云南省楚雄州民族實驗中學2024屆高一數(shù)學第二學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

云南省楚雄州民族實驗中學2024屆高一數(shù)學第二學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．素數(shù)指整數(shù)在一個大于1的自然數(shù)中，除了1和此整數(shù)自身外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)。我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果。哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如。在不超過15的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和小于18的概率是（）A． B． C． D．2．已知等差數(shù)列中，，則公差（）A． B． C．1 D．23．若，則（）A．-1 B． C．-1或 D．或4．已知銳角△ABC的面積為，BC=4，CA=3，則角C的大小為（）A．75° B．60° C．45° D．30°5．化簡=（）A． B．C． D．6．已知200輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如圖所示，時速在的汽車輛數(shù)為()A．8 B．80 C．65 D．707．=（）A． B． C． D．8．如圖所示，程序框圖算法流程圖的輸出結(jié)果是A． B． C． D．9．的內(nèi)角的對邊分別為，若的面積為，則（）A． B． C． D．10．設(shè)為銳角，，若與共線，則角（）A．15° B．30° C．45° D．60°二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列是等差數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，若，則________.12．在平面直角坐標系中，定義兩點之間的直角距離為：現(xiàn)有以下命題：①若是軸上的兩點，則；②已知，則為定值；③原點與直線上任意一點之間的直角距離的最小值為；④若表示兩點間的距離，那么.其中真命題是__________（寫出所有真命題的序號）.13．終邊經(jīng)過點，則_____________14．已知，，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是____．15．已知圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為__________．16．設(shè)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的表達式______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．底面半徑為3，高為的圓錐有一個內(nèi)接的正四棱柱（底面是正方形，側(cè)棱與底面垂直的四棱柱）．（1）設(shè)正四棱柱的底面邊長為，試將棱柱的高表示成的函數(shù)；（2）當取何值時，此正四棱柱的表面積最大，并求出最大值．18．（1）求證：（2）請利用（1）的結(jié)論證明：（3）請你把（2）的結(jié)論推到更一般的情形，使之成為推廣后的特例，并加以證明：（4）化簡：.19．已知等比數(shù)列的各項為正數(shù)，為其前項的和，，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式及其前項的和．20．某工廠共有200名工人，已知這200名工人去年完成的產(chǎn)品數(shù)都在區(qū)間（單位：萬件）內(nèi)，其中每年完成14萬件及以上的工人為優(yōu)秀員工，現(xiàn)將其分成5組，第1組、第2組第3組、第4組、第5組對應的區(qū)間分別為，，，，，并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.（1）選取合適的抽樣方法從這200名工人中抽取容量為25的樣本，求這5組分別應抽取的人數(shù)；（2）現(xiàn)從（1）中25人的樣本中的優(yōu)秀員工中隨機選取2名傳授經(jīng)驗，求選取的2名工人在同一組的概率.21．已知，，其中.（1）求的值；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

找出不超過15的素數(shù)，從其中任取2個共有多少種取法，找到取出的兩個和小于18的個數(shù)，根據(jù)古典概型求解即可.【題目詳解】不超過15的素數(shù)為，共6個，任取2個分別為，，，，，，，，，，，，，，，共15個基本事件，其中兩個和小于18的共有11個基本事件，根據(jù)古典概型概率公式知.【題目點撥】本題主要考查了古典概型，基本事件，屬于中檔題.2、C【解題分析】

利用通項得到關(guān)于公差d的方程，解方程即得解.【題目詳解】由題得.故選C【題目點撥】本題主要考查數(shù)列的通項的基本量的計算，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.3、C【解題分析】

將已知等式平方，可根據(jù)二倍角公式、誘導公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系將等式化為，解方程可求得結(jié)果.【題目詳解】由得：即，解得：或本題正確選項：【題目點撥】本題考查三角函數(shù)值的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過平方運算，將等式化簡為關(guān)于的方程，涉及到二倍角公式、誘導公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系的應用.4、B【解題分析】試題分析：由三角形的面積公式，得，即，解得，又因為三角形為銳角三角形，所以.考點：三角形的面積公式.5、D【解題分析】

根據(jù)向量的加法與減法的運算法則，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，根據(jù)向量的運算法則，可得=++==，故選D．【題目點撥】本題主要考查了向量的加法與減法的運算法則，其中解答中熟記向量的加法與減法的運算法則，準確化簡、運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解題分析】

先計算時速在的汽車頻率，再乘200,?！绢}目詳解】由圖知：時速在的汽車頻率為所以時速在的汽車輛數(shù)為，選B.【題目點撥】本題考查頻率分布直方圖，屬于基礎(chǔ)題。7、A【解題分析】

試題分析：由誘導公式，故選A．考點：誘導公式．8、D【解題分析】

模擬程序圖框的運行過程，得出當時，不再運行循環(huán)體，直接輸出S值．【題目詳解】模擬程序圖框的運行過程，得S=0,n=2,n<8滿足條件，進入循環(huán)：S=滿足條件，進入循環(huán)：進入循環(huán)：不滿足判斷框的條件，進而輸出s值，該程序運行后輸出的是計算：．故選D．【題目點撥】本題考查了程序框圖的應用問題，是基礎(chǔ)題目．根據(jù)程序框圖（或偽代碼）寫程序的運行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：①分析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或偽代碼）中即要分析出計算的類型，又要分析出參與計算的數(shù)據(jù)（如果參與運算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對數(shù)據(jù)進行分析管理）?②建立數(shù)學模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當?shù)臄?shù)學模型③解模．9、C【解題分析】

