2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性課后習(xí)題第七章培優(yōu)課離散型隨機(jī)變量的均值與方差的綜合應(yīng)用

培優(yōu)課——離散型隨機(jī)變量的均值與方差的綜合應(yīng)用A級必備知識基礎(chǔ)練1.已知隨機(jī)變量ξi滿足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1pi,i=1,2.若0<p1<p2<12,則(A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)2.甲、乙兩臺自動車床生產(chǎn)同種標(biāo)準(zhǔn)的零件,X表示甲車床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù),Y表示乙車床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù),經(jīng)過一段時間的考察,X,Y的分布列分別為X0123P0.70.10.10.1Y012P0.50.30.2據(jù)此判定()A.甲生產(chǎn)的零件質(zhì)量比乙生產(chǎn)的零件質(zhì)量好B.乙生產(chǎn)的零件質(zhì)量比甲生產(chǎn)的零件質(zhì)量好C.甲生產(chǎn)的零件質(zhì)量與乙生產(chǎn)的零件質(zhì)量一樣D.無法判定3.已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=13,k=3,6,9,則D(X)等于(A.6 B.9 C.3 D.44.(2022重慶九龍坡月考)學(xué)校要從10名候選人中選2名同學(xué)組成學(xué)生會,其中高二(1)班有4名候選人,假設(shè)每名候選人都有相同的機(jī)會被選到,若X表示選到高二(1)班的候選人的人數(shù),則E(X)=()A.34 B.89 C.385.小芳用肢體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學(xué).若小組內(nèi)同學(xué)甲猜對成語的概率是0.4,同學(xué)乙猜對成語的概率是0.5,且規(guī)定猜對得1分,猜不對得0分,則這兩個同學(xué)各猜1次,得分之和X(單位:分)的均值為()A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.16.同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,至少有一個3點(diǎn)或6點(diǎn)出現(xiàn)時,就說這次試驗成功,則在9次試驗中,成功次數(shù)X的均值是.

7.若隨機(jī)事件A在1次試驗中發(fā)生的概率為p(0<p<1),用隨機(jī)變量X表示A在1次試驗中發(fā)生的次數(shù),則方差D(X)的最大值為.

8.某陶瓷廠準(zhǔn)備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品,制作過程必須先后經(jīng)過兩次燒制,當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M(jìn)入第二次燒制,兩次燒制過程相互獨(dú)立.根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平,經(jīng)過第一次燒制后,甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.5,0.6,0.4.經(jīng)過第二次燒制后,甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.6,0.5,0.75.(1)求第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率;(2)經(jīng)過前后兩次燒制后,合格工藝品的個數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的均值與方差.B級關(guān)鍵能力提升練9.某城市有甲、乙、丙3個旅游景點(diǎn),一位客人游覽這三個景點(diǎn)的概率分別是0.4,0.5,0.6,且此人是否游覽哪個景點(diǎn)互不影響,設(shè)X表示客人離開該城市時游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對值,則E(X)等于()A.1.48 B.0.76 C.0.24 D.110.隨機(jī)變量X的分布列如下.X123P1xy若E(X)=158,則D(X)等于(A.732 B.932 C.336411.若隨機(jī)變量X滿足P{X=m}=m1+2+…+N(m=1,2,…,N),N為正整數(shù),則當(dāng)N>100時,EA.0 B.13 C.23 D12.已知在10件產(chǎn)品中可能存在次品,從中抽取2件檢查,其次品數(shù)為ξ,已知P(ξ=1)=1645且該產(chǎn)品的次品率不超過40%,則這10件產(chǎn)品的次品率為(A.10% B.20% C.30% D.40%13.已知離散型隨機(jī)變量ξ的可能值為1,0,1,且E(ξ)=0.1,D(ξ)=0.89,則對應(yīng)的概率P1(X=1),P2(X=0),P3(X=1)分別為、、.

14.一個籃球運(yùn)動員投籃一次得3分的概率為a,得2分的概率為b,不得分的概率為c(a,b,c∈(0,1)),已知他投籃一次得分的均值為1(不計其他得分情況),則ab的最大值為.

