高等數(shù)學知識點總結(jié)

高等數(shù)學知識點總結(jié)導數(shù)公式：導數(shù)公式：

(tanx)′=sec2x(ctanx)′=csc2x(secx)′=secxtanx(cscx)′=cscxcotx(ax)′=axlna1(logax)′=xlna基本積分表：基本積分表：三角函數(shù)的有理式積分：三角函數(shù)的有理式積分：

(arcsinx)′=1

1x21(arccosx)′=1x21(arctanx)′=1+x21(arccotx)′=1+x2

∫tanxdx=lncosx+C∫cotxdx=lnsinx+C∫secxdx=lnsecx+tanx+C∫cscxdx=lncscxcotx+C

dx1x=arctan+C2+xaadx1xa∫x2a2=2alnx+a+Cdx1a+x∫a2x2=2alnax+Cdxx∫a2x2=arcsina+C

∫cos∫sin

dx

2

xx

=∫sec2xdx=tanx+C=∫csc2xdx=cotx+C

dx

2

∫a

∫secxtanxdx=secx+C∫cscxcotxdx=cscx+C

x∫adx=

2

ax+Clna

∫shxdx=chx+C∫chxdx=shx+C∫

dxx±a

22

=ln(x+x2±a2)+Cπ

2

π

2

In=∫sinnxdx=∫cosnxdx=

002

n1In2n

∫∫∫sinx=

xa222x+adx=x+a+ln(x+x2+a2)+C22xa2x2a2dx=x2a2lnx+x2a2+C22xa2xa2x2dx=a2x2+arcsin+C22a

2

2u1u2x2du，x=cos，=tan，=udx1+u21+u221+u2

1/13一些初等函數(shù)：一些初等函數(shù)：兩個重要極限：兩個重要極限：exex雙曲正弦:shx=2xe+ex雙曲余弦:chx=2shxexex雙曲正切:thx==chxex+exarshx=ln(x+x2+1）archx=±ln(x+x21)11+xarthx=ln21x三角函數(shù)公式：三角函數(shù)公式：誘導公式：·誘導公式：函數(shù)角A-α90°-α90°+α180°-α180°+α270°-α270°+α360°-α360°+α·和差角公式：和差角公式：lim

sin

0

xx+

x→

=

x

1=elim

x→

∞

(1

1)x

sin-sinαcosαcosαsinα-sinα-cosα-cosα-sinαsinαcoscosαsinα-sinα-cosα-cosα-sinαsinαcosαcosαtg-tanαcotα-cotα-tanαtanαcotα-cotα-tanαtanαctg-cotαtanα-tanα-cotαcotαtanα-tanα-cotαcotα

·和差化積公式：和差化積公式：

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)=cosαcosβmsinαsinβtanα±tanβtan(α±β)=1mtanαtanβcotαcotβm1cot(α±β)=cotβ±cotα

sinα+sinβ=2sin

α+β

22α+βαβsinαsinβ=2cossin22α+βαβcosα+cosβ=2coscos22α+βαβcosαcosβ=2sinsin22cos

αβ

2/13

·倍角公式：倍角公式：

sin2α=2sinαcosαcos2α=2cos2α1=12sin2α=cos2αsin2αcot2α1cot2α=2cotα2tanαtan2α=1tan2α

·半角公式：半角公式：

sin3α=3sinα4sin3αcos3α=4cos3α3cosα3tanαtan3αtan3α=13tan2α

sintan

α

2

=±=±

α1cosα1+cosαcos=±222α1cosα1cosαsinα1+cosα1+cosαsinα==cot=±==1+cosαsinα1+cosα21cosαsinα1cosα

