吉林省長春市二道區(qū)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期12月期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

九年級質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題本試卷包括三道大題，共24題，共6頁．全卷滿分120分．考試時間為120分鐘．考試結(jié)束后，只交答題卡．一、選擇題（本大題共8道小題，每小題3分，共24分）1．若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍（）A．x≥2 B．x≤2C．x＞2 D．x＜22．若關(guān)于的一元二次方程的一個根是，則的值是（

）A． B． C．3 D．63．用配方法解方程，下列配方正確的是（

）A． B． C． D．4．若，則的值為（

）A． B． C． D．5．如果在中，點(diǎn)、、分別為邊、、的中點(diǎn)，，，，那么的面積為（

）A． B．15 C．30 D．606．教育部發(fā)布的統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，近年來越來越多的出國留學(xué)人員學(xué)成后選擇回國發(fā)展，留學(xué)回國與出國留學(xué)人數(shù)“逆差”逐漸縮?。?021年各類留學(xué)回國人員總數(shù)為36.48萬人，而2023年各類留學(xué)回國人員總數(shù)為43.25萬人．如果設(shè)2021年到2023年各類留學(xué)回國人員總數(shù)的年平均增長率為x，那么根據(jù)題意可列出關(guān)于x的方程為（

）A． B．C． D．7．如圖，已知直線，且相鄰兩平行線間的距離均相等，等腰直角三角形中，．若點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，則的值為（

）A． B． C． D．8．如圖是一個的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)、、、均為格點(diǎn)．與相交于點(diǎn)，則圖中的面積為（

）A．5 B．6 C． D．二、填空題（本大題共6道小題，每小題3分，共18分）9．比較大?。海ㄕ?zhí)顚憽?gt;”、“<”或“=”）．10．關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值為．11．在一個不透明的袋子中裝有紅、白兩種顏色的小球共20個，這些小球除了顏色不同外其它特質(zhì)均相同．欣欣同學(xué)進(jìn)行了摸球試驗(yàn)，每次摸出一個小球記下顏色，然后放回袋中攪拌均勻，再從中摸出一個…如此重復(fù)，經(jīng)大量的試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在左右，由此可以估計袋中紅球的個數(shù)為個．12．如圖，在測量一個小口圓形容器的壁厚（厚度均勻）時，小明先用一個交叉卡鉗（兩條尺長和相等）按圖中方法測量零件的內(nèi)孔直徑．現(xiàn)如果，且量得，零件的外徑為，則圓形容器的壁厚是．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是第一象限的點(diǎn)，其坐標(biāo)為，且與軸正半軸的夾角的正切值為，則的值為．14．如圖①，一張正三角形紙片，，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)．如圖②，將沿翻折得到，與的邊相交于點(diǎn)和點(diǎn)．若，，則的長度為．三、解答題（本大題共10小題，共78分）15．計算：．16．解方程：．17．為了進(jìn)一步培養(yǎng)青少年對冰雪運(yùn)動的興趣，長春市多家滑雪場面向青少年優(yōu)惠開放，有凈月潭滑雪場、天定山滑雪場、廟香山滑雪場三個雪場可供學(xué)生選擇．現(xiàn)有三張正面印有這三個滑雪場圖案的不透明卡片，依次記為A、B、C，這三張卡片除正面圖案不同外，其余均相同．將這三張卡片背面向上洗勻，小張從中隨機(jī)抽取一張，記下圖案后背面向上放回，重新洗勻后小亮再從中隨機(jī)抽取一張.請用畫樹狀圖或列表的方法，求小張和小亮抽到同一雪場的概率．

