專題31 數(shù)列模型綜合問題（課件）-【中職專用】中職數(shù)學(xué)對口升學(xué)考試專題復(fù)習(xí)精講課件（全國通用）

數(shù)列模型綜合問題專題31專題31——數(shù)列模型綜合問題1．?dāng)?shù)列的通項公式(1)等差數(shù)列的通項公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)等比數(shù)列的通項公式：an＝a1qn－1.【知識要點】專題31——數(shù)列模型綜合問題(3)推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和方法：錯位相減法．在等比數(shù)列{an}中，首項為a1，公比為q，則等比數(shù)列的前n項和Sn＝a1＋a2＋···＋an，當(dāng)q≠1時，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋···＋a1qn－1，①將①式兩邊同時乘以公比q，得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋···＋a1qn，②專題31——數(shù)列模型綜合問題①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn，當(dāng)q≠1時，Sn＝

.將an＝a1qn－1代入可得Sn

.(上述推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式的方法叫作錯位相減法)當(dāng)q＝1時，Sn＝na1.專題31——數(shù)列模型綜合問題(4)特殊數(shù)列求前n項和方法：①形如數(shù)列{an·bn}，其中數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，采用錯位相減法求和．②形如數(shù)列{an±bn}，采用分組法求和．③形如數(shù)列

，采用裂項法求和．專題31——數(shù)列模型綜合問題3．?dāng)?shù)列的綜合應(yīng)用(1)數(shù)列之間的應(yīng)用：一般是等差數(shù)列的應(yīng)用、等比數(shù)列的應(yīng)用、等差與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用．(2)數(shù)列與其他知識的應(yīng)用：主要涉及數(shù)列與不等式、二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．專題31——數(shù)列模型綜合問題(3)數(shù)列應(yīng)用題的常見模型①等差數(shù)列模型：當(dāng)增加(或減少)的量是一個固定量時，該模型是等差數(shù)列模型，增加(或減少)的量就是公差．②等比數(shù)列模型：當(dāng)后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時，該模型是等比數(shù)列模型，這個固定的數(shù)是公比．(4)常見的實際應(yīng)用問題人口增長、產(chǎn)量的增加(減少)、成本提高(降低)、存貸款利息的計算等．專題31——數(shù)列模型綜合問題(5)解答數(shù)列的實際應(yīng)用題時的基本步驟①審題——仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意．明確屬于哪類應(yīng)用題，是等差數(shù)列或等比數(shù)列還是遞推關(guān)系的模型；是求an還是求Sn等．②建模——將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語言，將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，弄清該數(shù)列的結(jié)構(gòu)和特征．③求解——求出該問題的數(shù)學(xué)解．④檢驗——將所求結(jié)果還原到實際問題中．專題31——數(shù)列模型綜合問題【三年模擬】1.（2022年浙江省嘉興市高三高職考第四次模擬考）我國古代名著《九章算術(shù)》中有這樣一段話：“今有金錘，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤”意思是說：“現(xiàn)有一根金錘，長五尺，頭部的1尺重4斤，尾部的1尺重2斤。”假如金錘從頭到尾每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，則該金錘重（）

斤

【解析】依題意設(shè)，公差為，則所以即金錘重15斤專題31——數(shù)列模型綜合問題2.(2023年浙江省職教高考研究聯(lián)合體第二次調(diào)研)觀察數(shù)組（1,1,1），（2,2,4）（3,4,12），（4,8,32），┄┄,則c7的值是（）A.1024B.704C.448D.192【解析】依題意有，易得所以答案選C專題31——數(shù)列模型綜合問題3.(2020年浙江省普通高職單獨招生考試溫州市一模)在某數(shù)字變換游戲中，我們把正整數(shù)1,2,3,4┈稱為“舊數(shù)”，游戲的變換規(guī)則如下表所示，變換所得到的數(shù)稱為“新數(shù)”，舊數(shù)9按照規(guī)則變換成的新數(shù)為（）A.36B.45C.55D.66舊數(shù)123456┈新數(shù)3610152128【解析】答案C專題31——數(shù)列模型綜合問題4.(2022年江蘇省無錫市中職高三一模數(shù)學(xué)試卷)已知數(shù)列滿足：（1）求數(shù)列的通項公式（2）若數(shù)列滿足，且，設(shè)①求數(shù)列的通項公式②求數(shù)列的前n項和Tn專題31——數(shù)列模型綜合問題【解析】(1)當(dāng)n=1時，當(dāng)n≥2時，所以是等比數(shù)列，因此(2)等式同除以得即，且，所以專題31——數(shù)列模型綜合問題(3)因為，則所以專題31——數(shù)列模型綜合問題【例1】求下列各數(shù)列的前n項和．(1)

