2024屆福建省廈門海滄實驗中學高一數(shù)學第二學期期末檢測模擬試題含解析

2024屆福建省廈門海滄實驗中學高一數(shù)學第二學期期末檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且，則的最大值為（）A． B．1 C． D．2．一個三角形的三邊長成等比數(shù)列，公比為，則函數(shù)的值域為（）A．（，+∞） B．[，+∞） C．（，－1） D．[，－1）3．法國學者貝特朗發(fā)現(xiàn)，在研究事件A“在半徑為1的圓內(nèi)隨機地取一條弦，其長度超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長3”的概率的過程中，基于對“隨機地取一條弦”的含義的的不同理解，事件A的概率PA存在不同的容案該問題被稱為貝特朗悖論現(xiàn)給出種解釋：若固定弦的一個端點,另個端點在圓周上隨機選取，則PA．12 B．13 C．14．如圖，A，B是半徑為1的圓周上的定點，P為圓周上的動點，∠APB是銳角，大小為.圖中△PAB的面積的最大值為（）A．+sin2 B．sin+sin2C．+sin D．+cos5．先后拋擲枚均勻的硬幣，至少出現(xiàn)一次反面的概率是（）A． B． C． D．6．已知a,,若關(guān)于x的不等式的解集為,則()A． B． C． D．7．把函數(shù)，圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，橫坐標伸長到原來的2倍，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為（）A． B．C． D．8．對于不同的直線l、、及平面，下列命題中錯誤的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則9．，，是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是A．， B．，C．，，共面 D．，，共點，，共面10．已知，若將它的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的圖象的一條對稱軸的方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知正方體的棱長為，點、分別為、的中點，則點到平面的距離為______.12．函數(shù)的最小正周期為______________.13．角的終邊經(jīng)過點，則___________________．14．已知為等差數(shù)列，，，，則______.15．函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是．16．中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，且，，則的值為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知等比數(shù)列的前項和為，，，且.（1）求的通項公式；（2）是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由.18．已知是等差數(shù)列的前項和，且，.（1）求通項公式；（2）若，求正整數(shù)的值.19．（1）已知，，且、都是第二象限角，求的值.（2）求證：.20．寫出集合的所有子集．21．已知.（1）求函數(shù)的最小正周期及值域；（2）求方程的解.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

根據(jù)正弦定理將已知等式化簡得，再根據(jù)差角正切公式以及基本不等式可得結(jié)論.【題目詳解】由正弦定理以及，可得，在中，代入上式中整理得，，即，即，且，所以，當且僅當，即時取等號.故選：D.【題目點撥】本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

由題意先設(shè)出三邊為則由三邊關(guān)系：兩短邊和大于第三邊，分公比大于與公式在小于兩類解出公比的取值范圍，此兩者的并集是函數(shù)的定義域，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求出它的值域，選出正確選項.【題目詳解】解：設(shè)三邊：則由三邊關(guān)系：兩短邊和大于第三邊，即

（1）當時，，即，解得；

（2）當時，為最大邊，，即，解得，

綜合（1）（2）得：，

又的對稱軸是，故函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

由于時，與時，，

所以函數(shù)的值域為，故選：D.【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及二次函數(shù)的值域的求法，解答本題關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，能利用它建立不等式解出公比的取值范圍得出函數(shù)的定義域，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)也很重要，由此類題可以看出，扎實的雙基，嫻熟的基礎(chǔ)知識與公式的記憶是解題的知識保障.3、B【解題分析】

由幾何概型中的角度型得：P(A)=2π【題目詳解】設(shè)固定弦的一個端點為A，則另一個端點在圓周上BC劣弧上隨機選取即可滿足題意，則P（A）=2π故選：B．【題目點撥】本題考查了幾何概型中的角度型，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解題分析】

由正弦定理可得，，則，，當點在的中垂線上時，取得最大值，此時的面積最大，求解即可.【題目詳解】在中，由正弦定理可得，，則.，當點在的中垂線上時，取得最大值，此時的面積最大.取的中點，過點作的垂線，交圓于點，取圓心為，則（為銳角），.所以的面積最大為.故選B.【題目點撥】本題考查了三角形的面積的計算、正弦定理的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的化簡，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

先求得全是正面的概率，用減去這個概率求得至少出現(xiàn)一次反面的概率.【題目詳解】基本事件的總數(shù)為，全是正面的的事件數(shù)為，故全是正面的概率為，所以至少出現(xiàn)一次反面的概率為，故選D.【題目點撥】本小題主要考查古典概型概率計算，考查正難則反的思想，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

由不等式的解集為R，得的圖象要開口向上，且判別式，即可得到本題答案.【題目詳解】由不等式的解集為R，得函數(shù)的圖象要滿足開口向上，且與x軸至多有一個交點，即判別式.故選：D【題目點撥】本題主要考查一元二次不等式恒成立問題.7、C【解題分析】

利用二倍角的余弦公式以及輔助角公式將函數(shù)化為的形式，然后再利用三角函數(shù)的圖像變換即可求解.【題目詳解】函數(shù)，函數(shù)圖象上所有的點向右平行移動個單位長度可得，在將橫坐標伸長到原來的2倍，可得.故選：C【題目點撥】本題考查了二倍角的余弦公式、輔助角公式以及三角函數(shù)的圖像平移伸縮變換，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

