4二次函數(shù)圖像與性質(zhì)

第十二講二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)一、二次函數(shù)的概念及其關(guān)系式1.二次函數(shù)的概念:形如__________(a,b,c是常數(shù),a≠0)的函數(shù).y=ax2+bx+c2.二次函數(shù)的解析式:(1)一般式:________________.(2)頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其頂點(diǎn)坐標(biāo)是______.(3)兩點(diǎn)式:y=a(x-x1)(x-x2),其中(x1,0),(x2,0)是圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn).y=ax2+bx+c(a≠0)(h,k)二、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質(zhì)1.當(dāng)a>0時(shí)(1)開口方向:向上.(2)頂點(diǎn)坐標(biāo):((3)對(duì)稱軸:直線______.___(4)增減性:當(dāng)x<-時(shí),y隨x的增大而_____;當(dāng)x>-時(shí),y隨x的增大而_____.(5)最值:當(dāng)x=-時(shí),y最小值=_______.減小增大2.當(dāng)a<0時(shí)(1)開口方向:向下.(2)頂點(diǎn)坐標(biāo):).(3)對(duì)稱軸:直線______.______(4)增減性:當(dāng)x<-時(shí),y隨x的增大而_____;當(dāng)x>-時(shí),y隨x的增大而_____.(5)最值:當(dāng)x=-時(shí),y最大值=_______.增大減小考點(diǎn)一二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

【考情分析】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),在各地中考試題中均有體現(xiàn),是二次函數(shù)的一個(gè)重要考向,以選擇題、填空題、解答題的形式呈現(xiàn).命題角度1:判定已知二次函數(shù)的性質(zhì)【示范題1】(2017·玉林崇左中考)對(duì)于函數(shù)y=-2(x-m)2的圖象,下列說法不正確的是(

)A.開口向下 B.對(duì)稱軸是x=mC.最大值為0 D.與y軸不相交【思路點(diǎn)撥】利用二次函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)分析選項(xiàng),即可得出結(jié)論.【自主解答】選D.∵a=-2<0,∴拋物線的開口向下,故A正確,與要求不符;由函數(shù)解析式可知拋物線的對(duì)稱軸為直線x=m,當(dāng)x=m時(shí),y有最大值,最大值為0,故B,C均正確,與要求不符;把x=0代入得:y=-2m2,∴拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2m2),故D錯(cuò)誤,與要求相符.命題角度2:拋物線特征與a,b,c的關(guān)系【示范題2】(2017·黔東南州中考)如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=-1,給出下列結(jié)論:①b2=4ac;②abc>0;③a>c;④4a-2b+c>0,其中正確的個(gè)數(shù)有(

)A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)【自主解答】選C.①∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn),∴Δ=b2-4ac>0,所以①錯(cuò)誤;②∵拋物線開口向上,∴a>0,∵拋物線的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè),∴a,b同號(hào),∴b>0,∵拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸上方,∴c>0,∴abc>0,所以②正確;③∵x=-1時(shí),y<0,即a-b+c<0,∵對(duì)稱軸為直線x=-1,∴-=-1,∴b=2a,∴a-2a+c<0,即a>c,所以③正確;④∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1,∴x=-2和x=0時(shí)的函數(shù)值相等,即x=-2時(shí),y>0,∴4a-2b+c>0,所以④正確.所以正確的結(jié)論為②③④,共三個(gè).命題角度3:拋物線的平移【示范題3】(2017·襄陽(yáng)中考)將拋物線y=2(x-4)2-1先向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,平移后所得拋物線的解析式為(

)A.y=2x2+1 B.y=2x2-3C.y=2(x-8)2+1 D.y=2(x-8)2-3【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平移與坐標(biāo)的關(guān)系,左右平移改變自變量x的取值(左加右減),上下平移改變函數(shù)的值(上加下減),即可得出結(jié)論.【自主解答】選A.由平移與坐標(biāo)的關(guān)系可知,左右平移改變自變量x的取值(左加右減),上下平移改變函數(shù)的值(上加下減),故將拋物線y=2(x-4)2-1向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后所得到的拋物線為y=2(x-4+4)2-1+2,即y=2x2+1.命題角度4:二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象綜合【示范題4】(2017·資陽(yáng)中考)如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)和與y軸的交點(diǎn)在一次函數(shù)y=kx+1(k≠0)的圖象上,它的對(duì)稱軸是x=1,有以下四個(gè)結(jié)論:①abc<0,②a<-,③a=-k,④當(dāng)0<x<1時(shí),ax+b>k,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(

