專題33 垂徑切線圖問題（解析版）-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)經(jīng)典問題專題訓(xùn)練

專題33垂徑切線圖問題【規(guī)律總結(jié)】【典例分析】例1．（2020·寧波市曙光中學(xué)九年級月考）如圖，在菱形中，的延長線交以為圓心，的長為半徑的于點．于點．若，則的長為（）．A． B．4 C． D．【答案】B【分析】過點作于，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，即可得出DH，根據(jù)垂定定理即可得出答案．【詳解】過點作于，∵，∴，，，∵四邊形是菱形，∴，，∴，∵，，∴，在和中，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故選B．【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，垂徑定理以及菱形的性質(zhì)，得出和全等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2019·金昌市第五中學(xué)九年級一模）如圖，兩個同心圓，大圓的弦AB切小圓于點C，且AB＝10，則圖中陰影部分面積為_____．【答案】【分析】如圖（見解析），先根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得，再根據(jù)垂徑定理可得，然后利用勾股定理可得，最后根據(jù)陰影部分面積等于大圓面積減去小圓面積即可得．【詳解】如圖，連接OA、OC，由圓的切線的性質(zhì)得：，由垂徑定理得：，在中，，則圖中陰影部分面積為，故答案為：．【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、垂徑定理等知識點，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．例3．（2020·湖北黃石市·九年級期末）如圖，是半圓的直徑，點是半圓上一點，點是的中點，于點，過點的切線交的延長線于點，連接，分別交、于點、，連接．（1）求證：；（2）求證：是線段的中點；（3）連接，若，，求的半徑和的長．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）,【分析】（1）連接OD，根據(jù)是半圓的直徑，點是半圓上一點，推導(dǎo)得；結(jié)合DG是圓的過點的切線，得；根據(jù)，推導(dǎo)得，從而得到，即可完成證明；（2）連接OC，OC交AD于點Q；根據(jù)點是的中點，得；通過證明得，從而得；結(jié)合，推導(dǎo)得，即可完成證明；（3）連接，點是的中點得AC，根據(jù)是半圓的直徑，結(jié)合勾股定理計算的AB；再通過直角三角形面積計算公式，即可得CE．【詳解】（1）連接OD∵是半圓的直徑，點是半圓上一點，∴∴∵DG是圓的過點的切線∴∴∴∵∴∴，即∵∴∴∴；（2）連接OC，OC交AD于點Q∵點是的中點∴∴∵∴∵∴即∴∴，即∴又∵點是的中點∴，即∵∴，∴∴∴，即是線段的中點；（3）連接∵點是的中點，∴∵是半圓的直徑∴∴∴，即的半徑為又∵∴∴．【點睛】本題考查了圓、等腰三角形、直角三角形、全等三角形、勾股定理的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角、圓的切線、垂徑定理、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，從而完成求解．【好題演練】一、單選題1．（2020·山東菏澤市·九年級二模）如圖，是圓的直徑，，是圓上的點，且，分別與，相交于點，，則下列結(jié)論：①；②平分；③；④≌，其中一定成立的是（）A．②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】①由直徑所對圓周角是直角，再由可知①正確；②根據(jù)垂徑定理問題可解；③由中位線定理課證明③正確；④根據(jù)題意全等三角形條件不足，故可知④不正確；【詳解】解：由是圓的直徑可知，，故，則①正確；∵，∴，由垂徑定理可知，則，故平分則②正確；由垂徑定理可知，F(xiàn)為AD中點，O為AB中點，則有，故③正確；∵△CEF和△BED中，沒有相等的邊，∴△CEF與△BED不全等，故④不正確；故應(yīng)選：C【點睛】本題主要考查圓周角定理及垂徑定理、平行線的性質(zhì)，掌握圓中有關(guān)的線段、角相等的定理是解題的關(guān)鍵，特別注意垂徑定理的應(yīng)用．2．（2020·合肥市第四十六中學(xué)九年級三模）如圖，已知半徑為2的⊙O與直線l相切于點A，點P是直徑AB左側(cè)半圓上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為C，PC與⊙O交于點D，連接PA、PB，設(shè)PC的長為x（2＜x＜4），則PD?CD的最大值是（）．A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【分析】過點O向BC作垂線OH，垂足為H，由垂徑定理得到H為PD的中點，設(shè)PC=x，根據(jù)CD=PC-PD，進而求出PD·CD，整理后得到關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出所求式子的最大值及此時x的取值．【詳解】過點O向BC作垂線OH，垂足為H，∵PD是⊙O的弦，OH⊥PD，∴PH=HD.∵∠CHO=∠HCA=∠OAC=90°，∴四邊形OACH為矩形，∴CH=OA=2，∵PC=x，∴PH=HD=PC-CH=x-2，∴CD=PC-PD=x-2(x-2)=4-x，∴PD·CD=2(x-2)(4-x)=-2x2+12x-16=-2(x-3)2+2，∵2＜x＜4，∴當x=3時，PD·CD的值最大，最大值是2，故選：A．【點睛】本題主要考查了垂徑定理、矩形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，作OH⊥BC，利用垂徑定理求解是解答的關(guān)鍵．二、填空題3．（2020·廣東深圳市·九年級月考）如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點，過點B的直線與拋物線交于點C（點C在x軸上方），過ABC三點的⊙M滿足∠MBC=45°，則點C的坐標為_________．【答案】（5，3）【分析】作軸，軸，，垂足分別為D、E、F，連接DF，求出CF=BD=1，，求出CE=x-2，再由點C在拋物線上，設(shè)C，可得方程，求解方程即可．【詳解】作軸，軸，，垂足分別為D、E、F，連接DF，則中，，，設(shè)點C的坐標為對于，令y=0，則，解得，，∵MD⊥AB,∴BD=1，，，解得，（舍去），，故答案為（5，3）．【點睛】此題主要考查了圓的基本性質(zhì)和拋物線上點的坐標特征，熟練掌握拋物線的圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．4．（2015·山西九年級專題練習(xí)）如圖，已知為的直徑，，和是圓的兩條切線，、為切點，過圓上一點作的切線，分別交、于點、，連結(jié)、，若，則=______.【答案】【分析】連接OM，OC，由OB=OC，且∠ABC的度數(shù)求出∠BCO的度數(shù)，利用外角性質(zhì)求出∠AOC度數(shù)，利用切線長定理得到MA=MC，利用HL得到三角形AOM與三角形COM全等，利用全等三角形對應(yīng)角相等得到OM為角平分線，求出∠AOM為30°，在直角三角形AOM中，利用銳角三角函數(shù)定義即可求出AM的長．【詳解】連接OM，OC，

