2024屆湖南省長沙市雨花區(qū)南雅中學數(shù)學高一第二學期期末監(jiān)測試題含解析

2024屆湖南省長沙市雨花區(qū)南雅中學數(shù)學高一第二學期期末監(jiān)測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且，則()A． B． C． D．2．不等式的解集是A．或 B．或C． D．3．等差數(shù)列an的公差d<0，且a12=a212，則數(shù)列aA．9 B．10 C．10和11 D．11和124．在中，三個內(nèi)角成等差數(shù)列是的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件5．在平面直角坐標系中，圓：，圓：，點，動點，分別在圓和圓上，且，為線段的中點，則的最小值為A．1 B．2 C．3 D．46．記等差數(shù)列的前n項和為.若，則（）A．7 B．8 C．9 D．107．已知向量，則與().A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出（）A．13 B．15 C．40 D．469．若，則的最小值為（）A． B． C． D．10．公比為2的等比數(shù)列{}的各項都是正數(shù)，且=16，則=()A．1 B．2 C．4 D．8二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知x，y滿足，則的最大值為________.12．某單位有200名職工，現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本，用系統(tǒng)抽樣法，將全體職工隨機按1－200編號，并按編號順序平均分為40組（1－5號，6－10號…，196－200號）.若第5組抽出的號碼為22，則第8組抽出的號碼應是13．定義在上的函數(shù)，對任意的正整數(shù)，都有，且，若對任意的正整數(shù)，有，則___________.14．在中，已知角的對邊分別為，且，，，若有兩解，則的取值范圍是__________．15．設在的內(nèi)部，且，的面積與的面積之比為______．16．如圖，曲線上的點與軸的正半軸上的點及原點構(gòu)成一系列正三角形，，，設正三角形的邊長為（記為），.數(shù)列的通項公式=______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．函數(shù).（1）求函數(shù)的圖象的對稱軸方程；（2）當時，不等式恒成立，求m的取值范圍.18．某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響，在若干地區(qū)各投入4萬元廣告費用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），由于工作人員操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從0開始計數(shù)的.（1）根據(jù)頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度；（2）試估計該公司在若干地區(qū)各投入4萬元廣告費用之后，對應銷售收益的平均值（以各組的區(qū)間中點值代表該組的取值）；（3）該公司按照類似的研究方法，測得另外一些數(shù)據(jù)，并整理得到下表：廣告投入（單位：萬元）12345銷售收益（單位：萬元）2337由表中的數(shù)據(jù)顯示，與之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，請將（2）的結(jié)果填入空白欄，并求出關(guān)于的回歸直線方程.（參考公式：）19．在平面直角坐標系中，已知點，，.（Ⅰ)求的坐標及；（Ⅱ)當實數(shù)為何值時，.20．如圖，在平面四邊形中，為的角平分線，，，.（1）求；（2）若的面積，求的長.21．已知函數(shù)(1)若關(guān)于的不等式的解集為,求的值;(2)若對任意恒成立,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

先由a、b、c成等比數(shù)列，得到，再由題中條件，結(jié)合余弦定理，即可求出結(jié)果.【題目詳解】解：a、b、c成等比數(shù)列，所以，?所以，由余弦定理可知，又，所以.故選A．【題目點撥】本題主要考查解三角形，熟記余弦定理即可，屬于?？碱}型.2、C【解題分析】

把原不等式化簡為，即可求解不等式的解集.【題目詳解】由不等式即，即，得，則不等式的解集為，故選C．【題目點撥】本題主要考查了一元二次不等式的求解，其中把不等式對應的一元二次方程能夠因式分解，即能夠轉(zhuǎn)化為幾個代數(shù)式的乘積形式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.3、C【解題分析】

利用等差數(shù)列性質(zhì)得到a11=0，再判斷S10【題目詳解】等差數(shù)列an的公差d<0，且a根據(jù)正負關(guān)系：S10或S故答案選C【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，Sn的最大值，將Sn的最大值轉(zhuǎn)化為4、B【解題分析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)進行求解即可．【題目詳解】在△ABC中，三個內(nèi)角成等差數(shù)列，可能是A，C，B成等差數(shù)列，則A+B＝2C，則C＝60°，不一定滿足反之若B＝60°，則A+C＝120°＝2B，則A、B、C成等差數(shù)列，∴三個內(nèi)角成等差數(shù)列是的必要非充分條件，故選：B．【題目點撥】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，考查了等差中項的應用，屬于基礎題．5、A【解題分析】

