理論力學(xué)課件

第二章拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程

§2.1約束廣義坐標(biāo)§2.2達(dá)郎貝爾原理§2.3完整約束拉格朗日方程§2.4非完整約束的拉格朗日方程§2.5對(duì)稱性和守恒定律§2.1約束廣義坐標(biāo)一、約束與分類1、約束：限制各質(zhì)點(diǎn)自由運(yùn)動(dòng)的條件。2、分類(1)幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束(微分約束)幾何約束:fi(r1,r2,

…rn

,t)=0運(yùn)動(dòng)約束:fi(r1,r2,

…rn

,v1,v2,

…vn

,t)=0(i=1,2,…k)式中k為約束個(gè)數(shù),獨(dú)立約束的個(gè)數(shù)≤3n。(2)穩(wěn)定約束和非穩(wěn)定約束穩(wěn)定約束:

約束方程不顯含t的約束。非穩(wěn)定約束:

約束方程顯含t的約束。例：穩(wěn)定的幾何約束：fi(r1,r2,

…rn)=0

穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)約束:fi(r1,r2,

…rn,v1,v2,

…vn)=0(i=1,2,…k)(3)可解約束和不可解約束不可解約束：約束方程為等式?？山饧s束：約束方程可在一個(gè)方向偏離等式。例：不可解幾何約束：fi(r1,r2,

…rn,t)=0

可解幾何約束：fi(r1,r2,

…rn,t)≥0或≤0。(4)完整約束和非完整約束非完整約束:

有兩種情況

(a)可解約束;(b)微分約束中若約束方程不能單獨(dú)積分

(必須與運(yùn)動(dòng)方程聯(lián)立才能積分,即解出運(yùn)動(dòng)的同時(shí)才能積分).

完整約束:

除上述兩種情況外的約束.

今后主要研究受完整約束的力學(xué)體系,即研究完整系的力學(xué)問(wèn)題.例1：一球面擺，O點(diǎn)固定；OM為輕剛性桿，桿長(zhǎng)為l

；M點(diǎn)系一質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量為m。設(shè)O點(diǎn)為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)M的約束方程為：x2+y2+

z2-

l2=0它是穩(wěn)定、不可解、幾何、完整約束。

若O點(diǎn)不固定，在x方向有一恒定速率c，t=0時(shí)O點(diǎn)處于坐標(biāo)原點(diǎn)，則約束方程為:(x–ct)2+y2+

z2-

l2=0它是非穩(wěn)定、不可解、幾何、完整約束。OMl例1：一球面擺，O點(diǎn)固定；OM為輕剛性桿，桿長(zhǎng)為l

；M點(diǎn)系一質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量為m。

若OM為不可伸長(zhǎng)的柔軟繩，則約束方程為：O點(diǎn)固定：x2+y2+

z2-

l2≤0O點(diǎn)不固定：(x–ct)2+y2+

z2-

l2≤0它是可解約束。約束空間為以O(shè)為球心、l為半徑的球體。OMl例2：線性三原子分子組成的體系只能在該連線上運(yùn)動(dòng)。體系在無(wú)外力作用。分析：體系的質(zhì)心速度為常數(shù)，即約束方程為：

vC=C（微分約束）積分得：xC=Ct+xCo

x1m2m3m1x2x3§2.2達(dá)郎貝爾原理一、虛位移假想的、符合約束條件的、無(wú)限小的、即時(shí)的位置變更，δr.注意:(1)某一固定時(shí)刻,

即:dt=0.(2)與實(shí)位移dr

無(wú)關(guān).理解:dr

=δr

+

vo

dt

當(dāng)v→∞,dt→0,dr→δr.BB’B”Adrδrvvodt’vodt”voAOxyD(x2,y2)B(x3,y3)FC(x1,y1)P1P2βαAOxyD(x2,y2)B(x3,y3)FC(x1,y1)P1P2βα§2.3完整約束拉格朗日方程AOyxD(x2,y2)B(x3,y3)FC(x1,y1)P1P2βα對(duì)于非理想約束的處理：