18．已知關(guān)于的一元二次方程．求證：對于任意實(shí)數(shù)，原方程總有兩個實(shí)數(shù)根．19．如圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，點(diǎn)、均為格點(diǎn).只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作圖：(1)在圖①中，點(diǎn)、、為格點(diǎn)，在邊上找一點(diǎn)，連結(jié)，使得．(2)在圖②中，點(diǎn)、為格點(diǎn)，點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)，連結(jié)，在上找一點(diǎn)，使得.（保留作圖痕跡）(3)在圖③中，點(diǎn)、為為網(wǎng)格線上的點(diǎn)，點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)連結(jié)，在邊上找一點(diǎn)，連結(jié)，使得．（保留作圖痕跡）20．某臨街店鋪在窗戶上方安裝如圖①所示的遮陽棚，其側(cè)面如圖②所示，遮陽棚展開長度，遮陽棚與墻面的夾角.，求遮陽棚前端到墻面的距離．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）21．如圖，公園有一塊正方形空地，現(xiàn)在從這塊空地上劃出部分區(qū)域栽種鮮花（圖中陰影部分），原空地邊減少到點(diǎn)處，另一邊減少到點(diǎn)處，若剩余空地是矩形且面積為．(1)求原正方形空地的邊長．(2)實(shí)際建造時要求栽種鮮花的面積是原正方形空地面積的一半，且不改變的長度，求實(shí)際建造時的長度．22．【閱讀材料】閱讀下列材料，然后回答問題：（?。┯欣砘蚴剑簝蓚€含有根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有根式，那么這兩個代數(shù)式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是；的有理化因式是．（ⅱ）分母有理化：分母有理化又稱“有理化分母”，也就是把分母中的根號化去，指的是如果二次根式中分母有根號，那么通常在分子、分母上同乘以一個二次根式，達(dá)到化去分母中根號的目的．例如：；．【知識運(yùn)用】（1）填空：的有理化因式是______（寫出一個即可）；的有理化因式是______．（2）把下列各式的分母有理化：①；②．（3）化簡：．23．【感知】小明同學(xué)在學(xué)習(xí)相似三角形時遇到這樣一個問題：如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的一個三等分點(diǎn)，且．連結(jié)，交于點(diǎn)，求的值．小明發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)作交于，可證明，得到相關(guān)結(jié)論后，再利用相似三角形的性質(zhì)即可得到問題的答案．下面是小明的部分證明過程：解：如圖①，過點(diǎn)作交于，則，，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∵是的一個三等分點(diǎn)，且，∴，∴，∴請你補(bǔ)全余下的證明過程．【嘗試應(yīng)用】如圖②，在中，為上一點(diǎn)，，連結(jié)，若，交、于點(diǎn)、．若，，，則的長為______．【拓展提高】如圖③，在平行四邊形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，與、分別交于點(diǎn)、，若，則的值為______．24．如圖，在矩形中，是對角線，，．動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線以每秒4個單位長度的速度向點(diǎn)運(yùn)動；與此同時，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，、兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，以和為鄰邊作平行四邊形．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為秒（）．(1)用含的代數(shù)式表示線段的長為______．(2)______．(3)當(dāng)與平行四邊形重合部分是四邊形時，求的取值范圍．(4)當(dāng)直線將平行四邊形分成兩部分的面積比為時，直接寫出的值．

參考答案與解析

1．A【分析】二次根式有意義，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，即x-2≥0，解不等式求x的取值范圍．【詳解】∵在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴x?2≥0，解得x≥2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握二次根式有意義的條件．2．D【分析】本題考查一元二次方程的根，根據(jù)定義“一元二次方程的根是使這個一元二次方程兩邊相等的未知數(shù)的值”，將代入，得到關(guān)于m的一元一次方程，解方程即可得到m的值．【詳解】解：將代入，得：，解得，故選D．3．C【分析】此題考查了解一元二次方程?配方法，利用此方法解方程時，首先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，常數(shù)項(xiàng)移動方程右邊，然后左右兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并為一個非負(fù)常數(shù)，開方轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解．方程常數(shù)項(xiàng)移動右邊，左右兩邊都加上16，左邊化為完全平方式，右邊合并即可得到結(jié)果．【詳解】解：方程，移項(xiàng)得：∴，即．故選：C．4．B【分析】本題考查比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題．設(shè)，代入計算即可．【詳解】解：∵，∴可以假設(shè)∴．故選：B．5．A【分析】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理的逆定理，熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理的逆定理得到，求出的周長和面積，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵，，，，∴，，的周長，∴，∴，∴∵點(diǎn)、、分別為邊、、的中點(diǎn)，∴∴，且相似比為，∴的周長，故選：A．6．C【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用增長率的計算，根據(jù)題意解題即可．【詳解】解：設(shè)2021年到2023年各類留學(xué)回國人員總數(shù)的年平均增長率為x，則2022的留學(xué)回國人員總數(shù)為：，2023的留學(xué)回國人員總數(shù)為：，那么可得方程：故選：C．7．B【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，根據(jù)同角的余角相等求出，然后利用“角角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，然后利用勾股定理列式求出，由銳角的余弦定義即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，設(shè)相鄰兩平行線間的距離為，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，．故選：B．8．C【分析】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積．根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求出，再根據(jù)三角形面積公式求出，，兩式相減求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，，，，，，，，，，故選：C．9．【分析】先將兩個無理數(shù)平方后比大小，進(jìn)而可得兩個無理數(shù)的大小．【詳解】解：，，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了無理數(shù)比大?。忸}的關(guān)鍵在于熟練掌握無理數(shù)比大小的方法．10．【分析】根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)不為零，最高次項(xiàng)的次數(shù)為2，求解即可．【詳解】∵關(guān)于x的方程是一元二次方程，∴，∴，且，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義即形如的整式方程，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．11．12【分析】本題主要考查了用頻率估計概率，已知概率求數(shù)量，在大量反復(fù)試驗(yàn)下，頻率的穩(wěn)定值即為概率值得到摸到紅球的概率為，再用球的總數(shù)乘以摸到紅球的概率即可求出紅球的數(shù)量．【詳解】解：∵經(jīng)大量的試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在左右，∴摸到紅球的概率為，∴可以估計袋中紅球的個數(shù)為個，故答案為：12．12．4【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，只要把實(shí)際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比求出零件的內(nèi)孔直徑即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，∴圓形容器的壁厚是，故答案為：4．13．6【分析】本題考查解直角三角形，過P作軸于H，由P的坐標(biāo)，得到，，由銳角的正切等于求出，即可得到x的值為6．【詳解】解：過P作軸于H，∵P的坐標(biāo)是，∴，，∵，∴，∴x的值為6．故答案為：6．14．9【分析】本題考查了翻折變換（折疊問題），等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，從而可得，再利用折疊的性質(zhì)可得：，，從而可得，，然后證明8字模型相似，從而利用相似三角形的性質(zhì)求出的長，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算，即可解答．【詳解】解：是等邊三角形，，，，，由折疊得：，，，，，，，，，，故答案為：9．15．【分析】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則即可求出答案．【詳解】原式.16．，【分析】本題考查了解一元二次方程，根據(jù)配方法解一元二次方程，即可求解．【詳解】解：，∴，∴，∴，∴，解得：，．17．【分析】本題考查用列表法或樹狀圖法求概率，通過列表或畫樹狀圖列出所有等可能的情況，再從中找出符合條件的情況，利用概率公式計算即可．【詳解】解：根據(jù)題意，樹狀圖如下：

