，

...。。的半徑為空.

6

8.(2022?東莞市一模)如圖，BQ是。。的直徑，A是8。延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在。。上,

BCLAE,交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,BC交。0于點(diǎn)F,且E是而的中點(diǎn).

(1)求證：AC是。0的切線；

(2)若AD=4,AE=4&，求BC的長(zhǎng).

E

???E是市的中點(diǎn),

：.ZOBE=ZCBE.

?.*OE=OB,

：./OEB=NOBE.

：?/OEB=/CBE.

:.OE//BC.

VBC1AC,

AZC=90°.

/.ZAEO=ZC=90°,

：.DE.LAC.

又?.?0E為半圓O的半徑，

???AC是。。的切線；

（2）設(shè)O。的半徑為x,

VOELAC,AD=4,AE=4衣，

?,?由勾股定理得：/+（4如）2=（x+4）2

解得：x=2.

：.AB=AD+OD+OB=4+2+2=S.

OE//BC,

，AAOE^/XABC.

?AO=OE；

"AB而，

-4+2-2

8BC

：.BC=^-.

3

七.作圖一基本作圖（共1小題）

9.（2022?東莞市一模）如圖，在△ABC中，/C4O為△48C的外角.

（1）尺規(guī)作圖：作NCA。的平分線4E（保留作圖痕跡可加黑，不寫作法）;

（2）若AB=AC,在（1）的條件下，求證：AE//BC.

【解答】（1）解：如圖所示，AE即為所求.

（2）證明：-：AB=AC,

：.ZB=ZC,

：.ZDAC=ZB+ZC=2ZB,

平分/D4C,

：.ZDAC=2ZDAE,

：.ZB=2DAE,

平行BC.

八.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共1小題）

10.（2022?東莞市一模）如圖1,正方形4OEF中，NDAF=90°,點(diǎn)B、C分別在邊AO、

4/上，S.AB=AC.

（1）如圖2,當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0°<a<90°）時(shí)，請(qǐng)判斷線段8。與線

段C尸的位置、數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(2)當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，當(dāng)A8=2,AD=J§啦時(shí)，求NCE4的正弦

值.

圖I

【解答】解：(1)BD=CF,BDLCF,理由如下:

延長(zhǎng)。8交b于G,交AF于H,如圖：

:四邊形AOEF是正方形，

：.AF=AD,NFAD=90°,

V/\ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,

：.ZDBA=a=ZFAC,

'：AB=AC,

：./\DBA^^FCA(SAS),

：.CF=BD,ZAFC=ZADB,

?.,NAQB+/A”￡>=90°,

AZAFC+ZAHD=90°,

■:NAHD=NGHF,

:.NAFC+NGHF=90°,

AZFGH=90°,

J.CFLBD-,

（2）過B作BK_LAO于K,如圖:

,：ZBAK=45°，

...△ABK是等腰直角三角形,

：.BK=AK=

2

vAD=V3啦,

：.DK=AD-AK=43,

在Rl^BKD中,

B￡>=22=

VBK+DK^，

/.sinZABD=^i.=^-=^3P_,

BDVs5

由（1）知，ZCFA=ZABD,

：.smZCFA=^^-.

5

九.相似三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）

11.（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖1,在矩形A8CD中，AB=5,AO=8,點(diǎn)E在邊CO上,

tanNBAE=2,點(diǎn)尸是線改AE上一點(diǎn)，連接C尺

（1）連接BF,請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作FGL4B,垂足為G點(diǎn)（保留作圖痕跡，不要求寫出

作法）.若tan/ABF=9,求線段4F的長(zhǎng).

3

（2）如圖2,若CF=2BC,AE的延長(zhǎng)線與8c的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H,求△CEF的面積.

【解答】解：（1）如圖，F(xiàn)G即為所求.

圖1

設(shè)AG=x,則BG=5-x,

在RtAAFG中，

tanZBAE=^-=^.=2,

AGX

；.FG=2x,

在RtABFG中，

tanNABF===>A,

BG5-x3

解得x=2,

：.AG=2,FG=4,

4F=、AG2+FG2=2遙.

圖2

在RtZXABH中，

tan=^11=2,

AB5

：.BH=\O,

則CH=BH-BC=2,

?.?四邊形A8CO為矩形，

：.AB//CD,

：.ZCEH=NBAE,

則tan/CEH=^^=2,

CECE

二CE=1,

在RtZkCEM中，tan/CEM=Ol=2,

EM

設(shè)EM=a,則CM=2a,

由勾股定理可得CE2=EM2+CM2,

即a2+(2a)2=I2,

解得a=&,

5

5

在RtaCFM中，CF=^BC=2,

4_

由勾股定理可得FM=A/Cp2_CH2=

5

；.EF=FM-EM=^iL.

5

AeA」EF?CM=3.

'△CEF25

一十.解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題(共1小題)

12.（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖，樓房8。的前方豎立著旗桿4c.小亮在B處觀察旗桿

頂端C的仰角為45°,在。處觀察旗桿頂端C的俯角為30°,樓高為20米.求旗

桿AC的高度.

【解答】解：過點(diǎn)C作CE_L3D,垂足為E,

由題意得:

AC=BE,NDCE=30°,ZBCE=45°,

設(shè)AC=8E=x米，

在RtZ\8CE中，CE=B￡*tan45°=x（米），

在RtZXOCE中，DE=CE*tan300（米），

3

"￡>=20米，

：.BE+DE=20,

；.x+^^c=20,

3

解得：x=3O-10V3-

：.AC=BE=（30-IO5/3）米，

旗桿AC的高度為（30-IOA/3）米.

一十一.列表法與樹狀圖法（共3小題）

13.（2022?東莞市一模）2022年3月23日“天宮課堂”第二課正式開講，神月十三號(hào)乘組

航天員翟志別、王亞平、葉光富在中國(guó)空間站進(jìn)行太空授課，神奇的太空實(shí)驗(yàn)堪稱宇宙

級(jí)精彩!某校為此組織全校學(xué)生進(jìn)行了“航天知識(shí)競(jìng)賽”，教務(wù)處從中隨機(jī)抽取了〃名學(xué)

生的競(jìng)賽成績(jī)（滿分100分，每名學(xué)生的成績(jī)記為x分）分成如表中四組，并得到如下

不完整的頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

分組頻數(shù)

A：60^x<70a

B：70?8018

C：80?9024

D：90^x^100b

（1）”的值為60,a的值為6,6的值為12.

（2）請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖并計(jì)算肩形統(tǒng)計(jì)圖中表示“C”的形圓心角的度數(shù)為

144

（3）競(jìng)賽結(jié)束后，九年級(jí)一班從本班獲得優(yōu)秀（x280）的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中

隨機(jī)為抽取兩名宣講航天知識(shí)，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求恰好抽到甲、乙兩名同學(xué)

的概率.

【解答】解：（1）〃=18+30%=60,

?*.a=60X10%=6,

."=60-6-18-24=12,

故答案為：60,6,12；

60

故答案為：144;

（3）畫樹狀圖:

開始

共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到甲、乙兩名同學(xué)的結(jié)果有2