江西省2022年高考文數(shù)考試真題與答案解析

江西省2022年高考[文科數(shù)學(xué)]考試真題與答案解析

一、選擇題

本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.集合〃={2,4,6,8,10},N={x[—l<x<6},則Mr)N=()

A.{2,4}B.{2,4,6}C.{2,4,6,8}D,{2,4,6,8,10}

本題答案：A

本題解析：因為"={2,4,6,8,10},N={x[-l<x<6},所以〃nN={2,4}.

故選：A.

2.設(shè)(l+2i)a+6=2i,其中心°為實數(shù)，則()

A.a=\,b=-\B.a=l,b=lC.a=-\,b=lD.

本題答案：A

本題解析：因為。力1R,(a+b)+2ai=2i,所以a+b=0,2a=2,解得：a=\,b=-\.

故選：A.

r\

3.已知向量￡=(2,1)石=(—2,4),則"6()

A.2B.3C.4D.5

本題答案：D

本題解析：因為13=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以Ji“卜52+(—3『=5.

故選：D

4.分別統(tǒng)計了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運動時長(單位：h),得如下莖葉圖：

甲乙

615.

85306.3

75327.46

64218.12256666

429.0238

則下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.甲同學(xué)周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為7.4

B.乙同學(xué)周課外體育運動時長的樣本平均數(shù)大于8

C.甲同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.4

D.乙同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.6

本題答案：C

7.3+7.5一

本題解析：對于A選項，甲同學(xué)周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為一—=7.4,A選項

結(jié)論正確.

對于B選項，乙同學(xué)課外體育運動時長的樣本平均數(shù)為：

6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.1

------------------------------------------------------------------=8.50625>8

16'

B選項結(jié)論正確.

對于C選項，甲同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值白=0.375<0.4,

1O

c選項結(jié)論錯誤.

13

對于D選項，乙同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值京=0.8125>0,6,

1O

D選項結(jié)論正確.

故選：C

x+y...2,

5.若x,y滿足約束條件4,則z=2x-y的最大值是（）

y-0,

A.-2

B.4

C.8

D.12

本題答案：C

本題解析：由題意作出可行域，如圖陰影部分所示,

轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z=2x—y為y=2x-z,

上下平移直線V=2X-2,

可得當(dāng)直線過點(4,0)時，直線截距最小，z最大，

所以z1rax=2x4-0=8.

故選：C.

6.設(shè)尸為拋物線C：V=4x的焦點，點/在C上，點5(3,0),^\AF\=\BF\,則倒=()

A.2

B.2夜

C.3

D.3也

本題答案：B

本題解析：由題意得,尸(1，。),則網(wǎng)=1叫=2,

即點A到準(zhǔn)線x=-1的距離為2,所以點A的橫坐標(biāo)為-1+2=1,

不妨設(shè)點A在x軸上方，代入得，4(1,2),

所以卜)(3-1『+(0-2)2=2>/2.

故選：B

7.執(zhí)行下邊的程序框圖，輸出的"=)

A.3B.4

C.5D.6

本題答案：B

本題解析：執(zhí)行第一次循環(huán)，8=b+2a=l+2=3,

。=6—。=3—1=2,〃=〃+1=2,

321

修2=二一2=->0.01

224

執(zhí)行第二次循環(huán)，b=b+2a=3+4=7,

a=b-a=1-2=5,n=n+\=3,

r2721

F—2=—-2=—>0.01?

a252251

執(zhí)行第三次循環(huán)，b=b+2o=7+10=17,

a=b-。=17—5=12,〃="+1=4,

/_2=*—2=擊<0.01,止匕時輸出“=4.

故選：B

8.如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖像，則該函數(shù)是（）

.-d+3xnX3-X2xcosx2sinx

A.y=2?B.kEC?尸F(xiàn)-D.

x~+1

本題答案：A

本題解析：設(shè)/（x）=%^,則/（1）=0,故排除B；

,/、2xcosx,71]

設(shè)“（⑼"下了，當(dāng)“e0,萬)時，0<cosx<l,

所以"仃）=三號＜含41,故排除。

人I14IL

/、2sinx,小2sin3八…

設(shè)g（x）=F7T，貝lJg（3）=一^-〉0,故排除D.

故選：A.

