江蘇省南京市鼓樓區(qū)南京師大附中2023-2024學年高一上學期期中數(shù)學試題及答案

第1頁/共1頁南京師大附中2023-2024學年度第1學期高一年級期中考試數(shù)學試卷一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.已知集合，則集合（）A. B. C. D.2.函數(shù)的增區(qū)間是（）A B. C. D.3.若命題“，使得”是真命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.4.已知冪函數(shù)的定義域為，且，則的值為（）A. B.0 C.1 D.25.已知二次函數(shù)的圖像與軸交于兩點，則關于的不等式的解集為（）A. B. C. D.6.有一個非常有趣的數(shù)列叫做調(diào)和數(shù)列，此數(shù)列的前項和已經(jīng)被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：當很大時，其中稱為歐拉—馬歇羅尼常數(shù)，至今為止都還不確定是有理數(shù)還是無理數(shù)．由于上式在很大時才成立，故當較小時計算出的結果與實際值之間是存在一定的誤差的，已知，用上式估算出的與實際的的誤差絕對值近似為（）A0.03 B.0.12 C.0.17 D.0.217.函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.8.已知互不相同的實數(shù)，滿足，則的值為（）A. B.1 C.2 D.3二．多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）9.下列各個選項中，滿足的集合有（）A. B. C. D.10.下列四組函數(shù)中，與（或）表示同一函數(shù)的有（）A. B.C. D.11.下列各個選項中，是的充分不必要條件的有（）A.在中，是鈍角，是鈍角三角形B.均為無理數(shù)，為無理數(shù)C.D.12.當時，用表示不超過的最大整數(shù)，如：．已知函數(shù)，則（）A. B.函數(shù)的值域為C.存在無數(shù)多個，有 D.存在無限實數(shù)集，對于，當時，有三．填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，則______．14.若函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是____________．15.已知函數(shù)，若存在非零實數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是______．16.已知，則的最小值為______．四．解答題（本大題共6小題，共70分．）17.計算：（1）：（2）．18.設函數(shù)（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增：（2）當時，求函數(shù)最大值．19.南京馬拉松作為江蘇省的省會馬拉松賽，創(chuàng)辦于2015年，六年的時間它已成為中國馬拉松金牌賽事世界田聯(lián)標牌賽事，有穿越中華門、玄武湖、總統(tǒng)府等經(jīng)典景點的比賽路線，為了迎接2023年11月南京馬拉松賽的回歸，某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙（如圖）上設計三個等高的宣傳欄（欄面分別為兩個全等的直角三角形和一個等腰三角形），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為．為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度也都是），．（1）當時，求海報紙（矩形）周長：（2）為了節(jié)約成本，應如何選擇海報紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形的面積最?。?？20.設甲：，乙：．（1）當時，求甲中不等式的解集；（2）若甲是乙必要不充分條件，求的取值范圍．21.已知定義在上的函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減．（1）證明：函數(shù)是偶函數(shù)；（2）解關于的不等式．22.設．（1）若對于，且，都有成立，求的取值范圍；（2）若關于的方程有實根，求的取值范圍．

南京師大附中2023-2024學年度第1學期高一年級期中考試數(shù)學試卷一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.已知集合，則集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合B的描述，及集合A中元素，應用交運算寫出.【詳解】對于集合B，由時，由時．此外的取值都不在集合A內(nèi)，均不滿足交集結果．所以.故選：D2.函數(shù)的增區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式，求得函數(shù)的定義域，結合復合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，即可求解.