2024屆廣東省廣州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末綜合測試試題含解析

2024屆廣東省廣州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末綜合測試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為（）A． B．C． D．2．已知α、β為銳角，cosα＝，tan(α?β)＝?，則tanβ＝()A． B．3 C． D．3．設(shè)，則有()A． B． C． D．4．以圓形摩天輪的軸心為原點(diǎn)，水平方向?yàn)檩S，在摩天輪所在的平面建立直角坐標(biāo)系.設(shè)摩天輪的半徑為米，把摩天輪上的一個吊籃看作一個點(diǎn)，起始時點(diǎn)在的終邊上，繞按逆時針方向作勻速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，其角速度為（弧度/分），經(jīng)過分鐘后，到達(dá)，記點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則關(guān)于時間的函數(shù)圖象為（）A． B．C． D．5．“”是“”成立的（）A．充分非必要條件. B．必要非充分條件.C．充要條件. D．既非充分又非必要條件.6．已知，，且，則在方向上的投影為()A． B． C． D．7．若，，則等于()A． B． C． D．8．在中，若°，°，．則=A． B． C． D．9．是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角10．某型號汽車使用年限與年維修費(fèi)（單位：萬元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，由最小二乘法求得回歸方程．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)看不清，推測該數(shù)據(jù)的值為（）使用年限維修費(fèi)A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，曲線上的點(diǎn)與軸的正半軸上的點(diǎn)及原點(diǎn)構(gòu)成一系列正三角形，，，設(shè)正三角形的邊長為（記為），.數(shù)列的通項(xiàng)公式=______.12．各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知成等差數(shù)列,則數(shù)列的公比為________.13．在矩形中，，現(xiàn)將矩形沿對角線折起，則所得三棱錐外接球的體積是________.14．已知，，則________（用反三角函數(shù)表示）15．英國物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家艾薩克·牛頓（Isaacnewton，1643-1727年）曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型.現(xiàn)把一杯溫水放在空氣中冷卻，假設(shè)這杯水從開始冷卻，x分鐘后物體的溫度滿足：（其中…為自然對數(shù)的底數(shù)）.則從開始冷卻，經(jīng)過5分鐘時間這杯水的溫度是________（單位：℃）.16．已知函數(shù)，若，則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在平面直角坐標(biāo)系下，已知圓O：，直線l：（）與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，且.（1）求直線l的方程；（2）若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是圓O與x軸的左、右兩個交點(diǎn)，點(diǎn)D滿足，點(diǎn)M是圓O上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上，且存在常數(shù)使得，求點(diǎn)N到直線l距離的最小值.18．已知函數(shù)f(x)＝sinωx·cosωx＋cos2ωx－(ω＞0)，直線x＝x1，x＝x2是y＝f(x)圖象的任意兩條對稱軸，且|x1－x2|的最小值為.（Ⅰ）求f(x)的表達(dá)式；（Ⅱ）將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的單調(diào)減區(qū)間.19．某校團(tuán)委會組織某班以小組為單位利用周末時間進(jìn)行一次社會實(shí)踐活動，每個小組有5名同學(xué)，在活動結(jié)束后，學(xué)校團(tuán)委會對該班的所有同學(xué)進(jìn)行了測試，該班的A，B兩個小組所有同學(xué)得分（百分制）的莖葉圖如圖所示，其中B組一同學(xué)的分?jǐn)?shù)已被污損，但知道B組學(xué)生的平均分比A組同學(xué)的平均分高一分．（1）若在B組學(xué)生中隨機(jī)挑選1人，求其得分超過86分的概率；（2）現(xiàn)從A、B兩組學(xué)生中分別隨機(jī)抽取1名同學(xué)，設(shè)其分?jǐn)?shù)分別為m、n，求的概率．20．已知為等差數(shù)列，且，．求的通項(xiàng)公式；若等比數(shù)列滿足，，求的前n項(xiàng)和公式．21．在中，，且邊上的中線長為，(1)求角的大小；(2)求的面積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】

先求出直線的斜率，再求出所求直線的斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式方程求解.【題目詳解】由題得直線的斜率為，所以所求的直線的斜率為，所以所求的直線方程為即.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查互相垂直直線的性質(zhì)，考查直線方程的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】