9.在正方體/B8-48CQ中，E,尸分別為/&8C的中點，則（)

A.平面片跖，平面8。。B.平面與￡E_L平面48。

C.平面用Ef7/平面Z/CD.平面用E尸//平面4CQ

本題答案：A

本題解析：解：在正方體/8CD-44CQ中，

ACISD^DD[1平面ABCD,

又EEu平面488,所以所，。3,

因為其尸分別為48,8C的中點，

所以班'||4C,所以瓦■，瓦9,

又BDCDDyD,所以EE_L平面8。。，

又EFu平面&EF,所以平面8也/_1_平面8。4,故A正確;

如圖，以點。為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)么8=2,

則四(2,2,2),E(2,1,0),尸(1,2,0),8(2,2,0),4(2,0,2),4(2,0,0),C(0,2,0),

G(022),

則麗=(-1,1,0),函=(0,1,2),麗=(2,2,0),西=(2,0,2),

數(shù)=(0,0,2),就=(-2,2,0),祠=(-2,2,0),

—,、m-EF=-x.+y.=0一..八

設(shè)平面用斯的法向量為機(jī)=(須，乂，4),貝IJ有彳-m0n，可取償=(2,2，-1),

同理可得平面4BD的法向量為^^(1-1-1),

平面4*的法向量為==(1,1,0),

平面4G。的法向量為第=(1，1，-1),

則“〃I=2-2+1=1聲0,

所以平面4環(huán)與平面48。不垂直，故B錯誤；

一W

因為"?與〃2不平行，

所以平面片即與平面N/C不平行，故C錯誤；

因為加與〃3不平行，

所以平面印即與平面4G。不平行，故D錯誤，

故選：A.

10.已知等比數(shù)列｛a,,｝的前3項和為168,?！干?42,則%=()

A.14B.12

C.6D.3

本題答案：D

本題解析：解：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4應(yīng)/0,

若4=1,則4一%=°,與題意矛盾,

所以

%=96

則％+%+%168

i—q,解得1

q二一

42

a2-a5=atq-atq=42

所以每=40、=3.

故選：D.

H.函數(shù)/(x)=cosx+(x+l)sinx+l在區(qū)間［0,2可的最小值、最大值分別為()

兀兀3兀兀

A—，-R----，一

2222

兀兀―37171c

C.一一，一+2D.——，一+2

2222

本題答案：D

本題解析：/\x)--sinx+sinx+(x+l)cosx=(x+l)cosx,

所以/(x)在區(qū)間(%)和仁，2兀［上/'(X)〉0,即/(X)單調(diào)遞增；

在區(qū)間C，■上/。)<0,即/(x)單調(diào)遞減，

又〃。)/(2兀)=2,小卜會2,若卜信+1卜」名

所以/(x)在區(qū)間［0,2兀］上的最小值為一1，最大值為楙+2.

故選：D

12.已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為O,底面的四個頂點均在球。的球面上，則當(dāng)該

四棱錐的體積最大時，其高為（）

本題答案：C

本題解析：設(shè)該四棱錐底面為四邊形四邊形片8。所在小圓半徑為，，

設(shè)四邊形4?。對角線夾角為a,

2

?msijlS'Re-2—'AC-BD-sina<-2-AC-BD<—2-2/'-2r-2r

（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形片8。為正方形時等號成立）

即當(dāng)四棱錐的頂點。到底面力6。所在小圓距離一定時，底面力夕。面積最大值為2^

又/+/=1

1c，,夜/22c,2及\（r2+r2+2h2}4百

則%.血。=?2廣?人'2〃24kl——-——=—

DJDV\D//

當(dāng)且僅當(dāng)，=2%2即仁理時等號成立，故選：C

二、填空題

本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.記S“為等差數(shù)列況}的前〃項和.若2s3=3S2+6,則公差d=.

本題答案：2

本題解析：由2s3=3S?+6可得2（q+4+生）=3（q+4）+6,化簡得2a3=%+。2+6,

即2（q+2d）=2%+"+6,解得d=2.

故答案為：2.

14.從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為

3

本題答案：歷##0.3

本題解析：從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為C；=10

3

甲、乙都入選的方法數(shù)為C；=3,所以甲、乙都入選的概率尸=啟

3

故答案為：歷

15.過四點（0，0），（4,0），（-1，1）,（4,2）中的三點的一個圓的方程為.

本題答案：（x-2）2+5-3）2=13或（x_2）2+gy=5或1VVjq或

本題解析：解：依題意設(shè)圓的方程為/+/+6+切+尸=0,

F=0F=0

若過(0,0),(4,0),(T1),貝IJ16+4D+F=o,解得。=_4,

1+1—O+E+尸=0E=—6

所以圓的方程為》2+「一4X一6歹=0,即（X—2Y+（N—3）2=13;

R=09=0

若過(0,0),(4,0),(4,2),貝IJ16+40+尸=0,解得。=-4

16+4+4Z)+2￡+F=0￡=-2

所以圓的方程為一+「-4%一2歹=0,即（》一2丫+（y-l）2=5；

F=0

歹=0

D=2

若過(0,0),(4,2),(-L1),則1+1-。+￡+/=0解得

3，

16+4+4。+2￡+9=0

廠14

E=----

3

22814八

所以圓的方程為廠+/一§8一不^=0

「16

r=-----

\+\-D+E+F=05

0」

若過(T1),(4,0),(4,2),則16+40+F=0,解得

5，

16+4+4D+2E+F=0

E=-2

所以圓的方程為/+V_￡x_2y_?=0,即卜_|)+(”1)2=翳；

故答案為：(X-2)2+什一3)2=13或(X—2)2+5—1)2=5或(7)+G-1］卷或

16.若/(x)=lna+4+b是奇函數(shù)，則。=,b=.