15.某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物.根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗,一株該種作物的年收獲量Y(單位:kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示.X1234Y51484542這里,兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米.(1)從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物,求它們恰好“相近”的概率;(2)從所種作物中隨機(jī)選取一株,求它的年收獲量的分布列與均值.16.本著健康低碳的生活理念,租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車時間不超過兩小時免費(fèi),超過兩小時的部分,每小時收費(fèi)2元(不足1小時的部分按1小時計算).有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該租車點(diǎn)租車騎游(各租一車一次).設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為14,12;兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為(1)求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率;(2)設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量X,求X的分布列及均值.C級學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練17.(2022北京豐臺一模)為研究某地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生畢業(yè)三個月后的畢業(yè)去向,某調(diào)查公司從該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機(jī)選取了1000人作為樣本進(jìn)行調(diào)查,結(jié)果如下:畢業(yè)去向繼續(xù)學(xué)習(xí)深造單位就業(yè)自主創(chuàng)業(yè)自由職業(yè)慢就業(yè)人數(shù)2005601412898假設(shè)該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生選擇的畢業(yè)去向相互獨(dú)立.(1)若該地區(qū)一所高校2021屆大學(xué)畢業(yè)生的人數(shù)為2500,試根據(jù)樣本估計該校2021屆大學(xué)畢業(yè)生選擇“單位就業(yè)”的人數(shù);(2)從該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機(jī)選取3人,記隨機(jī)變量X為這3人中選擇“繼續(xù)學(xué)習(xí)深造”的人數(shù),以樣本的頻率估計概率,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X);(3)該公司在半年后對樣本中的畢業(yè)生進(jìn)行再調(diào)查,發(fā)現(xiàn)僅有選擇“慢就業(yè)”的畢業(yè)生中的a(0<a<98)人選擇了如表中其他的畢業(yè)去向,記此時表中五種畢業(yè)去向?qū)?yīng)人數(shù)的方差為s2.當(dāng)a為何值時,s2最小.(結(jié)論不要求證明)培優(yōu)課——離散型隨機(jī)變量的均值與方差的綜合應(yīng)用1.A由題意可知ξi(i=1,2)服從兩點(diǎn)分布,∴E(ξ1)=p1,E(ξ2)=p2,D(ξ1)=p1(1p1),D(ξ2)=p2(1p2),又0<p1<p2<12,∴E(ξ1)<E(ξ2),把方差看作函數(shù)y=x(1x),函數(shù)在區(qū)間0,12上單調(diào)遞增,故由題意可知,D(ξ1)<D(ξ2).故選A.2.AE(X)=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,E(Y)=0×0.5+1×0.3+2×0.2=0.7.顯然E(X)<E(Y),由均值的意義知,甲生產(chǎn)的零件質(zhì)量比乙生產(chǎn)的零件質(zhì)量好.3.AE(X)=3×13+6×13+9D(X)=(36)2×13+(66)2×13+(96)24.DX的可能取值有0,1,2,且P(X=0)=C62C102=13,P(X=1)=CX的分布列如下:X012P182E(X)=0×13+1×85.A由題意得X=0,1,2,則P(X=0)=0.6×0.5=0.3,P(X=1)=0.4×0.5+0.6×0.5=0.5,P(X=2)=0.4×0.5=0.2,故E(X)=1×0.5+2×0.2=0.9.6.5由已知,同時拋擲兩枚骰子一次,至少有一個3點(diǎn)或6點(diǎn)出現(xiàn)時的概率為20369次試驗相當(dāng)于9次獨(dú)立重復(fù)試驗,則成功次數(shù)X服從二項分布,即X~B9故E(X)=9×59=7.14隨機(jī)變量X的所有可能的取值是0,1,并且P(X=1)=p,P(X=0)=1從而E(X)=0×(1p)+1×p=p.D(X)=(0p)2×(1p)+(1p)2·p=pp2=-因為0<p<1,所以當(dāng)p=12時,D(X)取最大值,最大值是8.解分別記甲、乙、丙經(jīng)第一次燒制后合格為事件A1,A2,A3.(1)設(shè)E表示第一次燒制后恰好有一件合格,則P(E)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×(2)因為每件工藝品經(jīng)過兩次燒制后合格的概率均為p=0.3,所以ξ~B(3,0.3).所以E(ξ)=np=3×0.3=0.9,D(ξ)=np(1p)=3×0.3×0.7=0.63.9.AX的分布列為X13P0.760.24E(X)=1×0.76+3×0.24=1.48.10.D由1所以D(X)=11582×12+21582×18+3158211.C由題意可知,E(X)=∑m=1NmP{X=m}顯然,當(dāng)N>100時,E(X12.B設(shè)10件產(chǎn)品中存在n件次品,從中抽取2件,其次品數(shù)為ξ,由P(ξ=1)=1645,得Cn1C10-n1C102=1645,化簡得n210n+16=0,解得n=2或n=8.又該產(chǎn)品的次品率不超過40%,13.0.40.10.5ξ的分布列為ξ101PP1P2P3E(ξ)=P1+P3=0.1,D(ξ)=(10.1)2P1+(00.1)2P2+(10.1)2P3=0.89.即1.21P1+0.01P2+0.81P3=0.89,即121P1+P2+81P3=89.又P1+P2+P3=1,∴解得P14.124由已知可得3a+2b+0×即3a+2b=1,故ab=16·3a·2當(dāng)且僅當(dāng)3a=2b=12時取等號,即ab的最大值為15.解(1)所種作物總株數(shù)N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為3,邊界上的作物株數(shù)為12.從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株的不同結(jié)果有C31C121=36(種),選取的兩株作物恰好“相近”的不同結(jié)果有3+3+2=8(種).故從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物,它們恰好(2)先求從所種作物中隨機(jī)選取一株作物的年收獲量Y的分布列.因為P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2),P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4),所以只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可.記nk為其“相近”作物恰有k株的作物株數(shù)(k=1,2,3,4),則n1=2,n2=4,n3=6,n4=3.由P(X=k)=nkN得P(X=1)=P(X=2)=415,P(X=3)=6P(X=4)=3故所求的分布列為Y51484542P2421E(Y)=51×215+48×415+45×2516.解(1)由題意得,甲、乙在三小時以上且不超過四小時還車的概率分別為14,1則P(A)=1故甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率為5(2)X的可能取值為0,2,4,6,8.P(X=0)=14P(X=2)=14P(X=4)=12P(X=6)=12P(X=8)=1∴甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和X的分布列為X02468P15531∴E(X)=0×18+2×516+4×51617.解(1)由題意得,該校2021屆大學(xué)畢業(yè)生選擇“單位就業(yè)”的人數(shù)為2500