專題20 概率、隨機變量與分布列(解析版)_第1頁
專題20 概率、隨機變量與分布列(解析版)_第2頁
專題20 概率、隨機變量與分布列(解析版)_第3頁
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專題20概率、隨機變量與分布列一、知識速覽二、考點速覽知識點1隨機事件的概率與古典概型1、事件的相關(guān)概念2、頻率與概率的關(guān)系(1)頻率:在次重復(fù)試驗中,事件發(fā)生的次數(shù)稱為事件發(fā)生的頻數(shù),頻數(shù)與總次數(shù)的比值,叫做事件發(fā)生的頻率.(2)概率:在大量重復(fù)盡心同一試驗時,事件發(fā)生的頻率總是接近于某個常數(shù),并且在它附近擺動,這時,就把這個常數(shù)叫做事件的概率,記作.(3)概率與頻率的關(guān)系:對于給定的隨機事件,由于事件發(fā)生的頻率隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率,因此可以用頻率來估計概率.3、事件的關(guān)系與運算(1)包含關(guān)系:一般地,對于事件和事件,如果事件發(fā)生,則事件一定發(fā)生,這時稱事件包含事件(或者稱事件包含于事件),記作或者.(2)相等關(guān)系:一般地,若且,稱事件與事件相等.(3)并事件(和事件):若某事件發(fā)生當且僅當事件發(fā)生或事件發(fā)生,則稱此事件為事件與事件的并事件(或和事件),記作(或).(4)交事件(積事件):若某事件發(fā)生當且僅當事件發(fā)生且事件發(fā)生,則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件),記作(或).(5)互斥事件:在一次試驗中,事件和事件不能同時發(fā)生,即,則稱事件與事件互斥;如果,,…,中任何兩個都不可能同時發(fā)生,那么就說事件,..,…,彼此互斥.(6)對立事件:若事件和事件在任何一次實驗中有且只有一個發(fā)生,即不發(fā)生,則稱事件和事件互為對立事件,事件的對立事件記為.4、概率的基本性質(zhì)(1)對于任意事件都有:.(2)必然事件的概率為,即;不可能事概率為,即.(3)概率的加法公式:若事件與事件互斥,則.推廣:一般地,若事件,,…,彼此互斥,則事件發(fā)生(即,,…,中有一個發(fā)生)的概率等于這個事件分別發(fā)生的概率之和,即:.(4)對立事件的概率:若事件與事件互為對立事件,則,,且.(5)概率的單調(diào)性:若,則.(6)若,是一次隨機實驗中的兩個事件,則.5、古典概型(1)古典概型的定義:一般地,若試驗具有以下特征:①有限性:樣本空間的樣本點只有有限個;②等可能性:每個樣本點發(fā)生的可能性相等.稱試驗E為古典概型試驗,其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型,簡稱古典概型.2、古典概型的概率公式:一般地,設(shè)試驗是古典概型,樣本空間包含個樣本點,事件包含其中的個樣本點,則定義事件的概率.知識點2相互獨立事件與條件概率、全概率1、相互獨立事件(1)相互獨立事件的概念對于兩個事件,,如果,則意味著事件的發(fā)生不影響事件發(fā)生的概率.設(shè),根據(jù)條件概率的計算公式,,從而.由此可得:設(shè),為兩個事件,若,則稱事件與事件相互獨立.(2)概率的乘法公式:由條件概率的定義,對于任意兩個事件與,若,則.我們稱上式為概率的乘法公式.(3)相互獨立事件的性質(zhì):如果事件,互相獨立,那么與,與,與也都相互獨立.(4)兩個事件的相互獨立性的推廣:兩個事件的相互獨立性可以推廣到個事件的相互獨立性,即若事件,,…,相互獨立,則這個事件同時發(fā)生的概率.2、條件概率(1)條件概率的定義:一般地,設(shè),為兩個事件,且,稱為在事件發(fā)生的條件下,事件發(fā)生的條件概率.(2)條件概率的性質(zhì)=1\*GB3①條件概率具有概率的性質(zhì),任何事件的條件概率都在和1之間,即.=2\*GB3②必然事件的條件概率為1,不可能事件的條件概率為.=3\*GB3③如果與互斥,則.3、全概率公式(1)全概率公式:;(2)若樣本空間中的事件,,…,滿足:①任意兩個事件均互斥,即,,;②;③,.則對中的任意事件,都有,且.4、貝葉斯公式(1)一般地,當且時,有(2)定理若樣本空間中的事件滿足:①任意兩個事件均互斥,即,,;②;③,.則對中的任意概率非零的事件,都有,且知識點3隨機變量的分布列、均值與方差1、隨機變量的有關(guān)概念(1)隨機變量:隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量,常用字母X,Y,ξ,η,…表示.