【詳解】由不等式，即，解得或，當時，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，函數(shù)單調(diào)遞增，根據(jù)復數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的增區(qū)間為.故選：A.3.若命題“，使得”是真命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用特稱命題的真假計算參數(shù)即可.【詳解】由題意可知=“，使得”成立，即方程有實數(shù)解，所以.故選：D4.已知冪函數(shù)的定義域為，且，則的值為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義域得到不等式，結合求出，檢驗后得到答案.【詳解】因為冪函數(shù)的定義域為R，故，解得，又，所以，檢驗，時，，即，滿足題意．故選：C5.已知二次函數(shù)的圖像與軸交于兩點，則關于的不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得，然后解一元二次不等式求得正確答案.【詳解】由題意得的兩根為，所以由韋達定理得，即，此時有，解得．故選：A6.有一個非常有趣的數(shù)列叫做調(diào)和數(shù)列，此數(shù)列的前項和已經(jīng)被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：當很大時，其中稱為歐拉—馬歇羅尼常數(shù)，至今為止都還不確定是有理數(shù)還是無理數(shù)．由于上式在很大時才成立，故當較小時計算出的結果與實際值之間是存在一定的誤差的，已知，用上式估算出的與實際的的誤差絕對值近似為（）A.0.03 B.0.12 C.0.17 D.0.21【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題中所給的近似公式，結合對數(shù)的運算性質(zhì)進行求解即可.【詳解】而，與實際的的誤差絕對值近似為：，故選：B7.函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域，以及指定范圍內(nèi)函數(shù)值正負排除部分選項后，即可選出正確選項.【詳解】由函數(shù)定義域相關知識可知分母不為零，則，即，即的定義域為，可排除A；當時，，可排除CD．故選：.8.已知互不相同的實數(shù)，滿足，則的值為（）A. B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】令，用對數(shù)來表示，代入所求式子進行化簡即可.詳解】，所以，，，代入化簡得：.故選：B二．多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）9.下列各個選項中，滿足的集合有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】先化簡集合，利用子集的含義可得答案.【詳解】因為，即有，所以中定有和3，故排除B，又因為是的真子集，故排除D．故選：AC.10.下列四組函數(shù)中，與（或）表示同一函數(shù)的有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】從定義域和對應關系兩方面判斷是否相同，判斷是否是同一函數(shù).【詳解】A選項，的定義域為R，定義域為，定義域不同，不是同一函數(shù)，A錯誤；B選項，，兩函數(shù)定義域和對應關系均相同，為同一函數(shù)，B正確；C選項，的定義域為R，的定義域為，定義域不同，不是同一函數(shù)，C錯誤；D選項，，，兩函數(shù)定義域和對應關系均相同，為同一函數(shù)，D正確.故選：BD11.下列各個選項中，是的充分不必要條件的有（）A.在中，是鈍角，是鈍角三角形B.均為無理數(shù)，為無理數(shù)C.D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)充分不必要條件的定義結合選項逐個驗證可得答案.【詳解】鈍角三角形中三個角都有可能為鈍角，是的充分不必要條件，故A正確；若，則，所以不是充分條件，故B不正確；由可得且，是的充分不必要條件，故C正確；若，則，但，所以不是充分條件，故D不正確．故選：AC.12.當時，用表示不超過的最大整數(shù)，如：．已知函數(shù)，則（）A. B.函數(shù)的值域為C.存在無數(shù)多個，有 D.存在無限實數(shù)集，對于，當時，有【答案】BCD【解析】【分析】取特殊范圍探究規(guī)律，然后作出函數(shù)圖象觀察即可得答案.【詳解】首先注意定義域，即，由定義可知時，即的定義域為．故A錯．不妨取一些特殊范圍進行觀察：時，，即；時，，即；時，，即；接下來我們不妨找到一般性規(guī)律，且時有：時，，即；作出函數(shù)圖象如圖：由圖可知，函數(shù)的值域為，B正確；存在無數(shù)個，使得，故C正確；由圖可知，存在無數(shù)遞減區(qū)間，故D正確.故選：BCD．【點睛】本題難點在于對新定義的理解，然后通過特殊范圍探究函數(shù)規(guī)律，最后利用函數(shù)圖象即可求解.三．填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，則______．【答案】##0.5【解析】【分析】利用已知結合立方和公式可得出結果，【詳解】因為，．故答案為：0.5.14.