數(shù)學(xué)九年級上冊專題21.9 實際問題與一元二次方程-重難點題型（人教版）（學(xué)生版）

專題21.9實際問題與一元二次方程-重難點題型【人教版】【題型1面積問題】【例1】（2020秋?紫陽縣期末）如圖，在一塊長為16m，寬為10m的矩形空地中，修建2條同樣寬的小路（圖中陰影部分），剩下的部分種植草坪，要使草坪的面積為135m2，求道路的寬度．【變式1-1】（2020秋?仙居縣期末）為創(chuàng)建“綠色校園”，某學(xué)校準(zhǔn)備將校園內(nèi)一塊長34m，寬20m的長方形空地建成一個矩形花園，要求在花園中修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道，剩余的地方種植花草如圖所示，要使種植花草的面積為608m2，那么小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為多少米？（注：所有小道進(jìn)出口的寬度相等，且每段小道均為平行四邊形）【變式1-2】（2021春?鄞州區(qū)期中）在“精準(zhǔn)扶貧”工作中，某單位建議貧困戶借助家里長25m的墻AB建造面積為450m2的長方形區(qū)域來養(yǎng)一些家禽，該單位給貧困戶提供65m長的籬笆（全部用于建造長方形區(qū)域），并提供如圖所示的兩種方案：（1）如圖1，若選取墻AB的一部分作為長方形的一邊，其他三邊用籬笆圍成，則在墻AB上借用的CF的長度為多少？（2）如圖2，若將墻AB全部借用，并在墻AB的延長線上拓展BF，構(gòu)成長方形ADEF，BF，F(xiàn)E，ED和DA都由籬笆構(gòu)成，求BF的長．【變式1-3】（2021春?蕭山區(qū)期中）某農(nóng)場要建一個飼養(yǎng)場（矩形ABCD），兩面靠墻（AD位置的墻最大可用長度為27米，AB位置的墻最大可用長度為15米），另兩邊用木欄圍成，中間也用木欄隔開，分成兩個場地及一處通道，并在如圖所示的三處各留1米寬的門（不用木欄）．建成后木欄總長45米．（1）若飼養(yǎng)場（矩形ABCD）的一邊CD長為8米，則另一邊BC＝米．（2）若飼養(yǎng)場（矩形ABCD）的面積為180平方米，求邊CD的長．（3）飼養(yǎng)場的面積能達(dá)到210平方米嗎？若能達(dá)到，求出邊CD的長；若不能達(dá)到，請說明理由．【題型2平均變化率問題】【例2】（2020秋?柘城縣月考）某農(nóng)機廠四月份生產(chǎn)零件40萬個，第二季度共生產(chǎn)零件162萬個．設(shè)該廠五、六月份平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是（）A．40（1+x）2＝162 B．40+40（1+x）+40（1+x）2＝162 C．40（1+2x）＝162 D．40+40（1+x）+40（1+2x）＝162【變式2-1】（2020秋?錫山區(qū)期中）根據(jù)疫情需要，某防疫物資制造廠原來每件產(chǎn)品的成本是100元，為提高的生產(chǎn)效率改進(jìn)了生產(chǎn)技術(shù)，連續(xù)兩次降低成本，兩次降低后的成本是81元，則平均每次降低成本的百分率是．【變式2-2】（2020秋?平江縣期中）習(xí)近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣”．某市為響應(yīng)該市全民閱讀活動，利用節(jié)假日面向社會開放圖書館．據(jù)統(tǒng)計，第一個月進(jìn)館128人次，進(jìn)館人次逐月增加，第三個月進(jìn)館288人次，若進(jìn)館人次的月平均增長率相同．（1）求進(jìn)館人次的月平均增長率；（2）因條件限制，該市圖書館每月接納能力不能超過500人次，在進(jìn)館人次的月平均增長率不變的條件下，該市圖書館能否接納第四個月的進(jìn)館人次，并說明理由．【變式2-3】（2020秋?秦淮區(qū)期中）某小型工廠9月份生產(chǎn)的A、B兩種產(chǎn)品數(shù)量分別為200件和100件，A、B兩種產(chǎn)品出廠單價之比為2：1，由于訂單的增加，工廠提高了A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量和出廠單價，10月份A產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量的增長率和A產(chǎn)品出廠單價的增長率相等，B產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量的增長率是A產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量的增長率的一半，B產(chǎn)品出廠單價的增長率是A產(chǎn)品出廠單價的增長率的2倍．