斐波那契數(shù)列的性質(zhì)

七、a2n+2a2nl-a2n七、a2n+2a2nl-a2na2n+i=l（n>=1,n屬于N）八、am+n-嗎ma2m*%（m>n>=l）九、anl**+2an*%+1=⑴ ⑴>=2）斐波那契數(shù)列的性質(zhì)一、通項(xiàng)公式：a=4=〔11必〕nn丁52二、設(shè)p,q,u,v為自然數(shù)且p=min｛p,q,u,v｝.若p+q=u+v,則對(duì)于斐波那契數(shù)列｛an｝，以下公式恒成立：aaq-aav=（-1）,+1%%〃三、an+iani一嗎=（1）n（nxl,n屬于N）四、a2n+l=an+l+an 屬于N）五、晚+1-哈=^（n>=l,n屬于N）an+manlam+anam+l⑴>=1，n和an+m十、｛工『｝有極限且等于黃金分割率匝f2n+l 2下面是一篇文章：斐波那契額數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用“斐波那契數(shù)列（Fibonacci）5'的發(fā)明者，是意大利數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契（LeonardoFibonacci,生于公元1170年，卒于1240年，籍貫大概是比薩）。他被人稱作“比薩的列昂納多"。1202

年，他撰寫了《珠算原理》（LiberAbaci）一書。他是第一個(gè)研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業(yè)團(tuán)體聘任為外交領(lǐng)事，派駐地點(diǎn)相當(dāng)于今日的阿爾及利亞地區(qū)，列昂納多因此得以在一個(gè)阿拉伯老師的指導(dǎo)下研究數(shù)學(xué)。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯 研究數(shù)學(xué)。斐波那契數(shù)列通項(xiàng)公式斐波那契數(shù)列指的是這樣一個(gè)數(shù)列1、1、2、3、5、8、13、21、 這個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和。它的通項(xiàng)公式為:（見圖）（又叫“比內(nèi)公式”，是用無(wú)理數(shù)表示有理數(shù)的一個(gè)范例。）有趣的是：這樣一個(gè)完全是自然數(shù)的教列，通項(xiàng)公式居然是用無(wú)理數(shù)來(lái)表達(dá)的。奇妙的屬性隨著數(shù)列項(xiàng)數(shù)的增加，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)之比越來(lái)越逼近黃金分割的數(shù)值0.6180339887......從第二項(xiàng)開始，每個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積多 1，每個(gè)偶數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積少 1。（注：奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)是指項(xiàng)數(shù)的奇偶，而并不是指數(shù)列的數(shù)字本身的奇偶，比如

第四項(xiàng)3是奇數(shù)，但它是偶數(shù)項(xiàng)，第五項(xiàng)5是奇數(shù)，它是奇數(shù)項(xiàng)，如果認(rèn)為數(shù)字3和5都是奇數(shù)項(xiàng)，那就誤解題意，怎么都說(shuō)不通)如果你看到有這樣一個(gè)題目：某人把一個(gè) 8*8的方格切成四塊，拼成一個(gè)5*13的長(zhǎng)方形，故作驚訝地問(wèn)你：為什么64=65?其實(shí)就是利用了斐波那契數(shù)列的這個(gè)性質(zhì)： 5、8、13正是數(shù)列中相鄰的三項(xiàng)，事實(shí)上前后兩塊的面積確實(shí)差 1，只不過(guò)后面那個(gè)圖中有一條細(xì)長(zhǎng)的狹縫，一般人不容易注意到。斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)同時(shí)也代表了集合｛1,2,...,n｝中所有不包含相鄰正整數(shù)的子集個(gè)數(shù)。TOC\o"1-5"\h\z斐波那契數(shù)列(f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2 )的其他性質(zhì)：f(0)+f(1)+f(2)+...+f(n)=f(n+2) -1f(1)+f(3)+f(5)+...+f(2n-1)=f(2n)f(2)+f(4)+f(6)+.+f(2n)=f(2n+1) -1[f(0)]A2+[f(1)]A2+.+[f(n)]A2=f(n)-f(n+1)f(0)-f(1)+f(2)-...+(-1)An?f(n)=(-1)An?[f(n+1)-f(n)]+1f(m+n)=f(m-1)-f(n-1)+f(m)-f(n)利用這一點(diǎn)，可以用程序編出時(shí)間復(fù)雜度僅為 O(logn)的程序。[f(n)]A2=(-1)A(n-1)+f(n-1)?f(n+1)f(2n-1)=[f(n)]A2-[f(n-2)]人2

