高考第一輪復(fù)習(xí)講義 第09講 函數(shù)性質(zhì)的綜合問題（原卷版+解析版 ）

第9講函數(shù)性質(zhì)的綜合問題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．2．（2022·湖南衡陽·三模）定義在上的奇函數(shù)滿足為偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．3．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則在同一個坐標(biāo)系下函數(shù)與的圖像不可能是（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是函數(shù)的周期B．函數(shù)在上的最大值為2C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．方程在上的所有實根之和為5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中為不小于x的最小整數(shù)，如，，則關(guān)于性質(zhì)的表述，正確的是（

）A．定義域為 B．在定義域內(nèi)為增函數(shù)C．函數(shù)為周期函數(shù) D．函數(shù)為奇函數(shù)6．（2022·湖北·宜昌市夷陵中學(xué)模擬預(yù)測）若存在且，對任意的，均有恒成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)P，已知：單調(diào)遞減，且恒成立；單調(diào)遞增，存在使得，則是具有性質(zhì)P的充分條件是（

）A．只有 B．只有C．和 D．和都不是7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）定義在上的奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，若方程在上有實數(shù)根，則方程在區(qū)間上所有實根之和是（

）A．30 B．14 C．12 D．68．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù).若對任意的正實數(shù)和實數(shù)，總存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．（多選）（2022·江蘇·南京市寧海中學(xué)模擬預(yù)測）已知是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意，有，當(dāng)時，，則（

）A．是以2為周期的周期函數(shù)B．點是函數(shù)的一個對稱中心C．D．函數(shù)有3個零點10．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知定義域為的函數(shù)滿足是奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)，，則（

）A．是偶函數(shù) B．的圖象關(guān)于對稱C．在上有3個實數(shù)根 D．11．（2022·山東·煙臺二中模擬預(yù)測）請寫出一個定義在R上的函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，無最小值，且最大值為2．其解析式可以為______．12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)對滿足，且，若的圖象關(guān)于對稱，，則=____________．13．（2022·山東省淄博實驗中學(xué)高三期末）已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，滿足對，其中，都有，且，則不等式的解集為___________.14．（2022·北京市第五中學(xué)三模）已知函數(shù)給出下列四個結(jié)論：①存在實數(shù)，使函數(shù)為奇函數(shù)；②對任意實數(shù)，函數(shù)既無最大值也無最小值；③對任意實數(shù)和，函數(shù)總存在零點；④對于任意給定的正實數(shù)，總存在實數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.其中所有正確結(jié)論的序號是______________.15．（2022·重慶市朝陽中學(xué)高三開學(xué)考試）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)，恒有，當(dāng)時，.（1）求證：是周期函數(shù)；（2）當(dāng)時，求的解析式；（3）計算.【素養(yǎng)提升】1．（2022·全國·高考真題（理））已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對稱，，則（

）A． B． C． D．2．（2022·北京·北師大實驗中學(xué)模擬預(yù)測）在人工智能領(lǐng)域，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個比較熱門的話題．由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)發(fā)展而來的深度學(xué)習(xí)正在飛速改變著我們身邊的世界．從AlphaGo到自動駕駛汽車，這些大家耳熟能詳?shù)睦?，都是以神?jīng)網(wǎng)絡(luò)作為其理論基礎(chǔ)的．在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)當(dāng)中，有一類很重要的函數(shù)稱為激活函數(shù)，Sigmoid函數(shù)即是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中最有名的激活函數(shù)之一，其解析式為：．下列關(guān)于Sigmoid函數(shù)的表述正確的是：______．①Sigmoid函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)；②Sigmoid函數(shù)的圖象是一個中心對稱圖形，對稱中心為；③對于任意正實數(shù)a，方程有且只有一個解；④Sigmoid函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足：．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù).（1）證明函數(shù)在上是遞減函數(shù)，在上是遞增函數(shù)；（2）函數(shù)，若實數(shù)，滿足，求的最小值；（3）函數(shù)如（2）中所述，是定義在上的函數(shù)，當(dāng)時，，且對任意的，都有成立，若存在實數(shù)滿足，求的最大值.第9講函數(shù)性質(zhì)的綜合問題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，即，由于函數(shù)是偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，由于函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，故選：A.2．（2022·湖南衡陽·三模）定義在上的奇函數(shù)滿足為偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為為偶函數(shù),所以滿足,又因為是奇函數(shù),所以故因此即是以4為周期的周期函數(shù).，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在單調(diào)遞增.所以故選：A3．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則在同一個坐標(biāo)系下函數(shù)與的圖像不可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：設(shè)，因為，所以是R上的奇函數(shù)，又時，在上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，且有唯一零點0，所以的圖像一定經(jīng)過原點，當(dāng)時，與的圖像相同，不符合題意．當(dāng)時，是R上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以與的圖像可能為選項C；當(dāng)時，若，所以與的圖像可能為選項A或B.故選：D．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是函數(shù)的周期B．函數(shù)在上的最大值為2C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．方程在上的所有實根之和為【答案】D【解析】是上的奇函數(shù)，，，故不是函數(shù)的周期，且，故是函數(shù)的周期，故A錯誤；當(dāng)時，且單調(diào)遞增，且單調(diào)遞減，則單調(diào)遞增，故C錯誤；當(dāng)時，且單調(diào)遞減，且單調(diào)遞增，則單調(diào)遞減；且，又是奇函數(shù)且周期為，，故B錯誤；由可得關(guān)于對稱，方程的根等價于與的交點的橫坐標(biāo)，根據(jù)的單調(diào)性和周期可得，與在有兩個關(guān)于對稱的交點，在有兩個關(guān)于對稱的交點，在有兩個關(guān)于對稱的交點，所以方程在上的所有實根之和為，故D正確.故選：D.5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中為不小于x的最小整數(shù)，如，，則關(guān)于性質(zhì)的表述，正確的是（

