11.4.1+直線與平面垂直+課件-【基礎(chǔ)夯實與拓展提升】高一下學期數(shù)學人教B版（2019）必修第四冊

課時15

直線與平面垂直新授課1.掌握直線與平面垂直的性質(zhì)定理，并能運用其解決相關(guān)問題.2.理解直線與平面所成角的概念.3.靈活運用直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理處理空間垂直問題．目標一：掌握直線與平面垂直的性質(zhì)定理，并能運用其解決相關(guān)問題.任務(wù)：觀察長方體，猜想并證明直線與平面垂直的性質(zhì)定理.問題1：觀察長方體ABCD—A1B1C1D1中，各棱與底面ABCD的位置關(guān)系和棱與棱之間的位置關(guān)系，思考如果直線l垂直于一個平面α，直線m與直線l平行，那么直線m與平面α是否垂直？猜測結(jié)果，并說明理由.猜想：如果兩條平行直線中，有一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．證明：要證明這個結(jié)論，只要證明l//m且l⊥α時，能夠推出m⊥α即可.事實上，設(shè)直線a，b為平面α內(nèi)的任意兩條相交直線，如圖所示，則由l⊥α可知，l⊥a，l⊥b.又因為l//m，根據(jù)空間中兩條直線互相垂直的定義知：

m⊥a，m⊥b.所以根據(jù)線面垂直的判定定理得m⊥α.問題2：如圖，已知直線l、m和平面α，如果l⊥α，m⊥α，那么直線l、m具有怎樣的位置關(guān)系？猜想結(jié)果并說明理由.平行.因為m∩m'=O，所以m與m'能確定一個平面，記為β，設(shè)α∩β=α.證明：如圖所示，l⊥α，m⊥α，設(shè)m∩α=O.假設(shè)直線m不與直線l平行，則過點O可作直線m'與l平行，由線面垂直得性質(zhì)定理可知m'⊥α.由m⊥α，m'⊥α可知m⊥α，m'⊥α.這樣一來，在平面β內(nèi)，過點O有兩條不同的直線都與直線a垂直，這是不可能的.因此假設(shè)不成立，即l//m.新知講解直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行.（簡記：線面垂直?線線平行）.符號語言：圖形語言：思考：1.過一點有幾條直線與已知平面垂直？2.在a⊥α的條件下，如果平面α外的直線b與直線a垂直，你能得到什么結(jié)論?3.在a⊥α的條件下，如果平面β與平面α平行，你又能得到什么結(jié)論?直線與平面垂直的其他性質(zhì)：(1)過空間中的一點，有且只有一條直線與已知平面垂直.垂直，即

，如圖：

.(3)如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也和另外一個平面總結(jié)提升這個平面，即

，如圖：.(2)如果平面外一條直線垂直于該平面的一條垂線，那么這條直線平行于如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC，求證：MN∥AD1.練一練證明：∵四邊形ADD1A1為正方形，∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.目標二：理解直線與平面所成角的概念.任務(wù)：觀察長方體，猜想并證明直線與平面垂直的性質(zhì)定理.斜拉橋又稱斜張橋，是將主梁用許多拉索直接拉在橋塔上的一種橋梁，是由承壓的塔、受拉的索和承彎的梁體組合起來的一種結(jié)構(gòu)體系.斜拉橋由索塔、主梁、斜拉索組成.問題：(1)拉索所在直線與橋面都是相交關(guān)系，其傾斜程度相同嗎?(2)能用角來表示直線與平面相交時不同的傾斜程度嗎?(3)直線與平面所成的角是空間角，能和異面直線所成角一樣把空間角轉(zhuǎn)化為平面角嗎?(1)不同；(2)能；(3)能.新知講解1.斜線：與平面α相交，但不和平面α垂直，圖中直線PA.2.斜足：斜線和平面的交點，圖中點A.3.射影：過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面內(nèi)的射影，圖中斜線PA在平面α上的射影為直線AO.4.直線與平面所成的角：①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角.②規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°的角.所以直線與平面所成角θ取值范圍：0°≤θ≤90°.如圖所示，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB，則直線PB與平面ABC所成的角等于（

）.練一練A.60°

B.45°

C.30°

D.120°解析：因為PA⊥平面ABC，所以斜線PB在平面ABC上的射影為AB，所以∠PBA即為直線PB與平面ABC所成的角.在△PAB中，∠BAP=90°，PA=AB，所以∠PBA=45°，即直線PB與平面ABC所成的角等于45°.B思考：結(jié)合上面實例，說說如何求解直線與平面所成的角？求斜線與平面所成角的步驟：(1)作圖：作(或找)出斜線在平面內(nèi)的射影.作射影要過斜線上一點作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線.歸納總結(jié)(2)證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角.(3)計算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計算.目標三：靈活運用直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理處理空間垂直問題.任務(wù)：運用直線與平面垂直的有關(guān)定理解決下列問題.例1

如圖所示，三棱錐S-ABC中，AB⊥BC，且AB=BC=2，求三棱錐的體積.分析：為了求出這個三棱錐的體積，關(guān)鍵是作出三棱錐的高，也就是找到S在底面的射影.解：設(shè)S在底面的射影為O，則由SA=SB=SC，由OA=OB=OC，即O為△ABC的外心，又因為△ABC是直角三角形，所以O(shè)是線段AC的中點.因為所以

，又因為是直角三角形，從而因此所求體積為歸納總結(jié)

利用線面垂直，可以找出點到平面的距離，從而求出一般幾何體的高，進而得到幾何體的體積等.

注：可以利用點到平面的距離來求出直線與平面的距離以及兩平行平面之間的距離.例2

如圖所示，已知AB是平面α的一條垂線，AC是平面α的一條斜線，l?a，l⊥BC，求證：l⊥AC.證明：因為AB⊥α，l?α，所以AB⊥l.又因為l⊥BC且AB