高二數(shù)學(xué)寒假講義練習(xí)（新人教A專用）第05講 拋物線（教師卷）

第05講拋物線【【考點(diǎn)目錄】【【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．注：①在拋物線定義中，若去掉條件“l(fā)不經(jīng)過點(diǎn)F”，點(diǎn)的軌跡還是拋物線嗎？不一定是，若點(diǎn)F在直線l上，點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)F且垂直于直線l的直線．②定義的實(shí)質(zhì)可歸納為“一動(dòng)三定”一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M；一個(gè)定點(diǎn)F(拋物線的焦點(diǎn))；一條定直線(拋物線的準(zhǔn)線)；一個(gè)定值(點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離與它到定直線l的距離之比等于1)．知識(shí)點(diǎn)2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，方程的右端為±2px，左端為y2；焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，方程的右端為±2py，左端為x2．p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離．標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)圖形頂點(diǎn)O(0,0)對(duì)稱軸x軸y軸焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝－x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)知識(shí)點(diǎn)3直線與拋物線的位置關(guān)系設(shè)直線l：y＝kx＋m，拋物線：y2＝2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.(1)若k≠0，當(dāng)Δ>0時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線與拋物線相切，有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ<0時(shí)，直線與拋物線相離，沒有公共點(diǎn)．(2)若k＝0，直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或與對(duì)稱軸重合．注：(1)直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件．(2)研究直線與拋物線的關(guān)系時(shí)要注意直線斜率不存在的情況．知識(shí)點(diǎn)4弦長(zhǎng)問題過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，那么線段AB叫做焦點(diǎn)弦，如圖：設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p.注：(1)x1·x2＝eq\f(p2,4).(2)y1·y2＝－p2.(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α是直線AB的傾斜角)．(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)為定值(F是拋物線的焦點(diǎn))．（5）求弦長(zhǎng)問題的方法①一般弦長(zhǎng)：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|，或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.②焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：設(shè)過焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p.【【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程1．（2023春·北京海淀·高二?？茧A段練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)在軸正半軸上，且準(zhǔn)線與焦點(diǎn)軸間的距離為3，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用拋物線的性質(zhì)，求出，然后求得拋物線方程即可.【詳解】解：焦點(diǎn)在軸正半軸上的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，又準(zhǔn)線與焦點(diǎn)軸間的距離為3，可得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A.2．（2023春·遼寧本溪·高二?？茧A段練習(xí)）以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，焦點(diǎn)在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為焦點(diǎn)，根據(jù)焦點(diǎn)可求出，可得答案.【詳解】直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)為時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)為時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.3．（2023秋·上海黃浦·高二上海市向明中學(xué)?？计谀┻^點(diǎn)，且焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)拋物線方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的值，即可得解；【詳解】解：依題意設(shè)拋物線方程為，因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，所以，解得，所以拋物線方程為；故選：C（二）拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用4．（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先把拋物線化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出，即可得到準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，令，得，于是該拋物線的準(zhǔn)線為：.故選：A5．（2023春·山東臨沂·高二臨沂第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則（

）A．2 B．4 C． D．【答案】C【分析】先求出雙曲線的右焦點(diǎn)，此焦點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，求出【詳解】在雙曲線中，,所以右焦點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，故選：C6．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈九中校考階段練習(xí)）已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則（