由圖可知，共有9種等可能的情況，其中小張和小亮抽到同一雪場的情況有3種，，因此小張和小亮抽到同一雪場的概率為．18．見解析【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程沒有實(shí)數(shù)根，據(jù)此求解即可．【詳解】證明：在一元二次方程中，∵，，，∴．

∵無論為任意實(shí)數(shù)，．∴對于任意實(shí)數(shù)，原方程總有兩個實(shí)數(shù)根．19．(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查了無刻度直尺作圖，平行四邊形的性質(zhì)與判定，三角形中位線的性質(zhì)；（1）取的中點(diǎn)，連接即可；（2）取BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接交一點(diǎn)，點(diǎn)即為所求；（3）取BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接交一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接即可．【詳解】（1）如圖①中，線段即為所求；（2）如圖②中，點(diǎn)即為所求；（3）如圖③中，線段即為所求．20．遮陽棚前端到墻面的距離為【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，作于E，在中，根據(jù)列式計算是解題的關(guān)鍵．【詳解】過點(diǎn)作于點(diǎn)，則．在中，，，，

∴．∴遮陽棚前端到墻面的距離為．21．(1)原正方形空地邊長為6米(2)實(shí)際建造時的長度為4.5米【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程．（1）設(shè)原正方形空地的邊長為根據(jù)剩余空地是矩形且面積為．列出一元二次方程，解之取其正值即可；（2）根據(jù)實(shí)際建造時栽種鮮花的面積是原正方形空地面積的一半，列出一元一次方程，解方程即可．【詳解】（1）解：設(shè)原正方形空地的邊長為由題意得：，解得，（舍）.答：原正方形空地邊長為6米.（2）解：依題意，答：實(shí)際建造時的長度為4.5米.22．（1）；；（2）①；②；（3）2【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，分母有理化：（1）根據(jù)有理化因式定義求解；（2）①②利用分母有理化計算；（3）先分母有理化，然后合并即可．【詳解】（1）的有理化因式是（答案不唯一）；的有理化因式是.故答案為：（答案不唯一）；；（2）①.②.

（3）.23．【感知】3，補(bǔ)全證明見詳解；【嘗試應(yīng)用】；【拓展提高】【感知】由得，可推導(dǎo)出，進(jìn)而得出答案．【嘗試應(yīng)用】取的中點(diǎn)H，連結(jié)，得，則，可證，得，可得，進(jìn)而求得．【拓展提高】作交于點(diǎn)L，得，由平行四邊形得和，可證，得到，由，得到，進(jìn)一步得，則有．【詳解】解：感知：如圖①，過點(diǎn)作交于，則，，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∵是的一個三等分點(diǎn)，且，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，嘗試應(yīng)用：取的中點(diǎn)H，連結(jié)，如下圖：則，∵，，，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．拓展提高：如圖，作交于點(diǎn)L，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，∴，則，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∴，則，∵，∴，∴，則，那么，，∴，故．故答案為∶．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線并轉(zhuǎn)化線段之間的關(guān)系．24．(1)(2)(3)當(dāng)時，與平行四邊形重合部分是四邊形(4)t的值為1或或或【分析】（1）根據(jù)題意易得先到達(dá)終點(diǎn)，所以，，即可得到答案；（2）；（3）分別討論點(diǎn)在線段和上的兩種情況即可，在線段上時需要點(diǎn)在線段以下，在線段上時需要點(diǎn)在點(diǎn)以上；（4）分別討論點(diǎn)在線段和上的重合部分分別為三角形和四邊形的四種情