相似三角形培優(yōu)

./相似三角形綜合培優(yōu)題型基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)梳理：知識(shí)點(diǎn)1有關(guān)相似形的概念<1>形狀相同的圖形叫相似圖形,在相似多邊形中,最簡(jiǎn)單的是相似三角形.<2>如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例,這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比叫做相似比<相似系數(shù)>．知識(shí)點(diǎn)2比例線段的相關(guān)概念〔1如果選用同一單位量得兩條線段的長(zhǎng)度分別為,那么就說(shuō)這兩條線段的比是,或?qū)懗桑ⅲ涸谇缶€段比時(shí),線段單位要統(tǒng)一.〔2在四條線段中,如果的比等于的比,那么這四條線段叫做成比例線段,簡(jiǎn)稱比例線段．注：=1\*GB3①比例線段是有順序的,如果說(shuō)是的第四比例項(xiàng),那么應(yīng)得比例式為：．=2\*GB3②a、d叫比例外項(xiàng),b、c叫比例內(nèi)項(xiàng),a、c叫比例前項(xiàng),b、d叫比例后項(xiàng),d叫第四比例項(xiàng),如果b=c,即那么b叫做a、d的比例中項(xiàng),此時(shí)有.知識(shí)點(diǎn)3比例的性質(zhì)〔注意性質(zhì)立的條件：分母不能為0〔1基本性質(zhì)：①；②．注：由一個(gè)比例式只可化成一個(gè)等積式,而一個(gè)等積式共可化成八個(gè)比例式,如,除了可化為,還可化為,,,,,,．〔2更比性質(zhì)<交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)>：〔3反比性質(zhì)<把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換>：．知識(shí)點(diǎn)4比例線段的有關(guān)定理1.三角形中平行線分線段成比例定理:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊<或兩邊的延長(zhǎng)線>所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.由DE∥BC可得：2.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.已知AD∥BE∥CF,可得等.知識(shí)點(diǎn)5相似三角形的概念①對(duì)應(yīng)性：即兩個(gè)三角形相似時(shí),一定要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)位置上,這樣寫比較容易找到相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊．②順序性：相似三角形的相似比是有順序的．③兩個(gè)三角形形狀一樣,但大小不一定一樣．=4\*GB3④全等三角形是相似比為1的相似三角形．二者的區(qū)別在于全等要求對(duì)應(yīng)邊相等,而相似要求對(duì)應(yīng)邊成比例．知識(shí)點(diǎn)6三角形相似的等價(jià)關(guān)系與三角形相似的判定定理的預(yù)備定理<1>相似三角形的等價(jià)關(guān)系：①反身性：對(duì)于任一有∽．②對(duì)稱性：若∽,則∽．③傳遞性：若∽,且∽,則∽<2>三角形相似的判定定理的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊<或兩邊延長(zhǎng)線>相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．定理的基本圖形：用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述是：,∴∽．知識(shí)點(diǎn)7三角形相似的判定方法1、定義法：三個(gè)對(duì)應(yīng)角相等,三條對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似．2、平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊<或兩邊的延長(zhǎng)線>相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．3、判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似．4、判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例,并且?jiàn)A角相等,那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等,兩三角形相似．5、判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：<1>以上各種判定均適用．<2>如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)直角三角形相似．<3>直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似．：射影定理：在直角三角形中,斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng).每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng).如圖,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜邊BC上的高,則AD2=BD·DC,AB2=BD·BC,AC2=CD·BC.知識(shí)點(diǎn)8相似三角形常見(jiàn)的圖形1、相似三角形的基本圖形：如圖：稱為"平行線型"的相似三角形〔有"A型"與"X型"圖<2>如圖：其中∠1=∠2,則△ADE∽△ABC稱為"斜交型"的相似三角形.〔有"反A共角型"、"反A共角共邊型"、"蝶型"如圖：稱為"垂直型"〔有"雙垂直共角型"、"雙垂直共角共邊型〔也稱"射影定理型"""三垂直型"<4>如圖：∠1=∠2,∠B=∠D,則△ADE∽△ABC,稱為"旋轉(zhuǎn)型"的相似三角形.2、幾種基本圖形的具體應(yīng)用：〔1若DE∥BC〔A型和X型則△ADE∽△ABC〔2射影定理若CD為Rt△ABC斜邊上的高〔雙直角圖形則Rt△ABC∽R(shí)t△ACD∽R(shí)t△CBD且AC2=AD·AB,CD2=AD·BD,BC2=BD·AB；〔3滿足1、AC2=AD·AB,2、∠ACD=∠B,3、∠ACB=∠ADC,都可判定△ADC∽△ACB．〔4當(dāng)或AD·AB=AC·AE時(shí),△ADE∽△ACB．知識(shí)點(diǎn)10相似三角形的性質(zhì)<1>相似三角形對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例．<2>相似三角形對(duì)應(yīng)高的比,對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比．<3>相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比．<4>相似三角形面積的比等于相似比的平方．注：相似三角形性質(zhì)可用來(lái)證明線段成比例、角相等,也可用來(lái)計(jì)算周長(zhǎng)、邊長(zhǎng)等．知識(shí)點(diǎn)11相似三角形中有關(guān)證〔解題規(guī)律與輔助線作法1、證明四條線段成比例的常用方法：<1>線段成比例的定義<2>三角形相似的預(yù)備定理<3>利用相似三角形的性質(zhì)<4>利用中間比等量代換<5>利用面積關(guān)系

