2024屆遼寧省葫蘆島錦化高中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

2024屆遼寧省葫蘆島錦化高中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若，則（）A． B． C． D．2．過兩點A，B(，的直線傾斜角是，則的值是（）A．B．3C．1D．3．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則的最小角為（）A． B． C． D．4．奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集是（）．A． B．C． D．5．甲、乙、丙、丁4名田徑選手參加集訓(xùn)，將挑選一人參加400米比賽，他們最近10次測試成績的平均數(shù)和方差如下表；根據(jù)表中數(shù)據(jù)，應(yīng)選哪位選手參加比賽更有機(jī)會取得好成績？（）甲乙丙丁平均數(shù)59575957方差12121010A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．已知角滿足，，且，，則的值為（）A． B． C． D．7．在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，則△ABC的外接圓面積為A． B．π C．2π D．4π8．已知函數(shù)，如果不等式的解集為，那么不等式的解集為（）A． B．C． D．9．已知圓柱的側(cè)面展開圖是一個邊長為的正方形，則這個圓柱的體積是（）A． B． C． D．10．底面是正方形，從頂點向底面作垂線，垂足是底面中心的四棱錐稱為正四棱錐．如圖，在正四棱錐中，底面邊長為1．側(cè)棱長為2，E為PC的中點，則異面直線PA與BE所成角的余弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列的通項公式為，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是______.12．在中，，，，則的面積是__________.13．若直線始終平分圓的周長，則的最小值為________14．已知兩點A（2，1）、B（1，1+）滿足＝（sinα，cosβ），α，β∈（﹣，），則α+β＝_______________15．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則=_______16．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．交通指數(shù)是指交通擁堵指數(shù)的簡稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念性指數(shù)值，記交通指數(shù)為，其范圍為，分別有五個級別：，暢通；，基本暢通；，輕度擁堵；，中度擁堵；，嚴(yán)重?fù)矶?在晚高峰時段（），從某市交通指揮中心選取了市區(qū)20個交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求出輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范蔚膫€數(shù)；(2)用分層抽樣的方法從輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范沃泄渤槿?個路段，求依次抽取的三個級別路段的個數(shù)；(3)從(2)中抽取的6個路段中任取2個，求至少有1個路段為輕度擁堵的概率.18．已知向量垂直于向量，向量垂直于向量.（1）求向量與的夾角；（2）設(shè)，且向量滿足，求的最小值；（3）在（2）的條件下，隨機(jī)選取一個向量，求的概率.19．已知數(shù)列滿足，，其中實數(shù).（I）求證：數(shù)列是遞增數(shù)列；（II）當(dāng)時.（i）求證：；（ii）若，設(shè)數(shù)列的前項和為，求整數(shù)的值，使得最?。?0．已知向量，，且，.（1）求函數(shù)和的解析式；（2）求函數(shù)的遞增區(qū)間；（3）若函數(shù)的最小值為，求λ值.21．某校高二年級共有800名學(xué)生參加2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽，為了解學(xué)生成績，現(xiàn)隨機(jī)抽取40名學(xué)生的成績（單位：分），并列成如下表所示的頻數(shù)分布表：分組頻數(shù)⑴試估計該年級成績不低于90分的學(xué)生人數(shù)；⑵成績在的5名學(xué)生中有3名男生，2名女生，現(xiàn)從中選出2名學(xué)生參加訪談，求恰好選中一名男生一名女生的概率．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

由題意得到，再由兩角差的余弦及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡求解.【題目詳解】解：∵角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱，

∴，

，

故選：D.【題目點撥】本題考查了兩角差的余弦公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.2、C【解題分析】試題分析：根據(jù)直線斜率的計算式有,解得．考點：直線斜率的計算式．3、A【解題分析】

由三角形大邊對大角可知所求角為角，利用余弦定理可求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【題目詳解】的最小角為角，則故選：【題目點撥】本題考查利用余弦定理解三角形的問題，關(guān)鍵是明確三角形中大邊對大角的特點，進(jìn)而根據(jù)余弦定理求得所求角的余弦值.4、A【解題分析】

因為函數(shù)式奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到在上函數(shù)仍是減函數(shù)，再根據(jù)可畫出函數(shù)在上的圖像，根據(jù)對稱性畫出在上的圖像．根據(jù)圖像得到的解集是：．故選A．5、D【解題分析】

