湖南瀏陽一中、株洲二中等湘東五校2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

湖南瀏陽一中、株洲二中等湘東五校2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且邊上的高為，則的最大值是（）A．8 B．6 C． D．42．圓上的一點(diǎn)到直線的最大距離為（）A． B． C． D．3．如圖，直角的斜邊長為2，，且點(diǎn)分別在軸，軸正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)在線段的右上方．設(shè)，（），記，，分別考察的所有運(yùn)算結(jié)果，則（）A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值4．在中，角所對(duì)的邊分別為,若的面積，則()A． B． C． D．5．某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為（）A．12π B．45π C．57π D．81π6．在四邊形中，，且·＝0，則四邊形是（）A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形7．已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，終邊落在射線上，則（）A． B． C． D．8．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則(

)A．36 B．30 C．24

D．19．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為A．B．C．D．10．南北朝數(shù)學(xué)家祖暅在推導(dǎo)球的體積公式時(shí)構(gòu)造了一個(gè)中間空心的幾何體，經(jīng)后繼學(xué)者改進(jìn)后這個(gè)中間空心的幾何體其三視圖如圖所示，下列那個(gè)值最接近該幾何體的體積（）A．8 B．12 C．16 D．24二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則_____．12．已知某中學(xué)高三學(xué)生共有800人參加了數(shù)學(xué)與英語水平測(cè)試，現(xiàn)學(xué)校決定利用隨機(jī)數(shù)表法從中抽取100人的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，先將800人按001，002，…，800進(jìn)行編號(hào)．如果從第8行第7列的數(shù)開始從左向右讀，（下面是隨機(jī)數(shù)表的第7行至第9行）844217533157245506887704744767217633502683925316591692753562982150717512867363015807443913263321134278641607825207443815則最先抽取的2個(gè)人的編號(hào)依次為_____．13．已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若，則__________．14．已知函數(shù)，它的值域是__________.15．若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____.16．已知，則與的夾角等于____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，已知點(diǎn)，邊上的中線所在直線的方程為，邊上的高所在直線的方程為.（1）求直線的方程；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo).18．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.19．如圖所示，在三棱柱中，與都為正三角形，且平面，分別是的中點(diǎn).求證：（1）平面平面；（2）平面平面.20．在相同條件下對(duì)自行車運(yùn)動(dòng)員甲?乙兩人進(jìn)行了6次測(cè)試，測(cè)得他們的最大速度（單位:）的數(shù)據(jù)如下:甲273830373531乙332938342836試判斷選誰參加某項(xiàng)重大比賽更合適.21．如圖，已知等腰梯形中，是的中點(diǎn)，，將沿著翻折成，使平面平面．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】，這個(gè)形式很容易聯(lián)想到余弦定理：cosA，①而條件中的“高”容易聯(lián)想到面積，bcsinA，即a2＝2bcsinA，②將②代入①得：b2＋c2＝2bc(cosA＋sinA)，∴＝2(cosA＋sinA)＝4sin(A＋)，當(dāng)A＝時(shí)取得最大值4，故選D．點(diǎn)睛：三角形中最值問題，一般轉(zhuǎn)化為條件最值問題:先根據(jù)正、余弦定理及三角形面積公式結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，利用基本不等式或函數(shù)方法求最值.在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.2、D【解題分析】

先求出圓心到直線距離，再加上圓的半徑，就是圓上一點(diǎn)到直線的最大距離．【題目詳解】圓心（2,1）到直線的距離是，所以圓上一點(diǎn)到直線的最大距離為，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查圓上一點(diǎn)到直線距離最值的求法，以及點(diǎn)到直線的距離公式．3、B【解題分析】

設(shè)，用表示出，根據(jù)的取值范圍，利用三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)，進(jìn)而求得最值的情況.【題目詳解】依題意，所以.設(shè)，則，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值為.，所以，所以，當(dāng)時(shí)，有最小值為.故選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.4、B【解題分析】

利用面積公式及可求，再利用同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求，最后利用余弦定理可求的值.【題目詳解】因?yàn)?，故，所以，因?yàn)椋?，又，由余弦定理可得，?故選B.【題目點(diǎn)撥】三角形中共有七個(gè)幾何量（三邊三角以及外接圓的半徑），一般地，知道其中的三個(gè)量（除三個(gè)角外），可以求得其余的四個(gè)量.（1）如果知道三邊或兩邊及其夾角，用余弦定理；（2）如果知道兩邊即一邊所對(duì)的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三條邊）；（3）如果知道兩角及一邊，用正弦定理.5、C【解題分析】由三視圖可知，此組合體上部是一個(gè)母線長為5，底面圓半徑是3的圓錐，下部是一個(gè)高為5，底面半徑是3的圓柱故它的體積是5×π×32+π×32×=57π故選C6、A【解題分析】

由可得四邊形為平行四邊形，由·＝0得四邊形的對(duì)角線垂直，故可得四邊形為菱形．【題目詳解】∵，∴與平行且相等，∴四邊形為平行四邊形．又，∴，即平行四邊形的對(duì)角線互相垂直，∴平行四邊形為菱形．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查向量相等和向量數(shù)量積的的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解有關(guān)的概念，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解題分析】

在的終邊上取點(diǎn),然后根據(jù)三角函數(shù)的定義可求得答案.【題目詳解】在的終邊上取點(diǎn),則,根據(jù)三角形函數(shù)的定義得.故選:D【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)求三角函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

通過等差中項(xiàng)的性質(zhì)即可得到答案.【題目詳解】由于，故，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，難度較小.9、A【解題分析】

根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，列出不等式求解，即可得出結(jié)果.【題目詳解】的單調(diào)減區(qū)間為，,解得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的單調(diào)性，熟記正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可，屬于?？碱}型.10、C【解題分析】

