第二篇　高考數(shù)學（文）二輪高效復習分層設計(攻關篇)

二輪高效復習分層設計

（攻關篇）

M

I

C

R

O

兩大層級分層設計?巧通關

兩大層級設計，分層布局，有輕有重，

整合主干知識，歸納熱點題型，

明確復習重點，以高度凝練的方式和

簡便靈活的方法，

提供更加權(quán)威、更加準確、更加實用的

備考內(nèi)容。

弟一

-4+H

M-I-C-R-0

二輪高效復牙分層設計

（攻關篇）

第一層級基礎送分考點（自測自檢——練后講評）

［編排設計］

專項1集合與常用邏輯用語

專項2平面向量、復數(shù)

專項3不等式、合情推理、算法初步

這些考點在高考考查中較為簡單，題型多為選擇、填空題，

屬送分題型。通過一輪復習，大多數(shù)考生已能熟練掌握。為節(jié)省

寶貴的二輪復習時間，本部分以練代講，以練促學。在練中抓牢

基礎題型，在練中提升解題速度和準確度，確保送分題不失分。

教學建議：學生自學為主，教師適當點評

基礎送分專項1集合與常用邏輯用語

命I題I分I析

高考對本部分內(nèi)容的考查主要是集合間的基本關系和運算、

充分條件與必要條件、含有量詞的命題的真假判斷以及含有一個

量詞的命題的否定，多數(shù)與函數(shù)、不等式、復數(shù)等知識相結(jié)合，

難度一般，屬于送分題，故復習時不必做過多的探究，只要掌握

以下知識點，就能保證不失分，得滿分。

學生白學老師點撥八A生紅通一

考點一集合及其運算

1.已知集合A={%*—3x—4<0},8={-4,1,3,5},則AA5

=()

A.{-4,1}B.{1,5}

C.{3,5}D.{1,3}

解析解法一：由"一3%—4<0,得一14<4,即集合A={%|

-l<x<4},又集合3={-4,1,3,5},所以AG3={1,3}。故選D。

解法二：因為(一4)2—3義(-4)一4>0,所以一4&1,故排除A;

由12—3義1一4<0,所以1￡A,則故排除C;由3z

-3X3-4<0,所以3￡A,則3￡(AG8),故排除B。故選D。

解法三：觀察集合A與集合8,發(fā)現(xiàn)3￡A,故3￡(AG8),

所以排除A和B,又52—3乂5—4>0,所以5弘，54(403),排

除C。故選D。

答案D

2.已知集合人={%|因<3,X￡2},3={%網(wǎng)>1,%￡2},則4門3

=()

A.0B.{-3,-2,2,3}

C.{-2,0,2}D.{-2,2}

解析解法一：因為A={%||%|<3,XGZ}={JV|-3<X<3,%￡

Z}={—2,—1,0,1,2},%￡Z}=或％<—1,x

GZ},所以An3={-2,2}。故選D。

解法二：A0B={x|l<|x|<3,%￡Z}={%|—3<x<—1或l<x<3,

%￡Z}={-2,2}。

答案D

3.(2020?全國川卷)已知集合A={(%,y)\x,y￡N*,y^x},

8={(%,y)\x+y=S},則AAB中元素的個數(shù)為()

A.2B.3

C.4D.6

解析由題意得，AnB={(l,7),(2,6),(3,5),(4,4)},所以

AAB中元素的個數(shù)為4。故選C。

答案C

4.已知集合A={(%,y)\y=x+1,%￡R},集合3={(%,y)\y

=x2,%￡R},則集合AGB的子集個數(shù)為()

A.1B.2

C.3D.4

解析因為直線y=%+l與拋物線的圖象有2個交點，

故AA3的子集有4個。

答案D

5.已知集合A={-1,2},3={%|以=1},若3GA,則由實

數(shù)。的所有可能取值組成的集合為()

A.<1,B1-1,

C.0,1,YD；—1,0,

解析由題意可知，若B為空集，則方程ax=l無解，可得

a=0;若8不為空集，則aWO,由a%=l解得％=1，所以:=一

1或;=2,解得a=—1或Q=T。綜上，由實數(shù)a的所有可能取

值組成的集合為1,0,2>o故選D。

答案D

6.已知集合4={1,2},集合8={0,2},設集合C={z|z=^,

X￡A,y^B},則下列結(jié)論中正確的是()

