5.1.1任意角導(dǎo)學(xué)案

導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解任意角的概念．2．掌握終邊相同角的含義及其表示．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3．掌握軸線角、象限角及區(qū)間角的表示方法．(難點(diǎn)、易混點(diǎn))【自主學(xué)習(xí)】一.任意角1.角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條繞著它的端點(diǎn)所成的.2.角的表示：如圖所示：角α可記為“α”或“∠α”或“∠AOB”，始邊：，終邊：，頂點(diǎn).3.角的分類：名稱定義圖示正角一條射線繞其端點(diǎn)按

方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角一條射線繞其端點(diǎn)按

方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線

做任何旋轉(zhuǎn)形成的角這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角（要注意旋轉(zhuǎn)方向和大小）。【答案】射線旋轉(zhuǎn)圖形逆時(shí)針順時(shí)針沒(méi)有二．象限角1.把角放在平面直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么角的在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾_______；如果角的終邊在，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.【答案】原點(diǎn)終邊象限角坐標(biāo)軸上象限角角的集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}第二象限角{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}第三象限角{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}第四象限角{α|k·360°90°<α<k·360°,k∈Z}三．終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.【答案】{β|β＝α＋k·360°，kZ}【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)練】°~

360°范圍內(nèi)，找出與950°12解：-950°所以在0°~

360°范圍內(nèi)，與-950°y軸上的角的集合.解：在0°~

360°范圍內(nèi),終邊在y軸上的角有兩個(gè)，即90°，270°.因此，所有與90°角終邊相同的角構(gòu)成集合S1={β|β=90°+k?360°，k∈S=S1∪S={β|β=90°+2k?180°，y=x上的角的集合S.S中滿足不等式-360°≤β≤720°的元素β有哪些？解：如圖，在直角坐標(biāo)系中畫出直線y=x，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是45°，在0°~

360°范圍內(nèi),終邊在直線y=x上的角有兩個(gè)，45°，225°.因此，終邊在直線y=xS中適合不等式-360°≤β≤720°的元素β有：45°-2×180°=-315°4.什么是銳角?它是幾象限角，反過(guò)來(lái)成立嗎?鈍角呢？直角呢？解：5.今天是星期三,則7k(k∈Z)天后的那一天是星期幾?7k(k∈Z)天前的那一天是星期幾?100天后的那一天是星期幾?解：7k(k∈Z)天后和7k天前的那一天都是星期三∵100=14×7+2∴100天后的那一天是星期五6.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,請(qǐng)作出下列各角，并指出它們各是哪個(gè)象限的角？(1)420o,(2)－75o,(3)855o,(4)－510o解：【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)提升練】一、單選題1．角－870°的終邊所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限，故選C.2．在－360°～0°范圍內(nèi)與角1250°終邊相同的角是()A．170° B．190°C．－190° D．－170°【答案】C【解析】與1250°角的終邊相同的角α＝1250°＋k·360°，k∈Z，因?yàn)椋?60°＜α＜0°，所以－eq\f(161,36)＜k＜－eq\f(125,36)，因?yàn)閗∈Z，所以k＝－4，所以α＝－190°.3．若α是第一象限角，則下列各角中屬于第四象限角的是()A．90°－α B．90°＋αC．360°－α D．180°＋α【答案】C【解析】因?yàn)棣潦堑谝幌笙藿?，所以－α為第四象限角，所?60°－α為第四象限角．4．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，則α所在象限是()A．第一或第三象限 B．第一或第二象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限【答案】A【解析】當(dāng)k＝0時(shí)，α＝45°為第一象限角，當(dāng)k＝1時(shí)，α＝225°為第三象限角．5．已知角2α的終邊在x軸的上方，那么α是()A．第一象限角 B．第一、二象限角C．第一、三象限角 D．第一、四象限角【答案】C【解析】由題意知k·360°＜2α＜180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°＜α＜90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性進(jìn)行討論．當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，n·360°＜α＜90°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第一象限；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，180°＋n·360°＜α＜270°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第三象限．故α是第一或第三象限角．二、多選題6．已知扇形的周長(zhǎng)是6，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AD【分析】設(shè)出扇形所在圓的半徑及其弧長(zhǎng)，再由條件列出方程求解即可作答.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，則解得或，又圓心角，所以或，故選：AD.7．中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)，一般情況下，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成，如圖，設(shè)扇形的面積為，其圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)與的比值為時(shí)，扇面為“美觀扇面”，下列結(jié)論正確的是（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．B．若，扇形的半徑，則C．若扇面為“美觀扇面”，則D．若扇面為“美觀扇面”，扇形的半徑，則此時(shí)的扇形面積為【答案】AC【分析】首先確定所在扇形的圓心角，結(jié)合扇形面積公式可確定A正確；由可求得，代入扇形面積公式可知B錯(cuò)誤；由即可求得，知C正確；由扇形面積公式可直接判斷出D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，與所在扇形的圓心角分別為，，，A正確；對(duì)于B，，，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：AC.8.已知扇形的周長(zhǎng)是12，面積是8，則扇形的圓心角的弧度數(shù)可能是（

）A．1 B．4 C．2 D．3【答案】AB【分析】利用扇形的弧長(zhǎng)與面積公式建立方程組求解，再利用圓心角公式.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，面積為S，圓心角為，則，，解得，或，，則或1．故C，D錯(cuò)誤.故選：AB．9．（