(2)離散型隨機變量:所有取值可以一一列出的隨機變量.2、離散型隨機變量分布列(1)離散型隨機變量分布列的表示:一般地,若離散型隨機變量可能取的不同值為,取每一個值的概率,以表格的形式表示如下:我們將上表稱為離散型隨機變量的概率分布列,簡稱為的分布列.有時為了簡單起見,也用等式,表示的分布列.(2)分布列的性質(zhì):(1),;(2).3、離散型隨機變量的均值與方差:(1)均值:為隨機變量的均值或數(shù)學(xué)期望,它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.(2)均值的性質(zhì)=1\*GB3①(為常數(shù)).=2\*GB3②若,其中為常數(shù),則也是隨機變量,且.=3\*GB3③.=4\*GB3④如果相互獨立,則.(3)方差:為隨機變量的方差,它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度,稱其算術(shù)平方根為隨機變量的標準差.(4)方差的性質(zhì)=1\*GB3①若,其中為常數(shù),則也是隨機變量,且.=2\*GB3②方差公式的變形:.知識點4兩點分布、二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布1、兩點分布:若隨機變量X的分布列具有下表的形式,則稱X服從兩點分布,并稱p=P(X=1)為成功概率.X01P1-pp2、二項分布(1)次獨立重復(fù)試驗:一般地,在相同條件下重復(fù)做的次試驗稱為次獨立重復(fù)試驗.【注意】獨立重復(fù)試驗的條件:①每次試驗在同樣條件下進行;②各次試驗是相互獨立的;③每次試驗都只有兩種結(jié)果,即事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生.(2)二項分布的表示:一般地,在次獨立重復(fù)試驗中,用表示事件發(fā)生的次數(shù),設(shè)每次試驗中事件發(fā)生的概率為,不發(fā)生的概率,那么事件恰好發(fā)生次的概率是(,,,…,),于是得到的分布列…………由于表中第二行恰好是二項式展開式各對應(yīng)項的值,稱這樣的離散型隨機變量服從參數(shù)為,的二項分布,記作,并稱為成功概率.(3)二項分布的期望、方差:若,則,.3、超幾何分布:在含有件次品的件產(chǎn)品中,任取件,其中恰有件次品,則事件發(fā)生的概率為,,1,2,…,,其中,且,,,,,稱分布列為超幾何分布列.如果隨機變量的分布列為超幾何分布列,則稱隨機變量服從超幾何分布.01……4、正態(tài)曲線與正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線:我們把函數(shù),(其中是樣本均值,是樣本標準差)的圖象稱為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線.正態(tài)曲線呈鐘形,即中間高,兩邊低.(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)=1\*GB3①曲線位于軸上方,與軸不相交;=2\*GB3②曲線是單峰的,它關(guān)于直線對稱;=3\*GB3③曲線在處達到峰值(最大值);=4\*GB3④曲線與軸之間的面積為1;=5\*GB3⑤當一定時,曲線的位置由確定,曲線隨著的變化而沿軸平移;=6\*GB3⑥當一定時,曲線的形狀由確定.越小,曲線越“高瘦”,表示總體的分布越集中;越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散,(3)正態(tài)分布:一般地,如果對于任何實數(shù),,隨機變量滿足,則稱隨機變量服從正態(tài)分布.正態(tài)分布完全由參數(shù),確定,因此正態(tài)分布常記作.如果隨機變量服從正態(tài)分布,則記為.其中,參數(shù)是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù),可以用樣本的均值去估計;是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù),可以用樣本的標準差去估計.(4)原則若,則對于任意的實數(shù),為下圖中陰影部分的面積,對于固定的和而言,該面積隨著的減小而變大.這說明越小,落在區(qū)間的概率越大,即集中在周圍的概率越大特別地,有;;.由,知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間之內(nèi).而在此區(qū)間以外取值的概率只有,通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生,即為小概率事件.