JL-X

本題答案：

①.-2；②.山2.

本題解析：因為函數(shù)/(力=山4+乙+人為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點對稱.

L-X

由a+J—H0可得，(l—x)(a+l—公)*0,所以》="1=一1,解得：。=一；,即函數(shù)的定義

域為(一8,-1)。(一1,1)。。,+8),再由/(。)=0可得,b=ln2.即

/(x)=ln-；+「:+ln2=ln=,在定義域內(nèi)滿足/(r)=-/(x),符合題意.

Z1—A1—X

1

故答案為：-5；m2.

三、解答題

17.記"8C的內(nèi)角力，B,C的對邊分別為a,b,。，已知

sinCsin(/-6)=sin8sin(C-Z)

(1)若/=28,求C;

(2)證明：2/=/+。2

571

本題答案：(1)1；(2)證明見解析.

【小問1詳解】

由4=28,sinCsin(Z—8)=sin8sin(C—可得，sinCsinB=sin8sin(C-Z),而0<3<四

所以sin8e(O,l),即有sinC=sin(C—4)〉0,而0＜。＜兀,0＜。一4＜無，顯然CwC—/,所

5兀

以，C+C-A=7t,而4=28,A+B+C=n,所以

O

【小問2詳解】

由sinCsin(J-5)=sin5sin(C-y1),

sinC(sin/cosB-cosJsin5)=sin3(sinCcosA-cosCsin/),再由正弦定理可得,

accosB-hecosA=hecosA-abcosC,然后根據(jù)余弦定理可知，

222222

；(/+/_/)—胡+c-a)=^b+c+b-c),化簡得：

2a2=/+。2,故原等式成立.

18.如圖，四面體N8CQ中，AD1CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為/C的中點.

(1)證明：平面平面R8;

(2)設(shè)/8=8。=2,4。8=60。，點尸在6。上，當(dāng)△/人?的面積最小時，求三棱錐/一48c

的體積.

本題答案：(1)證明詳見解析(2)坐

4

【小問1詳解】

由于4Q=C。，E是4。的中點，所以力CLOE.

AD=CD

由于，所以AADB三ACDB,

ZADB=ZCDB

所以?CB,故

由于。Ec80=。，DE,B■平面BED,

所以ZC_L平面

由于NCu平面ZCQ,所以平面BE。，平面4CD.

【小問2詳解】

依題意〃8=8。=8C=2,ZACB-60°,三角形，8c是等邊三角形，

所以AC=2,AE=CE=\,BE=G,

由于=所以三角形48是等腰直角三角形，所以O(shè)E=1.

DE2+BE2=BD2,所以DEJ.BE,

由于/Cc8E=E,/C,6Eu平面NBC,所以。E_L平面A5C.

由于△ZO8M/XCDB,所以NFB4=NFBC,

BF=BF

由于＜ZFBA=NFBC,所以△所Z2FBC,

AB=CB

所以/尸=C產(chǎn)，所以卬工/C,

由于邑"C=；/C?"，所以當(dāng)E尸最短時，三角形4EC的面積最小值.

過￡作垂足為E,

11/?

在中，-BEDE=-BDEF,解得EF=?,

222

LfV3?13BF3

所以。F=『-[引=-,BF=2-DF=-,所以訪=屋

FHBF3

過戶作mJ.8E,垂足為，，則FH//DE,所以9_L平面N8C,且虧=訪=彳,

DEBD4

3

所以口=1

1113c

所以/5C=1S“BC'汽”=丁5'2'百']=彳.

19.某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區(qū)某種樹木的總材積

量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積(單位：m，)和材積量(單位：

mD,得到如下數(shù)據(jù)：

樣本號i12345678910總和

根部橫截

0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

面積不

材積量乂0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計算得=0.038,2/=16158,2玉X=0.2474.

i=li=li=l

(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；

(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總

和為186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種

樹木的總材積量的估計值.

EUi-Wi-J7)____

附：相關(guān)系數(shù)尸=jJ._,>0而°].377.