由得，根據(jù)向量的運算和兩點間的距離公式，求得點的軌跡方程，再利用點與圓的位置關(guān)系，即可求解的最小值，得到答案．【題目詳解】設，，，由得，即，由題意可知，MN為Rt△AMB斜邊上的中線，所以,則又由，則，可得，化簡得，∴點的軌跡是以為圓心、半徑等于的圓C3，∵M在圓C3內(nèi)，∴MN的最小值即是半徑減去M到圓心的距離，即，故選A．【題目點撥】本題主要考查了圓的方程及性質(zhì)的應用，以及點圓的最值問題，其中解答中根據(jù)圓的性質(zhì)，求得點的軌跡方程，再利用點與圓的位置關(guān)系求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．6、D【解題分析】

由可得值，可得可得答案.【題目詳解】解：由，可得，所以，從而，故選D.【題目點撥】本題主要考察等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列前n項的和，由得出的值是解題的關(guān)鍵.7、A【解題分析】

通過計算兩個向量的數(shù)量積，然后再判斷兩個向量能否寫成的形式，這樣可以選出正確答案.【題目詳解】因為，，所以，而不存在實數(shù)，使成立，因此與不共線，故本題選A.【題目點撥】本題考查了兩個平面向量垂直的判斷，考查了平面向量共線的判斷，考查了數(shù)學運算能力.8、A【解題分析】

模擬程序運行即可．【題目詳解】程序運行循環(huán)時，變量值為，不滿足；，不滿足；，滿足，結(jié)束循環(huán)，輸出．故選A．【題目點撥】本題考查程序框圖，考查循環(huán)結(jié)構(gòu)．解題時可模擬程序運行，觀察變量值的變化，判斷是否符合循環(huán)條件即可．9、D【解題分析】

根據(jù)對數(shù)運算可求得且，，利用基本不等式可求得最小值.【題目詳解】由得：且，（當且僅當時取等號）本題正確選項：【題目點撥】本題考查利用基本不等式求解和的最小值的問題，關(guān)鍵是能夠利用對數(shù)運算得到積的定值，屬于基礎題.10、A【解題分析】試題分析：在等比數(shù)列中，由知，，故選A．考點：等比數(shù)列的性質(zhì)．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、6【解題分析】

作出不等式組所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖象確定目標函數(shù)的最優(yōu)解，即可得到答案.【題目詳解】由題意，作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，因為目標函數(shù)，可化為直線，當直線過點A時，此時目標函數(shù)在軸上的截距最大，此時目標函數(shù)取得最大值，又由，解得，所以目標函數(shù)的最大值為.故答案為：6.【題目點撥】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計算能力，屬于基礎題．12、1【解題分析】試題分析：因為將全體職工隨機按1～200編號，并按編號順序平均分為40組，由分組可知，抽號的間隔為5，因為第5組抽出的號碼為22，所以第6組抽出的號碼為27，第7組抽出的號碼為32，第8組抽出的號碼為1．考點：系統(tǒng)抽樣．點評：本題考查系統(tǒng)抽樣，在系統(tǒng)抽樣過程中得到的樣本號碼是最規(guī)則的一組編號．13、【解題分析】

根據(jù)條件求出的表達式，利用等比數(shù)列的定義即可證明為等比數(shù)列，即可求出通項公式．【題目詳解】令，得，則，，令，得，則，，令，得，即，則，即所以，數(shù)列是等比數(shù)列，公比，首項．所以，故答案為：【題目點撥】本題主要考查等比數(shù)列的判斷和證明，綜合性較強，考查學生的計算能力，屬于難題．14、【解題分析】

利用正弦定理得到，再根據(jù)有兩解得到，計算得到答案.【題目詳解】由正弦定理得：若有兩解：故答案為【題目點撥】本題考查了正弦定理，有兩解，意在考查學生的計算能力.15、1:3【解題分析】

記,，可得：為的重心，利用比例關(guān)系可得：，,，結(jié)合：即可得解.【題目詳解】記,則則為的重心，如下圖由三角形面積公式可得：，,又為的重心，所以，所以所以【題目點撥】本題主要考查了三角形重心的向量結(jié)論，還考查了轉(zhuǎn)化能力及三角形面積比例計算，屬于難題.16、【解題分析】

