微考點6-5 利用二級結論秒殺拋物線中的選填題（解析版）（三大題型）2024年高考數(shù)學二輪復習高頻考點追蹤與預測（新高考專用）

第第頁微考點6-5利用二級結論秒殺拋物線中的選填題【考點目錄】考點一：拋物線中焦半徑焦點弦三角形面積秒殺公式考點二：過焦點的直線與拋物線相交坐標之間的關系秒殺公式考點三：過焦點的兩條相互垂直的弦的和及構成四邊形面積最小值秒殺公式考點四：拋物線中點弦求斜率秒殺公式考點五：拋物線中以焦半徑焦點弦為直徑的圓相切問題考點六：拋物線中阿基米德三角形相關秒殺結論【考點分類】考點一：拋物線中焦半徑焦點弦三角形面積秒殺公式已知傾斜角為直線的經過拋物線的焦點，且與拋物線交于兩點，則①.②.③,.【精選例題】【例1】傾斜角為的直線經過拋物線的焦點，且與拋物線相交于A，B兩點，則（

）A． B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根據已知條件，先求出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，，再結合拋物線的定義，以及韋達定理，即可求解.【詳解】直線的傾斜角為，直線的斜率為1，拋物線，焦點，直線的方程為，設，聯(lián)立直線與拋物線方程，化簡整理可得，，，由韋達定理可得，，故.故選：D.【例2】已知是拋物線上的兩點，且直線經過的焦點，若，則（

）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【分析】結合拋物線的弦長公式計算即可.【詳解】.故選：C.【例3】已知拋物線，弦過拋物線的焦點且滿足，則弦的中點到軸的距離為（

）A． B．3 C． D．4【答案】C【分析】根據可得，再根據韋達定理即可求出的坐標，進而可求解.【詳解】拋物線的焦點，設，假設，顯然弦所在的直線的斜率存在且不等于零，設弦所在的直線方程為，聯(lián)立，消去可得，，所以，因為，所以，則，所以，解得，所以，所以，所以弦的中點的坐標為，所以弦的中點軸的距離為，故選:C.【例4】已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于兩點（在第一象限），為坐標原點，若，則（

）A．B．直線的斜率是C．線段的中點到軸的距離是D．的面積是【答案】ACD【分析】設直線，與拋物線方程聯(lián)立，根據、韋達定理得出，再由求出可判斷A；求出可得直線的斜率，再由點在第一象限可判斷B；設線段的中點為，根據求出線段的中點到軸的距離可判斷C；利用求出的面積可判斷D.【詳解】由題意可得直線的斜率不為0，則可設直線，聯(lián)立整理得，則，因為，所以，所以，所以，所以，則，即，解得，因為，所以，解得，則A正確；對于B，因為，所以，則直線的斜率是，因為點在第一象限，所以直線的斜率大于0，所以直線的斜率是，則B錯誤；對于C，設線段的中點為，則，即線段的中點到軸的距離是，則C正確；對于D，因為，所以，則的面積，故D正確.故選：ACD.【跟蹤訓練】1．已知拋物線的焦點為，過焦點的直線交拋物線于兩點，．若弦長，則直線的斜率為．【答案】【分析】設直線的方程為，，，聯(lián)立方程，利用韋達定理求出，再根據拋物線的弦長公式即可得解.【詳解】由題意，直線的斜率不等于零，，設直線的方程為，，，聯(lián)立，消得，恒成立，則，所以，解得，所以直線的斜率為.故答案為：.2．在直角坐標系中，已知拋物線：的焦點為，過點的傾斜角為的直線與相交于，兩點，且點在第一象限，的面積是，則（）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，利用根與系數(shù)的關系和焦半徑公式求出弦長，由點到直線的距離公式結合的面積求解，從而利用焦半徑公式求解，逐項判斷即可.【詳解】拋物線的焦點為，準線為，設過焦點的直線方程為設直線：，，，聯(lián)立直線與拋物線方程得消元得，由韋達定理可得，，所以，又點到直線的距離是，所以，得，所以，故選項A錯誤，B正確；由知，解得，所以，故選項C正確；，故選項D正確；故選：BCD.3．已知直線l：過拋物線C：的焦點F，且與拋物線交于A，B兩點，則（