；(2)

．專題31——數(shù)列模型綜合問題【解析】(1)專題31——數(shù)列模型綜合問題(2)專題31——數(shù)列模型綜合問題【例2】如圖所示，用火柴棒擺成下列圖案，依此規(guī)律，回答下列問題：(1)擺第n個圖案需要多少根火柴棒？(2)擺第1到10個圖案共需要多少根火柴棒？圖專題31——數(shù)列模型綜合問題【解析】(1)構(gòu)成每個圖案的火柴棒的根數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，首項a1＝4，公差d＝4，其通項公式為an＝4n，即擺第n個圖案需要4n根火柴棒．(2)擺第1到10個圖案所需火柴棒的根數(shù)即為等差數(shù)列的前10項和，∴S10＝10×4＋

×4＝220(根).專題31——數(shù)列模型綜合問題【變式練習(xí)1】

如圖所示，用火柴棒擺成下列圖案，依此規(guī)律，問：擺第10個圖案需要多少根火柴棒？圖

專題31——數(shù)列模型綜合問題【解析】：擺第10個圖案需要火柴棒的根數(shù)為a10＝3＋3×2＋3×22＋···＋3×29＝3×(1＋2＋22＋···＋29)＝3×＝3069(根).專題31——數(shù)列模型綜合問題【例3】用分期付款的方式購買一批總價為2300萬元的設(shè)備．購買當(dāng)天首付300萬元，以后每月的這一天都交100萬元，并加付此前欠款的利息．設(shè)月利率為1%，問：分期付款的第10個月應(yīng)付多少萬元？全部款項付清后，買這一批設(shè)備實際支付了多少萬元？專題31——數(shù)列模型綜合問題【解析】購買時首付了300萬元，則欠款2000萬元，分n次付清，則每次交付欠款的數(shù)額依次構(gòu)成數(shù)列{an}．a(chǎn)1＝100＋2000×0.01＝120(萬元)，a2＝100＋(2000－100)×0.01＝119(萬元)，···an＝100＋[2000－(n－1)×100]×0.01＝121－n(萬元)(1≤n≤20，n∈N*)，專題31——數(shù)列模型綜合問題∴數(shù)列{an}是首項為120，公差為－1的等差數(shù)列．a(chǎn)10＝121－10＝111(萬元)，20次分期付款的總和為S20＝

×20＝

×20＝2210，全部款項付清后，買這批設(shè)備實際支付了300＋2210＝2510(萬元).專題31——數(shù)列模型綜合問題【變式練習(xí)2】

某用人單位為鼓勵員工愛崗敬業(yè)，在分配方案中規(guī)定：年度考核合格的員工，從下一月份開始在上一年平均月工資收入基礎(chǔ)上增加7%作為新一年的月工資收入．假設(shè)某員工自2012年以來一直在該單位供職，每年度都考核合格，且同一年內(nèi)月工資收入相同，2012年的月工資收入為5000元．求自2013年至2023年該員工的工資總收入．(精確到元，可供選擇的數(shù)字：1.0710≈1.967，1.0711≈2.105，1.0712≈2.252)專題31——數(shù)列模型綜合問題【解析】：2013年該員工的月工資收入為5000×(1＋7%)＝5350(元)，由題意知，該員工自2013年至2023年每年的月工資收入構(gòu)成等比數(shù)列{an}，且首項a1＝5350，公比q＝1.07，∴自2013年至2023年該員工的工資總收入為

(元).專題31——數(shù)列模型綜合問題【例4】隨著無線通信技術(shù)的飛速發(fā)展，一種新型天線應(yīng)運而生．新型天線結(jié)構(gòu)如圖所示：以邊長為1的正方形的4個頂點為頂點，向外作4個邊長為

