必修3 概率3.3 隨機(jī)數(shù)的含義與應(yīng)用3.3.2 隨機(jī)數(shù)的含義與應(yīng)用

隨機(jī)數(shù)的含義與應(yīng)用隨機(jī)數(shù)就是在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)數(shù)的機(jī)會(huì)一樣，隨機(jī)數(shù)應(yīng)用很廣泛，利用它可以幫助我們進(jìn)行隨機(jī)抽樣，還可以利用它在某一個(gè)范圍得到每一個(gè)數(shù)機(jī)會(huì)是均等的這一特征來(lái)模擬試驗(yàn)，這樣可代替我們自己做大量重復(fù)的試驗(yàn)，從而使我們順利地求出有關(guān)事件的概率。問(wèn)題均勻隨機(jī)數(shù)是如何產(chǎn)生的？如何利用隨機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)計(jì)算概率？怎樣設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的隨機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)的試驗(yàn)方案？

隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生可以人工產(chǎn)生，例如抽簽、摸球、轉(zhuǎn)盤(pán)等方法，但這樣做費(fèi)時(shí)、費(fèi)力，而且有時(shí)很難確保抽到每一個(gè)數(shù)的機(jī)會(huì)是均等的.

因此，我們現(xiàn)在主要是通過(guò)計(jì)算器和計(jì)算機(jī)來(lái)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的。（1）用函數(shù)型計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法:按一次SHIFT+RAN#鍵產(chǎn)生一個(gè)0~1之間的隨機(jī)數(shù)，若需要多個(gè)，則重復(fù)按鍵；（2）計(jì)算機(jī)中用軟件產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)（本書(shū)用Scilab產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)）：Scilab中用rand()函數(shù)來(lái)產(chǎn)生0~1的均勻隨機(jī)數(shù)，每調(diào)用一次rand()函數(shù)，就產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)。整數(shù)隨機(jī)數(shù)與均勻隨機(jī)數(shù)有何異同？提示：二者都是隨機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù),在一定的區(qū)域長(zhǎng)度上出現(xiàn)的機(jī)率是均等的.但是整數(shù)隨機(jī)數(shù)是離散的單個(gè)整數(shù)值,相鄰兩個(gè)整數(shù)隨機(jī)數(shù)的步長(zhǎng)為1;而均勻隨機(jī)數(shù)是小數(shù)或整數(shù),是連續(xù)的小數(shù)值,相鄰兩個(gè)均勻隨機(jī)數(shù)的步長(zhǎng)是人為設(shè)定的.思考與探究1.如何產(chǎn)生a~b之間的均勻隨機(jī)數(shù)？（1）利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0~1之間的均勻隨機(jī)數(shù)x1=RAND.（2）利用伸縮和平移變換：x=x1(b-a)+a,得到a~b之間的均勻隨機(jī)數(shù).2.怎樣用隨機(jī)模擬估計(jì)幾何概型?提示：用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)幾何概型是把實(shí)際問(wèn)題中的事件及基本事件總體對(duì)應(yīng)的區(qū)域“長(zhǎng)度”轉(zhuǎn)化為幾何概型，同時(shí)確定隨機(jī)數(shù)的范圍.例一隨機(jī)模擬投擲硬幣的試驗(yàn)，估計(jì)擲得正面的概率。解：用計(jì)算器產(chǎn)生一個(gè)0~1之間的隨機(jī)數(shù)，如果這個(gè)數(shù)在0~0.5之間，則認(rèn)為硬幣正面向上，如果這個(gè)隨機(jī)數(shù)在0.5~1之間，則認(rèn)為硬幣正面向下。試驗(yàn)次數(shù)正面向上的頻數(shù)正面向上的頻率50230.4660290.48370320.45780380.47590470.522100540.54例二隨機(jī)模擬中例3海豚在水池中自由游弋的試驗(yàn)，并估計(jì)事件A：“海豚嘴尖離岸邊不超過(guò)2m”的概率。我們利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)x和y，用它們來(lái)表示海豚嘴尖的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，如果(x，y)出現(xiàn)在圖中的陰影部分，我們就認(rèn)為事件A發(fā)生了。S1用計(jì)數(shù)器n記錄做了多少次試驗(yàn)，用計(jì)數(shù)器m記錄其中有多少次(x，y)出現(xiàn)在陰影部分中，首先置n=0，m=0;S2用變換rand()*30－15產(chǎn)生－15~15之間的隨機(jī)數(shù)x作為海豚嘴尖的橫坐標(biāo)，用變換rand()*20－10產(chǎn)生－10~10之間的隨機(jī)數(shù)y作為海豚嘴尖的縱坐標(biāo)；S3判斷(x，y)是否落在陰影部分中，即是否滿(mǎn)足||x|－15|≤2或||y|－10|≤2，如果是，則m=m+1，如果不是，則m不變；S4表示隨機(jī)試驗(yàn)次數(shù)的計(jì)數(shù)器n值加1，即n=n+1,如果還需要試驗(yàn)，則返回步驟S2繼續(xù)執(zhí)行，否則，程序結(jié)束。程序結(jié)束后，事件A發(fā)生的頻率m/n作為A的概率近似值。次數(shù)事件A頻數(shù)m事件A頻率m/n100350.3510003240.3241000029970.2997100000305060.30506N=input(“N=");n=0;m=0;fori=1:1:Nx=rand()*30-15;y=rand()*20-10;c=abs(abs(x)-15);d=abs(abs(y)-10);ifc<=2|d<=2

