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文檔簡介
課時5獨立性與條件概率的關(guān)系新授課A與B相互獨立的充要條件是P(AB)=P(A)P(B),且A與B獨立的直觀理解是:事件A(事件B)發(fā)生與否不影響事件B(事件A)發(fā)生的概率.能否用符號語言來表示這句話?1.結(jié)合條件概率理解相互獨立事件的充要條件,會對事件的獨立性進(jìn)行判斷.2.會借助事件獨立性的充要條件解決相應(yīng)問題.目標(biāo)一:結(jié)合條件概率理解相互獨立事件,會對事件的獨立性進(jìn)行判斷.
任務(wù)1:結(jié)合條件概率,掌握事件獨立性的充要條件問題1:已知條件概率
,假設(shè)P(A)>0且P(B)>0,若A與B獨立,P(A|B)與P(A)之間有什么關(guān)系?當(dāng)P(B)>0,且P(AB)=P(A)P(B)時,由條件概率計算公式有所以P(A|B)=P(A).問題2:如果已知P(A|B)=P(A),且P(B)>0,事件A與B之間有什么關(guān)系?若P(A|B)=P(A),且P(B)>0,則
歸納總結(jié)當(dāng)P(B)>0時,AB獨立的充要條件是P(A
|B)=P(A)即事件A與B獨立.思考:若A與B獨立,則
與P(A)之間有什么關(guān)系?事件A,
有什么關(guān)系?由條件概率計算公式可得:因此事件A與事件
獨立.歸納總結(jié)
事件A與事件B獨立的另一充要條件
,即如果事件A與事件B獨立,則事件A與
事件獨立,事件
與事件B獨立,事件
與事件
獨立.
任務(wù)2:會對事件的獨立性進(jìn)行判斷,并歸納判斷方法.判斷下列各對事件是否是相互獨立事件.(1)容器內(nèi)盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球,“從8個球中任意取出1個,取出的是白球”與“從剩下的7個球中任意取出1個,取出的還是白球”;(2)擲一顆骰子一次,“出現(xiàn)偶數(shù)點”與“出現(xiàn)3點或6點”.解:(1)“從8個球中任意取出1個,取出的是白球”的概率為
,若這一事件發(fā)生了,則“從剩下的7個球中任意取出1個,取出的仍是白球”的概率為
;若前一事件沒有發(fā)生,則后一事件發(fā)生的概率為
,可見,前一事件是否發(fā)生,對后一事件發(fā)生的概率有影響,所以二者不是相互獨立事件.法二:記A:出現(xiàn)偶數(shù)點,B:出現(xiàn)3點或6點,則A={2,4,6},B={3,6},AB={6},∴P(A∩B)=P(A)·P(B),∴事件A與B相互獨立.(2)法一:由法一可知P(B|A)=
,又
,∴P(B|A)=P(B),∴事件A與B相互獨立.歸納總結(jié)判斷兩個事件是否相互獨立的方法1.直接法由事件本身的實際意義直接判斷兩個事件的發(fā)生是否相互影響.2.定義法若P(AB)=P(A)P(B),則事件A,B相互獨立.3.條件概率法當(dāng)P(A)>0時,可用P(B|A)=P(B)判斷;當(dāng)P(B)>0時,可用P(A|B)=P(A)判斷.(多選)下列事件中,A,B是相互獨立事件的是()A.一枚硬幣擲兩次,A=“第一次為正面”,B=“第二次為反面”B.袋中有2個白球,2個黑球,不放回地摸兩球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”C.擲一枚骰子,A=“出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)”,B=“出現(xiàn)點數(shù)為3或4”D.擲一枚骰子,A=“出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)”,B=“出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)”練一練AC
解析:把一枚硬幣擲兩次,對于每次而言是相互獨立的,其結(jié)果不受先后次序的影響,故A中A,B事件是相互獨立事件;
B中是不放回地摸球,顯然A事件與B事件不相互獨立;
對于C,A事件為出現(xiàn)1,3,5點,
,在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率
,事件A,B相互獨立;
D中兩事件是互斥事件,不是相互獨立事件.
