江西省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

2023年江西省高三12月份聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，，則的實部為（）A. B.5 C.1 D.2.拋物線的準線方程為（）A. B. C. D.3.若奇函數(shù)則（）A. B.102 C. D.1014.現(xiàn)有一個圓臺形的杯子，杯口的內(nèi)徑為，杯底的內(nèi)徑與杯中盛滿溶液時的液面高度均為，當(dāng)杯中盛滿溶液，且該溶液的密度時，杯中溶液的質(zhì)量為（）A. B. C. D.5.現(xiàn)有6個不同的生肖吉祥物，分1個給老師，其他5個分給3位學(xué)生，每位學(xué)生至少分到1個，則這6個生肖吉祥物的分配方法共有（）A.360種 B.900種 C.720種 D.1800種6.已知向量，滿足，，則的最大值為（）A. B.2 C. D.47.已知函數(shù)，的定義域均為，則（）A.當(dāng)取得最大值時，取得最小值B.當(dāng)取得最大值時，C.與的圖象關(guān)于點對稱D.與的圖象關(guān)于直線對稱8.已知函數(shù)恰有4個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.江西省2017年到2022年常住人口變化圖如圖所示，則（）A.江西省2017年到2022年這6年的常住人口在2019年取得最大值B.江西省2017年到2022年這6年的常住人口的極差為148.70萬C.江西省2017年到2022年這6年的常住人口的中位數(shù)為4527.98萬D.江西省2017年到2022年這6年的常住人口的第80百分位數(shù)為4647.60萬10.在等差數(shù)列中，，下列結(jié)論正確的是（）A.是定值 B.的前9項和為54C.的最大值為25 D.若，則的最小值為11.已知曲線，斜率為的直線經(jīng)過點，下列結(jié)論正確的是（）A.的周長為B.若與恰有3個公共點，則的取值范圍為C.若與恰有2個公共點，則的取值范圍為D.若與恰有1個公共點，則的取值范圍為12.如圖，在邊長為4的正方形中剪掉四個陰影部分的等腰三角形，其中為正方形對角線的交點，，將其余部分折疊圍成一個封閉的正四棱錐，若該正四棱錐的內(nèi)切球半徑為，則該正四棱錐的表面積可能為（）A.12 B. C.8 D.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.若集合，，，則的最小值為__________.14.若隨機變量，且，則__________.15.請寫出一個同時滿足下列兩個條件的函數(shù)：__________.①；②函數(shù)在上單調(diào)遞增.16.已知雙曲線的兩個焦點為，，為上一點，，，則的離心率為__________.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）如圖，在梯形中，，，.（1）若，求的長；（2）若，求.18.（12分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，，.（1）證明：平面平面.（2）若，，求直線與平面所成角的正弦值.19.（12分）已知某地居民中青少年、中年人、老年人的人數(shù)比例為3：4：3，假設(shè)該地居民選擇寒假旅游地相互獨立，且他們寒假去江西廬山、三清山旅游的概率如下表所示：青少年中年人老年人只去廬山旅游0.10.30.2只去三清山旅游0.20.20.3廬山、三清山都去旅游0.050.10.1（1）若從該地居民（僅指青少年、中年人、老年人）中任選一人，求此人寒假去廬山旅游的概率；（2）若甲，乙分別是該地居民中的一位中年人、老年人，記這兩人中寒假去三清山旅游的人數(shù)為，求的分布列.20.（12分）已知點，，設(shè)，當(dāng)時，線段的中點為，關(guān)于直線的對稱點為.例如，為線段的中點，則，.（1）設(shè)，證明：是等比數(shù)列.（2）求數(shù)列的通項公式.21.（12分）過點作軸的垂線，垂足為，且該垂線與拋物線交于點，，記動點的軌跡為曲線.（1）試問為何種圓錐曲線？說明你的理由.（2）圓是以點為圓心，為半徑的圓，過點作圓的兩條切線，這兩條切線分別與相交于點，（異于點）.當(dāng)變化時，是否存在定點，使得直線恒過點？若存在，求的坐標；若不存在，請說明理由.22.（12分）已知函數(shù)，，且.（1）討論的單調(diào)性；（2）若，，求的取值范圍；（3）證明：當(dāng)，且，時，恒成立.