A.Anc=0B.AUC=C

C.BCC=BD.AUB=C

解析由題設可知C={0,2,4},則3GC,故3nc=3。故

選c。

答案c

7.集合N={%|2%2一以一1<0},MJN,則

實數(shù)a的范圍為()

A.(一8,1]B.[1,+8)

C.(0,1)D.(-1,0)

解析本題考查子集的概念、不等式恒成立問題。集合M=

{x|0<x<l},MJN,要使不等式2%2一以一1<0在工￡(0,1)時恒成

(n1

立，則a>2x—~max,函數(shù)y=2%—：在(0,1)上單調(diào)遞增，所以“21。

故選B。

答案B

練后悟通

活用集合運算中的常用方法

（1）數(shù)軸法：若已知的集合是不等式的解集，用數(shù)軸法求解。

（2）圖象法：若已知的集合是點集，用圖象法求解。

（3）Venn圖法：若已知的集合是抽象集合，用Venn圖法求解。

提醒：（1）在化簡集合時易忽視元素的特定范圍（如集合中工

￡N,%￡Z等）致誤。

（2）在解決含參數(shù)的集合問題時，要注意檢驗集合中元素的互

異性，否則很可能會因為不滿足“互異性”而導致解題錯誤。

考點二常用邏輯用語

37

1.（2020.沈陽市質(zhì)量監(jiān)測）命題p：Vxe（0,+8）,x，Wx,

則㈱.為（）

]_]_

35

A.3（0,+8）,x（）=%o

11

35

B.V%e（o,+°°）,x=x

11

35

C.m沏￡（—8,0）,%o=%0

35

D.VxG（—oo,0）,x=x

解析由全稱命題的否定為特稱命題知，留弟p為三汨）￡（0,

11

3G

+°°）,%（）,=%（）o故選A。

答案A

2.下列命題中，為真命題的是（）

A.3x（）eR,收0

B.VxeR,2W

C.。+8==0的充要條件是，=—1

D.若％,y￡R,且％+y>2,則％,y中至少有一個大于1

解析因為e、>0恒成立，故A錯誤；?。?2,則2"=*,

故B錯誤；當Q+Z>=0時，若8=0,則a=0,此時方無意義，所

以也不可能推出號=-1;當*=-1時，變形得a=-b,所以a

+b=0,故a+Z?=0的充分不必要條件是堂=—1,故C錯誤；假

設%W1且yWl,則X+yW2,這顯然與已知％+y>2矛盾，所以

假設錯誤，所以％,y中至少有一個大于1,故D正確。綜上，

故選D。

答案D

3.（2020?天津高考）設a￡R,則“a>l”是、2>?！钡模ǎ?/p>

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

角星析由/>a得〃>1或Q<0,反之，由Q>1得貝|]“Q>1，，

是、2>a”的充分不必要條件。故選A。

答案A

4.（2020?北京高考）已知a,B^R,貝!J"存在k￡Z使得a=

E+（—1）%”是“sina=sin4”的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

解析若存在Z6Z使得a=br+（—l）%則當k=2n,HGZ

時，a=2mt+0,貝Isina=sin（2〃7r+夕）=sinQ;當左=2〃+1,

Z時，a=（2〃+1）兀一夕，則sina=sin（2〃兀+兀一夕）=sin（兀一夕）=sin/。

若sina=sin或，則。=2〃九+4或。=2〃兀+兀一夕，〃￡Z,即。=%兀

+（—1）區(qū)k￡Z。故選C。

答案C

5.同學們，化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想很重要，比如要證明命

題p：”若則。，我們可以證明命題（）

A.“若oeNr,則a」”

e

B.“若oeR%,則a2”

e

C.“若oeVx,則aW1”

e

D.”若a<A,貝lj

e

解析本題考查四種命題的等價關系。要證明原命題成立，

可轉(zhuǎn)為證明逆否命題成立，所以要證明“若。e則0寸2%”，

可以證明“若。七、4,則eo故選A。

答案A

6.下列說法中錯誤的是（）

A.若pVq為假命題，則p與鄉(xiāng)均為假命題

B.已知向量a=（l,加+1）,b=（m,2）,則%〃是“m

=1”的充分不必要條件

C.命題“若產(chǎn)一3%+2=0,則％=1”的逆否命題是“若

e,貝I"—3%+2/0”

wa

D.命題“V%e（0,+8）,x-lnx>O的否定是3xoe（O,

+°°）,%（）—lnr（）W0”