m=m+1;

endn=n+1;endp=m/N;p例三利用隨機(jī)數(shù)和幾何概型求π的近似值。在下圖所示的邊長(zhǎng)為2的正方形中隨機(jī)撒一大把豆子，計(jì)算落在正方形的內(nèi)切圓中的豆子數(shù)與落在正方形中的豆子數(shù)之比，并以此估計(jì)圓周率π的值把“在正方形中撒豆子”看成試驗(yàn)，把“豆子落在圓中”看成隨機(jī)事件AP(A)=—————圓面積

正方形面積

所以π=4×P(A).用例2的類(lèi)似辦法，設(shè)計(jì)算法用計(jì)算機(jī)模擬這個(gè)撒豆子的試驗(yàn)。S1用計(jì)數(shù)器n記錄做了多少次試驗(yàn)，用計(jì)數(shù)器m記錄其中有多少顆豆子落入圓中，首先置n=0，m=0;S2用變換rand()*2－1產(chǎn)生兩個(gè)－1~1之間的隨機(jī)數(shù)x和y，用它們來(lái)表示豆子的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)；S3判斷(x，y)是否落在圓中，即是否滿(mǎn)足x2+y2≤1，如果是，則計(jì)數(shù)器m=m+1，如果不是，則m不變；S4表示隨機(jī)試驗(yàn)次數(shù)的計(jì)數(shù)器n值加1，即n=n+1,如果還需要試驗(yàn)，則返回步驟S2繼續(xù)執(zhí)行，否則，程序結(jié)束。

程序結(jié)束后，計(jì)算

作為π的近似值.N=input(“N=");n=0;m=0;fori=1:1:Nx=rand()*2-1;y=rand()*2-1;c=x^2+y^2;ifc<=1m=m+1;endn=n+1;endp=4*m/N;p

例2與例3采用的基本方法是：建立一個(gè)概率模型，它與我們感興趣的量有關(guān)。然后設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)脑囼?yàn)，并通過(guò)這個(gè)試驗(yàn)結(jié)果來(lái)確定這些量。

按照以上思路建立起來(lái)的方法稱(chēng)為計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬法或蒙特卡洛方法。

現(xiàn)在隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)的飛速發(fā)展，用計(jì)算機(jī)來(lái)模擬所設(shè)計(jì)的試驗(yàn)已經(jīng)變得越來(lái)越普遍。例4.取一根長(zhǎng)度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，用隨機(jī)模擬法估算剪得兩段繩子的長(zhǎng)度都不小于1m的概率有多大?解：

設(shè)事件A表示“剪得兩段的長(zhǎng)度都不小于1m”

S1用計(jì)數(shù)器n記錄做了多少次試驗(yàn)，用計(jì)數(shù)器m記錄其中有多少次隨機(jī)數(shù)x出現(xiàn)在1~2之間（即剪得兩段繩子的長(zhǎng)度都不小于1m）。首先置n=0，m=0；S2用變換rand()*3產(chǎn)生0~3之間的均勻隨機(jī)數(shù)；S3判斷剪得的兩段繩子長(zhǎng)度是否都大于1，即是否滿(mǎn)足1<x<2，如果是，則計(jì)數(shù)器m的值加1，即m=m+1，如果不是，m的值保持不變；S4表示隨機(jī)試驗(yàn)次數(shù)的計(jì)數(shù)器n的值加1，即n=n+1，如果還要繼續(xù)試驗(yàn)，則返回步驟S2繼續(xù)執(zhí)行，否則，程序結(jié)束；例5.利用隨機(jī)模擬法近似計(jì)算圖中陰影部分（曲線(xiàn)y=2x與x=±1及x軸圍成的圖形）的面積.解：在坐標(biāo)系中畫(huà)出正方形，用隨機(jī)模擬的方法可以求出陰影部分與正方形面積之比，從而求得陰影部分面積的近似值。