在實際應(yīng)用中,通常認為服從于正態(tài)分布的隨機變量只取之間的值,并簡稱之為原則.一、隨機事件的頻率與概率1、頻率是概率的近似值,概率是頻率的穩(wěn)定值.通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小,有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值.2、隨機事件概率的求法:利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率,即通過大量的重復(fù)試驗,事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數(shù),這個常數(shù)就是概率.【典例1】(2023·全國·高三對口高考)下列說法:①設(shè)有一批產(chǎn)品,其次品率為,則從中任取200件,必有10件次品;②做100次拋硬幣的試驗,有51次出現(xiàn)正面.因此出現(xiàn)正面的概率是;③隨機事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值;④隨機事件A的概率趨近于0,即趨近于0,則A是不可能事件;⑤拋擲骰子100次,得點數(shù)是1的結(jié)果是18次,則出現(xiàn)1點的頻率是;⑥隨機事件的頻率就是這個事件發(fā)生的概率;其中正確的有.【答案】③⑤【解析】概率指的是無窮次試驗中,出現(xiàn)的某種事件的頻率總在一個固定的值的附近波動,這個固定的值就是概率.①通過概率定義可以分析出,出現(xiàn)的事件是在一個固定值波動,并不是一個確定的值,則本題中從該批產(chǎn)品中任取200件,應(yīng)該是10件次品左右,不一定出現(xiàn)10件次品,錯誤;②100次拋硬幣的試驗并不是無窮多次試驗,出現(xiàn)的頻率也不是概率,事實上硬幣只有兩個面,每個面出現(xiàn)的概率是相等的,所以因此出現(xiàn)正面的概率是,錯誤;③隨機事件的概率是通過多次試驗,算出頻率后來估計它的概率的,當試驗的次數(shù)多了,這個頻率就越來越接近概率,所以隨機事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值,正確;④隨機事件A的概率趨近于0,說明事件A發(fā)生的可能性很小,但并不表示不會發(fā)生,錯誤;⑤拋擲骰子100次,得點數(shù)是1的結(jié)果是18次,則出現(xiàn)1點的頻率是,正確;⑥根據(jù)概率的定義,隨機事件的頻率只是這個事件發(fā)生的概率的近似值,它并不等于概率,錯誤;綜上,正確的說法有③⑤.故答案為:③⑤【典例2】(2021上·四川成都·高三石室中學(xué)校考開學(xué)考試)在一次拋硬幣的試驗中,某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了100次試驗,發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了40次,那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為()A.,0.4B.,0.5C.,0.5D.,【答案】C【解析】某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了100次試驗,正面朝上出現(xiàn)了40次,所以出現(xiàn)正面朝上的頻率為,因為每次拋硬幣時,正面朝上和反面朝上的機會相等,都是,所以出現(xiàn)正面朝上的概率是,故選:C二、判斷互斥、對立事件的兩種方法(1)定義法:判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷,不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件;兩個事件,若有且僅有一個發(fā)生,則這兩事件為對立事件,對立事件一定是互斥事件.(2)集合法:①由各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集,則事件互斥.②事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合,是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集.【典例1】(2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次,事件1表示“骰子向上的點數(shù)為奇數(shù)”,事件2表示“骰子向上的點數(shù)為偶數(shù)”,事件3表示“骰子向上的點數(shù)大于3”,事件4表示“骰子向上的點數(shù)小于3”則()A.