解析若"V學為假命題，則〃與q均為假命題，所以A正

確；已知向量a=（l,m+1）,）=（租,2）,由0〃力可得/%?+機一2

=0,解得加=1或〃?=-2,所以"a〃b"是=1"的必要不

充分條件，所以B錯誤；命題“若％2—3%+2=0,則％=1”的

逆否命題是“若則%2—3%+2/0”，所以C正確；命題

“V%￡（0,+8）,%—lnr>0”的否定是“三的￡（0,+8）,沏

-InxoWO”所以D正確。故選B。

答案B

7.已知函數(shù)八%）={2"x^a,%*,則“4W0”是

“函數(shù)於）在［0,+8）上單調(diào)遞增”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解析當aW。時，函數(shù)式幻在［0,+8）上的解析式為八%）

=2。易得此時函數(shù)大%）在「0,+8）上單調(diào)遞增，充分性成立；

當a=2時，*%）={2，％22,x2,x<2,易得此時函數(shù)八%）

在［0,+8）上單調(diào)遞增，但不滿足aWO,必要性不成立。綜上

所述，“aWO”是“函數(shù)兀0在［0,+8）上單調(diào)遞增”的充分不

必要條件。故選A。

答案A

8.已知p：|%+1|>2,q：x>a,且么弟p是余弟（7的充分不必要

條件，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.aWlB.aW—3

C.a》一1D.

解析由|%+1|>2,解得％>1或％<—3。因為女弟.是余弟學的充

分不必要條件，所以q是p的充分不必要條件，從而可得（a,+

8）是（一8,—3）U（1,+8）的真子集，所以故選D。

答案D

練后悟通

（1）充分條件與必要條件的三種判定方法

正、反方1可推理，右p=>q,則p是<7的充分條件（或是

定義法p的必要條件）；若p=q,豆qDI=p,則p是夕的充分不

必要條件（或q是p的必要不充分條件）

利用集合間的包含關系，例如p：A,q：B,若AG3,則

集合法p是9的充分條件（9是p的必要條件）；若A=B,則p是

q的充要條件

等價法將命題等價轉(zhuǎn)化為另一個便于判斷真假的命題

（2）全稱命題、特稱（存在性）命題及其否定

①全稱命題p：p（%）,其否定為特稱（存在性）命題:

㈱p：3JC（）eM,㈱p（%（））。

②特稱（存在性）命題.：三沏金〃，〃（沏），其否定為全稱命題:

㈱p：Vx^M,㈱p（%）。

基礎送分專練（一）集合與常用邏輯用語

一、選擇題

1.若全集U=R,集合A=（—8,—1）U（4,+°°）,B=

{劉%|W2},則如圖陰影部分所示的集合為（）

C.{%|l—1}D.{%|—1W%W2}

解析[必={%]一1W%W4},B={x\-2^x^2},記所求陰

影部分所表示的集合為C,則C=([uA)GB={]|—1〈]W2}。故

選D。

答案D

2.設命題夕所有正方形都是平行四邊形，則㈱〃為()

A.所有正方形都不是平行四邊形

B.有的平行四邊形不是正方形

C.有的正方形不是平行四邊形

D.不是正方形的四邊形不是平行四邊形

解析全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題，即“有的正方

形不是平行四邊形”。故選C。

答案c

3.(2020?長沙市模擬考試)已知集合A={x|2i>l},3={%*

—2xW0},則AGB=()

A.]2)B.[1,2]

C.(0,3]D.(1,2]

解析因為所以％>1,所以A={%|%>1}。因為％2—

2%W0,所以0W%W2,所以8={R0WxW2},所以An8=(l,2],

故選D。

答案D

4.已知集合A={1,3"},B={a,b},若則A

UB=()

A.<1,晨B.<—1,g"

C；—1,LD：b,1,

解析由A={1,3"},知，3"=g,故a=-1,又

B={a,b},故人=g,故AU8=<—1,1,故選C。

答案c

5.（2020?山東臨沂期末）“游客甲在煙臺市”是“游客甲在

山東省”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析因為煙臺市是山東省的一個地級市，所以如果甲在煙

臺市，那么甲必在山東省，反之不成立，故“游客甲在煙臺市”