由題意可得，化簡后利用正弦定理將“邊化為角“即可．【題目詳解】解：的面積為，，，故選：C．【題目點撥】本題主要考查正弦定理的應用和三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】由題意，，又為銳角，∴．故選B．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解題分析】

由等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)可得，代入已知式子可得．【題目詳解】由等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)可得：＝，且，∴.故答案為：1．【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的求和公式及性質(zhì)的應用，屬于基礎(chǔ)題．12、①②④【解題分析】

根據(jù)新定義的直角距離，結(jié)合具體選項，進行逐一分析即可.【題目詳解】對①：因為是軸上的兩點，故，則，①正確；對②：根據(jù)定義因為，故，②正確；對③：根據(jù)定義，當且僅當時，取得最小值，故③錯誤；對④：因為，由不等式，即可得，故④正確.綜上正確的有①②④故答案為：①②④.【題目點撥】本題考查新定義問題，涉及同角三角函數(shù)關(guān)系，絕對值三角不等式，屬綜合題.13、【解題分析】

根據(jù)正弦值的定義，求得正弦值.【題目詳解】依題意.故答案為：【題目點撥】本小題主要考查根據(jù)角的終邊上一點的坐標求正弦值，屬于基礎(chǔ)題.14、（-4，2）【解題分析】試題分析：因為當且僅當時取等號，所以考點：基本不等式求最值15、【解題分析】

分析：先根據(jù)三角形面積公式求出母線長,再根據(jù)母線與底面所成角得底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求結(jié)果.詳解：因為母線，所成角的余弦值為，所以母線，所成角的正弦值為，因為的面積為，設(shè)母線長為所以，因為與圓錐底面所成角為45°，所以底面半徑為因此圓錐的側(cè)面積為16、【解題分析】

根據(jù)圖象的最高點得到，由圖象得到，故得，然后通過代入最高點的坐標或運用“五點法”得到，進而可得函數(shù)的解析式．【題目詳解】由圖象可得，∴，∴，∴．又點在函數(shù)的圖象上，∴，∴，∴．又，∴．∴．故答案為．【題目點撥】已知圖象確定函數(shù)解析式的方法（1）由圖象直接得到，即最高點的縱坐標．（2）由圖象得到函數(shù)的周期，進而得到的值．（3）的確定方法有兩種．①運用代點法求解，通過把圖象的最高點或最低點的坐標代入函數(shù)的解析式求出的值；②運用“五點法”求解，即由函數(shù)最開始與軸的交點(最靠近原點)的橫坐標為(即令，)確定．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)正四棱柱的底面邊長為時，正四棱柱的表面積最大值為48.【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)比例關(guān)系式求出關(guān)于的解析式即可；（2）設(shè)該正四棱柱的表面積為，得到關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值即可.試題解析：（1）根據(jù)相似性可得：，解得：；（2）設(shè)該正四棱柱的表面積為．則有關(guān)系式，因為，所以當時，，故當正四棱柱的底面邊長為時，正四棱柱的表面積最大值為.點睛：本題考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及求函數(shù)的最值問題，是一道中檔題；該題中的難點在于必須注意圓錐軸截面圖時，三角形內(nèi)的矩形的寬為正四棱柱的底面對角線的長度，除了二次函數(shù)求最值以外還有基本不等式法、轉(zhuǎn)化法：如求的最小值，那么可以看成是數(shù)軸上的點到和的距離之和，易知最小值為2、求導法等.18、（1）證明見解析，（2）證明見解析，（3），證明見解析（4）【解題分析】

（1）右邊余切化正切后，利用二倍角的正切公式變形可證；（2）將（1）的結(jié)果變形為，然后將所證等式的右邊的正切化為余切即可得證；（3）根據(jù)（1）（2）的規(guī)律可得結(jié)果；（4）由（3）的結(jié)果可得.【題目詳解】（1）證明：因為，所以（2）因為，所以，所以（3）一般地：，證明：因為所以，以此類推得（4）.【題目點撥】本題考查了歸納推理，考查了同角公式，考查了二倍角的正切公式，屬于中檔題.19、（Ⅰ）（Ⅱ），【解題分析】

（Ⅰ）設(shè)正項等比數(shù)列的公比為且，由已知列式求得首項與公比，則數(shù)列的通項公式可求；（Ⅱ）由已知求得，再由數(shù)列的分組求和即可．【題目詳解】（Ⅰ）由題意知，等比數(shù)列的公比，且，所以，解得，或（舍去），則所求數(shù)列的通項公式為.（Ⅱ）由題意得，故【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及前項和公式的應用，同時考查了待定系數(shù)法求數(shù)列的通項公式和分組求和法求數(shù)列的和．20、（1）第1組：2；第2組：8,；第3組：9；第4組：3；第5組：3（2）【解題分析】

（1）根據(jù)頻率之和為列方程，解方程求得的值.然后根據(jù)分層抽樣的計算方法，計算出每組抽取的人數(shù).（2）利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【題目詳解】（1）：，.用分層抽樣比較合適.第1組應抽取的人數(shù)為，第2組應抽取的人數(shù)為，第3組應抽取的人數(shù)為，第4組應抽取的人數(shù)為，第5組應抽取的人數(shù)為.（2）（1）中25人的樣本中的優(yōu)秀員工中，第4組有3人，記這3人分別為，第5組有3人，記這3人分別為.從這6人中隨機選取2名，所有的基本事件為：，，，，，，，，，，，，，，，共有15個基本事件.選取的2名工人在同一組的基本