理想約束的條件是從實(shí)際約束的主要因素中抽象出來(lái)的，在理想約束不滿足的情況下，可增加主動(dòng)力和約束力而視為理想約束。具體處理方法是：

把非光滑約束中起限制作用的法向分量視為約束力，而將起限制作用的切向分量——摩擦力視為待求的主動(dòng)力。例:軸為豎直而頂點(diǎn)在下的拋物線金屬絲，以勻角速ω繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)量為m的小環(huán)，套在此金屬絲上，并可沿著絲滑動(dòng)。求小環(huán)在x方向的運(yùn)動(dòng)微分方程。已知拋物線方程為x2=4ay，式中a為常數(shù)。ωmgvrxxoy§2.4非完整約束的拉格朗日方程§2.4

非完整約束的拉格朗日方程mlθmlθ§2.5對(duì)稱性和守恒定律§2.6

拉格朗日方程的應(yīng)用

拉格朗日方程是運(yùn)動(dòng)微分方程的一種表述形式，其優(yōu)點(diǎn)有：對(duì)約束的處理使方程數(shù)減少；表述形式統(tǒng)一；適用范圍普遍；用標(biāo)量能量函數(shù)描述運(yùn)動(dòng)易于處理;

處理方法可歸納為一種固定格式，易于掌握。第三章兩體問(wèn)題§3.1兩體問(wèn)題化為單粒子問(wèn)題這樣，兩體問(wèn)題分解為兩個(gè)單粒子問(wèn)題?！?.2有心力場(chǎng)中單粒子的運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)定性討論討論粒子在吸引勢(shì)U=-a/r3中的運(yùn)動(dòng)情況解：粒子的有效勢(shì)能：Ueff=L2/2mr2-a/r3曲線漸近行為

r→∞，Ueff→0；

r→0，Ueff→-∞。(2)曲線零點(diǎn)：Ueff=0→r=ro=2ma/L2(3)曲線極值：dUeff/

dr=0→r=rm=3ma/L2(Ueff)max=L6/54m3a2-a/r3L2/2mr2OE(Ueff)maxrUeffrmror1r2§3.3與距離成反比的有心力場(chǎng)

吸引勢(shì)：U(r)=-a/r有效勢(shì)能：Ueff=L2/2mr2-a/rr→0，Ueff→+∞；

r→∞，Ueff→0。(2)曲線極值：dUeff/

dr=0→r=rm=L2/ma(Ueff)min=m

a2/2L2(3)曲線零點(diǎn)：Ueff=0→r=ro=L2/2ma-a/rL2/2mr2OE(Ueff)maxrUeffrmror1r2比耐公式——軌道方程比耐公式——軌道方程例：已知引力作用F(r)=-GMm/r2

ro

，求運(yùn)行軌跡。解：比耐公式

h2u2(d2u/dθ2+u)=GM/r2=GMu2→

d2u/dθ2+u=μ/h2(μ=GM)軌跡方程:u=1/r=C1cosθ+C2sinθ+μ/h2

齊次解非齊次解取近日點(diǎn)(r極小值)的θ為零.r極小值條件:dr/dθ=0,d2r/dθ2>0.∵d(1/u)/dθ=-(1/u2)du/dθ│θ=0

=(1/u2)(C1sinθ-C2cosθ)│θ=0=0→C2=0∴r=(C1cosθ+μ/h2)-1=p/(1+ecosθ)r=p/(1+ecosθ)其中p=h2/μ(正焦弦長(zhǎng)度一半),

e=C1h2/μ(偏心率)。這是一原點(diǎn)在焦點(diǎn)上的圓錐曲線，力心位于焦點(diǎn)上。e<1橢圓

e=1拋物線

e>1雙曲線拋物線雙曲線橢圓補(bǔ)充作業(yè):求e

與能量E

的關(guān)系，即證明：并討論E

與圓錐曲線型的關(guān)系.§3.4有心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)軌道的穩(wěn)定性軌道閉合與軌道穩(wěn)定軌道穩(wěn)定的含義:

由于初始條件的微小變化或勢(shì)場(chǎng)本身的擾動(dòng)，使粒子偏離原軌道ro變?yōu)閞。若r始終保持在ro附近作小振動(dòng)，則稱此種軌道是穩(wěn)定的；反之，若隨著時(shí)間增加，r偏離ro越來(lái)越大，則稱此種軌道是不穩(wěn)定的?！?.4有心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)軌道的穩(wěn)定性設(shè)粒子在勢(shì)場(chǎng)U(Z)中的軌道為u=uo，軌道偏離：u=uo+