事件1與事件3互斥B.事件1與事件2互為對立事件C.事件2與事件3互斥D.事件3與事件4互為對立事件【答案】B【解析】由題可知,事件1可表示為:,事件2可表示為:,事件3可表示為:,事件4可表示為:,因為,所以事件1與事件3不互斥,A錯誤;因為為不可能事件,為必然事件,所以事件1與事件2互為對立事件,B正確;因為,所以事件2與事件3不互斥,C錯誤;因為為不可能事件,不為必然事件,所以事件3與事件4不互為對立事件,D錯誤;故選:B.【典例2】(2023·湖南·高三校聯(lián)考二模)隨著2022年卡塔爾世界杯的舉辦,中國足球也需要重視足球教育.某市為提升學(xué)生的足球水平,特地在當?shù)剡x拔出幾所學(xué)校作為足球特色學(xué)校,開設(shè)了“5人制”“7人制”“9人制”“11人制”四類足球體驗課程.甲、乙兩名同學(xué)各自從中任意挑選兩門課程學(xué)習(xí),設(shè)事件“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”,事件“甲乙兩人所選課程完全不同”,事件“甲乙兩人均未選擇‘5人制’課程”,則()A.A與為對立事件B.A與互斥C.A與相互獨立D.與相互獨立【答案】C【解析】依題意甲、乙兩人所選課程有如下情形:①有一門相同,②兩門都相同,③兩門都不相同,故A與互斥不對立,A錯誤;當甲乙兩人均未選擇“5人制”課程時,兩人可能選的課程有一門相同,A與不互斥,B錯誤;所以,,,且,所以,,即A與相互獨立,與不相互獨立,C正確,D錯誤,故選:C.三、復(fù)雜事件的概率的兩種求法(1)直接求法,將所求事件分解為一些彼此互斥的事件,運用互斥事件的概率求和公式計算.(2)間接求法,先求此事件的對立事件的概率,再用公式P(A)=1-P(eq\x\to(A))求解(正難則反),特別是“至多”“至少”型題目,用間接求法就比較簡便.【典例1】(2023上·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知某音響設(shè)備由五個部件組成,A電視機,B影碟機,C線路,D左聲道和E右聲道,其中每個部件能否正常工作相互獨立,各部件正常工作的概率如圖所示.能聽到聲音,當且僅當A與B至少有一個正常工作,C正常工作,D與E中至少有一個正常工作.則聽不到聲音的概率為()A.0.19738B.0.00018C.0.01092D.【答案】A【解析】設(shè)能聽到聲音為事件,則,所以聽不到聲音的概率.故選:A【典例2】(2023下·四川眉山·高三??奸_學(xué)考試)一個盒子內(nèi)裝有若干個大小相同的紅球、白球和黑球,從中摸出1個球,若摸出紅球的概率是,摸出白球的概率是,那么從盒中摸出1個球,摸出黑球或紅球的概率是.【答案】【解析】因為一個盒子內(nèi)裝有若干個大小相同的紅球、白球和黑球,則從中摸出1個球,摸出紅球,白球和黑球的事件兩兩互斥,又摸出紅球的概率是,摸出白球的概率是,所以摸出黑球的概率是,所以從盒中摸出1個球,摸出黑球或紅球的概率是,故答案為:.【典例3】(2024上·內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考開學(xué)考試)位于數(shù)軸上的粒子A每次向左或向右移動一個單位長度,若前一次向左移動一個單位長度,則后一次向右移動一個單位長度的概率為,若前一次向右移動一個單位長度,則后一次向右移動一個單位長度的概率為,若粒子A第一次向右移動一個單位長度的概率為,則粒子A第二次向左移動的概率為.【答案】【解析】由題意知粒子A第一次向右移動一個單位長度的概率為,那么粒子A第一次向左移動一個單位長度的概率為,故粒子A第一次向右移動,第二次向左移動的概率為;粒子A第一次向左移動,第二次向左移動的概率為;故所求的概率,故答案為:四、古典概型的概率用公式法求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件個數(shù)除以基本事件空間Ω所含的基本事件個數(shù)求解事件A發(fā)生的概率P(A).解題的關(guān)鍵如下:①定型,即根據(jù)古典概型的特點——有限性與等可能性,確定所求概率模型為古典概型.②求量,利用列舉法、排列組合等方法求出基本事件空間Ω及事件A所含的基本事件數(shù).③求值,代入公式P(A)=eq\f(A包含的基本事件的個數(shù),基本事件的總數(shù))求值.【典例1】(2023上·四川成都·高三??茧A段練習(xí))我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”,如.在不超過30的素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于30的概率是()A.B.C.D.