）A．是正數(shù) B．是負(fù)數(shù) C．大于 D．大于【答案】ACD【分析】根據(jù)弧度的含義，判斷2弧度的角是第二象限角，由此可判斷答案.【詳解】由于，故2弧度的角是第二象限角，則，故A正確，B錯(cuò)誤；，，故,故C，D正確；故選：ACD三、填空題10．已知角α的終邊在圖中陰影所表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，那么α∈________.【答案】{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}【解析】在0°～360°范圍內(nèi)，終邊落在陰影內(nèi)的角為30°＜α＜150°和210°＜α＜330°.所以α∈{α|k·360°＋30°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°＜α＜k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°＜α＜2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°＜α＜(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}．11．與2019°角的終邊相同的最小正角是________，絕對(duì)值最小的角是________．【答案】219°－141°【解析】與2019°角的終邊相同的角為2019°＋k·360°(k∈Z)．當(dāng)k＝－5時(shí)，219°為最小正角；當(dāng)k＝－6時(shí)，－141°為絕對(duì)值最小的角．12．若α，β兩角的終邊互為反向延長(zhǎng)線，且α＝－120°，則β＝________.【答案】k·360°＋60°(k∈Z)【解析】在0°～360°范圍內(nèi)與α＝－120°的終邊互為反向延長(zhǎng)線的角是60°，所以β＝k·360°＋60°(k∈Z)．四、解答題13．在與530°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角．(1)最大的負(fù)角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角．[解]與530°終邊相同的角為k·360°＋530°，k∈Z.(1)由－360°＜k·360°＋530°＜0°且k∈Z，可得k＝－2，故所求的最大負(fù)角為－190°.(2)由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z，可得k＝－1，故所求的最小正角為170°.(3)由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z，可得k＝－3，故所求的角為－550°.14．已知集合A＝{α|k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}．(1)在平面直角坐標(biāo)系中，表示出角α終邊所在區(qū)域；(2)在平面直角坐標(biāo)系中，表示出角β終邊所在區(qū)域；(3)求A∩B.[解](1)角α終邊所在區(qū)域如圖(1)所示．(2)角β終邊所在區(qū)域如圖(2)所示．圖(1)圖(2)(3)由(1)(2)知A∩B＝{γ|k·360°＋45°＜γ＜k·360°＋55°，k∈Z}.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)素養(yǎng)練】一、單選題1．已知θ為第二象限角，那么eq\f(θ,3)是()A．第一或第二象限角B．第一或第四象限角C．第二或第四象限角D．第一、二或第四象限角【答案】D【解析】∵θ為第二象限角，∴90°＋k·360°＜θ＜180°＋k·360°，k∈Z，∴30°＋k·120°＜eq\f(θ,3)＜60°＋k·120°，k∈Z，當(dāng)k＝0時(shí)，30°＜eq\f(θ,3)＜60°，屬于第一象限，當(dāng)k＝1時(shí)，150°＜eq\f(θ,3)＜180°，屬于第二象限，當(dāng)k＝－1時(shí)，－90°＜eq\f(θ,3)＜－60°，屬于第四象限，∴eq\f(θ,3)是第一、二或第四象限角．2．角α與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則α與β的關(guān)系為()A．α＋β＝k·360°，k∈ZB．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈ZD．α－β＝k·360°，k∈Z【答案】B【解析】法一：(特殊值法)令α＝30°，β＝150°，則α＋β＝180°.故α與β的關(guān)系為α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.法二：(直接法)因?yàn)榻铅僚c角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.二、填空題3．終邊落在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合為________．【答案】{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}【解析】如圖所示終邊落在射線y＝eq\r(3)x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，終邊落在射線y＝eq\r(3)x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}．于是終邊落在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．4．若角α滿足180°<α<360°，角5α與α有相同的始邊，且又有相同的終邊，那么角α＝________.【答案】270°【解析】由于5α與α的始邊和終邊相同，所以這兩角的差應(yīng)是360°的整數(shù)倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.三、解答題5．已知α，β都是銳角，且α＋β的終邊與－280°角的終邊相同，α－β的終邊與670°角的終邊相同，求角α，β的大小．[解]由題意可知：α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.∵α，β為銳角，∴0°＜α＋β＜180°.取k＝1，得α＋β＝80°，①α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.∵α，β為銳角，∴－90°＜α－β＜90°.取k＝－2，得α－β＝－50°，②由①②得：α＝15°，β＝65°.6．已知相互咬合的兩個(gè)齒輪，大輪有48齒，小輪有20齒，當(dāng)大輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，小輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角是多少度？多少弧度？如果大輪的轉(zhuǎn)速是150r/min，小輪的半徑為10cm，那么小輪圓周上的點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)是多少？【答案】小輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角是，弧度，小輪圓周上的點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)為cm【分析】通過(guò)相互咬合的兩個(gè)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)的齒數(shù)相同，得到小輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，再通過(guò)大輪的轉(zhuǎn)速，得到小輪的轉(zhuǎn)速【詳解】由題意得，相互咬合的兩個(gè)齒輪，大輪有48齒，小輪有20齒，所以當(dāng)大輪旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，大輪轉(zhuǎn)了48個(gè)齒，小輪轉(zhuǎn)了20齒，所以小輪轉(zhuǎn)動(dòng)了周，即，，所以當(dāng)大輪的轉(zhuǎn)速為150r/min時(shí)，小輪的轉(zhuǎn)速為r/min，所以小輪圓周上的點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為，因?yàn)樾≥喌陌霃綖?0cm，所以小輪圓周上的點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)cm7．某企業(yè)欲