自感磁場的能量

自感磁場的能量4．5．1、自感(1)自感電動勢、自感系數(shù)回路本身的電流變化而在回路中產(chǎn)生的電磁感應現(xiàn)象叫自感現(xiàn)象。在自感現(xiàn)象中回路產(chǎn)生的電動勢叫自感電動勢。由法拉第電磁感定律A①￡=n At這里磁通①是自身電流產(chǎn)生磁場的磁通，按照畢奧一薩爾定律，線圈中的電流所激發(fā)的磁場的磁感應強度的大小與電流強度成正比。因而應有A①/At^AI/At。根據(jù)法拉第電磁感應定律，可得自感到電動勢tAI￡宀=_L-

自At式中L為比例系數(shù)，僅與線圈的大小、形狀、匝數(shù)以及周圍介質(zhì)情況有關(guān)，稱為自感系數(shù)。在國際單位制中，自感系數(shù)的單位是亨利。式中負號表示自感電動勢的方向。當電流增加時，自感電動勢與原有電流的方向相反；當電流減小時，自感電動勢與原有電流的方向相同。要使任何回路中的電流發(fā)生改變，都會引起自感應對電流改變的反抗，回路的自感系數(shù)越大，自感應的作用就越強，改變回路中的電流也越困難。因此自感系數(shù)是線圈本身“電磁慣性”大小的量度。A，以及電阻RA，以及電阻R和燈泡B組成兩個支路連接在一個電源兩端。A、B燈泡相同，當K閉合瞬時，L—A支路中，由于L的自感現(xiàn)象，阻礙電流增大，所以A不能立即發(fā)光，而是逐漸變亮,而B立即正常發(fā)光。當穩(wěn)定后，電流不再變化時，L只在電路中起一個電阻的作用。流過L—A支路的電流‘1，此時L中貯存磁場能為W二1LI22 1（在后介紹）e=—-自 At阻礙電流的增加，e和詁合起來產(chǎn)生電流通過當K斷開瞬間，L中電流要減小，因而會產(chǎn)生自感電動勢￡,在回來L—A—B—R中產(chǎn)生感應電流，從能量觀點來看，L釋放線圈中磁場能，轉(zhuǎn)變成電能消耗在回路中，所以A、e=—-自 At阻礙電流的增加，e和詁合起來產(chǎn)生電流通過圖4-5-3電阻R￡-L竺二Ri

At￡=Ri+LAAt式中i是變化的，方程兩邊乘以込t并求和圖5-2-1SeiAt=工Ri2At+工LiAi顯然，方程的左邊是電源輸出的能量，而方程右邊第一項是在電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱，那剩下的一項顯然也是能量，是儲存在線圈中的磁場能，下面我們求它的更具體的表達式：

K剛閉合時，心0,而當電路穩(wěn)定后，電流不再變化，自感電動勢變?yōu)榱?，穩(wěn)定電流1二R（忽略電源內(nèi)阻），工LiAi這個求和式的求和范圍從0到I,令,y=i并以i為橫作標，y 圖4-5-4為縱坐標做一坐標系，則y=i在坐標系中為第一象限的角平分線。在橫作標i處取-豪，豪很小，可認為對應的y為常量，窄條面積AS二何二込i，把從0到I的所有窄條面積加起來厶yAi=厶血即為y=iyyAiyyAi=yiAi二212代入yLiAi可知儲存線圈內(nèi)的能量。從公式看，能量是與產(chǎn)生磁場的電流聯(lián)在一起的，下面我們求出直螺線管的自感系數(shù)從而證實能量是磁場的。設長直螺線管長為l,截面積為S，故繞有N匝線圈，管內(nèi)為真空。當線圈中通有電流I時，管內(nèi)磁場的磁感應強度B7onI,通過N匝線圈的磁通量O=NBS=NpNIS=pISolol與①二LI相比較，可得將代N2將代N2 SlB_Bl

pnpN00代入磁場能量式W二1nNW二1nNS2°單位體積的磁場能量為"bi、嚴N丿0B22n02 1B2v2n0與電場的能量密度280E2相比較，公式何等相似。從電學、磁學公式中，我1們知道8o對應于no，公式的相似來源于電場，磁場的對稱性。磁場的能量密度公式告訴我們，能量是與磁場聯(lián)系在一起的。只要有磁場，就有B，就有能量。另外，公式雖是從長直螺線管的磁場這一特例推導出來，但對所有磁場的均適用。典型例題R1AKR2L例1R1AKR2L8=12V ， 內(nèi) 阻r=10;R=20,R=90,R=150,L=2H,開始時電鍵K與A接通。將K迅速地由A移至與B接通，則線圖4-5-5圈L中可產(chǎn)生的最大自感電動勢多大?分析：K接在A點時，電路中有恒定電流I,當K接至B瞬間時，線圈中自感所產(chǎn)生的感應電動勢應欲維持這一電流，此瞬時電流I就是最大值，維持此電流的感應電動勢就是最大自感電動勢。解：L為純電路，直流電阻不計，K接在A時，回路穩(wěn)定時電流I為=1A2=1AR+R+r12當K接到B點時,線圈中電流將逐漸減小至零，但開始時刻，電流仍為I=1A，根據(jù)歐姆定律，維持這電流的瞬時自感電動勢為

￡二I(R+R)L23=24V以后電流變小，自感電動勢也減小直至零。例2、由半徑〔=1毫米的導線構(gòu)成的半徑寸10厘米的圓形線圈處于超導狀態(tài)，開始時線圈內(nèi)通有100安培的電流。一年后測出線圈內(nèi)電流的減小量不足10-6安培，試粗略估算此線圈電阻率的上限。解：線圈中電流1⑴的減小將在線圈內(nèi)導致自感電動勢，故(1)式中L是線圈的自感系數(shù)在計算通過線圈的磁統(tǒng)量①時，以導線附近即1處的B為最大，而該處B又可把線圈當成無限長載流導線所產(chǎn)生的，nI0—2nr1nr20^I(t)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2r1(2)廠 2兀r 2rR=P2=P2(3)(4)兀r2 r2(3)(4)11把式(2)和式(3)代入式(1)，得prrAI—―012PV 41 At把［=10-3米,r2