）A．定義域為 B．在定義域內(nèi)為增函數(shù)C．函數(shù)為周期函數(shù) D．函數(shù)為奇函數(shù)【答案】C【解析】解：易知，故定義域為，故選項錯誤，令，易知，故是以1為周期的函數(shù)，故選項正確，項錯誤，因為，故選項錯誤．故選：C．6．（2022·湖北·宜昌市夷陵中學(xué)模擬預(yù)測）若存在且，對任意的，均有恒成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)P，已知：單調(diào)遞減，且恒成立；單調(diào)遞增，存在使得，則是具有性質(zhì)P的充分條件是（

）A．只有 B．只有C．和 D．和都不是【答案】C【解析】：當(dāng)，，因為函數(shù)單調(diào)遞減，所以即，存在，當(dāng)滿足命題時，具有性質(zhì)P.：當(dāng)時，，因為函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，存在，當(dāng)滿足命題時，具有性質(zhì)P.綜上可知命題、都是具有性質(zhì)P的充分條件．故選：C7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）定義在上的奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，若方程在上有實數(shù)根，則方程在區(qū)間上所有實根之和是（

）A．30 B．14 C．12 D．6【答案】A【解析】由知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，∵，是R上的奇函數(shù)，∴，∴，∴的周期為4，考慮的一個周期，例如，由在上是減函數(shù)知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，對于奇函數(shù)有，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，方程在上有實數(shù)根，則這實數(shù)根是唯一的，因為在上是單調(diào)函數(shù)，則由于，故方程在上有唯一實數(shù)，在和上，則方程在和上沒有實數(shù)根，從而方程在一個周期內(nèi)有且僅有兩個實數(shù)根，當(dāng)，方程的兩實數(shù)根之和為，當(dāng)，方程的所有6個實數(shù)根之和為.故選：A.8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù).若對任意的正實數(shù)和實數(shù)，總存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)的最大值為，令，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，，，由，解得由，時，；時，；時由，，由時，，，綜上可得：，故答案為：9．（多選）（2022·江蘇·南京市寧海中學(xué)模擬預(yù)測）已知是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意，有，當(dāng)時，，則（

）A．是以2為周期的周期函數(shù)B．點是函數(shù)的一個對稱中心C．D．函數(shù)有3個零點【答案】BD【解析】依題意，為偶函數(shù)，且，有，即關(guān)于對稱，則，所以是周期為4的周期函數(shù)，故A錯誤；因為的周期為4，關(guān)于對稱，所以是函數(shù)的一個對稱中心，故B正確；因為的周期為4，則，，所以，故C錯誤；作函數(shù)和的圖象如下圖所示，由圖可知，兩個函數(shù)圖象有3個交點，所以函數(shù)有3個零點，故D正確.故選：BD.10．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知定義域為的函數(shù)滿足是奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)，，則（