設(shè)B產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量的增長率為x（x＞0）．（1）用含有x的代數(shù)式填表（不需化簡）：9月份生產(chǎn)數(shù)量生產(chǎn)數(shù)量的增長率10月份生產(chǎn)數(shù)量產(chǎn)品A200產(chǎn)品B100x（2）若9月份兩種產(chǎn)品出廠單價的和為90元，10月份該工廠的總收入增加了4.4x，求x的值．【題型3銷售利潤問題】【例3】（2020秋?無錫期中）某景區(qū)商店以2元的批發(fā)價進(jìn)了一批紀(jì)念品．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每個定價3元，每天可以能賣出500件，而且定價每上漲0.1元，其銷售量將減少10件．根據(jù)規(guī)定：紀(jì)念品售價不能超過批發(fā)價的2.5倍．（1）當(dāng)每個紀(jì)念品定價為3.6元時，商店每天能賣出件；（2）如果商店要實現(xiàn)每天800元的銷售利潤，那該如何定價？【變式3-1】（2021秋?正定縣期中）某水果店銷售一種水果的成本價是5元/千克，在銷售中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)這種水果的價格定為7元/千克時，每天可以賣出160千克，在此基礎(chǔ)上，這種水果的單價每提高1元/千克．該水果店每天就會少賣出20千克，設(shè)這種水果的單價為x元（x＞7），（1）請用含x的代數(shù)式表示：每千克水果的利潤元及每天的銷售量千克．（2）若該水果店一天銷售這種水果所獲得的利潤是420元，為了讓利于顧客．單價應(yīng)定為多少元？【變式3-2】（2020秋?澧縣期末）某天貓店銷售某種規(guī)格學(xué)生軟式排球，成本為每個30元．以往銷售大數(shù)據(jù)分析表明：當(dāng)每只售價為40元時，平均每月售出600個；若售價每上漲1元，其月銷售量就減少20個，若售價每下降1元，其月銷售量就增加200個．（1）若售價上漲m元，每月能售出個排球（用m的代數(shù)式表示）．（2）為迎接“雙十一”，該天貓店在10月底備貨1300個該規(guī)格的排球，并決定整個11月份進(jìn)行降價促銷，問售價定為多少元時，能使11月份這種規(guī)格排球獲利恰好為8400元．【變式3-3】（2020?廣西一模）每年的3月15日是“國際消費者權(quán)益日”，許多家居商城都會利用這個契機進(jìn)行打折促銷活動．甲賣家的某款沙發(fā)每套成本為5000元，在標(biāo)價8000元的基礎(chǔ)上打9折銷售．（1）現(xiàn)在甲賣家欲繼續(xù)降價吸引買主，問最多降價多少元，才能使利潤率不低于20%？（2）據(jù)媒體爆料，有一些賣家先提高商品價格后再降價促銷，存在欺詐行為．乙賣家也銷售相同的沙發(fā)，其成本、標(biāo)價與甲賣家一致，以前每周可售出8套，現(xiàn)乙賣家先將標(biāo)價提高m%，再大幅降價40m元，使得這款沙發(fā)在3月15日那一天賣出的數(shù)量就比原來一周賣出的數(shù)量增加了12m%，這樣一天的利潤達(dá)到了50000元，求m【題型4傳播問題】【例4】（2020秋?東?？h期末）某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干，支干、小分支的總數(shù)是91．設(shè)每個支干長出x個分支，則可列方程為（）A．x2+x+1＝91 B．（x+1）2＝91 C．x2+x＝91 D．x2+1＝91【變式4-1】（2020秋?和平區(qū)校級月考）某種細(xì)胞分裂，一個細(xì)胞經(jīng)過兩輪分裂后，共有a個細(xì)胞，設(shè)每輪分裂中平均一個細(xì)胞分裂成n個細(xì)胞，那么可列方程為（）A．n2＝a B．（1+n）2＝a C．1+n+n2＝a D．n+n2＝a【變式4-2】（2020秋?莆田期中）“泱泱華夏，浩浩千秋．于以求之？旸谷之東．山其何輝，韞卞和之美玉…”這是武漢16歲女孩陳天羽用文言文寫70周年閱兵的觀后感．小汀州同學(xué)把這篇氣勢磅礴、文采飛揚的文章放到自己的微博上，并決定用微博轉(zhuǎn)發(fā)的方式傳播．他設(shè)計了如下的傳播規(guī)則：將文章發(fā)表在自己的微博上，再邀請n個好友轉(zhuǎn)發(fā)，每個好友轉(zhuǎn)發(fā)之后，又邀請n個互不相同的好友轉(zhuǎn)發(fā)，依此類推．