【答案】B【解析】不超過30的素數(shù)有:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共10個,隨機選取兩個不同的數(shù)共有種,其中和等于30的有這3種情況,所以在不超過30的素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于30的概率是.故選:B.【典例2】(2023上·江蘇徐州·高三統(tǒng)考期中)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,將得到的點數(shù)記為,則能夠構(gòu)成鈍角三角形的概率是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由題意拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,將得到的點數(shù)記為,則a的取值可能為,有6種可能;能夠構(gòu)成三角形時,需滿足,若能夠構(gòu)成鈍角三角形,當5所對角為鈍角時,有,此時;當a所對角為鈍角時,需滿足,此時沒有符合該條件的a值,故能夠構(gòu)成鈍角三角形的概率是,故選:D【典例3】(2023上·上海·高三控江中學(xué)??计谥校┠彻S生產(chǎn)、兩種型號的不同產(chǎn)品,產(chǎn)品數(shù)量之比為.現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出一個樣本容量為的樣本,則其中種型號的產(chǎn)品有件,現(xiàn)從樣本中抽出兩件產(chǎn)品,此時含有型號產(chǎn)品的概率為.【答案】【解析】依題意樣本中種型號的產(chǎn)品有件,現(xiàn)從樣本中抽出兩件產(chǎn)品共有種取法,其中含有型號產(chǎn)品的有種取法,所以含有型號產(chǎn)品的概率.故答案為:五、求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法(1)首先判斷幾個事件的發(fā)生是否相互獨立.(2)求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法主要有:①利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解.②正面計算較繁或難以入手時,可從其對立事件入手計算.【典例1】(2023上·重慶·高三重慶一中??奸_學(xué)考試)某同學(xué)進行一項投籃測試,若該同學(xué)連續(xù)三次投籃成功,則通過測試;若出現(xiàn)連續(xù)兩次失敗,則不通過測試.已知該同學(xué)每次投籃的成功率為,則該同學(xué)通過測試的概率為()A.B.C.D.【答案】D【解析】設(shè)投籃只成功一次后通過,概率為,那么投籃只失敗過一次后,下一次若投籃失敗,則不通過,故投籃只失敗過一次后通過概率為,故,解得:,故通過的概率為.故選:D【典例2】(2023上·江蘇·高三期中)一個不透明的盒子中裝有三個紅球,一個白球.從盒子中取兩次球,若每次取出1個或2個球的概率均為,則最終盒子里只剩下一個白球的概率為.【答案】【解析】記“最終盒子里只剩下一個白球”為事件,第一種情況,第一次先拿1個紅色球,第二次拿2個紅色球,則概率為:,第一種情況,第一次先拿2個紅色球,第二次拿1個紅色球,則概率為:,所以最終盒子里只剩下一個白球的概率為.故答案為:.六、求條件概率的兩種方法(1)利用定義,分別求P(A)和P(AB),得,這是求條件概率的通法.(2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB),得.【典例1】(2023·四川雅安·統(tǒng)考一模)甲、乙兩位學(xué)生在學(xué)校組織的課后服務(wù)活動中,準備從①②③④⑤5個項目中分別各自隨機選擇其中一項,記事件:甲和乙選擇的活動各不同,事件:甲和乙恰好一人選擇①,則等于()A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意知,,,所以,故選:B.【典例2】(2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模)第33屆奧運會將于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行.某田徑運動員準備參加100米?200米兩項比賽,根據(jù)以往賽事分析,該運動員100米比賽未能站上領(lǐng)獎臺的概率為,200米比賽未能站上領(lǐng)獎臺的概率為,兩項比賽都未能站上領(lǐng)獎臺的概率為,若該運動員在100米比賽中站上領(lǐng)獎臺,則他在200米比賽中也站上領(lǐng)獎臺的概率是.