3f(n)=f(n+2)+f(n-2)f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n -2m)[n〉m>-1,且n>1]△OCiQad-/\!I\MAIA斐波那契數(shù)列在楊輝三角中隱藏著斐波那契數(shù)列111121133114641過(guò)第一行的“1”向左下方做45度斜線，之后做直線的平行線，將每條直線所過(guò)的數(shù)加起來(lái)，即得一數(shù)列 1、1、2、3、5、8、 斐波那契數(shù)列與黃金比

1/1=1,2/1=2,1/1=1,2/1=2,3/2=1.5,5/3=1.6...,8/5=1.6, 89/55=1.61818..., 233/144=1.6180^5^5*相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題排列組合有一段樓梯有10級(jí)臺(tái)階,規(guī)定每一步只能跨一級(jí)或兩級(jí)，要登上第10級(jí)臺(tái)階有幾種不同的走法？這就是一個(gè)斐波那契數(shù)列：登上第一級(jí)臺(tái)階有 一種登法;登上兩級(jí)臺(tái)階，有兩種登法；登上三級(jí)臺(tái)階，有三種登法；登上四級(jí)臺(tái)階，有五種登法......1,2，3，5，8,13 所以，登上十級(jí)，有89種走法。數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的前項(xiàng)比后項(xiàng)的極限當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，F(xiàn)(n)/F(n+1)的極限是多少？這個(gè)可由它的通項(xiàng)公式直接得到，極限是 (-1+寸5)/2，這個(gè)就是黃金分割的數(shù)值，也是代表大自然的和諧的一個(gè)數(shù)字。求遞推數(shù)列a(1)=1,a(n+1)=1+1/a(n)的通項(xiàng)公式由數(shù)學(xué)歸納法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n)，將斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)式代入，化簡(jiǎn)就得結(jié)果。斐波那契數(shù)列別名

斐波那契數(shù)列又因數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”。一般而言，兔子在出生兩個(gè)月后，就有繁殖能力，一對(duì)兔子每個(gè)月能生出一對(duì)小兔子來(lái)。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少對(duì)兔子？我們不妨拿新出生的一對(duì)小兔子分析一下：第一個(gè)月小兔子沒(méi)有繁殖能力，所以還是一對(duì)；兩個(gè)月后，生下一對(duì)小兔民數(shù)共有兩對(duì)；三個(gè)月以后，老兔子又生下一對(duì)，因?yàn)樾⊥米舆€沒(méi)有繁殖能力，所以一共是三對(duì)；依次類推可以列出下表：經(jīng)過(guò)月數(shù)：---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12兔子對(duì)數(shù)：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89--144表中數(shù)字1，1，2，3，5，8 構(gòu)成了一個(gè)數(shù)列。這個(gè)數(shù)列有關(guān)十分明顯的特點(diǎn)，那是：前面相鄰兩項(xiàng)之和，構(gòu)成了后一項(xiàng)。這個(gè)特點(diǎn)的證明：每月的大兔子數(shù)為上月的兔子數(shù)，每月的小兔子數(shù)為上月的大兔子數(shù)，即上上月的兔子數(shù)，相加。這個(gè)數(shù)列是意大利中世紀(jì)數(shù)學(xué)家斐波那契在〈算盤全書〉中提出的，這個(gè)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)

的性質(zhì)外，還可以證明通項(xiàng)公式為： an=(1/寸5)*[(1+寸5/2)5-(1--5/2)八n](n=1,2,3.....)斐波那契數(shù)列公式的推導(dǎo)斐波那契數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、如果設(shè)F(n)為該數(shù)列的第n項(xiàng)(nDN+)。那么這句話可以寫成如下形式：F(0)=0，F(xiàn)(1)=F(2)=1，F(xiàn)(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>3)顯然這是一個(gè)線性遞推數(shù)列。通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法一：利用特征方程線性遞推數(shù)列的特征方程為：XA2=X+1解得X1=(1+-5)/2,，X2=(1-寸5)/2貝F(n)=C1*X1An+C2*X2AnF(1)=F(2)=1C1*X1+C2*X2C1*X1A2+C2*X2A2解得C1=1/-5，C2=-1/-5□F(n)=(1人5)*{[(1+-5)/2]An -[(1--5)⑵An}(-5表示根號(hào)5)通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法二：普通方法設(shè)常數(shù)r，s