是“游客甲在山東省”的充分不必要條件。故選A。

答案A

6.已知％￡R,則“5“>1”是“一24<一1"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析由日『>1得％<0,所以“一2<x<—1"能推出“%<0”,

反之，不能推出。因此“是“一一的必要不充分

2>1”2<x<1"

條件。故選B。

答案B

7.（2020?廣州市階級訓練）已知集合-={0,1,2,3},B={x\x

=1—1,n^A},P=AHB,則尸的子集共有（）

A.2個B.4個

C.6個D.8個

解析因為3=3%=1—1,nGA}={-l,0,3,8},所以P=

AGB={0,3},所以產(chǎn)的子集共有22=4（個）。故選B。

答案B

8.已知。>1,貝『1og4<log“y”是移”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析因為4>1,所以由log“X<logay,得0<X<y。

—y）,顯然當0<x<y時，j^<xy,所以充分性成立。當％=—1,y

=—2時，j^<xy,而log4%,log“y無意義，故必要性不成立。故

選A。

答案A

9.（2020?貴陽市四校聯(lián)考）給出下列三個命題：

>

①命題p：Vx￡R,siarWl,則㈱p：3x0R,sirLr0l；

②在AA3c中，若sin2A=sin23,則角A與角3相等；③命題：

“若tanx=V5,則尸裂的逆否命題是假命題。

以上正確的命題序號是（）

A.①②③B.①②

C.①③D.②③

解析①中，根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，知㈱p:

三沏￡R,sinx0>l,故①正確；②中，在AABC中，若sin2A=sin2B,

則有2A=23或24+25=兀，所以角A與角3相等或互余，故②

錯誤；③中，因為命題：“若tanx=小,則％=會”是假命題，

所以其逆否命題是假命題，故③正確。綜上所述，正確命題的序

號是①③，故選C。

答案C

10.a,b是單位向量，”（a+32<2”是％,b的夾角為鈍

角”的（）

A.充要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

解析3+b）2=/+2a0+/=2+2o辰2=0辰0,當

時，a,力的夾角為鈍角或平角；當a,b的夾角為鈍角時，ab<0

成立。所以“m+b)2<2”是“G,b的夾角為鈍角”的必要而不

充分條件。故選Co

答案c

11.設函數(shù)?￥)=cos%+bsinxS為常數(shù))，則"6=0”是"於)

為偶函數(shù)”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解析若力=0,則人%)=cos%,所以八%)是偶函數(shù)；若_/(%)

是偶函數(shù)，則cos(—%)+bsin(—%)=cos%+Z?siax對恒成立，

即Asiru=0對]恒成立，所以8=0。綜上，“b=0”是"心)

為偶函數(shù)”的充分必要條件。故選C。

答案C

12.(2020?江西五校協(xié)作體聯(lián)考)已知集合—3%+

2W0},N={%|y=^三},若MAN=M,則實數(shù)a的取值范圍

為()

A.(—8,1]B.(—8,1)

C.(1,+8)D.[1,+8)

解析由題意，得M={%|(%—1)(%—2)WO}={%|1W%W2},N

={x\x^a},由MAN=M得，MQN,所以aWl。故選A。

答案A

二'填空題

13.(2020-浙江七彩陽光聯(lián)盟聯(lián)考)設集合A={%eR|0<x<2},

3={%eR||%|<l},貝i」An3=,([RA)U3=。

解析由8={%￡口|%|<1}可得3={%￡1<|—14<1},故408

={x|0<x<l}o由A={%￡R|0<%<2}得(RA={%￡R|%W0或％22},

故([RA)U3=或％22}。

答案{][0<x<l}{小<1或％22}

14.設集合A={(x,y)\y=x+l,%WR),B={(x,y)\x+y2

=1},則滿足CG(AGB)的集合。的個數(shù)為o

y=x+l,

解析解法一,:解方程組"或

x+y2=l,

x=-1

，'所以Ang={(0,l),(-l,0)},即AG3中有兩個元素，

3=0,

因為CW(AD3),所以集合C的個數(shù)是4。

解法二：在同一坐標系中作出直線y=X+1和圓f+y?=1(圖

略)，由圖可知，直線與圓有兩個交點，即AG3中有兩個元素，

因為CC(Art3),所以集合C的個數(shù)是4。

答案4

15.若命題“3x()￡R,/一%()+a<0”是假命題，則實數(shù)a

的取值范圍是________O

解析因為命題“mxo￡R,看一沏+a<0”是假命題，則命

題“Vx￡R,/—x+a'o”是真命題，則/=l—4aW0,解得

1「I1

心不則買數(shù)a的取值范圍是［不+°°^0

答案「E1，+8))