）A．B．C．D．拋物線C上的動點到直線距離的最小值為【答案】BD【分析】求得拋物線的焦點代入直線的方程，求得，可判定A錯誤；聯(lián)立方程組，根據韋達定理和拋物線的焦點弦的性質，求得，可判定B正確；結合拋物線的定義，求得的值，可判定C錯誤；設設是拋物線上的任意一點，利用點到直線的距離公式，結合二次函數(shù)的性質，可判定D正確.【詳解】由拋物線，可得焦點為，因為過拋物線的焦點，可得，解得，所以A錯誤；聯(lián)立方程組，整理得，設，則，，由拋物線的焦點弦的性質，可得，所以B正確；又由，解得，根據拋物線的定義，可得，所以，所以C錯誤；設是拋物線上的任意一點，可得，則點到直線的距離為，當時，，所以D正確.故選：BD.4．已知直線過拋物線的焦點，且與拋物線交于兩點，點為的準線與軸的交點，則下列結論正確的是（

）A．若，則B．過的焦點的最短弦長為4C．當時，直線的傾斜角為D．存在2條直線，使得成立【答案】AB【分析】由拋物線的定義,可判定A正確；根據拋物線的幾何性質，可判定B正確；設直線的方程為，聯(lián)立方程組，得到，結合時，求得，可判定C錯誤；分別求得，結合，化簡代入，得到恒成立，可判定D錯誤.【詳解】由拋物線的定義可得，所以A正確；當過拋物線的焦點且與軸垂直時弦長最短，此時弦長為4，所以B正確；設直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，當時，，則，，解得，所以傾斜角不是，所以C錯誤；由，則，，，，由，則，可得，化簡可得，由，則，將，代入，則恒成立，所以D錯誤.故選：AB.考點二：過焦點的直線與拋物線相交坐標之間的關系秒殺公式①拋物線的焦點為F，是過的直線與拋物線的兩個交點，求證：.②一般地，如果直線恒過定點與拋物線交于兩點，那么.③若恒過定點.【精選例題】【例1】已知拋物線：的的焦點為，、是拋物線上兩點，則下列結論正確的是（

）A．點的坐標為B．若直線過點，則C．若，則的最小值為D．若，則線段的中點到軸的距離為【答案】BCD【分析】由拋物線方程確定焦點坐標知A錯誤；直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理可知B正確；根據過焦點可知最小值為通徑長，知C錯誤；利用拋物線焦半徑公式，結合中點坐標公式可求得點縱坐標，知D正確.【詳解】拋物線，即，對于A，由拋物線方程知其焦點在軸上，焦點為，故A錯誤；對于B，依題意，直線斜率存在，設其方程為，由，消去整理得，則，，，故B正確；對于C，若，則直線過焦點，所以，所以當時，，所以的最小值為，故C正確；對于D，因為，則，即點縱坐標為，所以到軸的距離為，故D正確.故選：BCD.【例2】已知拋物線的焦點為，過且傾斜角為的直線交拋物線于，兩點（

）A．直線的方程為 B．原點到直線的距離為C． D．【答案】ABC【分析】先求得拋物線的焦點坐標，根據點斜式、點到直線的距離公式、弦長公式、根與系數(shù)關系等知識確定正確答案.【詳解】拋物線的焦點為，所以過且傾斜角為的直線的斜率為，所以直線的方程為，A選項正確，原點到直線的距離為，B選項正確.由消去并化簡得，設，則，所以，C選項正確.，所以D選項錯誤.故選：ABC【例3】已知拋物線C：的焦點為F，點A，B是拋物線C上不同兩點，下列說法正確的是（