)A.4

B.3

C.2

D.1【思路點(diǎn)撥】觀察一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象,結(jié)合一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì),對(duì)每個(gè)結(jié)論進(jìn)行分析,得出答案.【自主解答】選A.∵對(duì)稱軸是x=1,∴-=1,即b=-2a.∵拋物線與直線y=kx+1交于y軸上的同一點(diǎn),∴c=1,∴拋物線的解析式為y=ax2-2ax+1.①∵拋物線的開口向下,∴a<0,∴abc=-2a2<0.結(jié)論①正確.②由圖象可知x=-1時(shí),y<0,∴a(-1)2+2a+1<0,即3a+1<0.∴a<-.結(jié)論②正確.③當(dāng)x=1時(shí),y=a·12-2a·1+1=-a+1,∴拋物線的頂點(diǎn)是(1,-a+1).∵直線y=kx+1經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn),∴-a+1=k·1+1,即a=-k.結(jié)論③正確.④當(dāng)0<x<1時(shí),二次函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值,∴ax2+bx+1>kx+1,∴ax+b>k.結(jié)論④正確.綜上所述,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是4個(gè).命題角度5:二次函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用【示范題5】(2017·陜西中考)已知拋物線y=x2-2mx-4(m>0)的頂點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為M′,點(diǎn)M′在這條拋物線上,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

)A.(1,-5)

B.(3,-13)C.(2,-8) D.(4,-20)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù),來求點(diǎn)M的坐標(biāo).【自主解答】選C.拋物線y=x2-2mx-4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(m,-m2-4),M關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為M′(-m,m2+4),將點(diǎn)M′的坐標(biāo)代入y=x2-2mx-4得,m=±2,由于m>0,所以m=2.所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,-8).命題角度6:二次函數(shù)的最值【示范題6】(2017·眉山中考)若一次函數(shù)y=(a+1)x+a的圖象過第一、三、四象限,則二次函數(shù)y=ax2-ax

(

)A.有最大值 B.有最大值-C.有最小值 D.有最小值-

【思路點(diǎn)撥】先由一次函數(shù)y=(a+1)x+a的圖象過第一、三、四象限,確定a的取值范圍,再用配方法確定二次函數(shù)的最值.【自主解答】選B.因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y=(a+1)x+a的圖象過第一、三、四象限,所以因此-1<a<0,而y=ax2-ax=所以二次函數(shù)有最大值-【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】系數(shù)a,b,c與二次函數(shù)的圖象的關(guān)系(1)a決定開口方向及開口大小:①當(dāng)a>0時(shí)開口向上,當(dāng)a<0時(shí)開口向下.②|a|越大,拋物線的開口越小.(2)b和a共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置:由于拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x=-故:①b=0時(shí),對(duì)稱軸為y軸.②>0(即a,b同號(hào))時(shí),對(duì)稱軸在y軸左側(cè).③<0(即a,b異號(hào))時(shí),對(duì)稱軸在y軸右側(cè).(3)c的大小決定拋物線y=ax2+bx+c與y軸交點(diǎn)的位置:當(dāng)x=0時(shí),y=c,∴拋物線y=ax2+bx+c與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0,c):①c=0,拋物線經(jīng)過原點(diǎn).②c>0,拋物線與y軸交于正半軸.③c<0,拋物線與y軸交于負(fù)半軸.【變式訓(xùn)練】1.(2017·貴港中考)將如圖所示的拋物線向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到的拋物線解析式是(

)A.y=(x-1)2+1 B.y=(x+1)2+1C.y=2(x-1)2+1 D.y=2(x+1)2+1【解析】選C.由題干圖,得y=2x2-2,由平移規(guī)律,得y=2(x-1)2+1.2.(2017·日照中考)已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=2,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),其部分圖象如圖所示,下列結(jié)論:①拋物線過原點(diǎn);②4a+b+c=0;③a-b+c<0;④拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,b);⑤當(dāng)x<2時(shí),y隨x增大而增大.其中結(jié)論正確的是(

)A.①②③ B.③④⑤C.①②④ D.①④⑤【解析】選C.①∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=2,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),∴拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),結(jié)論①正確;②∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=2,且拋物線過原點(diǎn),∴-=2,c=0,∴b=-4a,c=0,∴4a+b+c=0,結(jié)論②正確;③∵當(dāng)x=-1和x=5時(shí),y值相同,且均為正,∴a-b+c>0,結(jié)論③錯(cuò)誤;④當(dāng)x=2時(shí),y=ax2+bx+c=4a+2b+c=(4a+b+c)+b=b,∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,b),結(jié)論④正確;⑤觀察函數(shù)圖象可知:當(dāng)x<2時(shí),y隨x增大而減小,結(jié)論⑤錯(cuò)誤.綜上所述,正確的結(jié)論有:①②④.3.(2017·淄博中考)將二次函數(shù)y=x2+2x-1的圖象沿x軸向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的函數(shù)表達(dá)式是(