2、證明題常用方法歸納：〔1總體思路:"等積"變"比例","比例"找"相似"

<2>找相似：通過(guò)"橫找""豎看"尋找三角形,即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r(shí)候一共各有三個(gè)不同的字母,并且這幾個(gè)字母不在同一條直線上,能夠組成三角形,并且有可能是相似的,則可證明這兩個(gè)三角形相似,然后由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可證的所需的結(jié)論.

<3>找中間比：若沒(méi)有三角形<即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r(shí)候一共有四個(gè)字母或者三個(gè)字母,但這幾個(gè)字母在同一條直線上>,則需要進(jìn)行"轉(zhuǎn)移"<或"替換">,常用的"替換"方法有這樣的三種：等線段代換、等比代換、等積代換.即：找相似找不到,找中間比.方法：將等式左右兩邊的比表示出來(lái).①②③<4>添加輔助線：若上述方法還不能奏效的話,可以考慮添加輔助線<通常是添加平行線>構(gòu)成比例.以上步驟可以不斷的重復(fù)使用,直到被證結(jié)論證出為止.注：添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑.平面直角坐標(biāo)系中通常是作垂線〔即得平行線構(gòu)造相似三角形或比例線段.〔5比例問(wèn)題：常用處理方法是將"一份"看著k;對(duì)于等比問(wèn)題,常用處理辦法是設(shè)"公比"為k.知識(shí)點(diǎn)12相似多邊形的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)13位似圖形有關(guān)的概念與性質(zhì)及作法典型例題剖析：題型一、相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題例題1.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,過(guò)點(diǎn)B作射線BB1∥AC．動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC交射線BB1于F,G是EF中點(diǎn),連接DG．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

〔1當(dāng)t為何值時(shí),AD=AB,并求出此時(shí)DE的長(zhǎng)度；

〔2當(dāng)△DEG與△ACB相似時(shí),求t的值．

變式訓(xùn)練.如圖,在△ABC中,ABC＝90°,AB=6m,BC=8m,動(dòng)點(diǎn)P以2m/s的速度從A點(diǎn)出發(fā),沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)．同時(shí),動(dòng)點(diǎn)Q以1m/s的速度從C點(diǎn)出發(fā),沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)．當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),它們都停止移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒．

〔1①當(dāng)t=2.5s時(shí),求△CPQ的面積；

②求△CPQ的面積S〔平方米關(guān)于時(shí)間t〔秒的函數(shù)解析式；

〔2在P,Q移動(dòng)的過(guò)程中,當(dāng)△CPQ為等腰三角形時(shí),求出t的值．

題型二、構(gòu)造相似輔助線——雙垂直模型例題.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為<2,1>,正比例函數(shù)y=kx的圖象與線段OA的夾角是45°,求這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式．

變式訓(xùn)練.在△ABC中,AB=,AC=4,BC=2,以AB為邊在C點(diǎn)的異側(cè)作△ABD,使△ABD為等腰直角三角形,求線段CD的長(zhǎng)．

題型三、構(gòu)造相似輔助線——A、X字型例題.如圖：△ABC中,D是AB上一點(diǎn),AD=AC,BC邊上的中線AE交CD于F.