）A．若AB中點M的橫坐標為3，則的最大值為8B．若AB中點M的縱坐標為2，則直線AB的傾斜角為C．設，則的最小值為D．若，則直線AB過定點【答案】ABD【分析】對于A：利用A，B，F(xiàn)三點的位置與的關系及拋物線的定義求的最大值；對于B：利用點A，B在拋物線上及直線的斜率公式，將斜率轉化為A，B兩點縱坐標間的關系；對于C：利用點A在拋物線上及兩點間的距離公式，將轉化為點A縱坐標的代數(shù)式，結合二次函數(shù)的性質求的最小值；對于D：設直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，轉化為關于點A，B縱坐標的一元二次方程，結合及一元二次方程根與系數(shù)的關系求解直線AB方程中的參數(shù)，確定直線AB所過的定點【詳解】設．對于選項A：若AB中點M的橫坐標為3，則，可得，當且僅當A，B，F(xiàn)三點共線時，等號成立，所以的最大值為8，故A正確；對于選項B：若AB中點M的縱坐標為2，則，由題意可知直線AB的斜率存在，則，所以直線AB的傾斜角為，故B正確；對于選項C：設，則，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為，故C錯誤；對于選項D：設直線AB的方程，代入拋物線，得，則，可得，因為，所以，因為，解得，滿足，則直線AB的方程為，所以直線AB過定點，故D正確．故選：ABD．【跟蹤訓練】1．過拋物線（）焦點F的直線與拋物線交于，兩點，則說法正確的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據拋物線的定義求解判斷A；當直線垂直于軸時可判斷B；聯(lián)立直線與拋物線方程，結合韋達定理計算判斷CD.【詳解】拋物線的焦點，準線為，根據拋物線的定義，點，到焦點的距離分別等于其到準線的距離，∴所以，故A正確；當直線垂直于軸時，不妨設，故，故B錯誤；當直線垂直于軸時，不妨設，故，所以.當直線不垂直于軸時，設直線，，聯(lián)立方程，可得，所以恒成立，，.綜上，，故C正確；當直線垂直于軸時，不妨設，，當直線不垂直于軸時，，綜上，，故D正確.故選：ACD.2．已知點在拋物線的準線上，過拋物線的焦點作直線交于、兩點，則（

）A．拋物線的方程是 B．C．當時， D．【答案】ABD【分析】求出的值，可得出拋物線的方程，可判斷A選項；設直線的方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達定理可判斷B選項；根據平面向量的線性運算，結合韋達定理求出的值，再結合拋物線的焦點弦長公式可判斷C選項；計算出直線、的斜率之和，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，拋物線的準線方程為，因為點在拋物線的準線上，則，可得，所以拋物線的方程為，A對；對于B選項，拋物線的焦點為，若直線與軸重合，此時，直線與拋物線只有一個公共點，不合乎題意，所以直線不與軸重合，設直線的方程為，聯(lián)立，可得，，則，所以，B對；對于C選項，因為，即，則，因為，可得，則，則，此時，，C錯；對于D選項，，同理可得，所以，所以，D對.故選：ABD.3．已知是拋物線上不同于原點的兩點，點是拋物線的焦點，下列說法正確的是（

）A．點的坐標為B．C．若，則直線經過定點D．若點為拋物線的兩條切線，則直線的方程為【答案】ACD【分析】根據拋物線的方程可得焦點坐標可判斷A，根據焦點弦的性質可判斷B，根據垂直關系得，由兩點坐標求解直線方程即可判斷C，根據切線方程求出切點坐標，進而根據兩點求解直線方程即可求解D.【詳解】因為拋物線，故的坐標為故A正確；由于當直線過焦點時，由拋物線定義可得，但直線不一定過焦點，故B錯誤；若，故，即或（舍去），因為直線，即，得，故直線經過定點，故C正確；設過點的切線方程為，聯(lián)立，所以，故或，所以方程的根為，故切線方程中分別為和，故，，可得直線，即，故D正確.故選：ACD.考點三：過焦點的兩條相互垂直的弦的和及構成四邊形面積最小值秒殺公式①已知是拋物線中過焦點的兩條相互垂直的弦，存在最小值，且最小值為.②已知是拋物線中過焦點的兩條相互垂直的弦，則四邊形的面積的最小值為.【精選例題】【例1】過拋物線C：的焦點F作兩條互相垂直的直線和，設直線交拋物線C于A，B兩點，直線交拋物線C于D，E兩點，則可能的取值為（