（為小量）§3.4有心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)軌道的穩(wěn)定性若A=0，隨(從而隨t)線性增加；若A<0，隨t線性增加。軌道不穩(wěn)定若A>0，作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，軌道穩(wěn)定。軌道穩(wěn)定條件：討論U=a/r，A=1>0，軌道穩(wěn)定。U=-a/r3，

A=1–6ma/rL2=1-3rm/r

軌道穩(wěn)定條件A>0變?yōu)?/p>

r

>3rm

(3)U=kr2，A=1+6mkr4/L2>0

軌道永遠(yuǎn)穩(wěn)定條件。圓形軌道穩(wěn)定性條件為：(Ueff=L2/2mr2+U)dUeff/dr=0，dUeff/dr>03dU/dr+d2U/dr2>0或-3F-dF/dr>0OAρφoψ§3.6粒子散射問(wèn)題設(shè)有心力場(chǎng)的力心在O點(diǎn)，由于有心力場(chǎng)對(duì)力心是中心對(duì)稱的，所以軌道對(duì)OA是軸對(duì)稱的。設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)處質(zhì)點(diǎn)速率為v∞，瞄準(zhǔn)距離為ρ。OAρφoψ

散射要考慮一束速度相同的全同粒子群。假設(shè)粒子束在其截面內(nèi)密度均勻，而各個(gè)粒子有不同的瞄準(zhǔn)距離，相應(yīng)有不同的散射角ψ。dρρ

假定n

為單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于束的單位截面積的粒子數(shù)，單位時(shí)間內(nèi)落入散射角ψ到ψ+dψ內(nèi)的粒子數(shù)為dN，則定義散射的有效截面為dσ=

dN/n，dN個(gè)粒子可能來(lái)自ρ(ψ)到ρ(ψ)+dρ(ψ)區(qū)間內(nèi)的粒子。

假定n

為單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于束的單位截面積的粒子數(shù)，單位時(shí)間內(nèi)落入散射角ψ到ψ+dψ內(nèi)的粒子數(shù)為dN，則定義散射的有效截面為

dσ=

dN/n，dN個(gè)粒子可能來(lái)自ρ(ψ)到ρ(ψ)+dρ(ψ)區(qū)間內(nèi)的粒子，即dN=2πnρdρ，所以

dσ=2πρdρ=2πρ│dρ/dψ│dψφ到φ+dφ對(duì)應(yīng)的立體角為

dΩ=2πsinψdψ因而

dσ=(ρ/sinψ)│dρ/dψ│dΩdρρ試求粒子在半徑為a的剛性上散射的有效截面φρψ例：盧瑟福公式的推導(dǎo)，即帶電粒子在

U(r)=a/r場(chǎng)中散射的有效截面。第四章剛體§4.1剛體運(yùn)動(dòng)的自由度和廣義坐標(biāo)剛體運(yùn)動(dòng)的自由度:6剛體運(yùn)動(dòng)分類:平動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)平面平行運(yùn)動(dòng)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一般運(yùn)動(dòng)xyzy”NO§4.2剛體的角速度角位移為

n

位移為

r=n

r角速度定義：

ω

=

dn

/dtrrr+r

xyzy”NO§4.3剛體上任一點(diǎn)的線速度和加速度1、無(wú)平動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)線位移:

dr=dn

r線速度:

v=

dr

/dt

=(dn/dt)

r

=ω

r加速度：a=

dv

/dt

=d(ω

r)/dt

=(dω/dt)

r+ω

(ω

r)任一常模矢量

A對(duì)時(shí)間的微商為:dA

/dt=

ω

A§4.3剛體上任一點(diǎn)的線速度和加速度2、平動(dòng)+轉(zhuǎn)動(dòng)固定基點(diǎn)法(

C為剛體上固定基點(diǎn))線速度:

v=vC

+ω

r加速度：a=aC

+(dω/dt)

r+ω

(ω

r)運(yùn)算公式：A×B×C=B(A·C)–(A·B)