使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]則r+s=1, -rs=1n>3時(shí)，有F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]將以上n-2個(gè)式子相乘，得：F(n)-r*F(n-1)=[sA(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]□s=1-r，F(xiàn)(1)=F(2)=1上式可化簡(jiǎn)得：F(n)=sA(n-1)+r*F(n-1)那么：F(n)=sA(n-1)+r*F(n-1)=sA(n-1)+r*sA(n-2)+rA2*F(n-2)=sA(n-1)+r*sA(n-2)+rA2*sA(n-3)+rA3*F(n-3)=sA(n-1)+r*sA(n-2)+rA2*sA(n-3)+ +rA(n-2)*s+rA(n-1)*F(1)=sA(n-1)+r*sA(n-2)+rA2*sA(n-3)+ +rA(n-2)*s+rA(n-1)

(這是一個(gè)以sA(n-1)為首項(xiàng)、以rA(n-1)為末項(xiàng)、r/s為公比的等比數(shù)列的各項(xiàng)的和)=[sA(n-1)-rA(n-1)*r/s]/(1-r/s)=(sAn-rAn)/(s-r)r+s=1, -rs=1的一解為s=(1+寸5)/2,r=(1-寸5)/2則F(n)=(1/寸5)*｛[(1+寸5)⑵An -[(1-寸5)⑵人滸迭代法已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3),求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式解:設(shè)an-aa(n-1)邛(a(n-1)-aa(n-2))得a+p=1ap=-1構(gòu)造方程x²-x-1=0,解得a=(1-寸5)/2,。=(1+寸5)/2或a=(1+^5)/2,p=(1-寸5)/2所以an-(1-寸5)/2*a(n-1)=(1+寸5)/2*(a(n-1)-(1-寸5)/2*a(n-2))=[(1+寸5)/2]A(n-2)*(a2-(1-寸5)/2*a1) 1an-(1+寸5)/2*a(n-1)=(1-寸5)/2*(a(n-1)-(1+寸5)/2*a(n-2))=[(1-寸5)/2]A(n-2)*(a2-(1+寸5)/2*a1) 2由式1,式2,可得

an=［（1+寸5）/2Rn-2）*（a2-（1-寸5）/2*a1） 3an=［（1-寸5）/2］A（n-2）*（a2-（1+寸5）/2*a1） 4將式3*（1+寸5）/2-式4*（1-寸5）/2,化簡(jiǎn)得an=（1人5）*{［（1+寸5）/2］5 -［（1-寸5）⑵5}斐波那契弧線斐波那契弧線，第一，此趨勢(shì)線以二個(gè)端點(diǎn)為 準(zhǔn)而畫出，例如，最低點(diǎn)反向到最高點(diǎn)線上的兩個(gè)點(diǎn)。三條弧線均以第二個(gè)點(diǎn)為中心畫出，并在趨勢(shì)線的斐波納契水平: 38.2%， 50%和61.8%交叉。斐波納契弧線，是潛在的支持點(diǎn)和阻力點(diǎn)水平價(jià)格。斐波納契弧線和斐波納契扇形線常常在圖表里同時(shí)繪畫出。支持點(diǎn)和阻力點(diǎn)就是由這些線的交匯點(diǎn)得出。要注意的是弧線的交叉點(diǎn)和價(jià)格曲線會(huì)根據(jù)圖表數(shù)值范圍而改變因?yàn)榛【€是圓周的一部分，它的形成總是一樣的。斐波那契扇形線斐波那契扇形線，例如，以最低點(diǎn)反向到最高點(diǎn)線上的兩個(gè)端點(diǎn)畫出的趨勢(shì)線。然后通過(guò)第二點(diǎn)畫出一條“無(wú)形的（看不見的）”垂直線。然后，從第一個(gè)點(diǎn)畫出第三條趨勢(shì)線：38.2%，50%和61.8%的無(wú)形垂直線交叉。這些線代表了支撐點(diǎn)和阻力點(diǎn)的價(jià)格水平。為了能得到一個(gè)更為精確的預(yù)報(bào)，建議和其他斐波納契工具一起使用。

斐波那契數(shù)列的應(yīng)用數(shù)學(xué)游戲一位魔術(shù)師拿著一塊邊長(zhǎng)為8英尺的正方形地毯，對(duì)他的地毯匠朋友說(shuō)：“請(qǐng)您把這塊地毯分成四小塊，再把它們縫成一塊長(zhǎng)13英尺，寬5英尺的長(zhǎng)方形地毯?！边@位匠師對(duì)魔術(shù)師算術(shù)之差深感驚異，因?yàn)閮烧咧g面積相差達(dá)一平方英尺呢！可是魔術(shù)師竟讓匠師用圖2和圖3的辦法達(dá)到了他的目的！這真是不可思議的事！親愛的讀者，你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪兒去呢？實(shí)際上后來(lái)縫成的地毯有條細(xì)縫，面積剛好就是一平方英尺。斐波那契數(shù)列在自然科學(xué)的其他分支，也有許多應(yīng)用。例如，樹木的生長(zhǎng)，由于新生的枝條，往往需要一段“休息”時(shí)間，供自身生長(zhǎng)，而后才能萌發(fā)新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，例如一年，以后長(zhǎng)出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發(fā)；此后，老枝與“休息”過(guò)一年的枝同時(shí)萌發(fā)，當(dāng)年生的新