由平均數(shù)及方差綜合考慮得結(jié)論．【題目詳解】解：由四位選手的平均數(shù)可知，乙與丁的平均速度快；再由方差越小發(fā)揮水平越穩(wěn)定，可知丙與丁穩(wěn)定，故應(yīng)選丁選手參加比賽更有機(jī)會取得好成績．故選：．【題目點撥】本題考查平均數(shù)與方差，熟記結(jié)論是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】

根據(jù)角度范圍先計算和，再通過展開得到答案.【題目詳解】，，故答案選D【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)恒等變換，將是解題的關(guān)鍵.7、B【解題分析】

根據(jù)正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圓面積S＝πR2＝π.【題目詳解】在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－B＝60°.設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，則由正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圓面積S＝πR2＝π.故選B.【題目點撥】本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用以及三角形面積公式，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù).解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說,當(dāng)條件中同時出現(xiàn)及、時，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.8、A【解題分析】

一元二次不等式大于零解集是，先判斷二次項系數(shù)為負(fù)，再根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，可求出a,b的值，代入解析式，求解不等式.【題目詳解】由的解集是，則故有，即.由解得或故不等式的解集是，故選：A.【題目點撥】對于含參數(shù)的一元二次不等式需要先判斷二次項系數(shù)的正負(fù)，再進(jìn)一步求解參數(shù).9、A【解題分析】

由已知易得圓柱的高為，底面圓周長為，求出半徑進(jìn)而求得底面圓半徑即可求出圓柱體積?！绢}目詳解】底面圓周長，，所以故選：A【題目點撥】此題考查圓柱的側(cè)面展開為長方形，長為底面圓周長，寬為圓柱高，屬于簡單題目。10、B【解題分析】

可采用建立空間直角坐標(biāo)系的方法來求兩條異面直線所成的夾角，【題目詳解】如圖所示，以正方形ABCD的中心為坐標(biāo)原點，DA方向為x軸，AB方向為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，由幾何關(guān)系可求得，，，，為中點，,，，答案選B.【題目點撥】解決異面直線問題常用兩種基本方法：異面直線轉(zhuǎn)化成共面直線、空間向量建系法二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據(jù)題意得到，推出，恒成立，求出的最大值，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因為數(shù)列的通項公式為，且數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以，即，所以，恒成立，因此即可，又隨的增大而減小，所以，因此實數(shù)的取值范圍是.故答案為：【題目點撥】本題主要考查由數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)，熟記遞增數(shù)列的特點即可，屬于常考題型.12、【解題分析】

計算，等腰三角形計算面積，作底邊上的高，計算得到答案.【題目詳解】，過C作于D，則故答案為【題目點撥】本題考查了三角形面積計算，屬于簡單題.13、9【解題分析】

平分圓的直線過圓心，由此求得的等量關(guān)系式，進(jìn)而利用基本不等式求得最小值.【題目詳解】由于直線始終平分圓的周長，故直線過圓的圓心，即，所以.【題目點撥】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查利用基本不等式求最小值，屬于基礎(chǔ)題.14、或0【解題分析】

運(yùn)用向量的加減運(yùn)算和特殊角的三角函數(shù)值，可得所求和．【題目詳解】兩點A（2，1）、B（1，1）滿足（sinα，cosβ），可得（﹣1，）＝（，）＝（sinα，cosβ），即為sinα，cosβ，α，β∈（），可得α，β＝±，則α+β＝0或．故答案為0或．【題目點撥】本題考查向量的加減運(yùn)算和三角方程的解法，考查運(yùn)能力，屬于基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

利用等差數(shù)列前項和，可得；利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得，然后求解三角函數(shù)值即可．【題目詳解】等差數(shù)列的前項和為，因為，所以；又，所以．故答案為：．【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的前項和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握和若，則是解題的關(guān)鍵．16、【解題分析】

求出函數(shù)的定義域，結(jié)合復(fù)合函數(shù)求單調(diào)性的方法求解即可.【題目詳解】由，解得令，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是故答案為：【題目點撥】本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范蔚膫€數(shù)分別為6，9，3；（2）從交通指數(shù)在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分別抽取的個數(shù)為2,3,1；（3）【解題分析】