的正方形，構(gòu)成1階新型天線；以1階新型天線的4個小正方形的12個外部頂點為頂點，向外作12個邊長為()2的正方形，構(gòu)成2階新型天線······按上專題31——數(shù)列模型綜合問題述規(guī)則進(jìn)行下去．記an為n階新型天線所有正方形個數(shù)，bn為n階新型天線所有正方形周長之和．(1)寫出a1，a2，a3和b1，b2，b3；(2)求an和bn.圖專題31——數(shù)列模型綜合問題【解析】(1)a1＝1＋4＝5，a2＝1＋4＋4×3＝17，a3＝1＋4＋4×3＋4×32＝53.b1＝1×4＋4×(4×)＝12，b2＝1×4＋4×(4×)＋4×3×[4×()2]＝24，b3＝1×4＋4×(4×)＋4×3×[4×()2]＋4×32×[4×()3]＝42.專題31——數(shù)列模型綜合問題（2）：∵a1＝5，a2＝a1＋4×3，a3＝a2＋4×32，···，an＝an－1＋4×3n－1，∴a2－a1＝4×3，a3－a2＝4×32，a4－a3＝4×33，···，an－an－1＝4×3n－1，把n－1個式子相加得an－a1＝4(3＋32＋33＋···＋3n－1)＝

＝2×3n－6，∵a1＝5，∴an＝2×3n－1.∵bn＝bn－1＋()n×4×4×3n－1＝bn－1＋8×()n－1，即bn－bn－1＝8×()n－1，專題31——數(shù)列模型綜合問題∴bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋···＋(bn－bn－1)＝12＋8×()1＋8×()2＋···＋8×()n－1＝12＋8×

＝16×()n－12.專題31——數(shù)列模型綜合問題【總結(jié)反思】2．解答應(yīng)用題，應(yīng)充分運用觀察、歸納、猜想的方法，建立數(shù)列模型，再結(jié)合函數(shù)、不等式的相關(guān)知識解題．常見數(shù)列模型如下：(1)等差數(shù)列模型：增加(或減少)的量是一個固定量時，該模型是等差數(shù)列模型：an＋1－an＝d.專題31——數(shù)列模型綜合問題(2)等比數(shù)列模型：增加(或減少)的量是一個固定的百分?jǐn)?shù)時，該模型是等比數(shù)列模型：

×100%＝q.(3)混合模型：同時涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列．(4)生長模型：每期以固定的百分?jǐn)?shù)增加或減少的模型．專題31——數(shù)列模型綜合問題【課堂自測題】1．若某四邊形的周長為26，四條邊依次成等差數(shù)列，最短邊的長度為2，則最長邊的長度為(

)

A．5

B．8

C．10

D．11【解析】∵a1＝2，S4＝26，∴S4＝4a1＋6d＝4×2＋6d＝26，解得d＝3，∴a4＝11.答案選D專題31——數(shù)列模型綜合問題2．《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積是(

)

A．1升

B．

升

C．

升

D．

升專題31——數(shù)列模型綜合問題【解析】由題意得

即

解得

∴a5＝a1＋4d＝(升).答案選B專題31——數(shù)列模型綜合問題3．若某儲蓄所計劃自2020年起每年儲蓄量比前一年增長8%，則2023年的儲蓄量比2020年的儲蓄量增加的百分比是(

)

A．(1.083－1)×100%

B．(1.084－1)×100%

C．24%

D．32%【解析】設(shè)2020年的儲蓄量為1，則2023年的儲蓄量為(1＋8%)3＝1.083，2023年的儲蓄量比2020年的儲蓄量增加的百分比是

×100%＝(1.083－1)×100%.答案選A專題31——數(shù)列模型綜合問題4．用火柴棒按如圖所示的方法搭三角形．第4題圖按圖示的規(guī)律搭下去，則火柴棒的根數(shù)an與三角形的個數(shù)n之間的關(guān)系式為

．a(chǎn)n＝2n＋1(n∈N*)專題31——數(shù)列模型綜合問題5．有一座七層塔，若每層所點燈的盞數(shù)都是上面一層的兩倍，一共點381盞，則底層所點燈的盞數(shù)是

．【解析】設(shè)底層為a盞，其上面一層為

盞，構(gòu)成首項為a，公比q＝

，項數(shù)n＝7的等比數(shù)列，∴

，∴a＝192.專題31——數(shù)列模型綜合問題6．如圖所示為三角形數(shù)表，設(shè)第n行的第2個數(shù)為an(n≥2且n∈N)．第6題圖(1)依次寫出第6行的所有數(shù)字；(