高中數(shù)學(xué)-數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

教學(xué)設(shè)計

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)

1.了解引進(jìn)虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)集的擴(kuò)充過程.

2.理解在數(shù)系的擴(kuò)充中由實數(shù)集擴(kuò)展到復(fù)數(shù)集出現(xiàn)的一通過對數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概

些基本概念.念的學(xué)習(xí)，提升“數(shù)學(xué)抽象”、

3.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的表示方法，理解復(fù)數(shù)相等的充要“邏輯推理”的核心素養(yǎng).

條件.

一、創(chuàng)設(shè)情境，引出研究內(nèi)容

幾張小小的圖片展現(xiàn)了人類科技發(fā)展的巨大進(jìn)步，人類科技的進(jìn)步離不開數(shù)

學(xué)學(xué)科的強(qiáng)力支撐，而科技的進(jìn)步也要求數(shù)學(xué)的同步發(fā)展.今天這一節(jié)課,就一讓

我們從最基本的數(shù)系擴(kuò)充這一視角，來領(lǐng)略數(shù)學(xué)發(fā)展的卓越成就和艱辛歷程.

師生互動

1.我們學(xué)過了哪些數(shù)集？

2.這些數(shù)集之間有怎樣.的包含關(guān)系？

3.數(shù)集為何要進(jìn)行擴(kuò)充?又是怎樣進(jìn)行擴(kuò)充的呢？

(1)通過觀看短片，使學(xué)生認(rèn)識到為了滿足客觀實際的需要添加新數(shù)將數(shù)集

進(jìn)行擴(kuò)充.

(2)通過學(xué)生相互討論,發(fā)現(xiàn)在原有數(shù)集中，某些運(yùn)算不是總能實施，某些

方程無解，為了解決數(shù)學(xué)內(nèi)部的這些矛盾，需要添加新數(shù)將數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充.

4.同學(xué)們能總結(jié)出數(shù)系擴(kuò)充需要遵循哪些原則嗎？

(1)解決了某些原數(shù)集中不能解決的問題；

(2)添加新數(shù),使原數(shù)集是新數(shù)集的子集；

(.3)在新的數(shù)集中，原有的運(yùn)算及其性質(zhì)仍然適用.

5.實數(shù)集還需要擴(kuò)充嗎？

負(fù)數(shù)不能開平方，方程f+kO無解.

二、歸結(jié)為方程求解，梳理數(shù)系擴(kuò)充的“規(guī)則”

問題:從方程的角度看，負(fù)實數(shù)能不能開平方，就是方程xJ-1是否有解，也

就是(十1=0是否有解的問題.思考一下，能不能把這類問題再進(jìn)一步簡化，最

終轉(zhuǎn)化為最簡單的方程x+l=O是否有解的問題呢?

追問：我們知道，x'+lR在實數(shù)集中無解，聯(lián)系從自然數(shù)集到實數(shù)集的擴(kuò)充

過程，是否能引人新數(shù)，適當(dāng)擴(kuò)充實數(shù)集，使這個方程在新數(shù)集中有解呢？

師生活動:教師進(jìn)一步引導(dǎo)：下面，我們就類比從自然數(shù)集到實數(shù)集的擴(kuò)充過

程，嘗試引入新數(shù)，適當(dāng)擴(kuò)充實數(shù)集，使這個方程在新數(shù)集中有解。引人什么數(shù)

如何擴(kuò)充實數(shù)集?這就是我們今天所要研究的問題.

設(shè)計意圖：通過問題，將歷史上的負(fù)數(shù)能否開平方的問題轉(zhuǎn)化為方程(+1=0

是否有解的問題，為后續(xù)從解方程的角度研究數(shù)系的擴(kuò)充作好鋪墊，同時也讓學(xué)

