江西省上饒市廣豐區(qū)私立康橋中學2023-2024學年高二上學期期末數(shù)學模擬試題

江西省廣豐區(qū)康橋中學高二數(shù)學期末模擬考試學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．拋物線的方程為，過點的直線交于兩點，記直線的斜率分別為，則的值為（

）A． B． C． D．2．雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．3．如圖，在平行四邊形中，，現(xiàn)將沿對角線折起，使與成角，則之間的距離的平方為（

）A． B．或 C．2 D．2或4．已知為坐標原點，橢圓的左?右焦點分別是，離心率為.是橢圓上的點，的中點為，過作圓的一條切線，切點為，則的最大值為（

）A． B．4 C． D．5．已知直線的一個方向向量為，且經(jīng)過點，則的方程為（

）A． B．C． D．6．直線傾斜角的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．閱讀材料：數(shù)軸上，方程可以表示數(shù)軸上的點；平面直角坐標系中，方程（、不同時為0）可以表示坐標平面內的直線；空間直角更多優(yōu)質資源可進入/坐標系中，方程（、、不同時為0）可以表示坐標空間內的平面．過點且一個法向量為的平面的方程可表示為．閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．8．在平面直角坐標系中，以軸非負半軸作為始邊，角的終邊與曲線相交于點，若，則的值為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的。正確選項全對得5分，正確選項不全得2分，有錯誤選項得0分）9．已知直線與圓總有兩個不同的交點為坐標原點，則（

）A．直線過定點B．C．當時，D．當時，的最小值為10．已知雙曲線的左、右焦點別為，，過點的直線l與雙曲線的右支相交于兩點，則（

）A．若的兩條漸近線相互垂直，則B．若的離心率為，則的實軸長為C．若，則D．當變化時，周長的最小值為11．已知拋物線的焦點為，準線為，過點的直線與拋物線交于兩，則（

）A．若，則B．以為直徑的圓與準線相切C．設，則的最小值為D．過點與拋物線有且只有一個公共點的直線有2條12．如圖1，矩形由正方形與拼接而成．現(xiàn)將圖形沿對折成直二面角，如圖2．點（不與重合）是線段上的一個動點，點在線段上，點在線段上，且滿足，，則（

）

圖1

圖2A． B．C．的最大值為 D．多面體的體積為定值三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13．二項式的展開式的常數(shù)項為.14．若雙曲線的一條浙近線方程為，則.15．如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為是C上位于第一象限內的一點，且直線軸的正半軸交于A點，的內切圓在邊上的切點為N，若，則雙曲線C的離心率為.16．已知拋物線的焦點恰為圓的圓心，點在拋物線上，點，點，則的最小值為；的最小值為.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．已知對任意給定的實數(shù)，都有.求值：(1)；(2).18．如圖，在正方體中，E是棱上的點（點E與點C，不重合）．

(1)在圖中作出平面與平面ABCD的交線，并說明理由；(2)若正方體的棱長為1，平面與平面ABCD所成銳二面角的余弦值為，求線段CE的長．19．（1）已知，計算：；（2）解方程：．20．將長方體沿截面截去一個三棱錐后剩下的幾何體如圖所示，其中，，分別是，的中點.

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.21．已知直線：和圓：.(1)判斷直線和圓的位置關系，并求圓上任意一點到直線的最大距離；(2)過直線上的點作圓的切線，切點為，求證：經(jīng)過，，三點的圓與圓的公共弦必過定點，并求出該定點的坐標.22．某學校為了提高學生的運動興趣，增強學生身體素質，該校每年都要進行各年級之間的球類大賽，其中乒乓球大賽在每年“五一”之后舉行，乒乓球大賽的比賽規(guī)則如下：高中三個年級之間進行單循環(huán)比賽，每個年級各派5名同學按順序比賽（賽前已確定好每場的對陣同學），比賽時一個年級領先另一個年級兩場就算勝利（即每兩個年級的比賽不一定打滿5場），若兩個年級之間打成則第5場比賽定勝負．已知高三每位隊員戰(zhàn)勝高二相應對手的可能性均為，高三每位隊員戰(zhàn)勝高一相應對手的可能性均為，高二每位隊員戰(zhàn)勝高一相應對手的可能性均為，且隊員、年級之間的勝負相互獨立．(1)求高二年級與高一年級比賽時，高二年級與高一年級在前兩場打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高一年級的概率．(2)若獲勝年級積3分，被打敗年級積0分，求高三年級獲得積分的分布列和期望．參考答案：1．C2．B3．B4．B5．B6．C7．A8．A9．ACD10．ACD11．AB12．AC13．714．215．16．17．(1)(2)【分析】（1）利用賦值法求解，令可得結果；（2）利用賦值法求解，令可得結果；【詳解】（1）因為，令，則；（2）令，則，由（1）知，兩式相減可得.18．(1)答案見解析(2)【分析】（1）分別延長，交于點，連接.根據(jù)點線面的位置關系基本事實，可判定平面，平面，即可得出說明；（2）設，以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，求出平面與平面ABCD的法向量，根據(jù)已知得出關于的方程，求解即可得出答案.【詳解】（1）

如圖1，分別延長，交于點，連接，則即為所求交線.因為，平面，平面，所以，平面，平面.又平面，平面，所以平面，平面，所以，平面平面.（2）

如圖2，以點為坐標原點，分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，設，.則，，，，所以，，，.根據(jù)正方體的性質可知，平面，所以即為平面的一個法向量.設是平面的一個法向量，所以，，即，令，則，，所以，是平面的一個法向量.由已知可得，，即，即，整理可得，，解得或（舍去），所以，，即.19．（1）126；（2）．【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用組合數(shù)的性質求出并計算得解.（2）利用組合計算公式、排列數(shù)公式求解即得.【詳解】（1）因為，則，解得，經(jīng)驗證符合題意，所以.（2）由，得，即，而由，知，解得，所以原方程的解為.20(1)證明見解析(2)..【分析】(1)作出輔助線，得到四邊形為平行四邊形，進而得到線線平行，得到線面平行；（2）建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，從而得到線面角的正弦值.【詳解】（1）連接，如圖所示，

∵長方形中，，分別是，的中點，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴且，又∵長方體中且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，得.又∵平面，平面，∴平面（2）以點為原點，，所在直線為軸，軸，以點為垂足，垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

不妨設，則，，，，∴，，設平面的一個法向量為，則有，令，則，，即，設為直線與平面所成角，，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.21．(1)相離；(2)【分析】（1）利用圓心到直線的距離與半徑進行比較可判斷直線與圓的位置關系，圓上任意一點到直線的最大距離為圓心到直線的距離與半徑的和；（2）由題意可知過，，三點的圓，即為以為直徑的圓，設點坐標，表示圓心和半徑，得出圓的方程，將其與圓的方程相減，可得公共弦所在直線方程，整理得出定點坐標即可.【詳解】（1）圓:的圓心坐標為，半徑為，圓心到直線的距離，所以直線和圓相離；因為直線和圓相離，如圖：

過圓心作直線的垂線，垂足為，要使圓上任意一點到直線的距離最大，則是線段的延長線與圓的交點，點到直線的最大距離為；（2）因為點在直線上，可設，

過，，三點的圓即以為直徑的圓，圓心為，半徑為，所以圓的方程為，整理得，所以過，，三點的圓方程