由平面的基本性質(zhì)及其推論得：對于選項C，可能l∥n或l與n相交或l與n異面，即選項C錯誤，得解．【題目詳解】由平行公理4可得選項A正確，由線面垂直的性質(zhì)可得選項B正確，由異面直線所成角的定義可得選項D正確，對于選項C，若l∥α，n∥α，則l∥n或l與n相交或l與n異面，即選項C錯誤，故選C．【題目點撥】本題考查了平面中線線、線面的關(guān)系及性質(zhì)定理與推論的應(yīng)用，屬簡單題．9、B【解題分析】

解：因為如果一條直線平行于兩條垂線中的一條，必定垂直于另一條．選項A，可能相交．選項C中，可能不共面，比如三棱柱的三條側(cè)棱，選項D，三線共點，可能是棱錐的三條棱，因此錯誤．選B.10、B【解題分析】分析：由左加右減，得出解析式，因為解析式為正弦函數(shù)，所以令，解出，對k進行賦值，得出對稱軸.詳解：由左加右減可得，解析式為正弦函數(shù)，則令，解得：，令，則，故選B.點睛：三角函數(shù)圖像左右平移時，需注意要把x放到括號內(nèi)加減，求三角函數(shù)的對稱軸，則令等于正弦或余弦函數(shù)的對稱軸公式，求出x解析式，即為對稱軸方程.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

作出圖形，取的中點，連接，證明平面，可知點平面的距離等于點到平面的距離，然后利用等體積法計算出點到平面的距離，即為所求.【題目詳解】如下圖所示，取的中點，連接，在正方體中，且，、分別為、的中點，且，所以，四邊形為平行四邊形，且，又，，平面，平面，平面，則點平面的距離等于點到平面的距離，的面積為，在正方體中，平面，且平面，，易知三棱錐的體積為.的面積為.設(shè)點到平面的距離為，則，.故答案為：.【題目點撥】本題考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等體積法的合理運用．12、【解題分析】

利用函數(shù)y＝Atan（ωx+φ）的周期為，得出結(jié)論．【題目詳解】函數(shù)y＝3tan（3x）的最小正周期是，故答案為：．【題目點撥】本題主要考查函數(shù)y＝Atan（ωx+φ）的周期性，利用了函數(shù)y＝Atan（ωx+φ）的周期為．13、【解題分析】

先求出到原點的距離,再利用正弦函數(shù)定義求解.【題目詳解】因為,所以到原點距離,故.故答案為：.【題目點撥】設(shè)始邊為的非負半軸,終邊經(jīng)過任意一點,則：14、【解題分析】

由等差數(shù)列的前項和公式，代入計算即可.【題目詳解】已知為等差數(shù)列，且，，所以，解得或（舍）故答案為【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列前項和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

先求出函數(shù)的定義域，找出內(nèi)外函數(shù)，根據(jù)同增異減即可求出.【題目詳解】由，解得或，所以函數(shù)的定義域為.令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又為增函數(shù)，則根據(jù)同增異減得，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為.【題目點撥】復合函數(shù)法：復合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律是“同則增，異則減”，即與若具有相同的單調(diào)性，則為增函數(shù)，若具有不同的單調(diào)性，則必為減函數(shù)．16、4【解題分析】

利用余弦定理變形可得，從而求得結(jié)果.【題目詳解】由余弦定理得：本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查余弦定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用的變形，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在，【解題分析】

（1）根據(jù)條件求解出公比，然后寫出等比數(shù)列通項；（2）先表示出，然后考慮的的最小值.【題目詳解】（1）因為，所以或，又，則，所以；（2）因為，則，當為偶數(shù)時有不符合；所以為奇數(shù)，且，，所以且為奇數(shù)，故.【題目點撥】本題考查等比數(shù)列通項及其前項和的應(yīng)用，難度一般.對于公比為負數(shù)的等比數(shù)列，分析前項和所滿足的不等式時，注意分類討論，因此的奇偶會影響的正負.18、（1）（2）41【解題分析】

（1）根據(jù)通項公式先求出公差，再求即可；（2）先表示出，求出的具體值，根據(jù)求即可【題目詳解】（1）由，，可得，則（2），，則，解得【題目點撥】本題考查等差數(shù)列通項公式和前項和公式的用法，屬于基礎(chǔ)題19、（1）；（2）見解析【解題分析】

（1）利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系式的應(yīng)用，可求得cosα，sinβ，再利用兩角差的正弦、余弦與正切公式即可求得cos（α﹣β）的值．（2）利用切化弦結(jié)合二倍角公式化簡即可證明【題目詳解】（1）∵sinα，cosβ，且α、β都是第二象限的角，∴cosα，sinβ，∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）得證【題目點撥】本題考查兩角和與差的正弦、余弦與正切，考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系式的應(yīng)用，屬于中檔題．20、【解題分析】

根據(jù)集合的子集的定義列舉出即可．【題目詳解】集合的所有子集