）A．18 B．16 C．14 D．12【答案】AB【分析】由題意可知直線，的斜率均存在且均不為0，所以不妨設的斜率為k，則：，：，然后將兩直線方程分別代入拋物線方程化簡，利用根與系數(shù)的關系，結合弦長公式表示出，再利用基本不等式可求得結果.【詳解】由題意可知直線，的斜率均存在且均不為0．因為拋物線C的焦點為，所以不妨設的斜率為k，則：，：．由消去y得．設，，則．由拋物線的定義，知．同理可得，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以，故選：AB．

【例2】在平面直角坐標系中，已知動圓與圓內切，且與直線相切，設動圓圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點作兩條互相垂直的直線與曲線相交于，兩點和，兩點，求四邊形的面積的最小值.【答案】(1)；(2)32【分析】（1）利用圓和圓，圓和直線的位置關系的性質和拋物線的定義即可求解.（2）設直線的方程為，,聯(lián)立方程組得，再利用拋物線的的性質求，同理求，最后利用基本不等式求解即可.【詳解】（1）設圓的半徑為，圓的圓心，半徑為1，因為圓與圓內切，且與直線相切，所以圓心到直線的距離為，因此圓心到直線的距離為，且，故圓心到點的距離與到直線的距離相等，據拋物線的定義，曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線，所以曲線的方程為.（2）設直線的方程為，，，.聯(lián)立方程組整理得，故所以.因為，直線的方程為，同理可得.所以，當且僅當，即時，取等號.所以四邊形面積的最小值為32.

【跟蹤訓練】1．已知F為拋物線的焦點，過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A，B兩點，直線與C交于D，E兩點，則的最小值為【答案】16【分析】設直線方程，由兩直線垂直可得方程，聯(lián)立與拋物線方程可得根與系數(shù)關系式，利用弦長公式可得表達式，同理可得的表達式，結合基本不等式即可求得答案.【詳解】由題意知拋物線的焦點為，焦準距，過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A，B兩點，直線與C交于D，E兩點，則，的斜率都存在且不為0，故設，則直線，設，聯(lián)立，則，，則，同理，故，同理可得,故，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為16.2．已知拋物線.其焦點為F，若互相垂直的直線m，n都經過拋物線的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點和C，D兩點，則四邊形面積的最小值為．【答案】32【詳解】

依題意知,直線的斜率存在且不為0,設直線的方程為,與拋物線方程聯(lián)立,得，消去,整理得,設其兩根為,則.由拋物線的定義可知，,同理可得,四邊形的面積.當且僅當時等號成立,此時所求四邊形面積的最小值為32.考點四：拋物線中點弦求斜率秒殺公式設直線與拋物線相交所得的弦的中點坐標為，則【精選例題】【例1】已知拋物線的一條弦恰好以點為中點，弦的長為，則拋物線的準線方程為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】設，，得到，，結合“點差法”求得，得到直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用弦長公式，列出方程，求得，進而求得拋物線的準線方程．【詳解】設，，弦所在直線方程為，則，，也點A，B在拋物線上，可得，兩式相減可得，所以，即，所以弦所在直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，，所以，所以，即，可得，解得，所以拋物線的準線方程為．故選：B．【例2】直線與拋物線交于兩點，中點的橫坐標為2，則為（