枝則次年“休息”。這樣，一株樹木各個(gè)年份的枝椏數(shù)，便構(gòu)成斐波那契數(shù)列。這個(gè)規(guī)律，就是生物學(xué)上著名的“魯?shù)戮S格定律”。斐波那契螺旋具有13條順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和21條逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋的薊的頭部這些植物懂得斐波那契數(shù)列嗎？應(yīng)該并非如此，它們只是按照自然的規(guī)律才進(jìn)化成這樣。 這似乎是植物排列種子的“優(yōu)化方式”，它能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得當(dāng)， 不至于在圓心處擠了太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉。葉子的生長(zhǎng)方式也是如此，對(duì)于許多植物來(lái)說(shuō)，每片葉子從中軸附近生長(zhǎng)出來(lái)，為了在生長(zhǎng)的過(guò)程中一直都能最佳地利用空間（要考慮到葉子是一片一片逐漸地生長(zhǎng)出來(lái)，而不是一下子同時(shí)出現(xiàn)的），每片葉子和前一片葉子之間的角度應(yīng)該是 222.5度，這個(gè)角度稱為“黃金角度”，因?yàn)樗驼麄€(gè)圓周360度之比是黃金分割數(shù)0.618033989......的倒數(shù)，而這種生長(zhǎng)方式就決定了斐波那契螺旋的產(chǎn)生。向日葵的種子排列形成的斐波那契螺旋有時(shí)能達(dá)到89，甚至144條。三角形的三邊關(guān)系定理和斐波那契數(shù)列的一個(gè)聯(lián)系現(xiàn)有長(zhǎng)為144cm的鐵絲，要截成n小段（n>2），每段的長(zhǎng)度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，則的最大值為多少？

分析：由于形成三角形的充要條件是任何兩邊之和大于第三邊，因此不構(gòu)成三角形的條件就是任意兩邊之和不超過(guò)最大邊。截成的鐵絲最小為1，因此可以放2個(gè)1，第三條線段就是2（為了使得n最大，因此要使剩下來(lái)的鐵絲盡可能長(zhǎng)，因此每一條線段總是前面的相鄰 2段之和），依次為：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各數(shù)之和為143，與144相差1，因此可以取最后一段為56，這時(shí)n達(dá)到最大為10。我們看到，“每段的長(zhǎng)度不小于1”這個(gè)條件起了控制全局的作用，正是這個(gè)最小數(shù)1產(chǎn)生了斐波那契數(shù)列，如果把 1換成其他數(shù)，遞推關(guān)系保留了，但這個(gè)數(shù)列消失了。這里，三角形的三邊關(guān)系定理和斐波那契數(shù)列發(fā)生了一個(gè)聯(lián)系。在這個(gè)問(wèn)題中，144>143，這個(gè)143是斐波那契數(shù)列的前n項(xiàng)和，我們是把144超出143的部分加到最后的一個(gè)數(shù)上去，如果加到其他數(shù)上，就有3條線段可以構(gòu)成三角形了。影視作品中的斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列在歐美可謂是盡人皆知，于是在電影這種通俗藝術(shù)中也時(shí)常出現(xiàn)，比如在風(fēng)靡一時(shí)的《達(dá)芬奇密碼》里它就作為一個(gè)重要的符號(hào)和情節(jié)線索出現(xiàn)，在《魔法玩具城》里又是在店主招聘會(huì)計(jì)時(shí)隨口問(wèn)的問(wèn)題?？梢姶藬?shù)列就像黃金分割一樣流行?？墒请m說(shuō)叫得上名，多數(shù)人也就背過(guò) 前幾個(gè)數(shù)，并沒(méi)有深入理解研究。

斐波那契螺旋具有13條順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和21條逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋的薊的頭部這些植物懂得斐波那契數(shù)列嗎？應(yīng)該并非如此，它們只是按照自然的規(guī)律才進(jìn)化成這樣。這似乎是植物排列種子的“優(yōu)化方式”，它能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得當(dāng)， 不至于在圓心處擠了太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉。葉子