若函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是____________．【答案】【解析】【分析】利用根的分布列出限制條件可得答案或者利用函數(shù)圖象列出不等關系可得答案.【詳解】法一：要滿足題意，則，解得．法二：令，得，即時，與的圖象有兩個交點，作如下圖，可知．故答案為：.15.已知函數(shù)，若存在非零實數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，轉化為在上存在根，結合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出不等式，即可求解.【詳解】設，則，使得成立，即在上存在根，設，則的圖象與的非負半軸有公共點，因為對稱軸的方程為，只需，即，設，則，使得成立，即，即在上存在根，設，則的圖象與的負半軸有公共點，因為對稱軸的方程為，只需，即，綜上可得，實數(shù)的取值范圍為．故答案為：．16.已知，則的最小值為______．【答案】##【解析】【分析】化簡，根據(jù)代數(shù)式知識求得最小值.【詳解】，當且僅當時等號成立.故答案：四．解答題（本大題共6小題，共70分．）17.計算：（1）：（2）．【答案】（1）4（2）3【解析】【分析】（1）利用指數(shù)的運算進行求解；（2）利用對數(shù)的運算求解即可.【小問1詳解】原式；【小問2詳解】原式．18.設函數(shù)（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增：（2）當時，求函數(shù)的最大值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）任取、，且，作差，因式分解后判斷的符號，結合函數(shù)單調(diào)性的定義即可證得結論成立；（2）由已知可得，利用基本不等式可求得在上的最小值.【小問1詳解】證明：任取、，且，則，因為，所以，，，，故．所以在單調(diào)遞增．【小問2詳解】解：，當且僅當，即當時取等號，所以最大值為．19.南京馬拉松作為江蘇省省會馬拉松賽，創(chuàng)辦于2015年，六年的時間它已成為中國馬拉松金牌賽事世界田聯(lián)標牌賽事，有穿越中華門、玄武湖、總統(tǒng)府等經(jīng)典景點的比賽路線，為了迎接2023年11月南京馬拉松賽的回歸，某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙（如圖）上設計三個等高的宣傳欄（欄面分別為兩個全等的直角三角形和一個等腰三角形），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為．為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度也都是），．（1）當時，求海報紙（矩形）的周長：（2）為了節(jié)約成本，應如何選擇海報紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形的面積最小）？【答案】（1）（2）長，寬【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到宣傳欄的面積為，得到海報周長，進而得的海報的周長；（2）由（1）知，結合基本不等式，即可求解．【小問1詳解】解：設，直角三角形另一個直角邊長為，則有宣傳欄的面積為，且海報周長，又由，即，因為，則，所以海報周長，答：海報紙的周長為．【小問2詳解】解：由（1）知，當且僅當時取等，此時，解得，即長和寬時，使用紙量最少．20.設甲：，乙：．（1）當時，求甲中不等式的解集；（2）若甲是乙的必要不充分條件，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）應用分類討論求解絕對值不等式即可；（2）首先解分式不等式，討論與0的大小關系，在對應情況下應用分類討論求絕對值，最后由必要不充分條件列不等組求參數(shù)范圍．【小問1詳解】時，甲：，①時，甲：，解得，故；②時，甲：，解得，故；③時，甲：，解得，故；綜上所述，甲中不等式的解集為；【小問2詳解】乙：．（?。r①時，甲：，解得；②時，甲：，解得；③時，甲：，解得；由題意得，乙中不等式的解集是甲中不等式的解集的真子集．所以要滿足題意則，解得；（ⅱ）時①時，甲：，解得；②時，甲：，解得；此時甲中不等式的解集為，滿足題意；（ⅲ）時①時，甲：，解得；②時，甲：，化簡得；③時，甲：，解得；要滿足題意則，解得，此時.綜上所述，的取值范圍是．21.已知定義在上的函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減．（1）證明：函數(shù)是偶函數(shù)；（2）解關于的不等式．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用賦值法及偶函數(shù)的定義計算即可；（2）根據(jù)（1）的結論及函數(shù)的性質(zhì)計算即可.【小問1詳解】令得，即；令得，即．令得，即，所以是偶函數(shù)得證；【小問2詳解】由已知定義，所以即，所以，因為是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，所以，即的解集為．22.設．（1）若對于，且，都有成立，求的取值范圍；（2）若關于的方程有實根，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，化簡得到，分