）A．是偶函數(shù) B．的圖象關(guān)于對稱C．在上有3個實數(shù)根 D．【答案】BC【解析】根據(jù)題意，可得函數(shù)的定義域為，由函數(shù)為偶函數(shù)，可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，即，所以B正確；由函數(shù)是奇函數(shù)，可得函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，即，可得，則，即函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，當(dāng)時，，可得，即，所以D不正確；由函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，可得，因為，令，可得，所以，所以函數(shù)一定不是偶函數(shù)，所以A不正確；當(dāng)時，，所以，由，可得，又由，所以C正確.故選：BC.11．（2022·山東·煙臺二中模擬預(yù)測）請寫出一個定義在R上的函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，無最小值，且最大值為2．其解析式可以為______．【答案】或（，等）（答案不唯一）【解析】根據(jù)題中的條件可知函數(shù)是偶函數(shù)，最大值為2，所以滿足題中的條件，再如，再如等等（答案不唯一）.故答案為：或（，等）（答案不唯一）.12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)對滿足，且，若的圖象關(guān)于對稱，，則=____________．【答案】【解析】因為的圖象關(guān)于對稱，所以的圖象關(guān)于對稱，即是偶函數(shù).對于，令，可得，又，所以，則.所以函數(shù)對滿足.所以.所以，即是周期為的周期函數(shù).所以，.所以.故答案為.13．（2022·山東省淄博實驗中學(xué)高三期末）已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，滿足對，其中，都有，且，則不等式的解集為___________.【答案】【解析】因為，所以當(dāng)時，，令，則在上單調(diào)遞增，又因為為定義在R上的奇函數(shù),所以是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，因為，所以，等價于或，所以或，即不等式的解集為.故答案為：.14．（2022·北京市第五中學(xué)三模）已知函數(shù)給出下列四個結(jié)論：①存在實數(shù)，使函數(shù)為奇函數(shù)；②對任意實數(shù)，函數(shù)既無最大值也無最小值；③對任意實數(shù)和，函數(shù)總存在零點；④對于任意給定的正實數(shù)，總存在實數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.其中所有正確結(jié)論的序號是______________.【答案】①②③④【解析】如上圖分別為，和時函數(shù)的圖象，對于①：當(dāng)時，，圖象如圖關(guān)于原點對稱，所以存在使得函數(shù)為奇函數(shù)，故①正確；對于②：由三個圖知當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)既無最大值也無最小值；故②正確；對于③：如圖和圖中存在實數(shù)使得函數(shù)圖象與沒有交點，此時函數(shù)沒有零點，所以對任意實數(shù)和，函數(shù)總存在零點不成立；故③不正確對于④：如圖，對于任意給定的正實數(shù)，取即可使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故④正確；故答案為：①②④15．（2022·重慶市朝陽中學(xué)高三開學(xué)考試）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)，恒有，當(dāng)時，.（1）求證：是周期函數(shù)；（2）當(dāng)時，求的解析式；（3）計算.【解】（1）由，，∴是以4為周期為周期函數(shù)；（2）任取，則，有，∴；（3），，由（1）可知為一個周期的函數(shù)值，和為0，所以.點睛：本題是奇偶性周期性的綜合，利用給出的等式結(jié)合奇偶性得出周期，對于這類型的問題利用周期性，主要解決一共包含幾個周期，一個周期的和是多少，剩余哪些項可以利用周期求解.【素養(yǎng)提升】1．（2022·全國·高考真題（理））已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對稱，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為的圖像關(guān)于直線對稱，所以，因為，所以，即，因為，所以，代入得，即，所以，.因為，所以，即，所以.因為，所以，又因為，聯(lián)立得，，所以的圖像關(guān)于點中心對稱，因為函數(shù)的定義域為R，所以因為，所以.所以.故選：D2．（2022·北京·北師大實驗中學(xué)模擬預(yù)測）在人工智能領(lǐng)域，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個比較熱門的話題．由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)發(fā)展而來的深度學(xué)習(xí)正在飛速改變著我們身邊的世界．從AlphaGo到自動駕駛汽車，這些大家耳熟能詳?shù)睦?，都是以神?jīng)網(wǎng)絡(luò)作為其理論基礎(chǔ)的．在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)當(dāng)中，有一類很重要的函數(shù)稱為激活函數(shù)，Sigmoid函數(shù)即是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中最有名的激活函數(shù)之一，其解析式為：．下列關(guān)于Sigmoid函數(shù)的表述