abc===2RsinAsinBsinC

·余弦定理：c=a+b2abcosC余弦定理：

222

α

2

·正弦定理：正弦定理：定理

·反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinx=反三角函數(shù)性質(zhì)：

π

2arccosxarctanx=

π

2

arccotx高階導數(shù)公式——萊布尼茲（Leibniz）公式：高階導數(shù)公式——萊布尼茲（Leibniz）公式：——萊布尼茲

k(uv)(n)=∑Cnu(nk)v(k)k=0n

=u(n)v+nu(n1)v′+

n(n1)(n2)n(n1)L(nk+1)(nk)(k)uv+L+uv(n)uv′′+L+2!k!中值定理與導數(shù)應用：中值定理與導數(shù)應用：拉格朗日中值定理：f(b)f(a)=f′(ξ)(ba)f(b)f(a)f′(ξ)柯西中值定理：=F(b)F(a)F′(ξ)當F(x)=x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：曲率：弧微分公式：ds=1+y′2dx,其中y′=tgαK平均曲率：=α.α:從M點到M′點，切線斜率的傾角變化量；s：MM′弧長。sy′′αdαM點的曲率：K=lim==.s→0sds(1+y′2)31.a

3/13直線：K=0;半徑為a的圓：K=定積分的近似計算：定積分的近似計算：矩形法：f(x)≈∫

a

bba(y0+y1+L+yn1)nba1[(y0+yn)+y1+L+yn1]n2ba[(y0+yn)+2(y2+y4+L+yn2)+4(y1+y3+L+yn1)]3n梯形法：f(x)≈∫

abb拋物線法：f(x)≈∫

a定積分應用相關公式：定積分應用相關公式：功：W=Fs水壓力：F=pAm1m2,k為引力系數(shù)r2b1函數(shù)的平均值：=yf(x)dxba∫a引力：F=k12均方根：∫f(t)dtbaa空間解析幾何和向量代數(shù)：空間解析幾何和向量代數(shù)：

b空間2點的距離：d=M1M2=(x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2向量在軸上的投影：juAB=ABcos,是AB與u軸的夾角。PrvvvvPrju(a1+a2)=Prja1+Prja2vvvvab=abcosθ=axbx+ayby+azbz,是一個數(shù)量,兩向量之間的夾角：θ=cosivvvc=a×b=axbxjaybykaxbx+ayby+azbzax+ay+azbx+by+bz

222222

vvvvvvaz,c=absinθ.例：線速度：v=w×r.bzaybycyazcz

axvvvvvv向量的混合積：bc]=(a×b)c=bx[acx代表平行六面體的體積。vvvbz=a×bccosα,α為銳角時，

4/13平面的方程：v1、點法式：A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0，其中n={A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0xyz3、截距世方程：++=1abc平面外任意一點到該平面的距離：d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2

x=x0+mtxx0yy0zz0v空間直線的方程：===t,其中s={m,n,p};參數(shù)方程：y=y0+ntmnpz=z+pt0二次曲面：x2y2z21、橢球面：2+2+2=1abc22xy2、拋物面：+=z（p,q同號）,2p2q3、雙曲面：x2y2z2單葉雙曲面：2+22=1abc22xyz2雙葉雙曲面：22+2=（馬鞍面）1abc多元函數(shù)微分法及應用全微分：dz=

zzuuudx+dydu=dx+dy+dzzxyxy全微分的近似計算：z≈dz=fx(x,y)x+fy(x,y)y多元復合函數(shù)的求導法：dzzuzvz=f[u(t),v(t)]=+dtutvtzzuzvz=f[u(x,y),v(x,y)]=+xuxvx當u=u(x,y)，v=v(x,y)時，du=uuvvdx+dydv=dx+dyxyxy隱函數(shù)的求導公式：FFFdydyd2y隱函數(shù)F(x,y)=0，=x，2=(x)＋(x)xFyyFydxdxFydxFyFzz隱函數(shù)F(x,y,z)=0，=x，=xyFzFz

5/13

FF(x,y,u,v)=0(F,G)u隱函數(shù)方程組：J==G(u,v)G(x,y,u,v)=0uu1(F,G)v1(F,G)==xJ(x,v)xJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)==yJ(y,v)yJ(u,y)微分法在幾何上的應用：微分法在幾何上的應用：