利用角的關(guān)系，再利用兩角差的正切公式即可求出的值.【題目詳解】因?yàn)?，且為銳角，則，所以，因?yàn)?，所以故選B.【題目點(diǎn)撥】主要考查了兩角差的正切公式，同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，屬于中檔題.對于給值求值問題，關(guān)鍵是尋找已知角（條件中的角）與未知角（問題中的角）的關(guān)系，用已知角表示未知角，從而將問題轉(zhuǎn)化為求已知角的三角函數(shù)值，再利用兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式以及誘導(dǎo)公式即可求出.3、A【解題分析】

根據(jù)題意，利用輔助角公式得，對于，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角公式對進(jìn)行處理，即可得到；對于，利用二倍角公式對變形處理可以得到，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.【題目詳解】由題意得因?yàn)檎液瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以,選A.【題目點(diǎn)撥】本題是一道關(guān)于三角函數(shù)值大小比較的題目，解答本題的關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)公式；二倍角公式、輔助角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等．屬于中等題．4、B【解題分析】

根據(jù)題意，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由此通過特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷所給的圖象是否滿足條件，從而得出結(jié)論.【題目詳解】根據(jù)題意可得，振幅，角速度，初相，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故當(dāng)時，，當(dāng)時，為的最大值，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)圖象的實(shí)際應(yīng)用以及余弦型函數(shù)圖象的特征，其中，求出函數(shù)模型的解析式是解題的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于中等題.5、A【解題分析】

依次分析充分性與必要性是否成立.【題目詳解】時，而時不一定成立，所以“”是“”成立的充分非必要條件，選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查充要關(guān)系判定，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題6、C【解題分析】

通過數(shù)量積計(jì)算出夾角，然后可得到投影.【題目詳解】，，即，，在方向上的投影為，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量的幾何背景，建立數(shù)量積方程是解題的關(guān)鍵，難度不大.7、C【解題分析】

直接用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到答案.【題目詳解】由，.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】∵在△ABC中,A=45°,B=60°，a=2，∴由正弦定理得：.本題選擇A選項(xiàng).9、C【解題分析】

本題首先要明確平面直角坐標(biāo)系中每一象限所對應(yīng)的角的范圍，然后即可判斷出在哪一象限中．【題目詳解】第一象限所對應(yīng)的角為；第二象限所對應(yīng)的角為；第三象限所對應(yīng)的角為；第四象限所對應(yīng)的角為；因?yàn)椋晕挥诘谌笙?，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查如何判斷角所在象限，能否明確每一象限所對應(yīng)的角的范圍是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，是簡單題．10、C【解題分析】

設(shè)所求數(shù)據(jù)為，計(jì)算出和，然后將點(diǎn)代入回歸直線方程可求出的值.【題目詳解】設(shè)所求數(shù)據(jù)為，則，，由于回歸直線過樣本的中心點(diǎn)，則有，解得，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用回歸直線計(jì)算原始數(shù)據(jù)，解題時要充分利用“回歸直線過樣本中心點(diǎn)”這一結(jié)論的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

先得出直線的方程為，與曲線的方程聯(lián)立得出的坐標(biāo)，可得出，并設(shè)，根據(jù)題中條件找出數(shù)列的遞推關(guān)系式，結(jié)合遞推關(guān)系式選擇作差法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即利用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。【題目詳解】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，易知直線的方程為，與曲線的方程聯(lián)立，解得，；當(dāng)時，點(diǎn)、，所以，點(diǎn)，直線的斜率為，則，即，等式兩邊平方并整理得，可得，以上兩式相減得，即，易知，所以，即，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差也為，因此，.故答案為：?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列通項(xiàng)的求解，根據(jù)已知條件找出數(shù)列的遞推關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在求通項(xiàng)公式時需結(jié)合遞推公式的結(jié)構(gòu)選擇合適的方法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查分析問題的能力，屬于難題。12、【解題分析】

根據(jù)成等差數(shù)列得到，計(jì)算得到答案.【題目詳解】成等差數(shù)列，則故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式的靈活運(yùn)用.13、【解題分析】

取的中點(diǎn)，連接，三棱錐外接球的半徑再計(jì)算體積.【題目詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接.由題意可得，則所得三棱錐外接球的半徑，其體積為.故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了三棱錐的外切球體積，計(jì)算是解題的關(guān)鍵.14、【解題分析】∵，，∴.故答案為15、45【解題分析】

直接利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可,【題目詳解】.故答案為：45.【題目點(diǎn)撥】本題考查對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