∵OB=OC，且∠ABC=30°，

∴∠BCO=∠ABC=30°，

∵∠AOC為△BOC的外角，

∴∠AOC=2∠ABC=60°，

∵MA，MC分別為圓O的切線，

∴MA=MC，且∠MAO=∠MCO=90°，

在Rt△AOM和Rt△COM中，

，

∴Rt△AOM≌Rt△COM（HL），

∴∠AOM=∠COM=∠AOC=30°，

在Rt△AOM中，OA=AB=1，∠AOM=30°，

∴tan30°=，即，

解得：AM=．故答案為【點睛】此題考查了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，外角性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．三、解答題5．（2020·安徽蕪湖市·九年級月考）如圖，是的直徑，是的中點，過點作交于點，，交的延長線于點．（1）______．（2）求證：是的切線．（3）點在上，，交于點．若，求的長．【答案】（1）30°；（2）見解析；（3）【分析】（1）連接OD、AD，推出△OAD為等邊三角形，則∠AOD=60°，即可得出結(jié)論；（2）由（1）繼續(xù)推出∠EDC=60°，∠ODC=30°，則∠ODE=90°，即可證明與相切；（3）先由題確定△MDN為等腰直角三角形，結(jié)合前面問題的推導(dǎo)，可得出MD，從而得出MN，再求解出圓的直徑，即可解出BN．【詳解】（1）連接OD、AD，則OA=OD，由OA與CD互相垂直平分，得：OD=AD，則OD=AD=OA，△OAD為等邊三角形，則∠AOD=60°，根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，可得：∠ACD=∠AOD=30°，∠ECD=30°；（2）∵DE⊥CA，且∠ECD=30°，∴∠EDC=90°-30°=60°，由（1）可知，△OAD為等邊三角形，∠ADO=60°，由CD與OA垂直平分，得：∠ADC=∠ODC=30°，∴∠ODE=∠ODC+∠EDC=30°+60°=90°，即：OD⊥ED，且OD為半徑，∴DE是的切線；（3）由（1）可知，CD=2DE=6，MD=3，∵，∴△MDN為等腰直角三角形，則MN=MD=3，又∵∠ODM=30°，∴，則MB=，∴BN=BM-MN=．【點睛】本題考查圓周角定理，圓的切線的判定，即等腰三角形的判定與性質(zhì)等，熟練理解圓中相關(guān)的公式定理，靈活添加輔助線是解題關(guān)鍵．6．（2020·云南昆明市·）如圖，是的直徑，點是上一點，和過點的切線互相垂直，垂足為點，直線與的延長線相交于點．弦平分，交直徑于點，連接．（1）求證：平分；（2）探究線段，之間的大小關(guān)系，并加以證明；（3）若，，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析；（3）【分析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)可得OC⊥CD，則AD∥OC，根據(jù)等邊對等角，以及平行線的性質(zhì)即可證得；（2）根據(jù)圓周角定理以及三角形的外角的性質(zhì)定理證明∠PFC=∠PCF，根據(jù)等角對等邊即可證得；（3）證明△PCB∽△PAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得PB與PC的比值，在直角△POC中利用勾股定理即可列方程求解．【詳解】解：（1）連接OC．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∵PC是⊙O的切線，AD⊥CD，∴∠OCP=∠D=90°，∴OC∥AD．∴∠CAD=∠OCA=∠OAC．即AC平分∠DAB．（2）PC=PF．證明：∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴∠PCB+∠ACD=90°又∵∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAB=∠CAD=∠PCB．又∵∠ACE=∠BCE，∠PFC=∠CAB+∠ACE，∠PCF=∠PCB+∠BCE．∴∠PFC=∠PCF．∴PC=PF．（3）連接AE．∵∠ACE=∠BCE，∴，∴AE=BE．又∵AB是直徑，∴∠AEB=90°．AB