)A.y=(x+3)2-2 B.y=(x+3)2+2C.y=(x-1)2+2 D.y=(x-1)2-2【解析】選D.y=x2+2x-1=(x+1)2-2,圖象沿x軸向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后,y=(x-2+1)2-2=(x-1)2-2.4.(2017·株洲中考)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè),其圖象與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)C(x2,0),且與y軸交于點(diǎn)B(0,-2),小強(qiáng)得到以下結(jié)論:①0<a<2;②-1<b<0;③c=-1;④當(dāng)|a|=|b|時(shí),x2>-1.以上結(jié)論中,正確的序號(hào)是________.【解析】分別將點(diǎn)A,B的坐標(biāo)代入到y(tǒng)=ax2+bx+c得,c=-2,a-b-2=0,∵拋物線開口向上,∴a>0.∵對(duì)稱軸在y軸的右側(cè),∴b<0.①∵a>0,b<0,a-b-2=0,∴0<a<2;②a>0,b<0,a-b-2=0,∴-2<b<0;③c=-2;④∵a-b=2,∴a≠b,∴a=-b時(shí),則a=1,b=-1,∴拋物線的解析式為y=x2-x-2,解方程x2-x-2=0得x1=-1,x2=2,而2>-1.綜上所述,正確結(jié)論的序號(hào)是①④.答案:①④考點(diǎn)二確定二次函數(shù)的解析式【示范題7】(2017·百色中考)經(jīng)過A(4,0),B(-2,0),C(0,3)三點(diǎn)的拋物線解析式是________.【自主解答】設(shè)拋物線解析式為y=a(x-4)(x+2),把C(0,3)代入上式得3=a(0-4)(0+2),解得a=-,故y=-(x-4)(x+2).答案:y=-(x-4)(x+2)【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】二次函數(shù)的三種解析式(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0).(2)頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)為頂點(diǎn)坐標(biāo).(3)交點(diǎn)式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中(x1,0),(x2,0)為拋物線與x軸的交點(diǎn).一般已知三點(diǎn)坐標(biāo)用一般式;已知頂點(diǎn)及另一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)用頂點(diǎn)式;已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)及另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)用交點(diǎn)式.【變式訓(xùn)練】1.(2016·蘭州中考)二次函數(shù)y=x2-2x+4化為y=a(x-h)2+k的形式,下列正確的是(

)A.y=(x-1)2+2 B.y=(x-1)2+3C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-2)2+4【解析】選B.y=x2-2x+4配方,得y=(x-1)2+3.2.(2016·臨沂中考)二次函數(shù)y=ax2+bx+c,自變量x與函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值如表:x…-5-4-3-2-10…y…40-2-204…下列說法正確的是(

)A.拋物線的開口向下B.當(dāng)x>-3時(shí),y隨x的增大而增大C.二次函數(shù)的最小值是-2D.拋物線的對(duì)稱軸是x=-

【解析】選D.將點(diǎn)(-4,0),(-1,0),(0,4)代入到二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,

∴二次函數(shù)的解析式為y=x2+5x+4.A、a=1>0,拋物線開口向上,A不正確;B、,當(dāng)x≥-時(shí),y隨x的增大而增大,B不正確;C、y=x2+5x+4=,二次函數(shù)的最小值是-,C不正確;D、,拋物線的對(duì)稱軸是x=-,D正確.考點(diǎn)三二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系【示范題8】(2017·咸寧中考)如圖,直線y=mx+n與拋物線y=ax2+bx+c交于A(-1,p),B(4,q)兩點(diǎn),則關(guān)于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是______________.【思路點(diǎn)撥】觀察兩函數(shù)的圖象的上下位置關(guān)系,便可得出結(jié)論.【自主解答】利用數(shù)形結(jié)合思想,關(guān)于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集就是直線y=mx+n在拋物線y=ax2+bx+c上方所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合,即x<-1或x>4.答案:x<-1或x>4【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】二次函數(shù)與方程或不等式的關(guān)系(1)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系①二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),則兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是相應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)解.②二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)由相應(yīng)的一元