生認(rèn)識到數(shù)學(xué)中的復(fù)雜問題都可以通過轉(zhuǎn)化與化歸的方法，轉(zhuǎn)化為基本問題.通

過追問，點出本節(jié)課的主要任務(wù)，以及研究的思路和方法。

問題:我們把一個數(shù)集連同規(guī)定的運(yùn)算以及滿足的運(yùn)算律叫做一個數(shù)系，回

顧從自然數(shù)系逐步到實數(shù)系的擴(kuò)充過程，每-次數(shù)系擴(kuò)充的主要原因是什么？分別

解決了什么實際問題和數(shù)學(xué)問題?你能借助下面的方程，從解方程的角度加以說

明嗎？

(1)在自然數(shù)集中求方程x+l=0的解；

(2)在整數(shù)集中求方程2x-l=0的解；

(3)在有理數(shù)集中求方程x?-2=O的解；

師生活動:教師提出問題，學(xué)生分組討論，從兩個角度思考問題，可讓一半

學(xué)生側(cè)重討論解決的實際問題，另一半學(xué)生側(cè)重討論解決的數(shù)學(xué)問題，教師參加

到討論之中，對學(xué)生討論中的不足之處教師補(bǔ)充說明，討論后，學(xué)生交流互動，

師生共同歸納總結(jié)出結(jié)論.

預(yù)設(shè)答案：(1)從社會實踐來看，數(shù)系的擴(kuò)充是為了滿足生活和生產(chǎn)實踐的

需要.計數(shù)的需要產(chǎn)生了自然數(shù)，有了自然數(shù)系；自然數(shù)系中不能刻畫具有相反意

義的量，于是引入了負(fù)整數(shù)，將自然數(shù)系擴(kuò)充到了整數(shù)系；整數(shù)系中不能解決測

量中的一些等分等問題，于是引入了分?jǐn)?shù)，將整數(shù)系擴(kuò)充到了有理數(shù)系;有理數(shù)

系中無法解決邊長為1的正方形對角線長的度量等問題，于是引入了無理數(shù)，這

樣便將有理數(shù)系擴(kuò)充到了實數(shù)系.(2)從數(shù)學(xué)發(fā)展本身來看，數(shù)系的擴(kuò)充也是數(shù)

學(xué)本身發(fā)展的需要，方程x+l=0在自然數(shù)集N內(nèi)無解，引入負(fù)整數(shù)后，它在整數(shù)

集Z內(nèi)便有解x=T;方程2x7=0在整數(shù)集Z內(nèi)無解，引人分?jǐn)?shù)后，它在有理數(shù)集Q

便有解x=-l/2.方程x2-2=0在有理數(shù)集Q內(nèi)無解，引人無理數(shù)后，它在實數(shù)集R內(nèi)

便有解.

教師板書：

引入引人引入

自然數(shù)集N----?整數(shù)集Z----?有理數(shù)集Q-----?實數(shù)數(shù)集R

負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)無理數(shù)

設(shè)計意圖:通過梳理數(shù)的發(fā)展歷史，抓住知識的“生長點”和學(xué)生的“最近發(fā)展

區(qū)”，使學(xué)生了解數(shù)的產(chǎn)生以及數(shù)系的不斷擴(kuò)充是基于兩方面原因：社會生產(chǎn)實踐

的需要和數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要.

問題:可以看出，數(shù)集的每一-次擴(kuò)充，都是在原來數(shù)集的基礎(chǔ)上添加“新數(shù)”得

到的，引人新數(shù)就要引人新運(yùn)算，如果沒有運(yùn)算，數(shù)集中的數(shù)只是-一個個孤立

的符號.加法和乘法運(yùn)算是上述數(shù)系中最基本的運(yùn)算（減法、除法運(yùn)算分別可以轉(zhuǎn)

化成加法、乘法運(yùn)算）。梳理從自然數(shù)系逐步擴(kuò)充到實數(shù)系的過程，數(shù)系的每一

次擴(kuò)充，加法和乘法運(yùn)算滿足的〃性質(zhì)”有一致性嗎？由此你能梳理數(shù)系擴(kuò)充遵循

的“規(guī)則”嗎？

師生活動:教師引導(dǎo)分析，從自然數(shù)集擴(kuò)充到整數(shù)集時，原來在自然數(shù)集中規(guī)定

的加法和乘法運(yùn)算法則和運(yùn)算律在整數(shù)集中仍然成立;進(jìn)而學(xué)生小組討論，探求

從整數(shù)集到有理數(shù)集以及從有理數(shù)集到實數(shù)集的擴(kuò)充中，加法和乘法滿足的“性

質(zhì)”，教師要特別強(qiáng)調(diào)從有理數(shù)集擴(kuò)充到實數(shù)集滿足的“性質(zhì)師生共同總結(jié)這

些性質(zhì)的一致性，得出數(shù)系擴(kuò)充的“規(guī)則”：數(shù)集擴(kuò)充后，在新數(shù)集中規(guī)定的加

法運(yùn)算和乘法運(yùn)算，與原來數(shù)集中規(guī)定的加法和乘法運(yùn)算協(xié)調(diào)一致，并且加法和

乘法都滿足交換律和結(jié)合律，乘法對加法滿足分配律.