【答案】【解析】設(shè)在200米比賽中站上領(lǐng)獎臺為事件,在100米比賽中站上領(lǐng)獎臺為事件,則,,,,則,則,故.七、全概率公式與貝葉斯公式的使用1、全概率公式在解題中體現(xiàn)了“化整為零、各個擊破”的轉(zhuǎn)化思想,可將較為復(fù)雜的概率計算分解為一些較為容易的情況分別進行考慮.2、利用貝葉斯公式求概率的步驟第一步:利用全概率公式計算,即;第二步:計算,可利用求解;第三步:代入求解.3、貝葉斯概率公式反映了條件概率,全概率公式及乘法公式之間的關(guān)系,即.【典例1】(2023·河北秦皇島·高三校聯(lián)考二模)根據(jù)某機構(gòu)對失蹤飛機的調(diào)查得知:失蹤的飛機中有70%的后來被找到,在被找到的飛機中,有60%安裝有緊急定位傳送器,而未被找到的失蹤飛機中,有90%未安裝緊急定位傳送器,緊急定位傳送器是在飛機失事墜毀時發(fā)送信號,讓搜救人員可以定位的裝置.現(xiàn)有一架安裝有緊急定位傳送器的飛機失蹤,則它被找到的概率為()A.B.C.D.【答案】C【解析】設(shè)“失蹤的飛機后來被找到”,“失蹤的飛機后來未被找到”,“安裝有緊急定位傳送器”,則,,安裝有緊急定位傳送器的飛機失蹤,它被找到的概率為.故選:C.【典例2】(2023·吉林長春·高三統(tǒng)考一模)某學(xué)校有,兩家餐廳,某同學(xué)第1天等可能地選擇一家餐廳用餐,如果第1天去餐廳,那么第2天去餐廳的概率為,如果第一天去餐廳,那么第2天去餐廳的概率為,則該同學(xué)第2天去餐廳的概率為.【答案】【解析】設(shè)“第1天去A餐廳用餐”,“第1天去B餐廳用餐”,“第2天去餐廳用餐”,“第2天去餐廳用餐”,根據(jù)題意得,,,由全概率公式,得,因此該同學(xué)第天去餐廳用餐的概率為.故答案為:.【典例3】(2023上·江蘇常州·高三統(tǒng)考期中)居民的某疾病發(fā)病率為,現(xiàn)進行普查化驗,醫(yī)學(xué)研究表明,化驗結(jié)果是可能存有誤差的.已知患有該疾病的人其化驗結(jié)果呈陽性,而沒有患該疾病的人其化驗結(jié)果呈陽性.現(xiàn)有某人的化驗結(jié)果呈陽性,則他真的患該疾病的概率是()A.0.99B.0.9C.0.5D.【答案】C【解析】記事件某人患病,事件化驗結(jié)果呈陽性,由題意可知,,,所以,,現(xiàn)在某人的化驗結(jié)果呈陽性,則他真的患該疾病的概率是:.故選:C.八、求離散型隨機變量X的均值與方差的步驟(1)理解X的意義,寫出X可能取的全部值.(2)求X取每個值時的概率.(3)寫出X的分布列.(4)由均值的定義求E(X).(5)由方差的定義求D(X).【典例1】(2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考開學(xué)考試)已知隨機變量X的分布列如下表所示,若,則()X01PabA.B.C.D.【答案】B【解析】因為,且各概率之和為,所以,解得,所以.故選:B.【典例2】(2022·全國·高三專題練習(xí))設(shè),則隨機變量的分布列是01則當在內(nèi)減小時,()A.減小B.增大C.先減小后增大D.先增大后減小【答案】C【解析】根據(jù)題意可得,,所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以先減小后增大.故選:C.【典例3】(2023上·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí))設(shè)離散型隨機變量的期望和方差分別為和,且,則()A.B.C.D.和大小不確定【答案】C【解析】設(shè),則,,,.,所以,所以,故選:C.九、獨立重復(fù)試驗與二項分布1、定型:“獨立”“重復(fù)”是二項分布的基本特征,“每次試驗事件發(fā)生的概率都相等”是二項分布的本質(zhì)特征.判斷隨機變量是否服從二項分布,要看在一次試驗中是否只有兩種試驗結(jié)果,且兩種試驗結(jié)果發(fā)生的概率分別為p,1-p,還要看是否為n次獨立重復(fù)試驗,隨機變量是否為某事件在這n次獨立重復(fù)試驗中發(fā)生的次數(shù).2、定參,確定二項分布中的兩個參數(shù)n和p,即試驗發(fā)生的次數(shù)和試驗中事件發(fā)生的概率.3、列表,根據(jù)離散型隨機變量的取值及其對應(yīng)的概率,列出分布列.4、求值,根據(jù)離散型隨機變量的期望和方差公式,代入相應(yīng)數(shù)據(jù)求值.相關(guān)公式:已知X~B(n,p),則P(X=k)=Ceq\o\al(k,n)pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),E(X)=np,D(X)=np(1-p).