）A． B． C．8 D．2【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出拋物線的準(zhǔn)線方程，再利用點(diǎn)到直線距離公式求解作答.【詳解】圓的圓心，半徑1，拋物線的準(zhǔn)線為，依題意，，解得，所以.故選：A7．（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知拋物線，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)的位置，求出p，即可得焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】已知，則標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)在x軸上，所以，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：A.8．（2023春·江蘇泰州·高二統(tǒng)考期中）若拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于4，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由拋物線的定義求解即可【詳解】因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其準(zhǔn)線方程為，由于拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于4，由拋物線的定義可得，，解得．故選：B9．（2023秋·湖北咸寧·高二統(tǒng)考期末）已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C：的焦點(diǎn)，是C上一點(diǎn)，且，則的面積為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】根據(jù)條件求出的值，然后可算出答案.【詳解】由題可知，解得，所以的面積為，故選：C考點(diǎn)二拋物線定義的應(yīng)用（一）利用拋物線的定義求距離或點(diǎn)的坐標(biāo)10．（2023秋·新疆烏魯木齊·高二烏市八中校考期末）拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】由拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，再由到其焦點(diǎn)的距離求得橫坐標(biāo)，進(jìn)一步求得縱坐標(biāo)，則答案可求.【詳解】由題意知，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，由到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線距離，得，則，，可得，故選：A.11．（2023·高二單元測(cè)試）已知曲線C上任意一點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離比點(diǎn)P到直線的距離小1，M，N是曲線C上不同的兩點(diǎn)，若，則線段MN的中點(diǎn)Q到y(tǒng)軸的距離為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的定義求出曲線的方程，再根據(jù)拋物線的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：依題意曲線上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和點(diǎn)到直線的距離相等，由拋物線的定義可知：曲線是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線的方程為．分別設(shè)點(diǎn)M、N、Q到準(zhǔn)線的距離分別為，，d，則，所以中點(diǎn)Q到y(tǒng)軸的距離為3，故選：A．12．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若是拋物線上一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線定義，得到等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即，即可求解.【詳解】由拋物線，可得其焦點(diǎn)在軸上，且，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，根據(jù)拋物線定義，可得等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即，如圖所示，所以.故選：C13．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，是C上一點(diǎn)，，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【分析】先求出拋物線的準(zhǔn)線方程，進(jìn)而將點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離即可求得答案.【詳解】由拋物線C：可得，則準(zhǔn)線方程為，于是，解得．故選：B．14．（2023秋·新疆喀什·高二新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)?？计谥校┮阎狝，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動(dòng)，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線定義，知，當(dāng)在拋物線上移動(dòng)時(shí)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，由此即可求出結(jié)果.【詳解】如圖所示，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線定義，知當(dāng)在拋物線上移動(dòng)時(shí)，的值在變化，顯然移動(dòng)到時(shí)，三點(diǎn)共線，最小，此時(shí)，把代入，得，所以當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：D.15．（2023春·湖北武漢·高二華中師大一附中階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C的準(zhǔn)線l上，線段與y軸交于點(diǎn)A，與拋物線C交于點(diǎn)B，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由題知點(diǎn)A為的中點(diǎn)，結(jié)合已知得，過點(diǎn)B作，由拋物線的定義即可求解.【詳解】設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為H，由O為中點(diǎn)，知點(diǎn)A為的中點(diǎn)，因?yàn)椋裕^點(diǎn)B作，垂足為Q，則由拋物線的定義可知，所以，則，所以．故選：C16．（2023春·福建·高二福建師大附中?？计谀┤鐖D，過拋物線的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，準(zhǔn)線與對(duì)稱軸交于點(diǎn)M，若，且，則p為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】分別過點(diǎn)、作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)、，設(shè)，根據(jù)拋物線的定義以及圖象可得，結(jié)合已知條件求得，即可.