雙曲線方程測(cè)試

一．選擇題（共20小題）1．已知雙曲線（a＞0，b＞0）的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為（）A．x±y=0 B． C． D．2x±y=02．已知方程﹣=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是（）A．（﹣1，3） B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，）3．已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線平行于直線l：x+2y+5=0，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，則雙曲線的方程為（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=14．已知雙曲線C的漸近線方程為3x±2y=0，且經(jīng)過點(diǎn)，則該雙曲線的方程為（）A． B．C． D．5．如圖，F(xiàn)1、F2是雙曲線=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與C的左、右2個(gè)分支分別交于點(diǎn)A、B．若△ABF2為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A．4 B． C． D．6．已知F1、F2分別是雙曲線C：﹣=1的左、右焦點(diǎn)，若F2關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰落在以F1為圓心，|OF1|為半徑的圓上，則雙曲線C的離心率為（）A． B．3 C． D．27．直線y=2b與雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左支、右支分別交于B，C兩點(diǎn)，A為右頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠AOC=∠BOC，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．8．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，且，若，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A．B． C． D．9．已知點(diǎn)P是雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）左支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，且PF1⊥PF2，PF2與兩條漸近線相交M，N兩點(diǎn)（如圖），點(diǎn)N恰好平分線段PF2，則雙曲線的離心率是（）A． B． C．2 D．10．設(shè)A1，A2分別為雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的上下頂點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)M使得兩直線斜率k?k＞2，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（）A．（0，） B．（1，） C．（，+∞） D．（1，）

參考答案與試題解析1．（2017?馬鞍山三模）已知雙曲線（a＞0，b＞0）的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為（）A．x±y=0 B． C． D．2x±y=0【分析】根據(jù)題意，得雙曲線的漸近線方程為y=±x．再由雙曲線離心率為2，得到c=2a，由定義知b==a，代入即得此雙曲線的漸近線方程．【解答】解：∵雙曲線的方程是（a＞0，b＞0），∴雙曲線漸近線為y=±x．又∵離心率為e==2，∴c=2a，∴b==a，由此可得雙曲線漸近線為y=±x=±x，即：故答案為：．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題給出雙曲線的離心率，求雙曲線的漸近線方程，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與基本概念，屬于基礎(chǔ)題．2．（2016?新課標(biāo)Ⅰ）已知方程﹣=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是（）A．（﹣1，3） B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，）【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，從而可求n的取值范圍．【解答】解：∵雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，∴c=2，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1表示雙曲線，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范圍是：（﹣1，3）．當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，無解．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了雙曲線方程的應(yīng)用，考查了不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．3．（2016?河北區(qū)一模）已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線平行于直線l：x+2y+5=0，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，則雙曲線的方程為（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【分析】由已知得，由此能求出雙曲線方程．【解答】解：∵雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線平行于直線l：x+2y+5=0，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，∴，解得a=2，b=，∴雙曲線方程為﹣=1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線性質(zhì)的合理運(yùn)用．4．（2016?臨汾一模）已知雙曲線C的漸近線方程為3x±2y=0，且經(jīng)過點(diǎn)，則該雙曲線的方程為（）A． B．C． D．【分析】設(shè)出以3x±2y=0為漸近線的雙曲線方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求得λ，則答案可求．【解答】解：∵雙曲線C的漸近線方程為3x±2y=0，∴設(shè)雙曲線方程為，又雙曲線過點(diǎn)，∴，解得：λ=2，∴雙曲線方程為，即．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以為漸近線的雙曲線方程可設(shè)為，是中檔題．5．