已知經(jīng)過兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后，共有111個人參與了宣傳活動，則n的值為．【變式4-3】（2020秋?扶風(fēng)縣期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中國已經(jīng)得到有效控制，但在全球卻開始持續(xù)蔓延，這是對人類的考驗，將對全球造成巨大影響．新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進(jìn)行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患新冠肺炎（假設(shè)每輪傳染的人數(shù)相同）．求：（1）每輪傳染中平均每個人傳染了幾個人？（2）如果這些病毒攜帶者，未進(jìn)行有效隔離，按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有多少人患??？【題型5循環(huán)問題】【例5】（2020秋?西城區(qū)期末）某校要組織“風(fēng)華杯”籃球賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場）．（1）如果有4支球隊參加比賽，那么共進(jìn)行場比賽；（2）如果全校一共進(jìn)行36場比賽，那么有多少支球隊參加比賽？【變式5-1】（2021秋?涼州區(qū)校級月考）畢業(yè)之際，某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)相約到同一家禮品店購買紀(jì)念品，每兩個同學(xué)都相互贈送一件禮品，禮品店共售出禮品30件，則該興趣小組的人數(shù)為多少？【變式5-2】象棋比賽中，每個選手與其他選手將比賽一場，每局勝者記2分，敗者記0分，如果平局，每人各記1分，今有4位同學(xué)統(tǒng)計了比賽中全部選手得分的總和分別為2025，2070，2080，2085分，經(jīng)核實，其中只有一位同學(xué)是正確的，試求這次比賽中共有多少名選手參加？【變式5-3】（2021秋?和平區(qū)期末）注意：為了使同學(xué)們更好地解答本題，我們提供了一種解題思路，你可以依照這個思路按下面的要求填空，完成本題的解答，也可以選用其他的解題方案，此時不必填空，只需按解答題的一般要求進(jìn)行解答．參加一次商品交易會的每兩家公司之間都簽訂了一份合同，所有公司共簽訂了45份合同，共有多少家公司參加商品交易會？設(shè)共有x家公司參加商品交易會．（Ⅰ）用含x的代數(shù)式表示：每家公司與其他家公司都簽訂一份合同，由于甲公司與乙公司簽訂的合同和乙公司與甲公司簽訂的合同是同一份合同，所以所有公司共簽訂了份合同；（Ⅱ）列出方程并完成本題解答．【題型6數(shù)字問題】【例6】（2020秋?漢壽縣期末）小明同學(xué)是一位古詩文的愛好者，在學(xué)習(xí)了一元二次方程這一章后，改編了蘇軾詩詞《念奴嬌?赤壁懷古》：“大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流人物．而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)．十位恰小個位三，個位平方與壽同．哪位學(xué)子算得快，多少年華數(shù)周瑜？”假設(shè)周瑜去世時年齡的十位數(shù)字是x，則可列方程為（）A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 B．10（x+3）+x＝x2 C．10x+（x+3）＝（x+3）2 D．10（x+3）+x＝（x+3）2【變式6-1】（2020秋?沙河口區(qū)期中）一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，且個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個兩位數(shù)小4，若設(shè)個位數(shù)字為a，則可列方程為（）A．a(chǎn)2+（a﹣4）2＝10（a﹣4）+a﹣4 B．a(chǎn)2+（a+4）2＝10a+a﹣4﹣4 C．a(chǎn)2+（a+4）2＝10（a+4）+a﹣4 D．a(chǎn)2+（a﹣4）2＝10a+（a﹣4）﹣4【變式6-2】（2020秋?昌平區(qū)期末）如圖所示的是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個正方形圈出3×3個位置相鄰的9個數(shù)（如6，7，