Cω×(ω×r

)=

ω(ω·r

)-ω2

r

a=aC

+(dω/dt)

r+ω(ω·r

)-ω2

r

對(duì)平面平行運(yùn)動(dòng)ω⊥r,

a=aC

+(dω/dt)

r-ω2

r

證明：剛體角速度與參考點(diǎn)無(wú)關(guān)。證:

以A’為參考點(diǎn),角速度ω’

;

以A’’為參考點(diǎn),角速度ω’’

。

vP=

vA’

+

ω’×A’P

=

vA’’

+

ω’’

×A’’P

∵vA’’=

vA’

+

ω’

×A’A’’

∴vA’

+ω’×A’P

=

vA’

+ω’×A’A’’

+ω’’

×A’’P

→

ω’

×(A’P

-A’A’’

)=ω’’×A’’P

→

ω’

×A’’P

=ω’’×A’’P

→

ω’

=ω’’

O參考原點(diǎn)A’’A’P(2)瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸法①平面平行運(yùn)動(dòng)已知?jiǎng)傮w的角速度ω和剛體上某一點(diǎn)P的線速度vP，總可過(guò)P點(diǎn)作一條和vP垂直的直線PQ，并使Q點(diǎn)的位置滿足條件：

vP=ω

rPQ取Q點(diǎn)為基點(diǎn)?；c(diǎn)Q的特點(diǎn)：

Q點(diǎn)是轉(zhuǎn)動(dòng)軸線和運(yùn)動(dòng)平面的交點(diǎn)，速度為零，Q點(diǎn)的位置不固定，所以Q點(diǎn)稱為瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心或瞬時(shí)轉(zhuǎn)心。確定瞬時(shí)轉(zhuǎn)心的方法(1)

剛體上瞬時(shí)速度為零的點(diǎn)必為瞬時(shí)轉(zhuǎn)心；(2)已知?jiǎng)傮w上A點(diǎn)和B點(diǎn)的速度方向，分別過(guò)A點(diǎn)和B點(diǎn)作vA和vB的垂線，其交點(diǎn)Q必為瞬時(shí)轉(zhuǎn)心。②一般運(yùn)動(dòng)

也可用瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸法。如果在某一瞬時(shí)能在剛體上找到兩個(gè)速度為零的點(diǎn)，則此兩點(diǎn)的連線就是剛體的瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸。找到了瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸，剛體上任一點(diǎn)的速度就可直接用純轉(zhuǎn)動(dòng)的公式。ABQvAvB例1：半徑為R的輪子在直線軌道上無(wú)滑滾動(dòng)，質(zhì)心C的速度為常數(shù)vo求輪子邊緣上任一點(diǎn)P的速度和加速度。解：1、固定基點(diǎn)法

OyoxoCQP

vovCvPω

rCPOyoxoCQP

vovCvPω

rCP2、瞬時(shí)轉(zhuǎn)心法輪子和軌道接觸點(diǎn)Q為瞬時(shí)轉(zhuǎn)心，所以O(shè)yoxoCQP

vovCvPω

rCP例：半徑為r的圓盤垂直于地面作純滾動(dòng)，圓盤中心C以速率vC=

1R沿著半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，求圓盤邊緣上任一點(diǎn)P的速度。解：圓盤運(yùn)動(dòng)可視為繞點(diǎn)O的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，OQ為其瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線。RQO

1

2C

Pijk

2

1

CO圓盤角速度用歐拉角來(lái)表示?！?.4剛體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程ABPO’O3、慣量主軸的求法利用慣量橢球方程慣量橢球有三條相互垂直的主軸，以此三主軸為坐標(biāo)軸，則橢球方程中的交叉項(xiàng)統(tǒng)統(tǒng)為零，即慣量積為零。所以，慣量主軸即為慣量橢球的三條主軸，采用坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。(2)根據(jù)質(zhì)量對(duì)稱分布可以證明三條相互垂直的質(zhì)量對(duì)稱軸即為慣量主軸。h=axyzm1a/2m2m3oa§4.5剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程分別為：質(zhì)心定理：F外