Fv=FuGGuvFvGv

x=(t)xxyy0zz0空間曲線y=ψ(t)在點M(x0,y0,z0)處的切線方程：0==′(t0)ψ′(t0)ω′(t0)z=ω(t)在點M處的法平面方程：′(t0)(xx0)+ψ′(t0)(yy0)+ω′(t0)(zz0)=0vFyFzFzFxFxF(x,y,z)=0,則切向量T={,,若空間曲線方程為：GyGzGzGxGxG(x,y,z)=0曲面F(x,y,z)=0上一點M(x0,y0,z0)，則：v1、過此點的法向量：n={Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}xx0yy0zz03、過此點的法線方程：==Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向?qū)?shù)與梯度：方向?qū)?shù)與梯度：FyGy}

2、過此點的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)+Fy(x0,y0,z0)(yy0)+Fz(x0,y0,z0)(zz0)=0

fff函數(shù)z=f(x,y)在一點p(x,y)沿任一方向l的方向?qū)?shù)為：=cos+sinlxy其中為x軸到方向l的轉(zhuǎn)角。fvfvi+jxyvvfvv它與方向?qū)?shù)的關系是：=gradf(x,y)e，其中e=cosi+sinj，為l方向上的l單位向量。f∴是gradf(x,y)在l上的投影。l函數(shù)z=f(x,y)在一點p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=多元函數(shù)的極值及其求法：多元函數(shù)的極值及其求法：設fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，令：fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=CA<0,(x0,y0)為極大值2ACB>0時，A>0,(x0,y0)為極小值2則：ACB<0時，無極值ACB2=0時,不確定

6/13重積分及其應用：重積分及其應用：

∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ

DD′曲面z=f(x,y)的面積A=∫∫

D

zz1++dxdyxy2

2

M平面薄片的重心：x=x=M

∫∫xρ(x,y)dσ

D

∫∫ρ(x,y)dσ

D2D

,y=

MyM

=

∫∫yρ(x,y)dσ

D

∫∫ρ(x,y)dσ

DD平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量：對于x軸Ix=∫∫yρ(x,y)dσ,對于y軸Iy=∫∫x2ρ(x,y)dσ平面薄片（位于xoy平面）對z軸上質(zhì)點M(0,0,a),(a>0)的引力：F={Fx,Fy,Fz}，其中：Fx=f∫∫

D

ρ(x,y)xdσ

(x2+y2+a)

322，F(xiàn)y=f∫∫

D

ρ(x,y)ydσ

(x2+y2+a)

322，F(xiàn)z=fa∫∫

D

ρ(x,y)xdσ

3

(x2+y2+a2)2柱面坐標和球面坐標：柱面坐標和球面坐標：

x=rcosθ柱面坐標：y=rsinθ,f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫F(r,θ,z)rdrdθdz,∫∫∫z=z其中：F(r,θ,z)=f(rcosθ,rsinθ,z)x=rsincosθ球面坐標：y=rsinsinθ，dv=rdrsindθdr=r2sindrddθz=rcos

2∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫F(r,,θ)rsindrddθ=∫dθ∫d002π

π

r(,θ)

∫F(r,,θ)r

0

2sindr重心：x=

1M

∫∫∫xρdv,y=M∫∫∫yρdv,z=M∫∫∫zρdv，其中M=x=∫∫∫ρdv

2222221

1轉(zhuǎn)動慣量：Ix=∫∫∫(y+z)ρdv，Iy=∫∫∫(x+z)ρdv，Iz=∫∫∫(x+y)ρdv曲線積分：曲線積分：第一類曲線積分（對弧長的曲線積分）：x=(t)設f(x,y)在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為：,≤t≤β),則：(αy=ψ(t)

∫f(x,y)ds=αf[(t),ψ(t)]∫

L

β

′2(t)+ψ′2(t)dt<β)特殊情況：(α

x=ty=(t)

7/13第二類曲線積分（對坐設L的參數(shù)方程為標的曲線積分）：x=(t)，則：y=ψ(t)