（2017?漢中二模）如圖，F(xiàn)1、F2是雙曲線=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與C的左、右2個(gè)分支分別交于點(diǎn)A、B．若△ABF2為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A．4 B． C． D．【分析】利用雙曲線的定義可得可得|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF2|﹣|BF1|=2a，利用等邊三角形的定義可得：|AB|=|AF2|=|BF2|，．在△AF1F2中使用余弦定理可得：=﹣，再利用離心率的計(jì)算公式即可得出．【解答】解：∵△ABF2為等邊三角形，∴|AB|=|AF2|=|BF2|，．由雙曲線的定義可得|AF1|﹣|AF2|=2a，∴|BF1|=2a．又|BF2|﹣|BF1|=2a，∴|BF2|=4a．∴|AF2|=4a，|AF1|=6a．在△AF1F2中，由余弦定理可得：=﹣，∴，化為c2=7a2，∴=．故選B．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握雙曲線的定義、余弦定理、離心率的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．6．（2017?青州市模擬）已知F1、F2分別是雙曲線C：﹣=1的左、右焦點(diǎn)，若F2關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰落在以F1為圓心，|OF1|為半徑的圓上，則雙曲線C的離心率為（）A． B．3 C． D．2【分析】求出F2到漸近線的距離，利用F2關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰落在以F1為圓心，|OF1|為半徑的圓上，可得直角三角形，即可求出雙曲線的離心率．【解答】解：由題意，F(xiàn)1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），一條漸近線方程為，則F2到漸近線的距離為=b．設(shè)F2關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為M，F(xiàn)2M與漸近線交于A，∴|MF2|=2b，A為F2M的中點(diǎn)又0是F1F2的中點(diǎn)，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2為直角，∴△MF1F2為直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查勾股定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．7．（2017?天心區(qū)校級(jí)模擬）直線y=2b與雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左支、右支分別交于B，C兩點(diǎn)，A為右頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠AOC=∠BOC，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【分析】利用條件得出∠AOC=60°，C（b，2b），代入雙曲線﹣=1，可得﹣4=1，b=a，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠AOC=∠BOC，∴∠AOC=60°，∴C（b，2b），代入雙曲線﹣=1，可得﹣4=1，∴b=a，∴c==a，∴e==，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．8．（2017?全國(guó)三模）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，且，若，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【分析】設(shè)|PF1|=x，|PF2|=y，設(shè)∠PF1F2=θ，分析可得y﹣x=2a，tanθ=，根據(jù)條件判斷PF1⊥PF2，由雙曲線的離心率公式可得e2=====1+=1+=1+，令t=tanθ+，分析tanθ的范圍，由對(duì)號(hào)函數(shù)的性質(zhì)分析可得t的范圍，將t的范圍代入其中，計(jì)算可得e2的范圍，化簡(jiǎn)即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)|PF1|=x，|PF2|=y，設(shè)∠PF1F2=θ，則有y﹣x=2a，tanθ=，又由，則有x2+y2=|F1F2|=4c2，e2=====1+=1+=1+，令t=tanθ+，由于θ=，則tanθ∈（2﹣，），則t∈（，4），則有2≤e2≤2+4，則有≤e≤+1，即雙曲線離心率e的取值范圍是[，+1]；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)條件判斷PF1⊥PF2，結(jié)合正弦定理以及轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題．9．（2017?青島三模）已知點(diǎn)P是雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）左支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，且PF1⊥PF2，PF2與兩條漸近線相交M，N兩點(diǎn)（如圖），點(diǎn)N恰好平分線段PF2，則雙曲線的離心率是（）A． B． C．2 D．【分析】在三角形F1F2P中，點(diǎn)N恰好平分線段PF2，點(diǎn)O恰好平分線段F1F2，根據(jù)三角形的中位線定理得出ON∥PF1，從而得到∠PF1F2正切值，可設(shè)PF2=bt．PF1=at，再根據(jù)雙曲線的定義可知|PF2|﹣|PF1|=2a，進(jìn)而根據(jù)勾股定理建立等式求得a和b的關(guān)系，則離心率可得．【解答】解：在三角形F1F2P中，點(diǎn)N恰好平分線段PF2，點(diǎn)O恰好平分線段F1F2，∴ON∥PF1，又ON的斜率為，∴tan∠PF1F2=，在三角形F1F2P中，設(shè)PF2=bt．PF1=at，根據(jù)雙曲線的定義可知|PF2|﹣|PF1|=2a，∴bt﹣at=2a，在直角三角形F1F2P中，|PF2|2+|PF1|2=4c2，∴b2t2+a2t2=4c2，又c2=a2+b2，則t=2a，即b=2a，∴雙曲線的離心率是==，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了學(xué)生對(duì)雙曲線定義和基本知識(shí)的掌握，屬于基礎(chǔ)題．10．（2017?四模擬）設(shè)A1，A2分別為雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的上下頂點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)M使得兩直線斜率k?k＞2，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（）A．（0，） B．（1，） C．（，+∞） D．（1，