（1）根據(jù)在頻率分布直方圖中，小長方形的面積表示各組的頻率，可以求出頻率，再根據(jù)頻數(shù)等于頻率乘以樣本容量，求出頻數(shù)；（2）根據(jù)（1）求出擁堵路段的個數(shù)，求出每層之間的占有比例，然后求出每層的個數(shù)；（3）先求出從(2)中抽取的6個路段中任取2個，有多少種可能情況，然后求出至少有1個路段為輕度擁堵有多少種可能情況，根據(jù)古典概型概率公式求出.【題目詳解】(1)由頻率分布直方圖得，這20個交通路段中，輕度擁堵的路段有(0.1＋0.2)×1×20＝6(個)，中度擁堵的路段有(0.25＋0.2)×1×20＝9(個)，嚴(yán)重?fù)矶碌穆范斡?0.1＋0.05)×1×20＝3(個).(2)由(1)知，擁堵路段共有6＋9＋3＝18(個)，按分層抽樣，從18個路段抽取6個，則抽取的三個級別路段的個數(shù)分別為，，，即從交通指數(shù)在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分別抽取的個數(shù)為2,3,1.(3)記抽取的2個輕度擁堵路段為，，抽取的3個中度擁堵路段為，，，抽取的1個嚴(yán)重?fù)矶侣范螢椋瑒t從這6個路段中抽取2個路段的所有可能情況為：，共15種，其中至少有1個路段為輕度擁堵的情況為：，共9種.所以所抽取的2個路段中至少有1個路段為輕度擁堵的概率為.【題目點撥】本題考查了頻率直方圖的應(yīng)用、分層抽樣、古典概型概率的求法.解決本題的關(guān)鍵是對頻率直方圖所表示的意義要了解，分層抽樣的原則要知道，要能識別古典概型.18、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

（1）根據(jù)向量的垂直，轉(zhuǎn)化出方程組，求解方程組即可；（2）將向量賦予坐標(biāo)，求得向量對應(yīng)點的軌跡方程，將問題轉(zhuǎn)化為圓外一點，到圓上一點的距離的最值問題，即可求解；（3）根據(jù)余弦定理，解得，以及的臨界狀態(tài)時，對應(yīng)的圓心角的大小，利用幾何概型的概率計算公式，即可求解.【題目詳解】（1）因為故可得，解得①②由①-②可得，解得，將其代入①可得，即將其代入②可得解得，又向量夾角的范圍為，故向量與的夾角為.（2）不妨設(shè)，由可得.不妨設(shè)的起始點為坐標(biāo)原點，終點為C.因此，點C落在以)為圓心，1為半徑的圓上（如圖）.因為，即由圓的特點可知的最小值為，即：.（3）當(dāng)時，因為，，滿足勾股定理，故容易得.當(dāng)時，假設(shè)此時點落在如圖所示的F點處.如圖所示.因為，由余弦定理容易得，故.所以，本題化為，在半圓上任取一點C，點C落在弧CF上的概率.由幾何概型的概率計算可知：的概率即為圓心角的弧度除以，即.【題目點撥】本題考查向量垂直時數(shù)量積的表示，以及利用解析的手段解決向量問題的能力，還有幾何概型的概率計算，涉及圓方程的求解，以及余弦定理.本題屬于綜合題，值得總結(jié).19、（I）證明見解析；（II）（i）證明見解析；（ii）.【解題分析】

（I）通過計算，結(jié)合，證得數(shù)列是遞增數(shù)列.（II）（i）將轉(zhuǎn)化為，利用迭代法證得.(ii)由（i）得，從而，即.利用裂項求和法求得，結(jié)合（i）的結(jié)論求得，由此得到當(dāng)時，取得最小值．【題目詳解】（I）由所以，因為，所以，即，所以，所以數(shù)列是遞增數(shù)列．（II）此時．（i）所以，有由（1）知是遞增數(shù)列，所以所以（ii）因為所以有.由由（i）知，所以所以所以當(dāng)時，取得最小值．【題目點撥】本小題主要考查數(shù)列單調(diào)性的證明方法，考查裂項求和法，考查迭代法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.20、（1），（2）遞增區(qū)間為，（3）【解題分析】

（1）根據(jù)向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，以及模長的求解公式，即可求得兩個函數(shù)的解析式；（2）由（1）可得，整理化簡后，將其轉(zhuǎn)化為余弦型三角函數(shù)，再求單調(diào)區(qū)間即可；（3）求得的解析式，用換元法，