福建省福州市屏東中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考模擬試題含解析

福建省福州市屏東中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知向量若為實(shí)數(shù)，則＝（）A．2 B．1 C． D．2．《九章算術(shù)》中有如下問題：今有蒲生一日，長三尺，莞生一日，長1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長等？意思是：今有蒲第一天長高3尺，莞第一天長高1尺，以后蒲每天長高前一天的一半，莞每天長高前一天的2倍．若蒲、莞長度相等，則所需時間為（）（結(jié)果精確到0.1．參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.3010，lg3＝0.2．）A．2.6天 B．2.2天 C．2.4天 D．2.8天3．已知是奇函數(shù)，且.若，則（）A．1 B．2 C．3 D．44．若，則下列不等式不成立的是()A． B． C． D．5．已知點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別在線段上運(yùn)動，則的周長的最小值為()A． B． C． D．6．已知平面四邊形滿足，，，則的長為（）A．2 B． C． D．7．已知，且，把底數(shù)相同的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象的公共點(diǎn)稱為（或）的“亮點(diǎn)”．當(dāng)時，在下列四點(diǎn)，，，中，能成為的“亮點(diǎn)”有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個8．已知a,,若關(guān)于x的不等式的解集為,則()A． B． C． D．9．已知圓：關(guān)于直線對稱的圓為圓：，則直線的方程為A． B． C． D．10．在中，角的對邊分別為，已知，則的大小是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．________.12．如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績（單位：分），已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為17，則x的值為_________.13．函數(shù)，的值域?yàn)開_______14．明代程大位《算法統(tǒng)宗》卷10中有題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅燈點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”則尖頭共有__________盞燈．15．中，，，，則______.16．無窮等比數(shù)列的首項(xiàng)是某個正整數(shù)，公比為單位分?jǐn)?shù)（即形如：的分?jǐn)?shù)，為正整數(shù)），若該數(shù)列的各項(xiàng)和為3，則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知扇形的半徑為3，面積為9，則該扇形的弧長為___________.18．在中，角的對邊分別為，且．（1）求角的大?。唬?）若，求的面積19．已知函數(shù)，設(shè)其最小值為（1）求；（2）若，求a以及此時的最大值.20．（1）已知，，且、都是第二象限角，求的值.（2）求證：.21．已知函數(shù).（1）用五點(diǎn)法作出函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象（列表、描點(diǎn)、連線）；（2）若，，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】

求出向量的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量的平行得到所求值．【題目詳解】∵，∴．又，∴，解得．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的運(yùn)算和向量共線的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解題分析】

設(shè)蒲的長度組成等比數(shù)列{an}，其a1＝3，公比為，其前n項(xiàng)和為An．莞的長度組成等比數(shù)列{bn}，其b1＝1，公比為2，其前n項(xiàng)和為Bn．利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．．【題目詳解】設(shè)蒲的長度組成等比數(shù)列{an}，其a1＝3，公比為，其前n項(xiàng)和為An．莞的長度組成等比數(shù)列{bn}，其b1＝1，公比為2，其前n項(xiàng)和為Bn．則An，Bn，由題意可得：，化為：2n7，解得2n＝3，2n＝1（舍去）．∴n12.3．∴估計(jì)2.3日蒲、莞長度相等，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式在實(shí)際中的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．3、C【解題分析】

根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，變形可得：，結(jié)合題意計(jì)算可得的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，是奇函數(shù)，則，變形可得：，則有，即，又由，則，，故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解題分析】

由題得a＜b＜0，再利用作差比較法判斷每一個選項(xiàng)的正誤得解.【題目詳解】由題得a＜b＜0，對于選項(xiàng)A,=，所以選項(xiàng)A錯誤.對于選項(xiàng)B,顯然正確.對于選項(xiàng)C,，所以，所以選項(xiàng)C正確.對于選項(xiàng)D,，所以選項(xiàng)D正確.故答案為A【題目點(diǎn)撥】(1)本題主要考查不等式的基本性質(zhì)和實(shí)數(shù)大小的比較，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)比差的一般步驟是：作差→變形（配方、因式分解、通分等）→與零比→下結(jié)論；比商的一般步驟是：作商→變形（配方、因式分解、通分等）→與1比→下結(jié)論.如果兩個數(shù)都是正數(shù)，一般用比商，其它一般用比差.5、C【解題分析】

分別求出設(shè)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)，關(guān)于對稱的點(diǎn)，當(dāng)共線時，的周長取得最小值，為，利用兩點(diǎn)間的距離公式，求出答案.【題目詳解】過兩點(diǎn)的直線方程為設(shè)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)，則，解得即，同理可求關(guān)于對稱的點(diǎn)，當(dāng)共線時的周長取得最小值為.故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了點(diǎn)關(guān)于直線的對稱性的簡單應(yīng)用，試題的技巧性較強(qiáng)，屬于中檔題.6、B【解題分析】

先建系，再結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式、向量的數(shù)量積及模的運(yùn)算，求解即可得解.【題目詳解】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，由，則，所以，又，所以，，即，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了兩點(diǎn)的距離公式，重點(diǎn)考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算及模的運(yùn)算，屬中檔題.7、C【解題分析】