）A． B．2 C．或2 D．以上都不是【答案】B【分析】設，得到，求得，再由，兩式相減，得到，得出方程，即可求解.【詳解】設，因為中點的橫坐標為，則，可得，又由，兩式相減得到，可得，可得，解得或，聯(lián)立方程組，整理得，由，解得，所以.故選：B.【例3】直線過拋物線的焦點，且與拋物線交于兩點，線段中點的縱坐標為1，O為坐標原點，則O到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，，代入拋物線方程，兩式相減后結合線段中點的縱坐標得出，再結合焦點的坐標得出直線的方程，由點到直線距離公式計算即可．【詳解】由拋物線得焦點，設，，則，兩式相減得，即，因為線段中點的縱坐標為1，即，所以，即，所以直線的方程為，即，顯然此時直線與拋物線有兩交點，所以到直線的距離，故選：A．【跟蹤訓練】1．已知直線與拋物線相交于兩點，若線段的中點坐標為，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用點差法可求得直線斜率，由直線點斜式方程可整理得到結果.【詳解】設，由得：，線段的中點為，，，，即直線的斜率為，直線的方程為：，即.故選：A.2．已知拋物線的焦點為，第一象限的、兩點在拋物線上，且滿足，.若線段中點的縱坐標為4，則拋物線的方程為.【答案】【分析】先根據焦半徑公式得到的關系，然后根據弦長公式求解出，結合兩點間斜率公式以及點在拋物線上求解出的值，則拋物線方程可求.【詳解】設，因為，所以，所以，又因為，所以，因為都在第一象限，所以，又因為且，所以，所以，所以拋物線方程為，故答案為：.3．已知拋物線，過點的直線交拋物線于兩點，若為的中點，則直線的方程為.【答案】【分析】設出，的坐標，代入拋物線方程，利用作差法，結合中點坐標公式代入先求出直線的斜率，再利用點斜式方程即可得到結論.【詳解】設，，由題意，因為，在拋物線上，所以，，兩式相減得，，整理得，，即直線的斜率，直線的中點為，，，所以直線的方程為，化簡得.故答案為：.

考點五：拋物線中以焦半徑焦點弦為直徑的圓相切問題設AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則①以弦AB為直徑的圓與準線相切．②以AF或BF為直徑的圓與y軸相切.【精選例題】【例1】已知是拋物線上的兩動點，是拋物線的焦點，下列說法正確的是（

）A．直線過焦點時，以為直徑的圓與的準線相切B．直線過焦點時，的最小值為6C．若坐標原點為，且，則直線過定點D．與拋物線分別相切于兩點的兩條切線交于點，若直線過定點，則點在拋物線的準線上【答案】ABD【分析】對于A：根據拋物線的定義分析判斷；對于B：設方程為，聯(lián)立方程，根據拋物線的定義結合韋達定理分析求解；對于C：設方程為，設，，聯(lián)立方程，根據垂直關系可得，結合韋達定理分析求解；對于D：可知拋物線在點處的切線方程為，根據切線方程求交點坐標，結合選項B分析判斷.【詳解】對于選項A：如圖1，設中點為，分別過點向準線作垂線，垂足為，

則由拋物線的定義可得，，.因為中點為，所以有，所以以為直徑的圓與的準線相切，故A正確；對于選項B：由拋物線，可得，由題意可知直線斜率不為，設方程為，設，，聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x可得，則恒成立?？傻?，，則，所以當且僅當時，取到最小值6，故B正確；對于選項D：先證拋物線在點處的切線方程為，聯(lián)立方程，消去x得，可知方程組只有一個解，即直線與拋物線相切，可知拋物線在點處的切線方程分別為，，聯(lián)立方程，解得，即點，結合選項B可得：，所以點在拋物線的準線上，故D正確；對于選項C：由題意可知直線斜率不為，設方程為，設，，，則，，若，則，解得或（舍去），聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x可得，則，解得，此時，符合題意，所以，則直線過定點，故C錯誤；故選：ABD.【例2】已知拋物線的焦點為F，過焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點（其中點A在x軸上方），則（

）A．B．弦AB的長度最小值為lC．以AF為直徑的圓與y軸相切D．以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切【答案】ACD【分析】由弦長公式計算可得選項A、B；C、D選項，可以利用圓的性質，圓心到直線的距離等于半徑判定直線與圓相切.【詳解】

由題，焦點，設直線,聯(lián)立，，，同理可得，，，故A選項正確；，故弦AB的長度最小值為4，B選項錯誤；記中點，則點M到y(tǒng)軸的距離為，由拋物線的性質，，所以以AF為直徑的圓與y軸相切，故C選項正確；，記中點，則點N到拋物線的準線的距離，故以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切，D選項正確.故選：ACD.【跟蹤訓練】1．設是坐標原點，直線經過拋物線C：的焦點F，且與C交于A，B西點，是以為底邊的等腰三角形，是拋物線C的準線，則（