教師繼續(xù)板書：

引人引人引入

自然數(shù)集N----?整數(shù)集Z-----?有理數(shù)集Q-----?實數(shù)數(shù)集R

負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)無理數(shù)

++++

XXXX

設(shè)計意圖:梳理數(shù)系擴(kuò)充過程和方法的“一致性”，總結(jié)數(shù)系擴(kuò)充的一般“規(guī)則”，

為后續(xù)實數(shù)系的進(jìn)一步擴(kuò)充提供方法，進(jìn)而突破本節(jié)課的難點.

三、依據(jù)規(guī)則，擴(kuò)充實數(shù)集，引入復(fù)數(shù)

為了使方程/=-1有解，需要引入一個平方等于-1的新數(shù).瑞士數(shù)學(xué)家歐拉

1777年首次提出，用i表示平方等于T的新數(shù)，那時他已經(jīng)雙目失明，但依然憑

借超人的意志力為了數(shù)學(xué)系統(tǒng)的統(tǒng)一和完善不斷努力著.

他的提議得到了其它數(shù)學(xué)家的認(rèn)可，1801年，德國數(shù)學(xué)家高斯系統(tǒng)地使用

了這個符號，使i通行于世.

于是我們引入新數(shù)i,叫做“虛數(shù)單位”，并規(guī)定：

(1)i2=-l;

(2)實數(shù)可以與i進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時，原有的加法、乘法運(yùn)

算律仍然成立.

復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

1.復(fù)數(shù)的定義

形如。+歷①〃dR)的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，通常用字母z表示,其中a叫做復(fù)數(shù)的實

部，匕叫做復(fù)一數(shù)的虛部.

全體復(fù)數(shù)組成的集合叫復(fù)數(shù)集，通常用C表示，即C={a+萬|a/eR}.

例1.指出下列復(fù)數(shù)的實部與虛部：

(1)4；(2)2-3i;(3)5i+V2;(4)-6i;

(5.)0;(.6)li：(7)2+V3.

2

5i+V25i+V22+V3.

1.

42-3i0-1

2

實部

虛部

注意：復(fù)數(shù)的實部與虛部都是實數(shù).

2.復(fù)數(shù)的分類

,實數(shù)(力=0)

復(fù)數(shù)z=a+Z?i(a/CR)?

虛數(shù)"NO)(特別地，當(dāng)a=0時為純虛數(shù))

3.復(fù)數(shù)的相等

如果兩個復(fù)數(shù)的實部與虛部分別相等，則稱兩個復(fù)數(shù)相等，即：

a+bi=c+di(a,b,c,deR)oa-c_EL/?=J.

4.數(shù)學(xué)運(yùn)用

例2.實數(shù)/"分別取什么值時，復(fù)數(shù)Z="2(〃2-l)+("?-l)i是：

(1)實數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？(4)0?

分析：因為所以皿m-1),加-1都是實數(shù)，由復(fù)數(shù)z=a+〃i(a,"WR)是實

數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)與零的條件可以確定實數(shù)〃z的值.

解(1)當(dāng)加一1=0,即祖=1時，z為實數(shù)；

(2)當(dāng)相一1。0,即mwl時，z為虛數(shù)；

(3)當(dāng)F("T)二°即根=小寸，z為純虛數(shù)

m—10

例3.已知復(fù)數(shù)Z[=(x+y)+(x—2y)i,復(fù)數(shù)Z2=(2x—5)+(3x+y)i,若Z|=Z2,求

實數(shù)x,y.的值.

解根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，得方程組[x+)'=2x-5得廠=3

[x-2y=3x+y[y=-2

a-c

反思①a+bi-c+di(a,b,c,dwR)o<

b=d

a=0

②若a+歷=0(a、beR)o

6=0

③利用復(fù)數(shù)相等的定義可將復(fù)數(shù)問題實數(shù)化;

說明：復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題.