16.(2020?山東模擬)下列說法不正確的是(填序號)。

①“若％2—5%+6=0,則x=2或X=3”的否定為“若幺一

5%+6W0,貝(JxW2或％W3”；

②“5'>5卜是“山<10”的充要條件；

③“函數(shù)/(x)=log2%—根在(16,+8)上無零點”的充分不

必要條件是“帆<3”。

解析①“若X2—5%+6=0,則％=2或%=3”的否定為“若

f—5%+6=0,則且％73"，故①錯；②由5’得，％<必

［乙)

但％,y正負不確定，不能推出lnj《lny,故②錯；③當％￡(16,

+8)時，/(x)=log2X_772G(4—m,+°°),且犬%)=log2%一根單

調(diào)遞增，若函數(shù)?x)=log2］一機在(16,十8)上無零點，則4—

即MW4,不能推出m<3;但由m<3能推出mW4。故“函

數(shù)八%)=log2%一根在(16,+8)上無零點”的充分不必要條件是

“祖<3”，③正確。故答案為①②。

答案①②

基礎送分專項2平面向量、復數(shù)

命I題I分I析

高考對本部分內(nèi)容的考查主要有以下幾方面：①平面向量的

運算。包括向量的線性運算及幾何意義，坐標運算，利用數(shù)量積

運算解決模、夾角、垂直的問題，常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、

解析幾何等知識進行簡單的結(jié)合；②復數(shù)的運算。包括復數(shù)的概

念、幾何意義及四則運算。以上考點難度不高，屬送分題，只要

掌握基礎知識就能得滿分。

學生白學老師點撥。自主練通?-----------------

考點一平面向量

1.在△ABC中，AO為邊上的中線，石為的中點，則

EB=()

3一[一13

B.^AB—^AC

3-1一[-3一

C.^AB+^AC

解析作出示意圖如圖所示。四=ED+DB=；AQ+；CB=；

1ff1ff3f1f

X^AB+AQ+^AB-AQ=^AB-^AC0故選A。

答案A

2.在△ABC中，點Q在線段3c上，且BD=3QC,若AD=

XAB+^iAC,則'=()

A，2B.O

C.2D.|

—?―?―?―?

解析本題考查平面向量基本定理。因為AD=AB+3Q=AB

3一—3—一1—3———

-\-^BC=AB+^AC~AB)=^AB+^AC,又AB,AC不共線，所以

13)1

彳，〃=彳，所以_=弓。故選

2=4A4ju3Bo

答案B

3.已知平面向量a,8滿足同=|例=1,若(2a—?0=0,則

向量”，》的夾角為()

A.30°B.45°

C.60°D.120°

解析由題意知2a/一y=0,即21al?回cos〈a,b)-\b^=

0,得cos{a,b〉=1,所以向量。與b的夾角為60。。故選Co

答案C

4.(2020?全國II卷)已知單位向量a,。的夾角為60。，則在

下列向量中，與。垂直的是()

A.a~\-2bB.2a~\~b

C.a—2bD.2a—b

解析由題意，得a?Z>=|a||〃|cos6(T=；。對于A,(?+2Z>)Z>

=O-Z>+2Z>2=1+2=|#:0,故A不符合題意；對于B,(2?+Z>)Z>

=2a巧+戶=1+1=2/(),故B不符合題意；對于C,(a—2b)b

[3

=。力-2)2=]—2=一故C不符合題意；對于D,(2a—b)b

=2ab-b2=l-i=0,所以(2a—〃)_Lb。故選D。

答案D

5.(2020?廣州市調(diào)研測試)如圖所示，在3c中，ADLAB,

—?—?

BC=\[^BD,AD=1,則ACAD=()

解析由于AD_LAB,所以△AB。是直角三角形，所以cos

ZADB=^OACAD=(AB+BC\AD=ABAD+BC-AD=y^

\BD\

IAm

BD-AD=yl3\BD\\AD\-cosZADB=yl3\BD\-\AD\-^=yl3-\AD^

\BD\

小。故選A。

答案A

6.(2020?武昌區(qū)調(diào)研考試)在等腰直角三角形45C中，NACB

jr

=5，AC=8C=2,點P是斜邊AB上一點，且BP^2PA,那么

CPCA+CPCB=()

A.—4B.-2

C.2D.4

解析解法一：由已知得|C4|=|CB|=2,CACB=O,AP=；

(C5-CA),所以CPCA+CPCB=(CA+AP)-CA+(CA+AP)CB

—?—?—?—?―?—?—?—?―?—?—?-?