【典例1】(2023·遼寧撫順·高三校考模擬預(yù)測)(多選)為備戰(zhàn)2023年我國杭州舉行的亞運會,某國乒乓球隊加緊訓(xùn)練進行備戰(zhàn).該國乒乓球隊主教練在訓(xùn)練課上,安排甲、乙兩名男單主力隊員與陪練進行對抗性訓(xùn)練,訓(xùn)練方法如下:甲、乙兩人每輪分別與陪練打兩局,兩人獲勝局數(shù)和為3或4時,則認為這輪訓(xùn)練合格,若甲、乙兩人每局獲勝的概率分別為,每局之間相互獨立,且.記甲、乙在輪訓(xùn)練中合格輪數(shù)為,若,則從期望的角度來看,甲、乙兩人訓(xùn)練的輪數(shù)可能為()A.24B.26C.27D.28【答案】CD【解析】由題意可知,則,設(shè)訓(xùn)練過關(guān),一輪中獲勝3局,一輪中獲勝4局,則,,,,則,令,則,由題意可知,則,所以,解得.故選:CD.【典例2】(2023·江蘇連云港·??寄M預(yù)測)某活動現(xiàn)場設(shè)置了抽獎環(huán)節(jié),在盒中裝有9張大小相同的精美卡片,卡片上分別印有“敬業(yè)”或“愛國”圖案,抽獎規(guī)則:參加者從盒中抽取卡片兩張,若抽到兩張分別是“愛國”和“敬業(yè)”卡即可獲獎;否則,均為不獲獎.卡片用后放回盒子,下一位參加者繼續(xù)重復(fù)進行.活動開始后,一位參加者問:“盒中有幾張“愛國”卡?”主持人答:“我只知道,從盒中抽取兩張都是“敬業(yè)”卡的概率是.”(1)求抽獎?wù)攉@獎的概率;(2)為了增加抽獎的趣味性,規(guī)定每個抽獎?wù)呦葟难b有9張卡片的盒中隨機抽出1張不放回,再用剩下8張卡片按照之前的抽獎規(guī)則進行抽獎,現(xiàn)有甲、乙、丙三人依次抽獎,用X表示獲獎的人數(shù),求X的分布列和均值.【答案】(1);(2)分布列見解析,【解析】(1)設(shè)“敬業(yè)”卡有n張,由已知可得,解得,故“愛國”卡有5張,抽獎?wù)攉@獎的概率為.(2)若抽出的為“敬業(yè)”卡,則每個抽獎?wù)攉@獎的概率為,若抽出的為“愛國”卡,則每個抽獎?wù)攉@獎的概率為,所以,新規(guī)則下,每個抽獎?wù)攉@獎的概率為,所以,(,1,2,3),則X的分布列為X0123P所以.十、求超幾何分布的分布列的步驟第一步:驗證隨機變量服從超幾何分布,并確定參數(shù)的值;第二步:根據(jù)超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率;第三步:用表格的形式列出分布列?!镜淅?】(2023·陜西漢中·高三校聯(lián)考模擬預(yù)測)教育是阻斷貧困代際傳遞的根本之策.補齊貧困地區(qū)義務(wù)教育發(fā)展的短板,讓貧困家庭子女都能接受公平而有質(zhì)量的教育,是夯實脫貧攻堅根基之所在.治貧先治愚,扶貧先扶智.為了解決某貧困地區(qū)教師資源匱乏的問題,某市教育局擬從5名優(yōu)秀教師中抽選人員分批次參與支教活動.支教活動共分3批次進行,每次支教需要同時派送2名教師,且每次派送人員均從這5人中隨機抽選.已知這5名優(yōu)秀教師中,2人有支教經(jīng)驗,3人沒有支教經(jīng)驗.(1)求5名優(yōu)秀教師中的“甲”,在這3批次支教活動中恰有兩次被抽選到的概率;(2)求第一次抽取到無支教經(jīng)驗的教師人數(shù)的分布列;【答案】(1);(2)分布列見解析【解析】(1)5名優(yōu)秀教師中的“甲”在每輪抽取中,被抽取到的概率為,則三次抽取中,“甲”恰有兩次被抽取到的概率為;(2)X表示第一次抽取到的無支教經(jīng)驗的教師人數(shù),X的可能取值有0,1,2.;;.所以分布列為:X012P【典例2】(2023上·陜西西安·高三西安中學(xué)??茧A段練習(xí))某中學(xué)進行校慶知識競賽,參賽的同學(xué)需要從10道題中隨機抽取4道來回答.競賽規(guī)則規(guī)定:每題回答正確得10分,回答不正確得分.(1)已知甲同學(xué)每題回答正確的概率均為,且各題回答正確與否之間沒有影響,記甲的總得分為,求的期望和方差;(2)已知乙同學(xué)能正確回答10道題中的6道,記乙的總得分為,求的分布列.【答案】(1),;(2)答案見解析【解析】(1)設(shè)甲答對題目的數(shù)目為,則,可得,又因為,所以,.(2)設(shè)乙答對的題目數(shù)為,可知的可能取值為0,1,2,3,4,則,則有:,,,所以的分布列為:102540十一、關(guān)于正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法(1)熟記P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ),P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值.