【數(shù)學(xué)】?jī)?nèi)蒙古呼和浩特市2024屆高三上學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題（文）（解析版）

內(nèi)蒙古呼和浩特市2024屆高三上學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（文）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由已知得，則，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選：.3.已知直線(xiàn)、m、n與平面、，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，，則【答案】B【解析】A選項(xiàng)，如圖1，滿(mǎn)足，，但不垂直，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，如圖2，因?yàn)椋宰髌矫?，使得，且，則，因?yàn)?，則，又，故，B正確；C選項(xiàng)，如圖3，滿(mǎn)足，，但不平行，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，如圖4，滿(mǎn)足，，，但不平行，D錯(cuò)誤.故選：B4.已知是偶函數(shù)，則的值是（）A B. C. D.2【答案】C【解析】由函數(shù)是偶函數(shù)，則，可得，即，所以，解得.故選：C.5.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱(chēng)為“趙爽弦圖”.他用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的證明，極富創(chuàng)新意識(shí).“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如圖，若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則（）A.9 B.12 C.15 D.16【答案】B【解析】因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e是25，小正方形的面積是1，所以,設(shè)，則，在中，，即，解得或（舍去），所以，易知在正方形中，，，，所以.故選：B.6.函數(shù)的圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，因此函?shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，BD錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，則，因此，C錯(cuò)誤，A符合題意.故選：A7.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為3，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，故為首項(xiàng)為，公比為9的等比數(shù)列，則.故選：D8.用模型擬合一組數(shù)據(jù)組，其中，設(shè)，得變換后的線(xiàn)性回歸方程為，則（）A. B. C.35 D.21【答案】B【解析】由題意得，故，即，故，解得.故選：B9.已知一個(gè)正三棱柱的三視圖如下圖所示，則該三棱柱的體積為（）A. B.12 C. D.16【答案】A【解析】由三視圖還原幾何體如圖所示，則底面正三角形一邊上的高為，正四棱柱的高為2，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則，解得，所以三棱柱的體積為.故選：A10.直線(xiàn)（）截圓所得弦長(zhǎng)的最小值是（）A.2 B. C.4 D.6【答案】C【解析】依題意，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，圓的圓心，半徑，，即點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直時(shí)，直線(xiàn)截圓所得弦長(zhǎng)最短，所以所求最短弦長(zhǎng)為.故選：C11.《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱(chēng)之為鱉臑.若三棱錐為鱉臑，平面，，，三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的外接球即為三棱錐的外接球，如圖，的中點(diǎn)即為外接球的球心，為直徑，由勾股定理得，故半徑為，球的表面積為.故選：B12.定義在上奇函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上所有零點(diǎn)的和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足，則，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，則，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)在上的圖象以及函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)在上的圖象與函數(shù)的圖象共有個(gè)交點(diǎn)，且這個(gè)交點(diǎn)有三對(duì)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因此，函數(shù)在上所有零點(diǎn)的和為.故選：B.二、填空題13.拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)__________.【答案】【解析】由拋物線(xiàn)，化為，可得，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.14.當(dāng)x、y滿(mǎn)足條件時(shí)，的最小值為_(kāi)_________.【答案】8【解析】畫(huà)出可行域及目標(biāo)函數(shù)，如下：陰影部分即為可行域，為直線(xiàn)與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由幾何意義可知，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值，聯(lián)立，解得，故.故答案為：815.已知等差數(shù)列是遞增數(shù)列，且滿(mǎn)足，，令，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和為_(kāi)_________.【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，可得其中，解得，所以，所以，可得，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.故答案為：.16.已知雙曲線(xiàn)：（，）的左右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于、兩點(diǎn)（在第一象限，在第四象限），若，則該雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_____.【答案】【解析】因?yàn)?，設(shè)，由雙曲線(xiàn)的定義得：所以故，，又因?yàn)?，所以，所?即，.所以雙曲線(xiàn)的離心率.故答案為：.三、解答題（一）必考題17.2023年秋末冬初，某市發(fā)生了一次流感疾病，某醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究本地的流感疾病與當(dāng)?shù)鼐用裆盍?xí)慣（良好、不夠良好）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱(chēng)為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱(chēng)為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：

良好不夠良好病例組2575對(duì)照組4555（1）分別估計(jì)病例組和對(duì)照組中生活習(xí)慣為良好的概率；（2）能否有99%的把握認(rèn)為感染此次流感疾病與生活習(xí)慣有關(guān)？附：0.0500.0100.0013.841663510.828解：（1）由調(diào)查數(shù)據(jù)，病例組為生活習(xí)慣為良好的頻率，因此病例組為生活習(xí)慣為良好的概率的估計(jì)值為，對(duì)照組為生活習(xí)慣為良好的頻率，因此對(duì)照組為生活習(xí)慣為良好的概率的估計(jì)值為.（2）由題意可知，所以，因?yàn)?，所以有的把我說(shuō)患有該疾病與生活習(xí)慣有關(guān).18.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c.已知，.（1）若，求角A；（2）若的面積，求邊c.解：（1）∵，則，∴，由正弦定理得，即，解得，又∵，∴，∴.（2）∵，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，由余弦定理得，，當(dāng)時(shí)，由余弦定理得，，所以或.19.如圖1，在直角梯形ABCD中，，，，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn).將沿BE折起到如圖2中的位置，得到四棱錐.圖1圖2（1）證明：；（2）當(dāng)平面平面時(shí)，求三棱錐的體積.（1）證明：在圖1中，連接,∵，，E是AD的中點(diǎn)，所以四邊形是正方形，∴,∴在圖2中，，，又，、平面，∴平面.又，且，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴平面，又∵平面，∴；（2）解：∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，又∵，，∴.20.已知橢圓：的焦距為2，點(diǎn)在橢圓C上，A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）若點(diǎn)P是橢圓C上第二象限內(nèi)的點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線(xiàn)上，且，，求的面積.解：（1）由橢圓C的焦距為2，故，則，又橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入C得，解得，，所以橢圓C的方程為.（2）由題：，，設(shè)，，顯然，，，∵，則點(diǎn)P滿(mǎn)足：①又∵，∴②聯(lián)立①②得，解得，又點(diǎn)P在第二象限，且滿(mǎn)足，∴，，∴把，，代入①得，∴又∵，∴，直線(xiàn)方程為：，∴點(diǎn)Q到直線(xiàn)AP的距離，∴.21.已知函數(shù).（1）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，，求的取值范圍.解：（1）由題意可知：的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）因?yàn)?，等于函?shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差，由（1）可知：當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，又，.故當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，即：.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，即.綜上所述：所以，的取值范圍是.（二）選考題[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（），曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求曲線(xiàn)的普通方程；（2）若，，在曲線(xiàn)上任取一點(diǎn)，求的面積.解：（1）由的參數(shù)方程為（），消去可得普通方程為；（2）易知的普通方程為，直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)方程為