）A．以直徑的圓與準線相切 B．C． D．的面積是【答案】ACD【分析】根據拋物線的定義及直線與圓的位置關系判斷A；由條件求得的坐標，利用斜率公式判斷B；根據向量的坐標運算判斷C；根據三角形面積公式求解判斷D.【詳解】直線與軸的交點為，即焦點，則，故拋物線C的方程，設，由題意可知點在第四象限，點在第一象限，設的中點，過作，垂足為，過作，垂足為，過作，垂足為，則，則以直徑的圓與準線相切，故A正確；∵是以為底邊的等腰三角形，∴，得，聯(lián)立，得，易知，則，則，得，，故B錯誤；∵，∴，故C正確；的面積為，故D正確.故選：ACD.2．已知拋物線的焦點在直線上，直線與拋物線交于點（為坐標原點），則下列說法中正確的是（

）A．B．準線方程為C．以線段為直徑的圓與的準線相切D．直線的斜率之積為定值【答案】ACD【分析】由直線過定點，得到，可判定A正確；根據拋物線的幾何性質，可得判定B錯誤；過點作準線的垂線，根據拋物線的定義得到，可判定C正確；聯(lián)立方程組，結合韋達定理，得到，求得，可判定D正確.【詳解】對于A中，由直線，可化為，可得直線過定點，因為拋物線的焦點在直線上，可得，則，所以A正確；對于B中，由拋物線的準線方程為，所以B錯誤；對于C中，過點作準線的垂線，垂足分別為，的中點為點，過點作準線的垂線，垂足為，可得，所以C正確；對于D中，設，聯(lián)立方程組，整理得，可得，則，所以D正確.故選：ACD.

考點六：拋物線中阿基米德三角形相關秒殺結論①知識要點：如圖，假設拋物線方程為，過拋物線準線上一點向拋物線引兩條切線，切點分別記為，其坐標為.則以點和兩切點圍成的三角形中，有如下的常見結論:結論1.直線過拋物線的焦點.結論2.直線的方程為.結論3.過的直線與拋物線交于兩點，以分別為切點做兩條切線，則這兩條切線的交點的軌跡即為拋物線的準線.證明：過點的切線方程為，過點的切線方程為，兩式相除可得：.這就證明了該結論.結論4..證明：由結論3，，.那么.結論5..證明：,則.由拋物線焦點弦的性質可知，代入上式即可得，故.結論6.直線的中點為，則平行于拋物線的對稱軸.證明：由結論3的證明可知，過點的切線的交點在拋物線準線上.且的坐標為，顯然平行于拋物線的對稱軸.【精選例題】【例1】已知拋物線C：，（）的焦點為F，為C上一動點，若曲線C在點M處的切線的斜率為，則直線FM的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵，∴，，∴，由題意知，，解得：，又∵M在上，∴，解得：，∴，∴.故選：B.【例2】設拋物線C：的焦點為F，過F的直線交C于A，B兩點，分別以A，B為切點作C的切線，，若與交于點P，且滿足，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【詳解】，設直線AB的方程為，顯然m是存在的，設，顯然，求導：，在A點處的切線方程…①，同理可得在B點處的切線方程為：；聯(lián)立方程，解得，，，聯(lián)立方程解得，，即P點在準線上，設，，考慮拋物線關于x軸對稱，不妨取，代入①得：，解得或，由圖可知，再代入拋物線方程得，；故選：D.【例3】（多選題）已知拋物線的焦點為，過且斜率為的直線交拋物線于兩點，在第一象限，過分別作拋物線的切線，且相交于點，若交軸于點，則下列說法正確的有（