求證：變式訓(xùn)練.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB＝b,CD＝a,E為AD邊上的任意一點(diǎn),EF∥AB,且EF交BC于點(diǎn)F,某同學(xué)在研究這一問(wèn)題時(shí),發(fā)現(xiàn)如下事實(shí)：

<1>當(dāng)時(shí),EF=；<2>當(dāng)時(shí),EF=；<3>當(dāng)時(shí),EF=．當(dāng)時(shí),參照上述研究結(jié)論,請(qǐng)你猜想用a、b和k表示EF的一般結(jié)論,并給出證明．

題型四、相似類定值問(wèn)題例題.如圖,在等邊△ABC中,M、N分別是邊AB,AC的中點(diǎn),D為MN上任意一點(diǎn),BD、CD的延長(zhǎng)線分別交AC、AB于點(diǎn)E、F．

求證：．

變式訓(xùn)練.已知：如圖,梯形ABCD中,AB//DC,對(duì)角線AC、BD交于O,過(guò)O作EF//AB分別交AD、BC于E、F.

求證：．

題型五、相似之共線線段的比例問(wèn)題例題.〔1如圖1,點(diǎn)在平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD上,一直線過(guò)點(diǎn)P分別交BA,BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,S,交于點(diǎn)．求證：

〔2如圖2,圖3,當(dāng)點(diǎn)在平行四邊形ABCD的對(duì)角線或的延長(zhǎng)線上時(shí),是否仍然成立？若成立,試給出證明；若不成立,試說(shuō)明理由〔要求僅以圖2為例進(jìn)行證明或說(shuō)明；

變式訓(xùn)練.如圖,已知直線的函數(shù)表達(dá)式為,且與軸,軸分別交于兩點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始在線段上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)移動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始在線段上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)移動(dòng),設(shè)點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為秒．〔1求出點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2當(dāng)為何值時(shí),與相似？〔3求出〔2中當(dāng)與相似時(shí),線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式．OOPAQByx題型六、相似之等積式類型綜合例題.已知如圖,CD是Rt△ABC斜邊AB上的高,E為BC的中點(diǎn),ED的延長(zhǎng)線交CA于F.

求證：變式訓(xùn)練.如圖,在Rt△ABC中,CD是斜邊AB上的高,點(diǎn)M在CD上,DH⊥BM且與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.

求證：〔1△AED∽△CBM；〔2題型七、相似基本模型應(yīng)用例題.△ABC和△DEF是兩個(gè)等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的頂點(diǎn)E位于邊BC的中點(diǎn)上．

〔1如圖1,設(shè)DE與AB交于點(diǎn)M,EF與AC交于點(diǎn)N,求證：△BEM∽△CNE；

〔2如圖2,將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn),使得DE與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,EF與AC交于點(diǎn)N,于是,除〔1中的一對(duì)相似三角形外,能否再找出一對(duì)相似三角形并證明你的結(jié)論．

變式訓(xùn)練.如圖,四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形,點(diǎn)R為DE的中點(diǎn),BR分別交AC、CD于點(diǎn)P、Q．

〔1請(qǐng)寫出圖中各對(duì)相似三角形〔相似比為1除外；

〔2求BP：PQ：QR．

強(qiáng)化訓(xùn)練：如圖,在同一平面內(nèi),將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起,A為公共頂點(diǎn),∠BAC=∠AGF=90°,它們的斜邊長(zhǎng)為2,若?ABC固定不動(dòng),?AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),AF、AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D、E<點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合,