2024屆吉林省長春市榆樹第一高級中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末檢測模擬試題含解析

2024屆吉林省長春市榆樹第一高級中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末檢測模擬試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列說法中，正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則2．為等差數(shù)列的前項和，且，．記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，．?dāng)?shù)列的前項和為（）A． B． C． D．3．延長正方形的邊至，使得．若動點從點出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到點，若，下列判斷正確的是（）A．滿足的點必為的中點B．滿足的點有且只有一個C．的最小值不存在D．的最大值為4．《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，書中有一道這樣的題目：把100個面包分給五個人，使每個人所得成等差數(shù)列，最大的三份之和的是最小的兩份之和，則最小的一份的量是()A． B． C． D．5．設(shè)向量，，則是的A．充分不必要條件 B．充分必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件6．若滿足條件C＝60°，AB＝，BC＝的△ABC有（）個A．

B． C．

D．37．等差數(shù)列的前項和為，，，則（）A．21 B．15 C．12 D．98．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．9．函數(shù)的最小正周期為，則圖象的一條對稱軸方程是（）A． B． C． D．10．已知樣本的平均數(shù)是10，方差是2，則的值為（）A．88 B．96 C．108 D．110二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知是邊長為的等邊三角形，為邊上（含端點）的動點，則的取值范圍是_______.12．已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)．當(dāng)時，，關(guān)于的方程，有且僅有5個不同實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是_____．13．一湖中有不在同一直線的三個小島A、B、C，前期為開發(fā)旅游資源在A、B、C三島之間已經(jīng)建有索道供游客觀賞，經(jīng)測量可知AB兩島之間距離為3公里，BC兩島之間距離為5公里，AC兩島之間距離為7公里，現(xiàn)調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，游客對在同一圓周上三島A、B、C且位于（優(yōu)?。┮黄娘L(fēng)景更加喜歡，但由于環(huán)保、安全等其他原因，沒辦法盡可能一次游覽更大面積的湖面風(fēng)光，現(xiàn)決定在上選擇一個點D建立索道供游客游覽，經(jīng)研究論證為使得游覽面積最大，只需使得△ADC面積最大即可.則當(dāng)△ADC面積最大時建立索道AD的長為______公里.（注：索道兩端之間的長度視為線段）14．若銳角滿足則______.15．函數(shù)的最大值為．16．已知三點A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，且，.（1）求該函數(shù)的最小正周期及對稱中心坐標(biāo)；（2）若方程的根為，且，求的值.18．已知從甲地到乙地的公路里程約為240（單位：km）.某汽車每小時耗油量Q（單位：L）與速度x（單位：）（）的關(guān)系近似符合以下兩種函數(shù)模型中的一種（假定速度大小恒定）：①，②，經(jīng)多次檢驗得到以下一組數(shù)據(jù)：x04060120Q020（1）你認(rèn)為哪一個是符合實際的函數(shù)模型，請說明理由；（2）從甲地到乙地，這輛車應(yīng)以多少速度行駛才能使總耗油量最少？19．已知數(shù)列的前項和為，且，求數(shù)列的通項公式.20．已知角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點，，且，求（用含、、的形式表示）.21．的內(nèi)角所對的邊分別為，向量，若.（1）求角的大小；（2）若，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】試題分析：選項A中，條件應(yīng)為；選項B中當(dāng)時不成立；選項D中，結(jié)論應(yīng)為；C正確．考點：不等式的性質(zhì)．2、D【解題分析】

利用等差數(shù)列的通項公式與求和公式可得，再利用，可得，，．即可得出．【題目詳解】解：為等差數(shù)列的前項和，且，，．可得，則公差．，，則，，，．?dāng)?shù)列的前項和為：．故選：．【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式、對數(shù)運算性質(zhì)、取整函數(shù)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．3、D【解題分析】試題分析：設(shè)正方形的邊長為1，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則的坐標(biāo)為，則設(shè)，由得，所以，當(dāng)在線段上時，，此時，此時，所以；當(dāng)在線段上時，，此時，此時，所以；當(dāng)在線段上時，，此時，此時，所以；當(dāng)在線段上時，，此時，此時，所以；由以上討論可知，當(dāng)時，可為的中點，也可以是點，所以A錯；使的點有兩個，分別為點與中點，所以B錯，當(dāng)運動到點時，有最小值，故C錯，當(dāng)運動到點時，有最大值，所以D正確，故選D．考點：向量的坐標(biāo)運算．【名師點睛】本題考查平面向量線性運算，屬中檔題．平面向量是高考的必考內(nèi)容，向量坐標(biāo)化是聯(lián)系圖形與代數(shù)運算的渠道，通過構(gòu)建直角坐標(biāo)系，使得向量運算完全代數(shù)化，通過加、減、數(shù)乘的運算法則，實現(xiàn)了數(shù)形的緊密結(jié)合，同時將參數(shù)的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)函數(shù)的取值范圍問題，在解題過程中，還常利用向量相等則坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程（組）求解，體現(xiàn)方程思想的應(yīng)用．4、D【解題分析】

