提優(yōu)題型七 函數(shù)的基本性質(zhì)2 反比例函數(shù)（專題訓(xùn)練）（解析版）

題型七函數(shù)的基本性質(zhì)類型二反比例函數(shù)（專題訓(xùn)練）1.對于反比例函數(shù)y＝﹣，下列說法錯誤的是（）A．圖象經(jīng)過點（1，﹣5）B．圖象位于第二、第四象限C．當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小D．當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大【答案】C【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和反比例函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：反比例函數(shù)y＝﹣，A、當(dāng)x＝1時，y＝﹣＝﹣5，圖像經(jīng)過點（1，-5），故選項A不符合題意；B、∵k＝﹣5＜0，故該函數(shù)圖象位于第二、四象限，故選項B不符合題意；C、當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而增大，故選項C符合題意；D、當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大，故選項D不符合題意；故選C．【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2.若點，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)中k＜0判斷出函數(shù)圖象所在的象限及增減性，再根據(jù)各點橫坐標(biāo)的特點即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵反比例函數(shù)中k＜0，∴函數(shù)圖象的兩個分支分別位于二、四象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．∵-3＜0，-1＜0，∴點A（-3，y1），B（-1，y2）位于第二象限，∴y1＞0，y2＞0，∵-3＜-1＜0，∴0＜y1＜y2．∵2＞0，∴點C（2，y3）位于第四象限，∴y3＜0，∴y3＜y1＜y2．故選：A．【點睛】此題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點及平面直角坐標(biāo)系中各象限內(nèi)點的坐標(biāo)特點，比較簡單3.若點A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函數(shù)y=10x的圖象上，則x1，x2，xA．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x3＜x1＜x2【分析】將點A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）分別代入反比例函數(shù)y=10x，求得x1，x2，x【解析】∵點A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函數(shù)y=10∴﹣5=10x，即x1＝﹣2=10x，即x2＝5=10x，即x3＝∵﹣2＜2＜5，∴x1＜x3＜x2；故選：C．4.如圖是反比例函數(shù)y=的圖象，點A(x，y)是反比例函數(shù)圖象上任意一點，過點A作AB⊥x軸于點B，連接OA，則△AOB的面積是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】由反比例函數(shù)的幾何意義可知，k=1，也就是△AOB的面積的2倍是1，求出△AOB的面積是．【詳解】解：設(shè)A（x，y）則OB=x，AB=y，∵A為反比例函數(shù)y=圖象上一點，∴xy=1，∴S△ABO=AB?OB=xy=×1=，故選：B．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的幾何意義，即k的絕對值，等于△AOB的面積的2倍，數(shù)形結(jié)合比較直觀．5.已知點在反比例函數(shù)的圖象上．若，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)解題．【詳解】解：反比例函數(shù)圖象分布在第二、四象限，當(dāng)時，當(dāng)時，故選：B．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．6.若點都在反比例函數(shù)的圖像上，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將三點坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式求出，然后進(jìn)行比較即可．【詳解】將三點坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式，得：，解得；，解得；，解得；∵-8<2<4，∴，故選：B．【點睛】本題考查反比例函數(shù)，關(guān)鍵在于能熟練通過已知函數(shù)值求自變量．7.已知三個點，，在反比例函數(shù)的圖象上，其中，下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖像的增減性分析解答．【詳解】解：反比例函數(shù)經(jīng)過第一，三象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)時，故選：A．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵8.若點A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函數(shù)y=kx（k＜0）的圖象上，且y1＞y2，則A．a(chǎn)＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a(chǎn)＞1 D．a(chǎn)＜﹣1或a＞1【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)分兩種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)點（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在圖象的同一支上時，②當(dāng)點（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在圖象的兩支上時．