五.課堂小結(jié)

虛數(shù)的引入

復(fù)數(shù)

z=a+bi

(a,bWR)

復(fù)數(shù)的分類復(fù)數(shù)的相等

當(dāng)b=0時z為實數(shù)；

(a=c

當(dāng)6M時二為虛數(shù)a+bi=c+di

(此時，當(dāng)。=0時z為純虛數(shù)).(a,b,c,deR)Ib=d

六.課后作業(yè)

［課本習(xí)題1-5.

2.思考：復(fù)數(shù)可以比大小嗎？“3i>2i”正確嗎？

3.利用網(wǎng)絡(luò)等資源了解復(fù)數(shù)的實際應(yīng)用.

閱讀：復(fù)數(shù)系是怎樣建立的？

1545年意大利有名的數(shù)學(xué)“怪杰”卡丹第一次開始討論負(fù)教開平方的問

題，當(dāng)時復(fù)數(shù)被他稱作“詭辯量”.幾乎過了100年，笛卡爾才給這種“虛幻之

數(shù)”取了一個名字一一虛數(shù).但是又過了140年，歐拉還是說這種數(shù)只是存在于

“幻想之中”，并用i(imaginary,即虛幻的縮寫)來表示它的單位.后來德國

數(shù)學(xué)家高斯給出了復(fù)數(shù)的定義，并把復(fù)數(shù)與直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點一一對來.1837

年，愛爾蘭數(shù)學(xué)家哈密頓用有序?qū)崝?shù)對(a,b)定義了復(fù)數(shù)及其運(yùn)算，并說明復(fù)數(shù)

的加、乘運(yùn)算滿足實數(shù)的運(yùn)算律.這樣歷經(jīng).300年的努力，數(shù)系從實數(shù)系向復(fù)數(shù)

系的擴(kuò)充才得以大功告成.

復(fù)數(shù)的引入實現(xiàn)了中學(xué)階段數(shù)系的最后一次擴(kuò)充.

(3)如果兩個復(fù)數(shù)都是實數(shù)，可以比較大小，否則是不能比較大小的.

教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容之前，在義務(wù)教育階段已經(jīng)經(jīng)歷了從自然數(shù)到實數(shù)的擴(kuò)充過

程，對數(shù)系的擴(kuò)充有了一定的認(rèn)識，知道數(shù)系擴(kuò)充后，新的數(shù)系能夠解決在原有數(shù)系中

無法解決的一些解方程問題(如引入無理數(shù)，把有理數(shù)系擴(kuò)充到實數(shù)系后，可以解決方

程x2-l=0的解這樣的問題等)，因此當(dāng)遇到像x2+l=O這樣的方程的解問題時，通過引導(dǎo)

啟發(fā)，學(xué)生能夠聯(lián)想到對現(xiàn)有的實數(shù)系進(jìn)行進(jìn)一步擴(kuò)充，從而使方程X*+1=O有解.學(xué)

生在前面的學(xué)習(xí)中，也已多次利用過類比的方法來研究數(shù)學(xué)問題，這為本節(jié)課類比有理

數(shù)系擴(kuò)充到實數(shù)系的過程和方法，將實數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系提供了可能。

學(xué)生在學(xué)習(xí)時可能出現(xiàn)的障礙為：

(1)因為現(xiàn)實生活中沒有任何事物支持虛數(shù)，學(xué)生可能會懷疑引入復(fù)數(shù)的必要性，在

教學(xué)中，如果單純地講解或介紹復(fù)數(shù)的概念會顯得枯燥無味，學(xué)生不易接受。

(2)由于知識儲備和認(rèn)知能力的限制，學(xué)生對數(shù)系擴(kuò)充的一般規(guī)則并不熟悉，對虛數(shù)

單位的引人，以及虛數(shù)單位和實數(shù)進(jìn)行形式化運(yùn)算的理解會出現(xiàn)一定困難。

⑶學(xué)生以前學(xué)習(xí)過的數(shù)都是單純的一個數(shù)，而復(fù)數(shù)的代數(shù)形式是兩項和的形式，學(xué)

生比較陌生，因此理解上會存在一定困難。

本節(jié)課的教學(xué)難點是：復(fù)數(shù)系擴(kuò)充過程的數(shù)學(xué)基本思想，復(fù)數(shù)的代數(shù)表示，突破難

點的策略：

(1)適當(dāng)介紹數(shù)的發(fā)展簡史，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的生動性。