=\CA^+APCA+CA-CB+AP-CB=\CA^+^CB-CA)\CB+CA)

解法二：由已知，建立如圖所示的平面直角坐標系，則C（0,

0),A(2,0),8(0,2),設P(%,y),因為8f=2雨，所以8P=2%,

〃=4

x3,—?-?

所以(X,y—2)=2(2~x,~y),所以＜2所以CPCA+

產(chǎn)，

一一(421J42)

CPCB=\^,wJ.(2,0)+&司.(0,2)=4。故選D。

答案D

7.（2020?河北省九校聯(lián)考）已知兩個不相等的非零向量a,b

滿足|。|=1,且。與）一。的夾角為60。，則俗|的取值范圍是（）

BW；

B12，

D.(1,+8)

解析如圖所示，設。4=a,AB=b~a,則03=及因為。

與b—a的夾角為60°,所以NBAC=60。，則NO43=120。，則5

為射線A。上的動點(不包括點A),又⑷=1,即|。4|=1,所以由

圖可知，|加>1。故選D。

答案D

8.已知向量。=(1,3),)=(—2,—1),c=(l,2),若向量a

+心與向量c共線，則實數(shù)2的值為o

解析因為向量a=(l,3),b=(—2,—1),所以。+b=(1

—2左3—幻，又c=(l,2),向量a+協(xié)與向量c共線，所以2(1-

2幻一(3一幻=0,解得女=一提

套案—-

口木3

-?—>

9.如圖所示，已知為圓C的一條弦，且A8AC=2,則

\AB\=________

解析如圖，過點。作CO_LA3交AB于D,則。為A3的

中點。在RtZ\ADC中，AD=^AB,\AQ-cosZCAB=\AD\=^\AB\,

所以A8AC=|Ag||AC|cosNCAB=，4B2=2,所以|AB|=2。

答案2

10.在四邊形ABCD中，AD//BC,AB=2小,AQ=5,ZA

=30。，點E在線段CB的延長線上，且AE=BE,則夕。/石=

解析如圖，因為石在線段CB的延長線上，所以砧〃A。。

因為ND43=30°,所以NABE=30°。因為AE=BE,所以

ZEAB=30°o又因為AB=25,所以3石=2。因為AQ=5,所

以EB=^AD。所以AE=AB+8E=A5—14O。又因為BO=AO—

AB,所以石=(AO—AB>A5—=ADAB~7AD2-AB2

o22

+|AZ)-AB=^|AJD|-|AB|-cos30-|x5-(2V3)=^X5X2V3X^

。DJJ4

一10—12=21—22=—1。

答案T

練后悟通

(1)掌握解決以平面圖形為載體的向量數(shù)量積問題的方法

①選擇平面圖形中模與夾角確定的向量作為一組基底，用該

基底表示構(gòu)成數(shù)量積的兩個向量，結(jié)合向量數(shù)量積運算律求解。

②若已知圖形中有明顯的適合建立直角坐標系的條件，可建

立直角坐標系將向量數(shù)量積運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算來解決。

(2)特例法妙解圖形中平面向量數(shù)量積問題

解答有關圖形中的平面向量數(shù)量積問題，常采用特例法，如

取直角三角形、矩形，通過建立平面直角坐標系，求得相關點坐

標計算求解。

(3)牢記向量共線問題的4個結(jié)論

①若。與力不共線且癡=油，貝lJ%=〃=0。

-A-A

②直線的向量式參數(shù)方程:三點共線=QP=(1—

-A

+23(0為平面內(nèi)任一點，/eR)o

-A-A-A

③。。(九〃為實數(shù))，若A,B,C三點共線，

則2+〃=1。

④若a=(%i，y),)=(%2，絲)，貝(J。〃〃0%1竺=%2%，當且僅

當x2y2^0時，

應力

考點二復數(shù)

1.若Z=l+2i+i3,則|z|=()

A.0B.1

C.A/2D.2

解析z=1+2i+『=1+2i—i=1+i,所以|z|=、『+]=

也故選C。

答案C

2.若z(l+i)=l—i,則z=()