設(shè)陰影部分的面積為S，正方形的面積為4

由幾何概型計(jì)算公式得

所以S1用計(jì)數(shù)器n記錄做了多少次投點(diǎn)試驗(yàn)，用計(jì)數(shù)器m記錄其中有多少個(gè)(x，y)滿(mǎn)足－1<x<1，0<y<2x(即點(diǎn)落在陰影部分)。首先置n=0，m=0；S2用變換rand()*2－1產(chǎn)生－1~1之間的均勻隨機(jī)數(shù)x表示所投的點(diǎn)的橫坐標(biāo)；用變量rand()*2產(chǎn)生0~2之間的均勻隨機(jī)數(shù)y表示所投的點(diǎn)的縱坐標(biāo)；S3判斷點(diǎn)是否落在陰影部分，即是否滿(mǎn)足0<y<2x，如果是，則計(jì)數(shù)器m的值加1，即m=m+1；如果不是，m的值保持不變；S4表示隨機(jī)試驗(yàn)次數(shù)的計(jì)數(shù)器n的值加1，即n=n+1，如果還要繼續(xù)試驗(yàn)，則返回步驟S2繼續(xù)執(zhí)行，否則，程序結(jié)束；計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬法是研究隨機(jī)事件概率的重要方法.此試驗(yàn)可從以下幾方面考慮：(1)根據(jù)影響隨機(jī)事件結(jié)果的量的個(gè)數(shù)確定需要產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)的組數(shù)，如長(zhǎng)度、角度型只用一組即可；而面積型需要兩組隨機(jī)數(shù),體積型需要三組隨機(jī)數(shù)；(2)根據(jù)試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的區(qū)域確定產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的范圍；(3)根據(jù)事件A發(fā)生的條件確定隨機(jī)數(shù)所應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系式

需要注意的是用模擬的方法得到的計(jì)算結(jié)果是近似的，是估計(jì)值.布豐投針1777年法國(guó)科學(xué)家布豐做了一個(gè)投針試驗(yàn)，這個(gè)試驗(yàn)被認(rèn)為是幾何概型的第一個(gè)試驗(yàn)。他在一張大紙上畫(huà)了一些平行線(xiàn)，相鄰兩條平行線(xiàn)間的距離都相等。再把長(zhǎng)度等于平行線(xiàn)間距離一半的針投到紙上，并記錄投針的總次數(shù)及針落到紙上與平行線(xiàn)中的某一條相交的次數(shù)，共計(jì)投針2212次，其中與平行線(xiàn)相交的有704次，發(fā)現(xiàn)它們的商2212÷704≈3.142045與π非常接近。

以后又有多位數(shù)學(xué)家重復(fù)做過(guò)投針試驗(yàn)，都得到了類(lèi)似的結(jié)果。那么，投針試驗(yàn)為什么能算出π的近似值呢？

如圖，取一張大紙，在上面畫(huà)上一組平行線(xiàn)，使相鄰兩平行線(xiàn)間距離都等于d，再取一個(gè)直徑為d的鐵絲圓圈。如果把這個(gè)鐵絲圓圈投擲到紙上，則圓圈與平行線(xiàn)組的交點(diǎn)肯定是2個(gè)，如果投擲n次，則交點(diǎn)總計(jì)應(yīng)為2n.如果把鐵絲拉直（長(zhǎng)度不變）再投擲到紙上，則鐵絲與平行線(xiàn)組的交點(diǎn)就可能是0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)或3個(gè)。

布豐認(rèn)為，既然兩根鐵絲長(zhǎng)度相等，在大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，它們與同一平行線(xiàn)的交點(diǎn)總數(shù)應(yīng)是相等的。如果也投擲n次，則交點(diǎn)總計(jì)也應(yīng)與2n相差甚小。再考慮鐵絲上的每個(gè)點(diǎn)，它是否落在平行線(xiàn)組的某一條上也是機(jī)會(huì)均等的。

布豐認(rèn)為，既然兩根鐵絲長(zhǎng)度相等，在大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，它們與同一平行線(xiàn)的交點(diǎn)總數(shù)應(yīng)是相等的。如果也投擲n次，則交點(diǎn)總計(jì)也應(yīng)與2n相差甚小。再考慮鐵絲