利用“亮點(diǎn)”的定義對每一個點(diǎn)逐一分析得解.【題目詳解】由題得，，由于，所以點(diǎn)不在函數(shù)f(x)的圖像上，所以點(diǎn)不是“亮點(diǎn)”；由于，所以點(diǎn)不在函數(shù)f(x)的圖像上，所以點(diǎn)不是“亮點(diǎn)”；由于，所以點(diǎn)在函數(shù)f(x)和g(x)的圖像上，所以點(diǎn)是“亮點(diǎn)”；由于，所以點(diǎn)在函數(shù)f(x)和g(x)的圖像上，所以點(diǎn)是“亮點(diǎn)”.故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查指數(shù)和對數(shù)的運(yùn)算，考查指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】

由不等式的解集為R，得的圖象要開口向上，且判別式，即可得到本題答案.【題目詳解】由不等式的解集為R，得函數(shù)的圖象要滿足開口向上，且與x軸至多有一個交點(diǎn)，即判別式.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查一元二次不等式恒成立問題.9、A【解題分析】

根據(jù)對稱性，求得，求得圓的圓心坐標(biāo)，再根據(jù)直線l為線段C1C2的垂直平分線，求得直線的斜率，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，圓的方程，可化為，根據(jù)對稱性，可得：，解得：或（舍去，此時半徑的平方小于0，不符合題意），此時C1(0，0)，C2(－1，2)，直線C1C2的斜率為：，由圓C1和圓C2關(guān)于直線l對稱可知：直線l為線段C1C2的垂直平分線，所以，解得，直線l又經(jīng)過線段C1C2的中點(diǎn)(，1)，所以直線l的方程為：，化簡得：，故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記兩圓的位置關(guān)系，合理應(yīng)用圓對稱性是解答本題的關(guān)鍵，其中著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解題分析】∵，∴，又，∴，又為三角形的內(nèi)角，所以，故。選C。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

直接利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，即可得到結(jié)果．【題目詳解】．故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力．12、【解題分析】

根據(jù)莖葉圖中數(shù)據(jù)和中位數(shù)的定義可構(gòu)造方程求得.【題目詳解】甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，解得：故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查莖葉圖中中位數(shù)相關(guān)問題的求解，屬于基礎(chǔ)題.13、【解題分析】

先求的值域,再求的值域即可.【題目詳解】因?yàn)?故,故.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了余弦函數(shù)的值域與反三角函數(shù)的值域等,屬于基礎(chǔ)題型.14、1【解題分析】

依題意，這是一個等比數(shù)列，公比為2，前7項(xiàng)和為181，由此能求出結(jié)果．【題目詳解】依題意，這是一個等比數(shù)列，公比為2，前7項(xiàng)和為181，∴181，解得a1＝1．故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的首項(xiàng)的求法，考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，是基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

根據(jù)，得到的值，再由余弦定理，得到的值.【題目詳解】因?yàn)?，所以，在中，，，由余弦定理?所以.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查二倍角的余弦公式，余弦定理解三角形，屬于簡單題.16、【解題分析】

利用無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和，可求得，從而，利用首項(xiàng)是某個自然數(shù)，可求，進(jìn)而可求出.【題目詳解】無窮等比數(shù)列各項(xiàng)和為3，，是個自然數(shù)，則，.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、6【解題分析】

直接利用扇形的面積公式，即可得到本題答案.【題目詳解】因?yàn)樯刃蔚陌霃?，扇形的面積，由，得，所以該扇形的弧長為6.故答案為：6【題目點(diǎn)撥】本題主要考查扇形的面積公式的應(yīng)用.18、（1）；（2）.【解題分析】

(1)根據(jù)正弦定理把題設(shè)等式中的邊換成相應(yīng)角的正弦,化簡整理可求得,進(jìn)而求得;(2)根據(jù)余弦定理得,結(jié)合求得的值,進(jìn)而由三角形的面積公式求得面積.【題目詳解】（1）根據(jù)正弦定理,又,．（2）由余弦定理得:,代入得,故面積為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函數(shù)，屬于簡單題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.19、（1）（2），【解題分析】

（1）利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡函數(shù)解析式后，分三種情況、和討論，根據(jù)二次函數(shù)求最小值的方法求出的最小值的值即可；（2）把代入到第一問的的第二和第三個解析式中，求出的值，代入中得到的解析式，利用配方可得的最大值．【題目詳解】（1）由題意，函數(shù)∵，∴，若，即，則當(dāng)時，取得最小值，.若，即，則當(dāng)時，取得最小值，.若即，則當(dāng)時，取得最小值，，∴．（2）由（1）及題意，得當(dāng)時，令，解得或（舍去）；當(dāng)時，令，解得（舍去），綜上，，此時，則時，取得最大值.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用二次函數(shù)的方法求三角函數(shù)的最值，要求熟練掌握余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)，其中解答中合理轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．20、（1）；（2）見解析【解題分析】

（1）利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系式的應(yīng)用，可求得cosα，sinβ，再利用兩角差的正弦、余弦與正切公式即可求得cos（α﹣β）的值．（2）利用切化弦結(jié)合二倍角公式化簡即可證明【題目詳解】（1）∵sinα，cosβ，且α、β都是第二象限的角，∴cosα，sinβ，∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）