A.1-iB.l+i

C.-iD.i

1-i(1-i)，

解析因為z(l+i)=l-i,所以z=I-=一

l1+i(l+i)(l—i)

i,所以z=i。故選D。

答案D

z

3.(2020?東北三校聯(lián)考)已知復數(shù)2=。+砥a"￡R),布?是

實數(shù)，那么復數(shù)z的實部與虛部滿足的關系式為()

A.。+力=0B.a~b=0

C.a~2b=0D.a+2b=0

r-,,za-\-b\(?+Z?i)(l—i)

斛析因為z=a+hi(a,Z>GR),丁有=丁不，=不而"二］7

a+/?+(8——a)i

GR,所以力一a=0,即4一匕=0。故選B。

答案B

4.已知z=l-i2019,貝U|z+2i|=()

A.VWB.2^2

C.2D.也

解析由z=l—i2()l9=l+i,得|z+2i|=|l+3i|=y4+32=

VWo故選A。

答案A

5.(2019?全國I卷)設復數(shù)z滿足|z—i|=l,z在復平面內(nèi)對

應的點為(x,y),則()

A.(x+l)2+/=lB.(x-l)2+/=l

C.f+(廠i)2=iD.i)2=i

解析解法一：因為z在復平面內(nèi)對應的點為(%,y),所以

z=%+yi(%,y￡R)。因為|z—i|=l,所以|x+。-l)i|=1,所以％之

+(y-l)2=lo故選C。

解法二：因為|z—i|=l表示復數(shù)Z在復平面內(nèi)對應的點(%,

y)到點(0,1)的距離為1,所以％2+(y—1)2=1。故選C。

解法三：在復平面內(nèi)，點(1,1)所對應的復數(shù)z=l+i滿足|z

-i|=l,但點(1,1)不在選項A,D的圓上，所以排除A,D;在

復平面內(nèi)，點(0,2)所對應的復數(shù)z=2i滿足|z—i|=l,但點(0,2)

不在選項B的圓上，所以排除B。故選C。

答案C

6.(2020?福建省質(zhì)量檢測)復數(shù)z的共粗復數(shù)z滿足(2+i)z

=|3+4i|,則z=

解析解法一,:由(2+i)z=|3+4i|,得z=:工

2+12+1

(2+i)(2-i)==2~1^所以z=2+i。

解法二：設z=a+歷(a,Z>eR),則(2+i)(a—歷)=5,即2"

2a-hb=5,Q=2,

+/?+(?—2Z?)i=5,所以J…八解得，所以z=2+

a—2b=0,出=1,

1O

答案2+i

練后悟通

掌握復數(shù)代數(shù)形式運算的方法

(1)復數(shù)的乘法：復數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將

含有虛數(shù)單位i的看作一類項，不含i的看作另一類項，分別合

并同類項即可。

(2)復數(shù)的除法:除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共輒復

數(shù)，解題時要注意把i的幕寫成最簡形式。復數(shù)的除法類似初中

所學化簡分數(shù)常用的“分母有理化”，其實質(zhì)就是“分母實數(shù)

化”。

基礎送分專練（二）平面向量、復數(shù)

一'選擇題

2_j

1.（2020?新演］考全國卷?山東），不加=（）

A.1B.-1

C.iD.-i

鏟尾短注一一（）（）

2i-2—il—2i-2—2—5i.

斛析解法.1+2i（l+2i）（l-2i）5一1，故

選D。

解法二：利用i2=—1進行替換，則在2—231）-1=

1+211+21

-2i2~i~i（l+2i）.

l+2i~l+2i~i'故、D。

答案D

2.（2020?河北省九校聯(lián)考）已知復數(shù)2=二］；市］（其中i為

虛數(shù)單位），則z在復平面內(nèi)對應的點在（）

A.第一象限B.第三象限

C.直線y=—[5%上D.直線》=?。ド?/p>

_____4__________4(_L4)______4(_1—5i)

解析

-1~hy/3i(-1-hy/3i)(-1-y/3i)4

=—1—y/3i,所以z=—1+小i,則z在復平面內(nèi)對應的點為（一

1,?。?所以z在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，排除A,B;