任務(wù)2:由事件獨立性的充要條件完成下列問題,歸納做題步驟目標(biāo)二:借助事件獨立性的充要條件,解決相應(yīng)問題.
設(shè)進(jìn)入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為0.5,購買乙種商品的概率為0.6,且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立,各顧客之間購買商品也是相互獨立的.
若記A表示事件“進(jìn)入商場的1位顧客購買甲種商品”,記B表示事件“進(jìn)入商場的1位顧客購買乙種商品”.問題:(1)進(jìn)入商場的1位顧客甲、乙兩種商品都購買如何用A,B表示?其概率是多少?AB表示進(jìn)入商場的1位顧客甲、乙兩種商品都購買.由題意得:P(A)=0.5,P(B)=0.6,則
P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.(2)進(jìn)入商場的1位顧客只購買甲商品如何表示用A,B表示?其概率是多少?
表示事件進(jìn)入商場的1位顧客只購買甲商品,則歸納總結(jié)應(yīng)用相互獨立事件解決問題的步驟:(1)用字母表示相關(guān)事件;(2)確定事件之間的相互獨立性;(3)將欲求概率的事件用已知事件表示;(4)根據(jù)相互獨立事件的概率公式求解.練一練
已知甲、乙、丙三人參加駕照考試時,通過的概率分別為0.8,0.9,0.7,而且這三人之間的考試互不影響.求:
(1)甲、乙、丙都通過的概率;
(2)甲、乙通過且丙未通過的概率.
解:用A,B,C分別表示甲、乙、丙駕照考試通過,則可知A,B,C相互獨立,且P(A)=0.8,P(B)=0.9,P(C)=0.7.
(1)甲、乙、丙都通過可用ABC表示,因此所求概率為P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.8×0.9×0.7=0.504.(2)甲、乙通過且丙未通過可用
表示,因此所求概率為
任務(wù)2:能靈活運用事件的獨立性進(jìn)行轉(zhuǎn)化,化簡問題.
在一個系統(tǒng)中,每一個部件能正常工作的概率稱為部件的可靠度,而系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠度.現(xiàn)有甲、乙、丙三個部件組成的一個如圖所示的系統(tǒng),已知當(dāng)甲正常工作,且乙、丙至少有一個能正常工作時,系統(tǒng)就能正常工作.各部件的可靠度均為r(0<r<1),而且甲、乙、丙互不影響,求系統(tǒng)的可靠度.
問題:(1)各個部件是否正常工作是相互獨立的嗎?(2)用A、B、C分別表示甲、乙、丙能正常工作,D表示系統(tǒng)能正常工作.若系統(tǒng)能正常工作,則此時甲、乙、丙的工作狀態(tài)可能有幾種?分別用符號表示出來.這幾種情況之間是什么關(guān)系?(1)因為甲、乙、丙互不影響,相互獨立.(2)由題意可知,系統(tǒng)能正常工作時,可分為三種互斥的情況:①甲、乙、丙都正常工作,即ABC;②甲、丙正常工作,且乙不正常工作,即
;③甲、乙正常工作且丙不正常工作,即
.因此相互獨立事件概率的綜合問題的解題方法:1.判斷簡單事件是否相互獨立;2.選用合適的符號表示簡單事件;3.用簡單事件來表示復(fù)雜事件;4.由互斥事件概率加法公式及獨立性進(jìn)行計算.歸納總結(jié)練一練2020年5月30日,張老師乘火車從濟(jì)南到北京去開會,若當(dāng)天從濟(jì)南到北京的三列火車正點到達(dá)的概率分別為0.8,0.8,0.9,假設(shè)這三列火車之間是否正點到達(dá)互不影響.求:(1)這三列火車恰好有兩列正點到達(dá)的概率;
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