數(shù)學(xué)試卷參考答案1.B【解析】本題考查復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)的實部，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).因為，所以，所以的實部為5.2.C【解析】本題考查拋物線的準線方程，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).因為，所以，所以拋物線的準線方程為.3.A【解析】本題考查函數(shù)的奇偶性與函數(shù)求值，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).因為，所以.4.C【解析】本題考查圓臺體積的實際應(yīng)用，考查直觀想象與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).當(dāng)杯中盛滿溶液時，溶液的體積，此時杯中溶液的質(zhì)量.5.B【解析】本題考查排列組合的實際應(yīng)用，考查應(yīng)用意識.分三步，先分1個給老師，共有種分法，再把剩余的5個分成3組，共有種分組方法，最后將分好組的吉祥物分給3位學(xué)生，共有種分法，故這6個生肖吉祥物的分配方法共有種.6.D【解析】本題考查平面向量的數(shù)量積與模，考查數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).因為，所以，即，整理得.又，所以，即，所以，即.又，所以當(dāng)與反向時，取得最大值，且最大值為.7.D【解析】本題考查三角恒等變換與三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).，.當(dāng)取得最大值時，，則，A錯誤.當(dāng)取得最大值時，，則，，B錯誤.因為，所以與的圖象關(guān)于直線對稱，C錯誤，D正確.8.B【解析】本題考查函數(shù)的零點與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng)以及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.令，得或.設(shè)函數(shù)，則.當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.當(dāng)時，.設(shè)函數(shù)，則.當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.當(dāng)時，.作出與的大致圖象，如圖所示.由圖可知，當(dāng)時，直線與這兩個函數(shù)的圖象各有兩個交點，且這些交點各不相同，此時恰有4個零點.9.ABD【解析】本題考查統(tǒng)計的圖表、極差、中位數(shù)、百分位數(shù)，考查數(shù)據(jù)處理能力.由圖可知，A正確.將江西省2017年到2022年這6年的常住人口（單位：萬）按照從小到大的順序排列為4517.40，4518.86，4527.98，4622.10，4647.60，4666.10，則極差為萬，中位數(shù)為萬，B正確，C錯誤.因為，所以第80百分位數(shù)為4647.60萬，D正確.10.ACD【解析】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)與基本不等式，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).因為，所以，則的前9項和為，A正確，B錯誤.因為，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，C正確.因為，，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，D正確.11.BC【解析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直觀想象與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).由，得，則曲線表示兩個關(guān)于軸對稱的半圓弧（半徑為1），且左半圓的圓心為，右半圓的圓心為，曲線與軸的交點為，，.故曲線的周長為，A錯誤.若直線與左半圓相切，則，解得，由圖可知.若直線與右半圓相切，則，解得，由圖可知.若直線經(jīng)過點，則.若直線經(jīng)過點，則.若直線經(jīng)過點，則.若與恰有1個公共點，則的取值范圍為，D錯誤.若與恰有2個公共點，則的取值范圍為，C正確.若與恰有3個公共點，則的取值范圍為，B正確.12.BC【解析】本題考查立體幾何中的翻折問題與四棱錐的內(nèi)切球，考查空間想象能力與運算求解能力.設(shè)翻折前，則翻折后，斜高，該四棱錐的高，則.該四棱錐的表面積.因為該正四棱錐的內(nèi)切球半徑為，所以，即，則，解得或（負根舍去），故或.13.6【解析】本題考查集合的交集與一元二次不等式的解法，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).因為，，所以，所以的最小值為6.14.20【解析】本題考查二項分布的期望與方差，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).因為，所以，解得或，因為，所以，所以.15.（答案不唯一，形如均可）【解析】本題以開放題的形式考查函數(shù)的解析式與性質(zhì)，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).因為，，所以可設(shè)，則.因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以滿足這兩個條件.16.【解析】本題考查雙曲線的離心率，考查邏輯推理與直觀想象的核心素養(yǎng).如圖，在線段上取一點，使得.因為，，所以，所以，所以.易知與相似，則.設(shè)，，則有，則，解得（負根舍去），所以的離心率．17.解：（1）在中，由正弦定理得，則.（2）因為，所以.由余弦定理得，則，所以.18.（1）證明：在正方形中，.因為，所以.在正方形中，.因為，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知平面，則，則.因為，，，所以平面.以為坐標原點，，，的方向分別為，，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，.設(shè)平面的法向量為，，，則，令，得.因為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.解：（1）由表可知該地居民中青少年寒假去廬山旅游的概率為，該地居民中中年人寒假去廬山旅游的概率為，該地居民中老年人寒假去廬山旅游的概率為，所以根據(jù)全概率公式可得，此人寒假去廬山旅游的概率為.（2）由表可知該地居民中中年人、老年人寒假去三清山旅游的概率分別為，，即0.3，0.4.的可能取值為0，1，2，，，，則的分布列為0120.420.460.12【注】第（1）問中，得到所求概率為，但最后的結(jié)果計算錯誤，扣1分.20.（1）證明：當(dāng)時，線段的中點為，，則.由得，所以，即.因為，所以是以2為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）解：由（1）知，即，則，，…，，將以上各式相加得.因為，所以.當(dāng)時，也符合上式，故.21.解：（1）設(shè)，則，，則，.因為，所以，所以為橢圓.（2）由題可知切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，圓，則，整理得.設(shè)切線，的斜率分別為，，則，是上述方程的兩根，由韋達定理得.設(shè)，，由得.因為，所以，.同理可得，.因為，所以，，