又（一1,?。M足方程丫=一小X,所以Z在復平面內(nèi)對應的點在

直線y=一?。ド稀９蔬xC。

答案c

3.如圖所示，在△ABC中，AD^AB,BE=，C,則。石=

fff「1——［一］一

解析DE=DB+BE=^AB+^AC-AB)=^AC-^ABO故選

Do

答案D

4.已知a=(—1,3),b=(m,m—4),c=(2根,3),若?！ˋ,

則bc=()

A.-7B.-2

C.5D.8

解析由a〃b,得一1X(徵一4)—3X加=0,解得m=1,所

以)=(1,-3),c=(2,3),故力?c=lX2+(—3)X3=-7。故選

Ao

答案A

5-若r1=m+疝其中如仄R，則〃7f=()

A1412

ATBT

C」14

J5D--y

5—3i(5—3i)(L2i)5—10i—3i—6

解析依題意，得

l+2i(l+2i)(l-2i)5

11311312

g-gi,所以芹z=—亍n=所以機一〃=歹。故選B。

答案B

jI?

6.已知復數(shù)得(a￡R)為純虛數(shù)，貝lja=()

A.2B.-2

C，2D.

(l+ai)(l—2i)(1+2a)+(a—2)i,由題意得號

解析

z=(l+2i)(l—2i)5

a-2i

=0且一g一力0,解得ci=-20故選D。

答案D

7.已知°,方均為單位向量，若|a—2"=小，則向量。與辦

的夾角為()

A7171

A6B.g

R2JC5兀

J3D?不

解析由|°一2"=仍，得(。一2力)2=3,即?2+4Z>2-4AZ>=3O

設單位向量。與方的夾角為仇則有1+4—4cos6=3,解得cos。

171

=20又?！闧0,TI],所以9=1。故選B。

答案B

8.在RtZXABC中，點。為斜邊3C的中點，|AB|=8,\AC\

=6,則ADAB等于()

A.48B.40

C.32D.16

1

解析因為點。為斜邊3C的中點，所以AD=］（A3+A0,

所1

^ADAB=^AB+AC)AB=+^ACAB,又RtAABC中,

AC-i-AB,所以AZ>A3==32。故選C。

答案C

9.（2020?江西五校協(xié)作體聯(lián)考）復數(shù)z滿足（z—2>i=z（i為虛

數(shù)單位），Z為復數(shù)Z的共輒復數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.z?=2iB.z.z=2

C.\z\=2D,z+z=0

解析由題意，得zi—2i=z,z(i—l)=2i,z=Qj=

2i(i+l)_2(i-l)_2

(i-l)(i+l)--2i-i,則z=~2i,z-z=(l-i)(l+i)=2,

憶|=/，z+z=l-i+l+i=2o故選B。

答案B

-?—?―?—?

10.已知平面向量AB,AC的模都為2,(AB,AC)=90°,

若5M=力/7(2#0),貝lbM?(A8+AC)等于()

A.4B.2

C.小D.0

解析取3C的中點為N點，根據(jù)向量加法的平行四邊形法

—?—?—?―?—?—?—?―?—?

則得到A8+AC=2AN,AM-(AB+AQ=2AM-AN,平面向量AB,

—?

AC的模都為2,AN是直角三角形ABC斜邊上的中線，則其長度

-A-?

為也，設向量AM,AN的夾角為6,由向量投影的幾何意義得

—?—?—?—?—?—?—?-?

2

AM-AN=\AM\cos3-|AAq=|AN|=20故AM-(A3+AC)=4。故選A。

答案A

11.(2020?深圳市統(tǒng)一測試)著名數(shù)學家歐拉提出了如下定

理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，且重心到外心

的距離是重心到垂心距離的一半。此直線被稱為三角形的歐拉

線，該定理則被稱為歐拉線定理。設點O,H分別是8c的外

心、垂心，且M為8C的中點，則()

—?―?—?-?

\.AB-\-AC=3HM+3MO

—?—?―?—?

B.AB+AC=3HM-3MO

—?―?—?-?

C.AB-\-AC=2HM+4MO

—?—?—?-?

D.AB+AC=2HM~4MO

—?

解析設G為△ABC的重心，因為M為8c的中點，所以AG

=2GM,所以AM=3GM,因為GO=gHG,所以“G=5HO,因

為HG+GM=HM,HM+MO=HO,所以所以

"2f2ff221

GM=HM-^HO=MO)=HM~^HM~^MO=^HM

~^M0,所以A8+AC=2AM=6GM=6X

(yHM-yMO)=2