）A．點在拋物線的準線上 B．C． D．若，則的值為【答案】ACD【詳解】由題意知，故l：，與拋物線聯(lián)立，可得，則，設，，則．對于A，由拋物線可得，所以直線的斜率，則直線的方程為，同理可得直線的方程為，聯(lián)立解得．又，故點P在拋物線的準線上，故A正確；對于B，，故，故B錯誤；對于C，直線l的方程為，則，直線的方程為，可得所以，故則FQ⊥BQ，故C正確；對于D，由，直線l的方程為，與拋物線聯(lián)立可得，解得，則，則，得，故D正確．故選：ACD.【例4】已知拋物線的焦點為F，過F的直線l傾斜角為，交C于兩點，過兩點分別作C的切線，，其交點為，，與x軸的交點分別為，則四邊形的面積為________.【答案】4【詳解】如圖，設,，易知過兩點的拋物線C的切線，斜率均存在，不妨設，，聯(lián)立，消得到，即，所以，又，所以，得到，所以，即，也即，同理可得直線為，又因為直線與交于，所以可得，，從而得到直線的方程為，又因為直線過焦點且傾斜角為，所以得到，即，且直線直線的方程為又由，令，得到，即，由，令，得到，即，又由，消得到，由韋達定理得，所以，又易知，所以四邊形的面積為，故答案為：4.【跟蹤訓練】1.已知拋物線的焦點為，若拋物線上一點滿足，則過點的切線方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【詳解】由已知得，準線方程為.設，P點到準線距離為d.則由拋物線定義有，即.將代入得，，所以.注意到，則當?shù)淖鴺藶闀r，過點的切線斜率為，所以過點的切線方程為，即，當?shù)淖鴺藶闀r，過點的切線斜率為，所以過點的切線方程為，即，綜上，過點的切線方程為或．故選：B2．（多選題）設拋物線C：的焦點為F，過拋物線C上不同的兩點A，B分別作C的切線，兩條切線的交點為P，AB的中點為Q，則（

）A．軸 B． C． D．【答案】AC【詳解】對于A選項：設,,,過點A切線為：①,過點B切線為:②,①②得化簡可得，軸,A選項正確.設過A點的切線為,過B點的切線為,交點為AB的中點為，所以不垂直,B選項錯誤；,所,D選項錯誤;作拋物線準線的垂線,連接則顯然,所以又因為由拋物線定義,得,故知是線段的中垂線,得到則，同理可證：,，所以，即,所以,即.故選:AC.3.已知拋物線的焦點為，且與圓上的點的距離的最小值4．(1)求；(2)若點在圓上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值．【答案】(1)2；(2)【詳解】（1）圓的圓心，半徑，由點到圓上的點的距離的最小值為，解得；（2）拋物線的方程為，即，對該函數(shù)求導得，設點、、，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，由于點為這兩條直線的公共點，則，所以點A、的坐標滿足方程，所以直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達定理可得，，所以，點到直線的距離為，所以，，由已知可得，所以當時，的面積取最大值.1．已知拋物線：（），過點且垂直于軸的直線交拋物線于，兩點，為坐標原點，若的面積為9，則（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】將代入拋物線方程，求出線段長，結合三角形面積求解即得.【詳解】將代入，得，由對稱性不妨設在軸上方，則點，，，，因此，所以.故選：A2．已知為坐標原點，過拋物線焦點的直線與交于A，B兩點，若，則（

）A．5 B．9 C．10 D．18【答案】B【分析】由及拋物線方程可求出A點坐標，從而得直線的方程，聯(lián)立拋物線和直線方程，結合韋達定理求出，由拋物線定義可得結果.【詳解】如圖：由拋物線可知焦點坐標，取線段中點D，即，又，所以,故設，因點A在拋物線上，得，根據對稱性取，又因直線過焦點F，所以直線的方程為：，聯(lián)立，得

①，設，則為①式兩根，所以，由拋物線定義可知，故選：B.3．已知拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線交拋物線于兩點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意，作出拋物線與直線AB的圖像，利用拋物線的定義將曲線上的點到焦點的距離轉化為曲線上的點到準線的距離，借助幾何圖形可判斷直線AB的傾斜角，從而可得答案．【詳解】如圖，當點在第一象限時，過點分別向準線作垂線，垂足為，作，垂足為，則軸，設，則，，由拋物線的定義得，則