【解析】∵k＜0，∴在圖象的每一支上，y隨x的增大而增大，①當(dāng)點（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在圖象的同一支上，∵y1＞y2，∴a﹣1＞a+1，此不等式無解；②當(dāng)點（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在圖象的兩支上，∵y1＞y2，∴a﹣1＜0，a+1＞0，解得：﹣1＜a＜1，故選：B．9.如圖，直線AB交x軸于點C，交反比例函數(shù)y＝（a＞1）的圖像于A、B兩點，過點B作BD⊥y軸，垂足為點D，若S△BCD＝5，則a的值為（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】設(shè)，由S△BCD=即可求解.【詳解】解：設(shè)，∵BD⊥y軸∴S△BCD==5，解得：故選：D．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，掌握反比例函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點A，B在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過頂點D，分別與對角線AC，邊BC交于點E，F(xiàn)，連接EF，AF．若點E為AC的中點，的面積為1，則k的值為（）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】設(shè)D點坐標(biāo)為，表示出E、F、B點坐標(biāo)，求出的面積，列方程即可求解．【詳解】解：設(shè)D點坐標(biāo)為，∵四邊形ABCD是矩形，則A點坐標(biāo)為，C點縱坐標(biāo)為，∵點E為AC的中點，則E點縱坐標(biāo)為，∵點E在反比例函數(shù)圖象上，代入解析式得，解得，，∴E點坐標(biāo)為，同理可得C點坐標(biāo)為，∵點F在反比例函數(shù)圖象上，同理可得F點坐標(biāo)為，∵點E為AC的中點，的面積為1，∴，即，可得，，解得，故選：D．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是設(shè)出點的坐標(biāo)，依據(jù)面積列出方程．11.如圖，點，在反比例函數(shù)（，）的圖象上，軸于點，軸于點，軸于點，連結(jié)．若，，，則的值為（）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)OD=m，則OC=，設(shè)AC=n，根據(jù)求得，在Rt△AEF中，運用勾股定理可求出m=，故可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，設(shè)OD=m，∵∴OC=∵軸于點，軸于點，∴四邊形BEOD是矩形∴BD=OE=1∴B(m，1)設(shè)反比例函數(shù)解析式為，∴k=m×1=m設(shè)AC=n∵軸∴A（，n）∴，解得，n=，即AC=∵AC=AE∴AE=在Rt△AEF中，，由勾股定理得，解得，（負(fù)值舍去）∴故選：B【點睛】此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．12.如圖，在直角坐標(biāo)系中，的頂點C與原點O重合，點A在反比例函數(shù)（，）的圖象上，點B的坐標(biāo)為，與y軸平行，若，則_____．【答案】32【分析】根據(jù)求出A點坐標(biāo)，再代入即可．【詳解】∵點B的坐標(biāo)為∴∵，點C與原點O重合，∴∵與y軸平行，∴A點坐標(biāo)為∵A在上∴，解得故答案為：．【點睛】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)性質(zhì)；得出A點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．13.如圖，一次函數(shù)y=12x+1的圖象與反比例函數(shù)y=kx的圖象相交于A（2，（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求點B的坐標(biāo)．【分析】（1）將點A坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式可求m的值，再將點A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，可求解；（2）聯(lián)立方程組可求解．【解析】（1）∵一次函數(shù)y=12x+1的圖象過點A（2，∴m=12×2+1∴點A（2，2），∵反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點A（2，∴k＝2×2＝4，∴反比例函數(shù)的解析式為：y=4（2）聯(lián)立方程組可得：y=1解得：x1=-4y∴點B（﹣4，﹣1）．14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y=mx（x＞0）的圖象經(jīng)過點A（3，4），過點A的直線y＝kx+b與x軸、y軸分別交于B，（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）若△AOB的面積為△BOC的面積的2倍，求此直線的函數(shù)表達(dá)式．【分析】（1）把A（3，4）代入y=mx（x＞（2）根據(jù)題意得到B（-bk，0），C（0，【解析】（1）∵反比例函數(shù)y=mx（x＞0）的圖象經(jīng)過點A（3，∴k＝3×4＝12，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=12（2）∵直線y＝kx+b過點A，∴3k+b＝4，∵過點A的直線y＝kx+b與x軸、y軸分別交于B，C兩點，∴B（-bk，0），C（0，∵△AOB的面積為△BOC的面積的2倍，∴12×4×|-bk|＝2×∴b＝±2，當(dāng)b＝2時，k=2當(dāng)b＝﹣2時，k＝2，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為：y=23x+2，y＝2x﹣15.如圖，點A在第一象限，軸，垂足為C，，，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過的中點B，與交于點D．(1)求k值；(2)求的面積．【答案】(1)2(2)【分析】（1）在中，，，再結(jié)合勾股定理求出，，得到，再利用中點坐標(biāo)公式即可得出，求出值即可；（2）在平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積，找平行于坐標(biāo)軸的邊為底，根據(jù)軸，選擇為底，利用代值求解即可得出面積．(1)解：根據(jù)題意可得，在中，，，，，，，，的中點是B，，；(2)解：當(dāng)時，，，，．