=mdvc/dt質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)定律：M外C=IC

=ICd/dt剛體總能量：E=EK+EP

=mvC

2/2+ICω2/2+EP

角動(dòng)量：LZ=IZ

垂直軸定理：IZ=IX+IY平行軸定理：IZ=IC+md2

例：均勻圓柱體沿固定斜面無(wú)滑動(dòng)滾下，求圓柱體的加速度和約束反作用力。解：質(zhì)心C：xC=R

，yC=0。體系廣義坐標(biāo)選為xC體系動(dòng)能：AONmgxyF

y’C

AONmgxyF

y’C

例：半徑為R的偏心圓盤在水平面上作平面平行運(yùn)動(dòng)，圓盤的質(zhì)量為m，質(zhì)心C離幾何中心的距離為d，寫出圓盤的運(yùn)動(dòng)方程。設(shè)圓盤只滾不滑。OCRr

dFNF§4.6歐拉動(dòng)力學(xué)方程BωAPQO討論：可解情況歐勒——潘索情況重力的合力通過(guò)定點(diǎn)(一般說(shuō)重心或質(zhì)心).因而對(duì)O點(diǎn),外力矩為0,剛體作慣性轉(zhuǎn)動(dòng)，如回轉(zhuǎn)儀，地球自轉(zhuǎn)等情況。(2)拉格朗日——泊松情況對(duì)定點(diǎn)O的慣量橢球是旋轉(zhuǎn)橢球(Ix=Iy≠Iz)，而剛體的重心在橢球的旋轉(zhuǎn)軸上，如重力陀螺儀。(3)柯凡律夫斯卡雅情況對(duì)定點(diǎn)O的慣量橢球也是旋轉(zhuǎn)橢球，而且有(Ix=Iy=2Iz)，剛體的重心在慣量橢球的赤道平面上。xyzoαω§4.8剛體的自由轉(zhuǎn)動(dòng)1、潘索的幾何法：

取剛體的質(zhì)心為定點(diǎn)O，取O點(diǎn)的慣量主軸為Oxyz的三個(gè)坐標(biāo)軸，則慣量橢球方程為

Ixx2+Iyy2+Izz2=1

角動(dòng)量L的方向和大小不變，取為Ox’軸方向。

在L

方向的投影

L是常數(shù)

L=

·L/L=2E/L(2)設(shè)

慣量橢球的交點(diǎn)為N，ON的長(zhǎng)度為，則

rON=

/

，所以N點(diǎn)的坐標(biāo)為

x=

x

/

，y=

y

/

，z=

z

/

?！?(Ix

x2+Iy

y2+Iz

z2)

/

2=1→22E/

2=1→=/(2E)1/2N(x,y,z)Q(x’,y’,z’)Oen求過(guò)點(diǎn)和慣量橢球相切的平面方程剛體自由轉(zhuǎn)動(dòng)的描述作剛體的中心慣量橢球，過(guò)質(zhì)心O作角動(dòng)量

L，并取一點(diǎn)O’，令OO’=(2E)1/2/L.

過(guò)O’點(diǎn)作一和L垂直的平面，這個(gè)平面就是上述的不變平面，它必與中心慣量橢球相切與N點(diǎn)，rON的方向即為角速度

的方向，也即瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的方向。L

O’ON

剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)位置將不斷改變，但由于點(diǎn)在瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸上，它的瞬時(shí)速度必為零，因此中心慣量橢球(即剛體)只能在

平面上作純滾動(dòng)。2、歐拉法(對(duì)稱陀螺Ix=Iy)(2)對(duì)稱陀螺的歐拉角描述zoz

例：一回轉(zhuǎn)儀Ix=Iy=2Iz依慣性繞重心轉(zhuǎn)動(dòng)并作規(guī)則進(jìn)動(dòng)(即恒速進(jìn)動(dòng))。已知此回轉(zhuǎn)儀的自轉(zhuǎn)角速度為ω1，并知其轉(zhuǎn)軸與進(jìn)動(dòng)軸間的夾角θ=60o，求進(jìn)動(dòng)角速度ω2?！?.9

拉格朗日陀螺

(定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),Ix=Iy,重心在對(duì)稱軸上)OxyzXYZCmgθE’θ1θ2πUeffcab§4.10快速陀螺(回轉(zhuǎn)儀)的近似理論§4.10剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的穩(wěn)定性1、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的穩(wěn)定性是討論在什么條件下剛體的角速度