∫

L

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=

α

∫{P[(t),ψ

Lβ

(t)]′(t)+Q[(t),ψ(t)]ψ′(t)}dt兩類曲線積分之間的關系：∫Pdx+Qdy=

∫(Pcos

L

α+Qcosβ)ds，其中α和β分別為

QP)dxdy=y=12

L上積分起止點處切向量的方向角。QP格林公式：∫∫()dxdy=∫Pdx+Qdy格林公式：xyDL當P=y,Q=x，即：·平面上曲線積分與路徑1、G是一個單連通區(qū)域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)減去對此奇點的積分，·二元函數(shù)的全微分求積在注意方向相反?。?，且QP=2時，得到xy無關的條件：D的面積：

∫∫(x

D

∫Pdx

L

+Qdy

A=

∫∫dxdy

D

∫xdy

Lydx

QP＝。注意奇點，如xy

(0,0)，應

QP＝時，Pdx+Qdy才是二元函數(shù)xy(x,y)

u(x,y)的全微分，其中：x0=y0=0。

u(x,y)=

∫P(x,y)dx

(x0,y0)

+Q(x,y)dy，通常設曲面積分：曲面積分：對面積的曲面積分：∫∫f(x,y,z)ds=

∑

∫∫f[x,y,z(x,y)]

Dxy

221+zx(x,y)+zy(x,y)dxdy對坐標的曲面積分：∫∫P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy，其中：

∑

∫∫R(x,y,z)dxdy

∑

=±∫∫R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上側(cè)時取正號；

Dxy

∫∫P(x,y,z)dydz

∑∑

=±∫∫P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前側(cè)時取正號；

Dyz

∫∫Q(x,y,z)dzdx=±∫∫Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右側(cè)時取正

Dzx號。兩類曲面積分之間的關系：Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫

∑∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds

∑高斯公式：高斯公式：

8/13

∫∫∫(x+y

P

Q

+

R)dv=∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dsz∑∑高斯公式的物理意義——通量與散度：vPQRv散度：divν=++,即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若divν<0,則為消失...xyzvv通量：Ands=∫∫Ands=∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds，∫∫v因此，高斯公式又可寫成：divAdv=∫∫Ands∫∫∫

∑∑∑∑斯托克斯公式——曲線積分與曲面積分的關系：斯托克斯公式——曲線積分與曲面積分的關系：——曲線積分與曲面積分的關系

∫∫(yz)dydz+(zx)dzdx+(x

∑

R

Q

P

R

Q

P)dxdy=∫Pdx+Qdy+RdzyΓcosβyQcosγzRdydz上式左端又可寫成：∫∫x∑PdzdxyQdxdycosα=∫∫zx∑RP

RQPRQP空間曲線積分與路徑無關的條件：=，=，=yzzxxyijkv旋度：rotA=xyzPQRvvv向量場A沿有向閉曲線Γ的環(huán)流量：Pdx+Qdy+Rdz=∫Atds∫

ΓΓ常數(shù)項級數(shù)：常數(shù)項級數(shù)：

1qn1q(n+1)n等差數(shù)列：1+2+3+L+n=2111調(diào)和級數(shù)：1+++L+是發(fā)散的23n等比數(shù)列：1+q+q2+L+qn1=級數(shù)審斂法：級數(shù)審斂法：

9/13

1、正項級數(shù)的審斂法

n

——根植審斂法（柯西判別法）：

ρ<1時，級數(shù)收斂設：ρ=limun，則ρ>1時，級數(shù)發(fā)散n→∞ρ=1時，不確定2、比值審斂法：設：ρ=limρ<1時，級數(shù)收斂Un+1，則ρ>1時，級數(shù)發(fā)散n→∞Unρ=1時，不確定3、定義法：sn=u1+u2+L+un;limsn存在，則收斂；否則發(fā)

n→∞散。交錯級數(shù)u1u2+u3u4+L(或u1+u2u3+L,un>0)的審斂法——萊布尼茲定理：un≥un+1如果交錯級數(shù)滿足，那么級數(shù)收斂且其和s≤u1,其余項rn的絕對值rn≤un+1。limun=0n→∞絕對收斂與條件收斂：絕對收斂與條件收斂：