由題意可得中間部分的為20個面包，設(shè)最小的一份為，公差為，可得到和的方程，即可求解.【題目詳解】由題意可得中間的那份為20個面包，設(shè)最小的一份為，公差為，由題意可得，解得，故選D.【題目點撥】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用，其中根據(jù)題意設(shè)最小的一份為，公差為，列出關(guān)于和的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解題分析】

利用向量共線的性質(zhì)求得，由充分條件與必要條件的定義可得結(jié)論.【題目詳解】因為向量，，所以，即可以得到，不能推出，是“”的必要不充分條件，故選C.【題目點撥】本題主要考查向量共線的性質(zhì)、充分條件與必要條件的定義，屬于中檔題.利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.6、C【解題分析】

通過判斷與c判斷大小即可得到知道三角形個數(shù).【題目詳解】由于，所以△ABC有兩解，故選C.【題目點撥】本題主要考查三角形解得個數(shù)判斷，難度不大.7、B【解題分析】依題意有，解得，所以.8、D【解題分析】

利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，逐一判斷各個選項中的函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，進(jìn)而得出結(jié)論．【題目詳解】由于函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故排除A；由于函數(shù)是偶函數(shù)，但它在區(qū)間上單調(diào)遞增，故排除B；由于函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故排除C；由于函數(shù)是偶函數(shù)，且滿足在區(qū)間上單調(diào)遞減，故滿足條件．故答案為：D【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及應(yīng)用，其中解答中熟記函數(shù)的奇偶性的定義和判定方法，以及基本初等函數(shù)的奇偶性是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解題分析】

先根據(jù)函數(shù)的周期求出的值，求出函數(shù)的對稱軸方程，然后利用賦值法可得出函數(shù)圖象的一條對稱軸方程.【題目詳解】由于函數(shù)的最小正周期為，則，，令，解得.當(dāng)時，函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為.故選：D.【題目點撥】本題考查利用正弦型函數(shù)的周期求參數(shù)，同時也考查了正弦型函數(shù)圖象對稱軸方程的計算，解題時要結(jié)合正弦函數(shù)的基本性質(zhì)來進(jìn)行求解，考查運算求解能力，屬于中等題.10、B【解題分析】

根據(jù)平均數(shù)和方差公式列方程組，得出和的值，再由可求得的值．【題目詳解】由于樣本的平均數(shù)為，則有，得，由于樣本的方差為，有，得，即，，因此，，故選B．【題目點撥】本題考查利用平均數(shù)與方差公式求參數(shù)，解題的關(guān)鍵在于平均數(shù)與方差公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

取的中點為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點的坐標(biāo)為，其中，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算將轉(zhuǎn)化為有關(guān)的一次函數(shù)的值域問題，可得出的取值范圍.【題目詳解】如下圖所示：取的中點為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，則點、、，設(shè)點，其中，，，，因此，的取值范圍是，故答案為.【題目點撥】本題考查平面向量數(shù)量積的取值范圍，可以利用基底向量法以及坐標(biāo)法求解，在建系時應(yīng)充分利用對稱性來建系，另外就是注意將動點所在的直線變?yōu)樽鴺?biāo)軸，可簡化運算，考查運算求解能力，屬于中等題.12、.【解題分析】