不隨時(shí)間變化。首要條件是外力矩為零；在外力矩為零時(shí)的歐拉動(dòng)力學(xué)方程為：2、在滿足穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)的條件下，若剛體受到小的沖量矩的干擾，使轉(zhuǎn)動(dòng)軸稍微偏離原來(lái)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸(慣量主軸)，這種偏離是否不會(huì)變得越來(lái)越大。第五章非慣性參考系§5.1不同參考系之間速度和加速度的變換固定坐標(biāo)——慣性系動(dòng)坐標(biāo)系——非慣性系動(dòng)坐標(biāo)系：

A=Ax

i

+

Ayj

+Az

k

固定坐標(biāo)：

dA/dt=dAx/dt

i

+

dAy/dt

j

+dAz/dt

k

動(dòng)坐標(biāo)

+

Axdi/dt

+Aydj

/dt

+Azdk

/dt

動(dòng)相對(duì)固定動(dòng)坐標(biāo)系：A=Ax

i

+

Ayj

+Az

k

固定坐標(biāo)：dA/dt=dAx/dt

i

+

dAy/dt

j

+dAz/dt

k

+

Axdi/dt

+Aydj

/dt

+Azdk

/dt討論(1)僅有轉(zhuǎn)動(dòng)(角速度ω相對(duì)固定坐標(biāo)系）∵dr/dt=ω×

r

∴di

/dt

=ω×

i

,

dj

/dt

=ω×

j

,

dk

/dt

=ω×

k

.記δA/dt=dAx/dt

i

+

dAy/dt

j

+dAz/dt

k則有:

dA/dt=δA

/δt+ω×A

轉(zhuǎn)動(dòng)參考系算符變換：d/dt=δ/δt+ω×

例:質(zhì)點(diǎn)的位置矢量r

，求v

，a

。解：v=dr/dt=δr/δt+ω×r=v相+v牽

a=d2r/dt2=d(δr/δt+ω×r)/dt=δ(δr/δt+ω×r)/δt+ω×(δr/δt+ω×r)

=δ2r/δt2+δ(ω×r)/δt+ω×(δr/δt)+

ω×(ω×r

)=δ2r/δt2+(δω/δt)×r+ω×(ω×r

)

+

2ω×(δr/δt)=a相+a牽+a科

a相=δ2r/δt2a牽=(δω/δt)×r+ω×(ω×r

)a科=2ω×(δr/δt)dA/dt=δA/δt+ω×A

運(yùn)算公式：A×B×C=B(A·C)–(A·B)

Cω×(ω×r

)=

ω(ω·r

)-ω2

r

=ω2

(OB-OP)=-ω2

R對(duì)于角速度ω，角加速度為β

β

=dω/dt=δω/δt+ω×ω

=δω/δt說(shuō)明角加速度與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)。RrωBPO例：一等腰直角三角形OAB在其自身平面內(nèi)以勻角速ω繞O轉(zhuǎn)動(dòng)。P點(diǎn)以勻相對(duì)速度沿AB邊運(yùn)動(dòng)，當(dāng)三角形轉(zhuǎn)一周時(shí)，P點(diǎn)走過(guò)AB，如AB=b，試求P點(diǎn)在A時(shí)的絕對(duì)速度與絕對(duì)加速度。PAByzxOω(2)平動(dòng)+轉(zhuǎn)動(dòng)固定坐標(biāo)系中位矢rI

與動(dòng)坐標(biāo)系r

之間關(guān)系:

rI

=

R

+

rd2rI/dt2=d2R/dt2+

d2r/dt2=d2R/dt2+

δ2r/δt2+(δω/δt)×r

+ω×(ω×r

)+2ω×(δr/δt)或a=a平

+a相+β×r-ω2

R+2ω×v相若等角加速度轉(zhuǎn)動(dòng)β=0，無(wú)平動(dòng)加速度a平

=0，則：a=a’-ω2

R+2ω×v’§5.2非慣性系中的動(dòng)力學(xué)方程慣性力慣性系中：md2rI

/dt2=F非慣性系：m

2r/

t2=F

-m[d2R/dt2+β

r+ω

(ω

r)+2ω

v’]=Feff

1、平移力

-md2R/dt2←動(dòng)系平動(dòng)加速2、方位力

-mβ

r←動(dòng)系轉(zhuǎn)動(dòng)加速3、慣性離心力

-m[ω

(ω

r

)←動(dòng)系相對(duì)固定系轉(zhuǎn)動(dòng)4、科里奧利力

-2mω

v’