(2)通過解方程問題引導(dǎo)，借助已有的數(shù)系擴(kuò)充的經(jīng)驗，特別是從有理數(shù)系擴(kuò)充到實

數(shù)系的經(jīng)驗，從特殊到-一般，幫助學(xué)生梳理出數(shù)系擴(kuò)充過程中體現(xiàn)的“規(guī)則”，進(jìn)而在

“規(guī)則”的引導(dǎo)下進(jìn)行從實數(shù)系到復(fù)數(shù)系的擴(kuò)充，感受引人復(fù)數(shù)的必要性和合理性。

(3)引導(dǎo)學(xué)生按照“規(guī)則”自主探究出復(fù)數(shù)集中可能存在的各種數(shù)，并歸納總結(jié)出復(fù)

數(shù)的一般表示方法，經(jīng)歷復(fù)數(shù)形式化的過程。

有理數(shù)與無理數(shù)

效果分析

目標(biāo)

(1)了解引入復(fù)數(shù)的必要性；

(2)了解數(shù)系擴(kuò)充的一般“規(guī)則”，了解從實數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的過程，感受數(shù)系擴(kuò)充過程

中人類理性思維的作用，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)；

(3)理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，理解復(fù)數(shù)相等的含義.

效果

(1)能夠通過方程的解，感受引人復(fù)數(shù)的必要性，體會實際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾(數(shù)的運(yùn)算

規(guī)則、方程求根)在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用.

(2)學(xué)生能夠從自然數(shù)系逐步擴(kuò)充到實數(shù)系的過程中，歸納出數(shù)系擴(kuò)充的一般“規(guī)則”，體會

擴(kuò)充的合理性及人類理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用.

(3)學(xué)生能說明虛數(shù)i的由來，能夠明晰復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的基本結(jié)構(gòu)，會對復(fù)數(shù)進(jìn)行分類，

會用Venn圖表示復(fù)數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系;知道兩個復(fù)數(shù)相等的含義，

能利用復(fù)數(shù)概念和復(fù)數(shù)相等的含義解決相關(guān)的簡單問題.

教材內(nèi)容分析

1.內(nèi)容

從實數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的過程與方法，復(fù)數(shù)的概念。

2內(nèi)容解析

復(fù)數(shù)的引入是數(shù)系的又一次擴(kuò)充，也是中學(xué)階段數(shù)系的最后一次擴(kuò)充，通過復(fù)數(shù)的

學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生對于數(shù)的概念有一個更加完整的認(rèn)識。復(fù)數(shù)與平面向量、平面解析幾

何、三角函數(shù)等都有密切的聯(lián)系，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).復(fù)數(shù)在力學(xué)、電學(xué)及其

他學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用。

在數(shù)學(xué)中，數(shù)系的擴(kuò)充必須遵循有關(guān)的"規(guī)則”，即擴(kuò)充后的數(shù)系中規(guī)定的加法運(yùn)算、

乘法運(yùn)算，與原數(shù)系中的加法運(yùn)算、乘法運(yùn)算協(xié)調(diào)一致，并且加法和乘法都滿足交換律

和結(jié)合律，乘法對加法滿足分配律.從實數(shù)系向復(fù)數(shù)系擴(kuò)充，同樣要符合這樣的規(guī)則。復(fù)

數(shù)概念的引人，從實系數(shù)一元二次方程當(dāng)判別式小于0時沒有實數(shù)根出發(fā)，回顧從自然

數(shù)系逐步擴(kuò)充到實數(shù)系、特別是有理數(shù)系擴(kuò)充到實數(shù)系的過程，得到數(shù)系擴(kuò)充中體現(xiàn)出

的“規(guī)則”，進(jìn)而在"規(guī)則”的引導(dǎo)下，考慮為使方程x2+l=0有解，引人新數(shù)i,從而可以

像實數(shù)一樣進(jìn)行加法、乘法運(yùn)算并保持運(yùn)算律的角度，將實數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集.這一過

程，通過數(shù)系擴(kuò)充“規(guī)則”的歸納，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；通過實數(shù)系向復(fù)數(shù)系的擴(kuò)

充，讓學(xué)生體會類比的數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，并感受人類理性思維在數(shù)

系擴(kuò)充中的作用。

測評練習(xí)

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.下面四個命題：

(1)0比一i大；

(2)兩個復(fù)數(shù)互為共加復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)其和為實數(shù)；

(3)x+yi=1+i的充要條件為x=y=1；

(4)如果讓實數(shù)a與H對應(yīng)，那么實數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應(yīng)，其中正確的命題個數(shù)是()

A.0B.1

C.2D.3

【答案解析】A9)0比一i大，實數(shù)與虛數(shù)不能比較大小;

（2）兩個復(fù)數(shù)互為共朝復(fù)數(shù)時其和為實數(shù)，但是兩個復(fù)數(shù)的和為實數(shù)不一定是共朝復(fù)數(shù)；

（3）x+yi=l+i的充要條件為x=y=l是錯誤的，因為沒有表明x,y是否是實數(shù)；

（4）當(dāng)。=0時，沒有純虛數(shù)和它對應(yīng).]