由三視圖確定此幾何體的結(jié)構(gòu)，圓柱的體積減去同底同高的圓錐的體積即為所求.【題目詳解】該幾何體是一個(gè)圓柱挖掉一個(gè)同底同高的圓錐，圓柱底為2，高為2，所求體積為，所以C選項(xiàng)最接近該幾何體的體積.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查由三視圖確定幾何體的結(jié)構(gòu)及求其體積，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、4或1024【解題分析】

當(dāng)時(shí)得到，當(dāng)時(shí)，代入公式計(jì)算得到，得到答案.【題目詳解】比數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)：易知，代入驗(yàn)證，滿足，故當(dāng)時(shí)：故答案為：4或1024【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列，忽略掉的情況是容易發(fā)生的錯(cuò)誤.12、165；535【解題分析】

按照題設(shè)要求讀取隨機(jī)數(shù)表得到結(jié)果，注意不符合要求的數(shù)據(jù)要舍去.【題目詳解】讀取的第一個(gè)數(shù)：滿足；讀取的第二個(gè)數(shù)：不滿足；讀取的第三個(gè)數(shù)：不滿足；讀取的第三個(gè)數(shù)：滿足.【題目點(diǎn)撥】隨機(jī)數(shù)表的讀取規(guī)則：從指定位置開始，按照指定位數(shù)讀取，一次讀取一組，若讀取的數(shù)不符合規(guī)定（不在范圍之內(nèi)），則舍去，重新讀取.13、【解題分析】

設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，由得到，再進(jìn)一步分析即得解.【題目詳解】如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以可得，整理?又，所以，所以，又，所以．故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量的運(yùn)算法則和共線向量，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，解答本題的關(guān)鍵是作輔助線，屬于中檔題.14、【解題分析】

由反余弦函數(shù)的值域可求出函數(shù)的值域.【題目詳解】，，因此，函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查反三角函數(shù)值域的求解，解題的關(guān)鍵就是依據(jù)反余弦函數(shù)的值域進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

用換元法把不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式．然后用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值．【題目詳解】設(shè)，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，不等式化為，即，不等式在上恒成立，時(shí)，顯然成立，，對(duì)上恒成立，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知在是減函數(shù)，時(shí)，，∴，即．綜上，．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式恒成立問題，解題方法是轉(zhuǎn)化與化歸，首先用換元法化指數(shù)型不等式為一元二次不等式，再用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值．16、【解題分析】

根據(jù)向量的坐標(biāo)即可求出，根據(jù)向量夾角的公式即可求出．【題目詳解】∵，，，，∴，又，∴．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】考查向量坐標(biāo)的數(shù)量積運(yùn)算，向量坐標(biāo)求向量長度的方法，以及向量夾角的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）先計(jì)算，過點(diǎn)，得到答案.（2）聯(lián)立直線方程：解得答案.【題目詳解】解：（1）由邊上的高所在直線方程為得，則.又∵，∴直線的方程為，即（或）.（2）因?yàn)檫吷系闹芯€過點(diǎn)，則聯(lián)立直線方程：.解得：，即點(diǎn)坐標(biāo)為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.18、（1）；（2），.【解題分析】

（1）利用二倍角余弦、正弦公式以及輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)，然后利用周期公式可計(jì)算出函數(shù)的最小正周期；（2）由計(jì)算出的取值范圍，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得出函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【題目詳解】（1），因此，函數(shù)的最小正周期為；（2），，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)周期和最值的計(jì)算，同時(shí)也考查了利用二倍角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)，在求解三角函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題時(shí)，首先應(yīng)計(jì)算出對(duì)象角的取值范圍，結(jié)合同名三角函數(shù)的基本性質(zhì)來計(jì)算，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.19、(1)見解析.(2)見解析.【解題分析】

（1）由分別是的中點(diǎn)，證得，由線面平行的判定定理，可得平面，平面，再根據(jù)面面平行的判定定理，即可證得平面平面.（2）利用線面垂直的判定定理，可得平面，再利用面面垂直的判定定理，即可得到平面平面.【題目詳解】（1）在三棱柱中，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，根據(jù)線面平行的判定定理，可得平面，平面又，∴平面平面.（2）在三棱柱中，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面.【題目點(diǎn)撥】本題考查線面位置關(guān)系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關(guān)系的定義、判定、幾何特征是解答的關(guān)鍵，其中垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．20、乙，理由見解析.【解題分析】

分別求解兩人的測(cè)試數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，然后進(jìn)行判定.【題目詳解】甲的平均數(shù)為：，方差為：;乙的平均數(shù)為：，方差為：;因?yàn)?，，所以選擇乙參加比賽較為合適.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查統(tǒng)計(jì)量的求解及決策問題，平均數(shù)表示平均水平的高低，方差表示穩(wěn)定性，側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).21、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）二面角的余弦值為；（Ⅲ）存在點(diǎn)P，使得平面，且．【解題分析】

試題分析：（I）根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，需證明垂直平面內(nèi)的兩條相交直線．由題意易得四邊形是菱形，所以，從而，即，進(jìn)而證得平面．（Ⅱ）由（I）可知，、、兩兩互相垂直，故可以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可求得二面角的余弦值．（Ⅲ）根據(jù)直線與平面平行的判定定理，只要能找到一點(diǎn)P使得PM平行平面內(nèi)的一條直線即可．由于，故可取線段中點(diǎn)P，中點(diǎn)Q，連結(jié)．則，且．由此即可得四邊形是平行四邊形，從而問題得證．試題解析：（I）由題意可知四邊形是平行四邊形，所以，故．又因?yàn)?，M為AE的中點(diǎn)所以，即又因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形．所以故．因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．因?yàn)?，?/p>