←質(zhì)點(diǎn)相對(duì)動(dòng)系運(yùn)動(dòng)例：在光滑水平直管中有一質(zhì)量為m的小球。此管以勻角速ω繞通過(guò)其一端的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)，球距轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離為a,球相對(duì)管的速率為零，而的總長(zhǎng)為2a。oxyzmgNzNyFcmω2xvvzvxω求：(1)球剛離開管口時(shí)的相對(duì)速度與絕對(duì)速度；

(2)球從開始運(yùn)動(dòng)到離開管口時(shí)所需時(shí)間。(1)球剛離開管口時(shí)的相對(duì)速度與絕對(duì)速度；(2)球從開始運(yùn)動(dòng)到離開管口時(shí)所需時(shí)間可證明，引入非慣性力

，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理、角動(dòng)量定理和動(dòng)能定理的形式都保持不變。例：角動(dòng)量定理：

L’/

t=

(r’

mv’)

/

t=

(r’)/

tmv’+r’

mv’/

t=r’

(F+F慣性)動(dòng)能定理:∵mv’/

t=

F+F慣性→

mv’

·

r/

t=(F+F慣性)·

r→mv’

·

v’=(F+F慣性)·

r→(mv’2/2)=(F+F慣性)·

r即:

T=(F+F慣性)·

r拉格朗日方程導(dǎo)出慣性力§5.3拉格朗日函數(shù)的不確定性

非慣性系中的拉格朗日函數(shù)1、若兩個(gè)拉格朗日函數(shù)L1和L2只相差一函數(shù)f(q,t)的全微商df/dt，則L1和L2是等價(jià)的。證明：設(shè)L2=L1+df(q,t)/dt，只要證明由L1和L2所得出的運(yùn)動(dòng)方程相同即可?？紤]體系只有一個(gè)廣義坐標(biāo)。2、非慣性系中的拉格朗日函數(shù)

設(shè)有三個(gè)參考系：S為慣性系，S1為相對(duì)S以vo(t)作平動(dòng)，S’與S1有共同原點(diǎn)，但相對(duì)S1以

o(t)轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)粒子在S系速度為v，在S1系速度為v1，則v=v1+vo(t)，所以S系中單粒子的拉格朗日函數(shù)為：例：在非慣性系中由拉格朗日方程導(dǎo)出單粒子的牛頓運(yùn)動(dòng)方程。解：第六章多自由度體系的微振動(dòng)§6.1振動(dòng)的分類和線性振動(dòng)的概念按能量分類自由振動(dòng)、阻尼振動(dòng)、強(qiáng)迫振動(dòng)(2)按自由度或(非)線性分類線性振動(dòng)非線性振動(dòng)單自由度ⅠⅣ有限多自由度ⅡⅤ無(wú)限多自由度ⅢⅥ(3)按平衡位置分類穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡、隨遇平衡穩(wěn)定平衡：如果在某一位置，保守體系的勢(shì)能有嚴(yán)格的極小值，則此位置是體系的穩(wěn)定平衡位置。（勒襄·狄里赫里定理）不穩(wěn)定平衡：如果勢(shì)能在平衡位置取極大值，則是不穩(wěn)定平衡。隨遇平衡：如果勢(shì)能是常數(shù)，則是隨遇平衡。mgmglly1y2kθ1θ2kKKmm§6.2兩個(gè)自由度保守體

系的諧振子系統(tǒng)§6.3多自由度保守體系的諧振子系統(tǒng)mgmglly1y2kθ1θ2§6.4簡(jiǎn)正坐標(biāo)和簡(jiǎn)正振動(dòng)§6.5尋找簡(jiǎn)正坐標(biāo)的一般方法§6.6一維晶格的縱振動(dòng)(聲子模型)一維晶格(假設(shè)循環(huán)邊界條件:

un=uN+n)第n個(gè)原子，位移為

un左邊作用：K(un-un-1)右邊作