(2)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.①正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對稱,從而在關(guān)于x=μ對稱的區(qū)間上概率相等;②P(X<a)=1-P(X≥a),P(X<μ-a)=P(X≥μ+a).【典例1】(2023上·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期中)設(shè)隨機變量,隨機變量,與之間的大小關(guān)系是()A.B.C.D.【答案】C【解析】由、分布曲線關(guān)于軸對稱,則,∵越大,正態(tài)分布曲線越扁平,∴.故選:C【典例2】(2023上·福建廈門·高三廈門一中??计谥校ǘ噙x)已知,則下列說法正確的是()A.B.C.D.【答案】ACD【解析】因為,則,,,,ACD對,B錯.故選:ACD.【典例3】(2023下·河南開封·高三通許縣第一高級中學(xué)校考階段練習(xí))若隨機變量,若,則.【答案】【解析】由題意知隨機變量,,所以,即,即,而,則,故答案為:易錯點1互斥事件與對立事件關(guān)系模糊點撥:“互斥事件”和“對立事件”都是就兩個事件而言的,互斥事件是指事件A與事件B在一次實驗中不會同時發(fā)生,而對立事件是指事件A與事件B在一次實驗中有且只有一個發(fā)生,因此,對立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是對立事件?!镜淅?】(2023·四川眉山·仁壽一中??寄M預(yù)測)袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個,從中任取2個,則互斥而不對立的兩個事件是()A.至少有一個白球;都是白球B.至少有一個白球;至少有一個紅球C.至少有一個白球;紅?黑球各一個D.恰有一個白球;一個白球一個黑球【答案】C【解析】對于A,至少有一個白球和都是白球的兩個事件能同時發(fā)生,不是互斥事件,A不是;對于B,至少有一個白球和至少有一個紅球的兩個事件能同時發(fā)生,不是互斥事件,B不是;對于C,至少有一個白球和紅、黑球各一個的兩個事件不能同時發(fā)生但能同時不發(fā)生,是互斥而不對立的兩個事件,C是;對于D,恰有一個白球和一個白球一個黑球的兩個事件能同時發(fā)生,不是互斥事件,D不是.故選:C【典例2】(2024上·山西朔州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試)(多選)從1,2,3,,9中任取三個不同的數(shù),則在下述事件中,是互斥但不是對立事件的有()A.“三個都為偶數(shù)”和“三個都為奇數(shù)”B.“至少有一個奇數(shù)”和“至多有一個奇數(shù)”C.“至少有一個奇數(shù)”和“三個都為偶數(shù)”D.“一個偶數(shù)兩個奇數(shù)”和“兩個偶數(shù)一個奇數(shù)”【答案】AD【解析】從1~9中任取三數(shù),按這三個數(shù)的奇偶性分類,有四種情況:(1)三個均為奇數(shù);(2)兩個奇數(shù)一個偶數(shù);(3)一個奇數(shù)兩個偶數(shù);(4)三個均為偶數(shù),所以選項A、D是互斥但不是對立事件,選項C是對立事件,選項B不是互斥事件.故選:AD.【典例3】(2023·廣西柳州·高三柳州高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)從數(shù)學(xué)必修一、二和政治必修一、二共四本書中任取兩本書,那么互斥而不對立的兩個事件是()A.至少有一本政治與都是數(shù)學(xué)B.至少有一本政治與都是政治C.至少有一本政治與至少有一本數(shù)學(xué)D.恰有1本政治與恰有2本政治【答案】D【解析】從裝有2本數(shù)學(xué)和2本政治的四本書內(nèi)任取2本書,可能的結(jié)果有:“兩本政治”,“兩本數(shù)學(xué)”,“一本數(shù)學(xué)一本政治”,“至少有一本政治”包含事件:“兩本政治”,“一本數(shù)學(xué)一本政治”.對于A,事件“至少有一本政治”與事件“都是數(shù)學(xué)”是對立事件,故A錯誤;對于B,事件“至少有一本政治”包含事件“都是政治”,兩個事件是包含關(guān)系,不是互斥事件,故B錯誤;對于C,事件“至少有一本數(shù)學(xué)”包含事件:“兩本數(shù)學(xué)”,“一本數(shù)學(xué)一本政治”,因此兩個

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