第五章 線性系統(tǒng)的頻域分析法 2

§5.3控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性§5.3.1開環(huán)極坐標(biāo)圖開環(huán)極坐標(biāo)圖的繪制方法：(1)用幅頻特性和相頻特性計算作圖；(2)按實頻特性和虛頻特性計算作圖；開環(huán)極坐標(biāo)圖的近似繪制(1)起點和終點；(2)與實軸的交點；(3)變化范圍。編輯課件頻率特性可表示為：將頻率特性安按典型環(huán)節(jié)分解編輯課件1.極坐標(biāo)圖的起點ω→0時，除其他環(huán)節(jié)的頻率特性為所以，

ω→0時幅相曲線的起點只與有關(guān)起點取決于比例環(huán)節(jié)k和積分或微分環(huán)節(jié)的個數(shù)ν。編輯課件0v=0v=1v=2編輯課件2.極坐標(biāo)圖的終點ω→+∞時Gk(+j∞)在復(fù)平面上的位置與頻率特性分子分母多項式階次差〔n-m〕有關(guān)。編輯課件0n-m=2n-m=3n-m=1對于最小相位系統(tǒng)編輯課件3.與實軸的交點令，解得ωx；將其代入即得與實軸的交點。編輯課件例5-1設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)概略極坐標(biāo)圖。解：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性起點：I型系統(tǒng)，A(0+)→∞,φ(0)=-90°終點：n-m=3，A(∞)→0,φ(∞)=-270°與實軸交點：由解得代入得交點為0編輯課件§5.3.2開環(huán)伯德圖系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)作典型環(huán)節(jié)分解后，可先作出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線，然后采用疊加方法繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性。對于任意的開環(huán)傳遞函數(shù)，可按典型環(huán)節(jié)分解為三局部：(2)一階環(huán)節(jié)，包括慣性環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)及對應(yīng)的非最小相位環(huán)節(jié)，交接頻率為1/T；(3)二階環(huán)節(jié)，包括振蕩環(huán)節(jié)、二階微分環(huán)節(jié)及對應(yīng)的非最小相位環(huán)節(jié)，交接頻率為ωn。(1)積分環(huán)節(jié)或；記ωmin為最小交接頻率，稱ω<ωn的頻率范圍為低頻段。開環(huán)伯德圖的繪制按以下步驟進行：編輯課件1)開環(huán)傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)分解。2)確定一階環(huán)節(jié)、二階環(huán)節(jié)的交接頻率，將各交接頻率標(biāo)注在對數(shù)坐標(biāo)圖的ω軸上。3)繪制低頻段漸近線：由于一階環(huán)節(jié)或二階環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻漸近曲線在交接頻率前斜率為0dB/dec，在交接頻率處斜率發(fā)生變化，故在ω<ωmin頻段內(nèi)，開環(huán)系統(tǒng)幅頻漸近特性曲線的斜率取決于微積分環(huán)節(jié)數(shù)，其斜率為-20vdB/dec。4)作ω>ωmin頻段漸近線：在ω>ωmin頻段，系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻漸近特性曲線表現(xiàn)為分段折線。每遇到一個交接頻率增加相應(yīng)的斜率。增加的斜率等于該交接頻率對應(yīng)環(huán)節(jié)的斜率。編輯課件低頻段直線確實定由點斜式直線方程知：低頻段直線斜率為-20vdB/dec，只需確定一點坐標(biāo)即可。因為低頻段由確定方法一在低頻段任選一點ω0方法二選特定點ω0=1，那么方法三選特定值0，則編輯課件例5-2已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線。解：先將Gk(s)化成典型環(huán)節(jié)串聯(lián)的標(biāo)準(zhǔn)形式1)交接頻率：2，1，20L(ω)/dBω020401102202)低頻段：斜率：-20dB/dec;位置：ω=1時，為20lgk=20dB3)低頻向高頻延續(xù)，每經(jīng)過一個交接頻率，斜率作適當(dāng)修改-20dB/dec-20dB/dec-40dB/dec-40dB/dec編輯課件設(shè)復(fù)變函數(shù)為一、映射定理那么對應(yīng)與S平面下除了有限的奇點之外的任意一點，F(xiàn)〔S〕為解析函數(shù)，即為單值、連續(xù)的函數(shù)。S平面F〔S〕平面編輯課件曲線的形狀：由F〔S〕的特性決定，無需關(guān)心曲線的運動方向：可能是順時鐘，也可能是逆時鐘曲線包圍原點的情況：包圍的次數(shù)，關(guān)心?。?！S平面F〔S〕平面編輯課件映射定理設(shè)S平面上的封閉曲線包圍了復(fù)變函數(shù)F〔S〕的P個極點和Z個零點，并且此曲線不經(jīng)過F〔S〕的任一零點和極點，當(dāng)復(fù)變量S沿封閉曲線順時鐘方向移動一周時，在F〔S〕平面上的影射曲線包圍坐標(biāo)原點P-Z周。編輯課件二、乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)設(shè)系統(tǒng)的特征方程編輯課件F〔S〕的零點是閉環(huán)系統(tǒng)的極點，極點那么是開環(huán)極點系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：特征方程的根都在S平面的左半平面，右面無極點F〔S〕的零點都在S平面的左半平面，右面無零點編輯課件根據(jù)映射定理，S沿乃氏回線順時鐘移動一周時，在F〔S〕平面上的映射曲線將按逆時鐘圍繞坐標(biāo)原點N=P-Z周。系統(tǒng)是穩(wěn)定的，Z=0，N=P穩(wěn)定性判據(jù)：如果在S平面上，S沿乃奎斯特回線順時鐘移動一周時，在F〔S〕平面上的映射曲線圍繞坐標(biāo)原點按逆時鐘旋轉(zhuǎn)N=P周，那么系統(tǒng)是穩(wěn)定的。映射曲線圍繞原點的情況相當(dāng)于G〔S〕H〔S〕的封閉曲線圍繞〔-1，0〕的運動情況。編輯課件繪制映射曲線的方法〔1〕令S=jω帶入G〔S〕H〔S〕，得到開環(huán)頻率特性。〔2〕畫出對應(yīng)于大半圓對應(yīng)的局部實際物理系統(tǒng)n>=mn>m時G〔S〕H〔S〕趨于零n=m時G〔S〕H〔S〕為常數(shù)

乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)：

控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當(dāng)ω從負無窮變化到正無窮大時，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)按逆時鐘方向包圍(-1，j0)點P周，P為位于S平面右半部的開環(huán)極點數(shù)。編輯課件例：繪制開環(huán)傳遞函數(shù)的乃奎斯特圖并判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。編輯課件三、虛軸上有開環(huán)極點時的乃奎斯特判據(jù)虛軸上含有開環(huán)極點的情況不可直接應(yīng)用映射定理?。。∮成涠ɡ硪竽丝固鼗鼐€不能經(jīng)過F〔S〕的奇點。用半徑ε→0的半圓在虛軸上極點的右側(cè)繞過這些極點，即將這些極點劃到左半s平面。編輯課件

在復(fù)平面的虛軸上，當(dāng)ω很小時，半圓弧的數(shù)學(xué)方程式rej

,r0時，

從0變到/2。當(dāng)S沿著小半圓運動時，映射曲線為無窮大的圓按順時鐘方向從經(jīng)過0變化到編輯課件例：繪制開環(huán)傳遞函數(shù)的乃奎斯特圖并判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。編輯課件編輯課件五、根據(jù)伯德圖判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性原點為圓心的單位圓0分貝線。單位圓以外L(ω)>0的局部；單位圓內(nèi)部L(ω)<0的局部。負實軸

－180°線。相連(v為開環(huán)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目)起始點

(0+)

Nyquist曲線的輔助線

(0+)+v90°線編輯課件正穿越

對應(yīng)于對數(shù)相頻特曲線當(dāng)ω增大時從下向上穿越－180°線(相角滯后減小)；(-1,j0)點以左實軸的穿越點

L(ω)>0范圍內(nèi)的與－180°線的穿越點。負穿越

對應(yīng)于對數(shù)相頻特性曲線當(dāng)ω增大時，從上向下穿越－180°線(相角滯后增大)。編輯課件對數(shù)頻率特性穩(wěn)定判據(jù)假設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)m個位于右半s平面的特征根，那么當(dāng)在L