先得出直線的方程為，與曲線的方程聯(lián)立得出的坐標，可得出，并設，根據(jù)題中條件找出數(shù)列的遞推關(guān)系式，結(jié)合遞推關(guān)系式選擇作差法求出數(shù)列的通項公式，即利用求出數(shù)列的通項公式?！绢}目詳解】設數(shù)列的前項和為，則點的坐標為，易知直線的方程為，與曲線的方程聯(lián)立，解得，；當時，點、，所以，點，直線的斜率為，則，即，等式兩邊平方并整理得，可得，以上兩式相減得，即，易知，所以，即，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，且首項為，公差也為，因此，.故答案為：?！绢}目點撥】本題考查數(shù)列通項的求解，根據(jù)已知條件找出數(shù)列的遞推關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在求通項公式時需結(jié)合遞推公式的結(jié)構(gòu)選擇合適的方法求解數(shù)列的通項公式，考查分析問題的能力，屬于難題。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解題分析】

（1）首先利用二倍角公式及兩角和差的正弦公式化簡得到，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的對稱軸；（2）由，求出的值域，設，則.則當時，不等式恒成立，等價于對于恒成立，則解得即可；【題目詳解】解：（1）.即令，解得，則圖象的對稱軸方程為，（2）當時，，則，從而，設，則.當時，不等式恒成立，等價于對于恒成立，則解得.故m的取值范圍為.【題目點撥】本題考查兩角和與差的正弦公式，考查三角變換與輔助角公式的應用，突出考查正弦函數(shù)的性質(zhì)以及一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立問題，屬于中檔題．18、（1）2；（2）5；（3）空白欄中填5，【解題分析】

（1）根據(jù)頻率等于小長方形的面積以及頻率和為，得到關(guān)于的等式，求解出即可；（2）根據(jù)各組數(shù)據(jù)的組中值與頻率的乘積之和得到對應的銷售收益的平均值；（3）先填寫空白欄數(shù)據(jù)，然后根據(jù)所給數(shù)據(jù)計算出，即可求解出回歸直線方程.【題目詳解】（1）設各小長方形的寬度為.由頻率分布直方圖中各小長方形的面積總和為1，可知，解得.故圖中各小長方形的寬度為2.（2）由（1）知各小組依次是，其中點分別為對應的頻率分別為故可估計平均值為.（3）由（2）可知空白欄中填5.由題意可知，，，根據(jù)公式，可求得，.所以所求的回歸直線方程為.【題目點撥】本題考查頻率分布直方圖的實際應用以及回歸直線方程的求法，難度一般.（1）頻率分布直方圖中，小矩形的面積代表該組數(shù)據(jù)的頻率，所有小矩形面積之和為；（2）求解回歸直線方程時，先求解出，然后根據(jù)回歸直線方程過樣本點的中心再求解出.19、（Ⅰ)，；（Ⅱ)【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)點，的坐標即可求出，從而可求出；（Ⅱ）可以求出，根據(jù)即可得出，解出即可．【題目詳解】（Ⅰ)∵，，∴∴（Ⅱ)∵，∴.∵∴，∴【題目點撥】考查根據(jù)點的坐標求向量的坐標的方法，根據(jù)向量的坐標求向量長度的方法，以及平行向量的坐標關(guān)系．20、（1），（2）【解題分析】

（1）首先根據(jù)正弦定理得到，得到，在求即可.（2）首先根據(jù)得到，在根據(jù)余弦定理即可求出的長.【題目詳解】（1）在中，，即.，或（舍去）.所以.（2），.在中，由余弦定理知：【題目點撥】本題第一問考查正弦定理，第二問考查余弦定理，同時考查了學生的計算能力，屬于中檔題.21、（1）；（2）【解題分析】

(1)不等式可化為，而解集為，可利用韋達定理或直接代入即可得到答案；（2）法一：討論和時，分離參數(shù)利用均值不等式即可得到取值范圍；法二：利用二次函數(shù)在上大于等于0恒成立，即可得到取值范圍.【題目詳解】（1）法一：不等式可化為，其解集為，由根與系數(shù)的關(guān)系可知，解得，經(jīng)檢驗時滿足題意.法二：由