(1)u1+u2+L+un+L，其中un為任意實數(shù)；(2)u1+u2+u3+L+un+L如果(2)收斂，則(1)肯定收斂，且稱為絕對收斂級數(shù)；如果(2)發(fā)散，而(1)收斂，則稱(1)為條件收斂級數(shù)。1(1)n調(diào)和級數(shù)：發(fā)散，而∑收斂；∑nn1級數(shù)：∑n2收斂；ｐ≤１時發(fā)散1p級數(shù)：∑npp>1時收斂冪級數(shù)：冪級數(shù)：

1+x+x+x+L+x+L

23n2

x<1時，收斂于x≥1時，發(fā)散

11x對于級數(shù)(3)a0+a1xa2x+L+anxn+L，如果它不是僅在原點收斂，也不是在全+x<R時收斂數(shù)軸上都收斂，則必存在R，使x>R時發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。x=R時不定

ρ≠0時，R=

a求收斂半徑的方法：設limn+1=ρ，其中an，an+1是(3)的系數(shù)，則n→∞an

1

ρρ=0時，R=+∞ρ=+∞時，R=0函數(shù)展開成冪級數(shù)：函數(shù)展開成冪級數(shù)：

10/13函數(shù)展開成泰勒級數(shù)：余項：Rn=

f(x)=f(x0)(xx0)+

f′′(x0)f(n)(x0)(xx0)2+L+(xx0)n+L2!n!充要條件是：limRn=0

n→∞

f(n+1)(ξ)(xx0)n+1,f(x)可以展開成泰勒級數(shù)的(n+1)!f(x)=f(0)+f′(0)x+

x0=0時即為麥克勞林公式：f′′(0)2f(n)(0)nx+L+x+L2!n!一些函數(shù)展開成冪級數(shù)：一些函數(shù)展開成冪級數(shù)：m(m1)2m(m1)L(mn+1)n(1+x)m=1+mx+x+L+x+L1<x<1)(2!n!x3x5x2n1sinx=x+L+(1)n1+L∞<x<+∞)(3!5!(2n1)!歐拉公式：歐拉公式：

eix+eixcosx=2=cosx+isinx或eixeixsinx=2

eix三角級數(shù)：三角級數(shù)：

∞a0+∑(ancosnx+bnsinnx)2n=1n=1其中，a0=aA0，an=Ansinn，bn=Ancosn，ωt=x。

f(t)=A0+

∑A

∞

n

sin(nωt+n)=正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xLsinnx,cosnxL任意兩個不同項的乘積上的積分＝0。在[π,π]傅立葉級數(shù)：傅立葉級數(shù)：

f(x)=a0+2

∑(a

n=1

∞

ncosnx+bnsinnx)，周期

=2π

1an=π其中b=1nπ

π

π

∫

f(x)cosnxdxn=0,1,2L)(f(x)sinnxdxn=1,2,3L)(1+

π

π∫

π2111+2+2+L=835π2111+2+2+L=224624正弦級數(shù)：余弦級數(shù)：an=0，bn=bn=0，an=

π2111+2+2+L=（相加）62234π211112+22+L=（相減）23412

π

2

π

2

∫

0

f(x)sinnxdxn=1,2,3Lf(x)=f(x)cosnxdxn=0,1,2Lf(x)=

∑b

n

sinnx是奇函數(shù)

π

π

∫

0

a0+2

∑a

ncosnx是偶函數(shù)的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)：周期為2l的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)：

11/13

f(x)=

a0+2

∑(a

n=1

∞

ncos

nπxnπx+bnsin)，周期=2llll1nπxdxn=0,1,2L)(an=∫f(x)coslll其中l(wèi)b=1f(x)sinnπxdxn=1,2,3L)(n∫lll微分方程的相關概念：微分方程的相關概念：一階微分方程：y′=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0可分離變量的微