令，則原方程為，根據(jù)原方程有且僅有5個不同實數(shù)根，則有5個不同的解，結(jié)合圖像特征，求出的值或范圍，即為方程解的值或范圍，轉(zhuǎn)化為范圍，即可求解.【題目詳解】令，則原方程為，當(dāng)時，，且為偶函數(shù)，做出圖像，如下圖所示：當(dāng)時，有一個解；當(dāng)或，有兩個解；當(dāng)時，有四個解；當(dāng)或時，無解.，有且僅有5個不同實數(shù)根，關(guān)于的方程有一個解為，，另一個解為，在區(qū)間上，所以，實數(shù)的取值范圍是.故答案為:.【題目點撥】本題考查復(fù)合方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍，考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，利用換元法結(jié)合的函數(shù)的奇偶性的對稱性，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵，屬于難題.13、【解題分析】

根據(jù)題意畫出草圖，根據(jù)余弦定理求出的值，設(shè)點到的距離為，可得，分析可知取最大時，取最大值，然后再對為中點和不是中點兩種情況分析，可得的最大值為，然后再根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)和正弦定理，即可求出結(jié)果．【題目詳解】根據(jù)題意可作出及其外接圓，連接，交于點，連接，如下圖：在中，由余弦定理,由為的內(nèi)角，可知，所以.設(shè)的半徑為，點到的距離為，點到的距離為，則,故取最大時，取最大值.①當(dāng)為中點時，由垂徑定理知，即，此時，故；②當(dāng)不是中點時，不與垂直，設(shè)此時與所成角為，則，故；由垂線段最短知，此時;綜上，當(dāng)為中點時，到的距離最大，最大值為；由圓周角定理可知，,由垂徑定理知，此時點為優(yōu)弧的中點，故，則，在中，由正弦定理得所以.所以當(dāng)△ADC面積最大時建立索道AD的長為公里.故答案為：．【點評】本題考查了正弦定理、余弦定理在解決實際問題中的應(yīng)用，屬于中檔題．14、【解題分析】

由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，的值，利用兩角差的余弦公式即可計算得解．【題目詳解】、為銳角，，，，，，．故答案為：．【題目點撥】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15、【解題分析】略16、【解題分析】

求出的垂直平分線方程，兩垂直平分線交點為外接圓圓心．再由兩點間距離公式計算．【題目詳解】由點B(0，)，C(2，)，得線段BC的垂直平分線方程為x＝1，①由點A(1,0)，B(0，)，得線段AB的垂直平分線方程為②聯(lián)立①②，解得△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)為，其到原點的距離為.故答案為：【題目點撥】本題考查三角形外接圓圓心坐標(biāo)，外心是三角形三條邊的中垂線的交點，到三頂點距離相等．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)最小正周期為.對稱中心坐標(biāo)為；(2)-1【解題分析】

（1）由題意兩未知數(shù)列兩方程即可求出、的值，再進(jìn)行三角變換，可得的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期公式、圖象的對稱性，即可得出結(jié)論．（2）先由條件求得的值，可得的值．【題目詳解】（1）由，得：，解得：，，，即函數(shù)的最小正周期為.由得：函數(shù)的對稱中心坐標(biāo)為；（2）由題意得：，即，或，則或，由知：，.【題目點撥】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、圖象的對稱性，以及三角函數(shù)求值．18、（1）選擇模型①，見解析；（2）80.【解題分析】

（1）由題意可知所選函數(shù)模型應(yīng)為單調(diào)遞增函數(shù)，即可判斷選擇；（2）將，代入函數(shù)型①，可得出的值，進(jìn)而可得出總耗油量關(guān)于速度的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而得解.【題目詳解】（1）選擇模型①理由：由題意可知所選函數(shù)模型應(yīng)為單調(diào)遞增函數(shù)，而函數(shù)模型②為一個單調(diào)遞減函數(shù)，故選擇模型①.（2）將，代入函數(shù)型①，可得：，則，總耗油量：，當(dāng)時，W有最小值30.甲地到乙地，這輛車以80km/h的速度行駛才能使總耗油量最少.【題目點撥】本題考查函數(shù)模型的實際應(yīng)用，考查邏輯思維能力，考查實際應(yīng)用能力，屬于?？碱}.19、【解題分析】

當(dāng)時，，當(dāng)時，，即可得出．【題目詳解】∵已知數(shù)列的前項和為，且，當(dāng)時，，當(dāng)時，，檢驗：當(dāng)時，不符合上式，【題目點撥】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．20、【解