2.設(shè)a,bGR,i是虛數(shù)單位，則“而=0”是“復(fù)數(shù)a+4為純虛數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案解析】B[若次?=0,則〃=0或6=0或〃=8=0.當(dāng)。=0,時，復(fù)數(shù)為純虛

數(shù).當(dāng)6=0時，復(fù)數(shù)a+7為實數(shù)，所以‘'必=0”不一定得出''復(fù)數(shù)a+4”為純虛數(shù)；若

a十號為純虛數(shù)，則6#0,a=0.必有必=0,所以“燦=0”是“復(fù)數(shù)a+1為純虛數(shù)”的必要

不充分條件.]

3.若復(fù)數(shù)z=（m+2）+（"，一9）i（次￡R）是正實數(shù)，則實數(shù)m的值為（）

A.-2B.3

C.—3D.±3

[W2-9=0,

【答案解析】B[由題知，「八解得〃?=3.]

[m+2>0,

4.以2i的虛部為實部，以i+2i2的實部為虛部的新復(fù)數(shù)是（）

A.2-2iB.2+i

C.-iD.i

【答案解析】A⑵的虛部為2,i+%2的實部為一2,故所求的復(fù)數(shù)為2一2”

5.若/-i+2ai=3+4i,則實數(shù)”的值為（）

A.±2B.-2

C.2D.0

【答案解析】C[由復(fù)數(shù)相等的充要條件知/-1=3且2〃=4,故。=2.]

6.（多空題）如果X—1+yi與i—3x為相等復(fù)數(shù)，x,y為實數(shù)，則x=,y-.

【答案解析】

W-由復(fù)數(shù)相等可知，kl.

1

7.已知〃是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，若z=.2—l+（a+l）i是純虛數(shù)，則a=,

【答案解析】1

['.'z=a2—1+（a+l）i是純虛數(shù)，

層一1=()

解得a—\.]

〃+lWO

8.已知復(fù)數(shù)z=〃?+(〃?2—i)i(〃?￡R)滿足z<0,則m—.

【答案解析】-1［由z<0可知z為實數(shù)，，療-1=0,.?.〃2=±1,又zvO,???加=-1.］

9.設(shè)復(fù)數(shù)z=log2(m2—3//?—3)+log2(3—"?)i,R,如果z是純虛數(shù)，求相的值.

“加2—3〃？—3>0,

3一機(jī)>0,

【答案解析】由題意得二,“、八解得〃7=-1

log2(m3)2-3)=0,

Jog2(3—/n)#0,

10.求適合等式(2r—l)+i=y+(y—3)i的x,y的值，其中x￡R,y是純虛數(shù).

【答案解析】設(shè)y=6ig￡R且b#0),代入等式得(2x—l)+i=bi+gi—3)i,

2x—1=—/?,

即(2x—l)+i=—Z?+S—3)i,，

1—b—3,

x=-z,3

解得J2即x=_],y=4i.

力=4.

11.己知集合用={1,2,nr-3m-1+(/n2-5/n-6)i},N={-1,3},且MAN={3},則實數(shù)

m的值為()

A.4B.-1

C.-1或4D.一1或6

【答案解析】B［由于MAN={3},故3￡M,必有m2—3m—l+(m2—5m—6)i—3,所以M

—3m—1=3,trr—5tn—6=0,即得m=-1.］

12.下列復(fù)數(shù)中，滿足方程/+2=0的是()

A.±1B.±i

C.±V2iD.±2i

【答案解析】Cr=一1,所以(士也i)2=-2,即方程f+2=0的解為/i.1

13.若復(fù)數(shù)(僅-3a+2)+(a—l)i是純虛數(shù),貝I實數(shù)a的值為.

a2—3a+2=0,ci--1或2,

2［根據(jù)復(fù)數(shù)的分類知，需滿足小解得一即a=2.]

a~1W0,aW1,

14.已知集合知={3+3)+(扶一l)i,8},集合N={3i,(層-1)+集+2)”滿足MDN=M,求

實數(shù)m6的值.