J￡(Xi-亍>￡(乂-3)2

Vi=li=l

本題答案：

(1)0.06m2;0.39m3

(2)0.97

(3)1209m3

【小問1詳解】

樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值三=箸=006

39

樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值歹=而二0-39

據(jù)此可估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為0.06m2,

平均一棵的材積量為0.39m，

【小問2詳解】

1010

工(王-亍)(乂-刃?評-10可

&(門塔(3)2樞#_103牌,2_嶼、

=02474-10x0.06x0.39=0-34。0.01342

7(0.038-10X0.062)(1.6158-10X0.392)V0.00018960.01377

則尸?0.97

【小問3詳解】

設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為Hn3,

又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比,

0.06186a

可得行==，解之得Y=1209n?.

則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計為1209m3

20.已知函數(shù)/(xXax-1―(a+l)lnx.

(1)當(dāng)。=0時，求，(x)的最大值；

(2)若/⑶恰有一個零點，求。的取值范圍.

本題答案：

(1)-1⑵(°，+00)

【小問1詳解】

當(dāng)a=0時，/(x)=一，-lnx,x>0,貝=

XXXX

當(dāng)XG(O,1)時，/取)>0,/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)X?l,+oo)時，/?x)vo,/(X)單調(diào)遞減；

所以/(x)max="l)=—l；

【小問2詳解】

/(x)=ax---(a+l)lnx,x>0,則/?)=4+1—"二("T'xT),

XXXX

當(dāng)時，ar-l<0,所以當(dāng)xe(O,l)時，/心)>0,/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(L+⑹時，牛)<0,/(x)單調(diào)遞減；

所以/(x)max=/(l)=。-1<。，此時函數(shù)無零點，不合題意；

當(dāng)0<〃<1時，|>1,在(0,1),(4+8)上，*(x)>0,〃x)單調(diào)遞增；

在(1，J上，/心)<。，/("單調(diào)遞減；

又=當(dāng)x趨近正無窮大時，/(x)趨近于正無窮大，

所以/(X)僅在1，+R有唯一零點，符合題意；

ka7

當(dāng)。=1時，/'(x)=JL?0,所以/(x)單調(diào)遞增，又/(1)=。-1=0,

所以/(X)有唯一零點，符合題意；

當(dāng)4>1時，1<1,在］。，力，(1,+8)上，*(x)>0,/(X)單調(diào)遞增；

在H上，/刎/(X)單調(diào)遞減；止匕時/(l)=a—1>0,

又/I!)"*一+當(dāng)〃趨近正無窮大時，趨近負(fù)無窮，

所以/(X)在，力有一個零點，在(5+，|無零點，

所以“X)有唯一零點，符合題意；綜上，。的取值范圍為(0，+°°).

21.已知橢圓既勺中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸、y軸，且過"(0，-2),嗚，-1)兩點.

（1）求E的方程；

（2）設(shè)過點P。，-2）的直線交匯于例，川兩點，過用且平行于x軸的直線與線段49交于點

T,點、H滿足而=后.證明：直線〃A/過定點.

本題答案：

（1）+~-1（2）（。,-2）

【小問1詳解】

解：設(shè)橢圓E的方程為混+即2=],過〃（0,—2）,嗚,-1）,

4/7=1

11

則191，解得?=J,

—mf+Mn=[34

14

22

所以橢圓E的方程為：y+y=L

【小問2詳解】

32

4（0,-2）,8（于-1）,所以AS:3+2=5%,

X2v2

①若過點P（l，-2）的直線斜率不存在，直線x=1.代入§+'=1,

可得M（l,半），N（l,—半），代入4?方程y=gx-2,可得

T（指+3,孚），由訪=而得到”（2幾+5,孚）.求得出方程：

y=（2--2,過點（°，-2）.

②若過點HL-2）的直線斜率存在，設(shè)區(qū)-y-（左+2）=0,"（%,凹）,N（X2，%）.

kx-y-（k+2）=0

聯(lián)立“x2y2，得（3%2+4）12—6左（2+左）x+3Z（攵+4）=°,

八---F—=1

34

6k(2+k)—8(2+A)

x,+x

2-3左2+4

可得34(4+%)，4(4+4)一252)'

38+4為必=3公+4

-24k,*、

且再丹+&凹=客:4（）

3K+4

尸M3

聯(lián)立20，可得丁(姿+3,乂),"(3乂+6-王,弘).

V--X-22

3

y—y

可求得此時胸號-8=3乂+67廠2（'』，

將（0,-2）,代入整理得2（芭+%2）-6（必+%）+再％+%2%-3必%-12=0,

將（*）代入，得24%+12/+96+48左-24k-48-48%+24。-36l-48=0,

顯然成立，

綜上，可得直線出過定點（°，-2）.

【點睛】求定點、定值問題常見的方法有兩種：

①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；

②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

（二）選考題

共10分.請考生在第22、23題中選定一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對應(yīng)的

題號方框涂黑.按所涂題號進(jìn)行評分，不涂、多涂均按所答第一題評分多答按所答第一題評

分.

［選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

八x=Gcos2t

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線c的參數(shù)方程為