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，涉及到勾股定理，三角函數(shù)求線段長，中點坐標(biāo)公式、待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式中的，平面直角坐標(biāo)系中三角形面積的求解，熟練掌握反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．16.如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）點在軸上，且滿足的面積等于4，請直接寫出點的坐標(biāo)．【答案】（1），；（2）（1，0）或（3，0）【分析】（1）根據(jù)點B坐標(biāo)求出m，得到反比例函數(shù)解析式，據(jù)此求出點A坐標(biāo)，再將A，B代入一次函數(shù)解析式；（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，0），求出直線AB與x軸交點，再結(jié)合△ABP的面積為4得到關(guān)于a的方程，解之即可．【詳解】解：（1）由題意可得：點B（3，-2）在反比例函數(shù)圖像上，∴，則m=-6，∴反比例函數(shù)的解析式為，將A（-1，n）代入，得：，即A（-1，6），將A，B代入一次函數(shù)解析式中，得，解得：，∴一次函數(shù)解析式為；（2）∵點P在x軸上，設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，0），∵一次函數(shù)解析式為，令y=0，則x=2，∴直線AB與x軸交于點（2，0），由△ABP的面積為4，可得：，即，解得：a=1或a=3，∴點P的坐標(biāo)為（1，0）或（3，0）．【點睛】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)相交的有關(guān)問題；通常先求得反比例函數(shù)解析式；較復(fù)雜三角形的面積可被x軸或y軸分割為2個三角形的面積和．17.如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點，與y軸交于點B，與x軸交于點．(1)求k與m的值；(2)為x軸上的一動點，當(dāng)△APB的面積為時，求a的值．【答案】(1)k的值為，的值為6(2)或【分析】（1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)的解析式可得答案；（2）先求解．由為x軸上的一動點，可得．由，建立方程求解即可．(1)解：把代入，得．∴．把代入，得．∴．把代入，得．∴k的值為，的值為6．(2)當(dāng)時，．∴．∵為x軸上的一動點，∴．∴，．∵，∴．∴或．【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，坐標(biāo)與圖形面積，利用數(shù)形結(jié)合的思想，建立方程都是解本題的關(guān)鍵．18.一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像與反比例函數(shù)的圖象相交于A(2，3)，B(6，n)兩點（1）求一次函數(shù)的解析式（2）將直線AB沿y軸向下平移8個單位后得到直線l，l與兩坐標(biāo)軸分別相交于M，N，與反比例函數(shù)的圖象相交于點P，Q，求的值【答案】（1）一次函數(shù)y=，（2）．【分析】（1）利用點A(2，3)，求出反比例函數(shù)，求出B(6，1)，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；（2）利用平移求出y=，聯(lián)立，求出P(-6,-1),Q(-2,-3),在Rt△MON中，由勾股定理MN=,PQ=即可．【詳解】解：（1）∵反比例函數(shù)的圖象過A(2，3)，∴m=6,∴6n=6，∴n=1，∴B（6,1）一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像與反比例函數(shù)的圖象相交于A(2，3)，B(6，1)兩點，∴，解得，一次函數(shù)y=，（2）直線AB沿y軸向下平移8個單位后得到直線l，得y=，當(dāng)y=0時，，，當(dāng)x=0時，y=-4，∴M（-8，0），N（0，-4），，消去y得，解得，解得，，∴P(-6,-1),Q(-2,-3),在Rt△MON中，∴MN=,∴PQ=，∴．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式與一次函數(shù)解析式，利用平移求平移后直線l.，解方程組，一元二次方程，勾股定理，掌握待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式與一次函數(shù)解析式，利用平移求平移后直線l.，解方程組，一元二次方程，勾股定理是解題關(guān)鍵．19.如圖，中，，邊OB在x軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過斜邊OA的中點M，與AB相交于點N，．（1）求k的值；（2）求直線MN的解析式．【答案】（1）6；（2）【分析】（1）設(shè)點A坐標(biāo)為（m，n），根據(jù)題意表示出點B，N，M的坐標(biāo)，根據(jù)△AOB的面積得到，再根據(jù)M，N在反比例函數(shù)圖像上得到方程，求出m值，即可得到n，可得M點坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)表達(dá)式，即可求得k值；（2）由（1）得到M，N的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出MN的解析式．【詳解】解：（1）設(shè)點A坐標(biāo)為（m，n），∵∠ABO=90°，∴B（m，0），又AN=，∴N（m，），∵△AOB的面積為12，∴，即，∵M(jìn)為OA中點，∴M（，），∵M(jìn)和N在反比例函數(shù)圖像上，∴，化簡可得：，又，∴，解得：，∴，∴M（2，3），代入，得；（2）由（1）可得：M（2，3），N（4，），設(shè)直線MN的表達(dá)式為y=ax+b，則，解得：，∴直線MN的表達(dá)式為．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，求出相應(yīng)的點的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵．20.如圖所示，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=mx的圖象交于A（3，4），B（n，﹣（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）在x軸上存在一點C，使△AOC為等