【答案解析】...MUN,.?.(a+3)+(/-l)i=3i,①

且8=d-l)+S+2)i.②

由①，得〃=—3,b=+2,由②，得4=±3,b=-2.

:?a=-3,b=-2.

15.若加為實數(shù)，zi=m2+1+(m3+3zn2+2m)i,zi—4m+2+(zn3—5tn2+4/n)i,那么使zi>Z2

的加值的集合是什么？

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【答案解析】當(dāng)zi《R時，m+3m+2m=09機(jī)=0,—1,—2,z1=l或2或5.

i

當(dāng)Z2GR時，m—5nr+4m=09m=0,1,4,z2=2或6或18.

上面m的公共值為m=0,

此時Z]與Z2同時為實數(shù)，且Z]=l,Z2=2.

?.?使Z>Z2的加值的集合為空集.

課后反思

(一)學(xué)生對概念的掌握。

學(xué)生對于“學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的必要性”以及“復(fù)數(shù)的應(yīng)用”回答情況較好。在教學(xué)過程中，

教師由方程“有解還是無解”這一問題的探究，使學(xué)生感受到引入虛數(shù)的必要性；在小結(jié)環(huán)

節(jié)，教師介紹復(fù)數(shù)在自然科學(xué)中的廣泛應(yīng)用，使學(xué)生再次感受到學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的意義。從這方面

來看，HPM視角下“復(fù)數(shù)的概念”教學(xué)通過重構(gòu)復(fù)數(shù)產(chǎn)生的歷史,有助于學(xué)生接受復(fù)數(shù)，了

解復(fù)數(shù)的價值。但是，學(xué)生在問題“復(fù)數(shù)的概念”與問題“復(fù)數(shù)的分類”回答情況并不理想

在實際課堂教學(xué)中，教師雖通過文氏圖說明各數(shù)集間的關(guān)系，并設(shè)計部分例題進(jìn)行鞏固，但

沒有深入辨析復(fù)數(shù)的概念，因此學(xué)生在理解概念時產(chǎn)生了一些偏差。從學(xué)生對復(fù)數(shù)的不同理

解來看，“二維類”認(rèn)為“z=a+bi”對應(yīng)“復(fù)數(shù)=實數(shù)+虛數(shù)”，“復(fù)數(shù)是實數(shù)與虛數(shù)的代數(shù)和”。

這種觀點混淆了復(fù)數(shù)與虛數(shù)，虛數(shù)與純虛數(shù)的概念：方面，當(dāng)bWO時，bi對應(yīng)的是純虛數(shù)而非

虛數(shù)；另一方面，“實數(shù)+純虛數(shù)”對應(yīng)的是虛數(shù)而非復(fù)數(shù)，持“符號類”觀點的部分學(xué)生將

符號i作為判斷復(fù)數(shù)的依據(jù)，但實際上不包含i的數(shù)也是復(fù)數(shù)(如實數(shù))。在判斷“虛數(shù)”一

題中，學(xué)生將虛數(shù)與復(fù)數(shù)等同起來。持“關(guān)系類”觀點的部分學(xué)生則直接從復(fù)數(shù)中排除了實

數(shù)，實際上將復(fù)數(shù)與虛數(shù)混為一談。持“運(yùn)算類”觀點的學(xué)生將“符號類”中的替換成

更一般的“負(fù)數(shù)平方根，但同樣未區(qū)分復(fù)數(shù)與虛數(shù)，且虛數(shù)的定義也不夠準(zhǔn)確。

(二)數(shù)的發(fā)展和完善過程給學(xué)生的啟示。

從歷史上來看，學(xué)生在“復(fù)數(shù)的概念”與“復(fù)數(shù)的分類"方面的認(rèn)知障礙也曾是數(shù)學(xué)家

們的障礙?紐菲爾德(Neufeld)在《初等代數(shù)》書中，復(fù)數(shù)的定義為：“含負(fù)數(shù)開根形式的數(shù)

為虛數(shù)，除虛數(shù)以外的數(shù)為實數(shù)，實數(shù)與虛數(shù)的代數(shù)和為復(fù)數(shù)由