由三角函數(shù)的輔助角公式化簡，關(guān)鍵需得出輔助角的正切值，再由函數(shù)的最大值求解.【題目詳解】由三角函數(shù)的輔助公式得（其中），因?yàn)樗?，所以，所以，，所以，故填：【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的輔助角公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）等價于圓心O到直線l的距離，再由點(diǎn)到直線的距離公式求解即可；（2）先設(shè)點(diǎn)，再結(jié)合題意可得點(diǎn)N在以為圓心，半徑為的圓R上，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【題目詳解】解：（1）∵圓O：，圓心，半徑，∵直線l：（）與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，且，∴圓心O到直線l的距離，又，，解得，∴直線l的方程為；（2）∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是圓O與x軸的左、右兩個交點(diǎn)，，∴，，設(shè)，，則，，，，，即.又∵點(diǎn)N在線段上，即，共線，，，∵點(diǎn)M是圓O上任意一點(diǎn)，，∴將m，n代入上式，可得，即.則點(diǎn)N在以為圓心，半徑為的圓R上.圓心R到直線l：的距離，又，故點(diǎn)N到直線l：距離的最小值為1.【題目點(diǎn)撥】本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式，重點(diǎn)考查了點(diǎn)的軌跡方程的求法，屬中檔題.18、（1）f(x)＝sin.（2）【解題分析】試題分析：（1）先利用二倍角公式和輔助角公式化簡，再利用周期公式即可求得正解；（2）根據(jù)圖像變換求出的表達(dá)式，再利用符合函數(shù)法求得遞減區(qū)間.試題解析：(1)f(x)＝sin2ωx＋×－＝sin2ωx＋cos2ωx＝sin，由題意知，最小正周期T＝2×＝，T＝＝＝，所以ω＝2，∴f(x)＝sin.(2)將f(x)的圖象向右平移個單位長度后，得到y(tǒng)＝sin的圖象，再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)＝sin的圖象．所以g(x)＝sin.由，得所以所求的單調(diào)減區(qū)間為19、（1）（2）【解題分析】

（1）求出A組學(xué)生的平均分可得B組學(xué)生的平均分，設(shè)被污損的分?jǐn)?shù)為X，列方程得X，從而得到B組學(xué)生的分?jǐn)?shù)，其中有3人分?jǐn)?shù)超過86分，由此能求出B組學(xué)生中隨機(jī)挑選1人，其得分超過86分概率．（2）利用列舉法寫出在A、B兩組學(xué)生中隨機(jī)抽取1名同學(xué)，其分?jǐn)?shù)組成的所有基本事件（m，n），利用古典概型求出|m﹣n|≥8的概率．【題目詳解】（1）A組學(xué)生的平均分為，所以B組學(xué)生的平均分為86分設(shè)被污損的分?jǐn)?shù)為，則，解得所以B組學(xué)生的分?jǐn)?shù)為91、93、83、88、75，其中有3人分?jǐn)?shù)超過86分在B組學(xué)生中隨機(jī)挑選1人，其得分超過86分概率為.（2）A組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分別是94、80、86、88、77,B組學(xué)生的分?jǐn)?shù)為91、93、83、88、75，在A、B兩組學(xué)生中隨機(jī)抽取1名同學(xué)，其分?jǐn)?shù)組成的基本事件（m，n），有（94,91），（94,93），（94,83）,（94,88），（94,75），（80,91），（80,93），（80,83），（80,88），（80,75），（86,91），（86,93），（86,83），（86,88），（86,75），（88,91），（88,93），（88,83），（88,88），（88,75），（77,91），（77,93），（77,83），（77,88），（77,75），共25個隨機(jī)各抽取1名同學(xué)的分?jǐn)?shù)滿足的基本事件有（94,83），（94，75），（80,91），（80,93），（80,88），（86,75），（88,75），（77,91），（77,93），（77,88），共10個∴的概率為.【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法、莖葉圖等基礎(chǔ)知識，考查了推理能力與計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．20、（1）；（2）.【解題分析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知列關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程組，求得首項(xiàng)與公差，則的通項(xiàng)公式可求；求出，進(jìn)一步得到公比，再由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解．【題目詳解】為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由已知可得，解得，．；由，，等比數(shù)列的公比，的前n項(xiàng)和公式．【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．21、（Ⅰ）；（Ⅱ