【詳解】如圖，分別過點(diǎn)、作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)、，設(shè)，則由己知得，由拋物線的定義得，故，在直角三角形中，，，又因?yàn)?，則，從而得，又因?yàn)椋?故選：B.（二）與拋物線定義有關(guān)的最大(小)值問題17．（2023·高二單元測(cè)試）已知圓C經(jīng)過點(diǎn)，且與直線相切，則其圓心到直線距離的最小值為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】利用已知可推出圓心C的軌跡為拋物線，利用拋物線的幾何性質(zhì)求解即可.【詳解】解：依題意，設(shè)圓C的圓心，動(dòng)點(diǎn)C到點(diǎn)P的距離等于到直線的距離，根據(jù)拋物線的定義可得圓心C的軌跡方程為，設(shè)圓心C到直線距離為d，，當(dāng)時(shí)，，故選：D．18．（2023春·四川瀘州·高二四川省瀘縣第一中學(xué)?？计谀┮阎獟佄锞€：的焦點(diǎn)為，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】拋物線的準(zhǔn)線的方程為，過作于，根據(jù)拋物線的定義可知，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，可求得最小值，答案可得.【詳解】解：拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線的方程為，如圖，過作于，由拋物線的定義可知，所以則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小為.所以的最小值為.故選：C.19．（2023秋·江西贛州·高二校聯(lián)考期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，P點(diǎn)在拋物線上，Q點(diǎn)在圓上，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】利用拋物線定義，將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，再根據(jù)三點(diǎn)共線求最小距離.【詳解】如圖，過點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則，當(dāng)垂直于拋物線的準(zhǔn)線時(shí)，最小，此時(shí)線段與圓的交點(diǎn)為，因?yàn)闇?zhǔn)線方程為，，半徑為，所以的最小值為.故選：C20．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？计谥校┰O(shè)點(diǎn)P是拋物線:上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M是圓:上的動(dòng)點(diǎn),d是點(diǎn)P到直線的距離,則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意畫出圖像,將轉(zhuǎn)化為拋物線上點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離再加1,也即是拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離加1,若求的最小值,轉(zhuǎn)化為拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離和到圓上點(diǎn)的距離再加1即可,根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊,即當(dāng)共線時(shí),取最小值為,算出結(jié)果即可.【詳解】解:由題知圓:,為拋物線焦點(diǎn),為拋物線準(zhǔn)線,則過點(diǎn)向作垂線垂足為,如圖所示:則,根據(jù)拋物線定義可知,,=,若求的最小值,只需求的最小值即可,連接與拋物線交于點(diǎn),與圓交于點(diǎn),如圖所示,此時(shí)最小,為,,,.故選:B21．（2023春·北京·高二人大附中?？计谀┮阎本€和直線，則拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之和的最小值是（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】由是拋物線的準(zhǔn)線，推導(dǎo)出點(diǎn)到直線的距離和到直線的距離之和的最小值即為點(diǎn)到直線的距離和點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離之和，利用幾何法求最值．【詳解】是拋物線的準(zhǔn)線，到的距離等于.過P作于Q，則到直線和直線的距離之和為拋物線的焦點(diǎn)過作于，和拋物線的交點(diǎn)就是，∴（當(dāng)且僅當(dāng)F、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立）點(diǎn)到直線的距離和到直線的距離之和的最小值就是到直線距離，最小值．故選：C．考點(diǎn)三拋物線的軌跡問題22．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，直線，若動(dòng)點(diǎn)到的距離等于，則點(diǎn)的軌跡是（

）A．橢圓 B．雙曲線C．拋物線 D．直線【答案】C【分析】由拋物線的定義求解即可.【詳解】由拋物線的定義（平面內(nèi)，到定點(diǎn)與定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線）可知，點(diǎn)的軌跡是拋物線.故選：C23．（2023春·四川成都·高二成都七中?？茧A段練習(xí)）已知圓，點(diǎn)，動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)A且與圓O相切，記動(dòng)圓圓心M的軌跡為E，有下列幾個(gè)命題：①，則軌跡E表示圓，②，則軌跡E表示橢圓，③，則軌跡E表示拋物線，④，則軌跡E表示雙曲線，其中，真命題的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)動(dòng)圓圓心，半徑為，根據(jù)圓與圓內(nèi)切和外切兩種情況，結(jié)合圓，拋物線，橢圓和雙曲線的定義，依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】設(shè)動(dòng)圓圓心，半徑為，當(dāng)時(shí)，動(dòng)圓與圓O內(nèi)切，故，即，，軌跡為圓，①正確；當(dāng)時(shí)，動(dòng)圓與圓O內(nèi)切，故，即，故軌跡為橢圓，②正確；當(dāng)時(shí)，動(dòng)圓與圓O內(nèi)切時(shí)，，，軌跡為線段；動(dòng)圓與圓O外切時(shí)，，，軌跡為射線，③錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，動(dòng)圓與圓O外切，，即，故軌跡為雙曲線，④正確.故選：C24．（2023秋·福建福州·高二統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離比它到定點(diǎn)的距離小1，則P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的定義判斷軌跡，再由拋物線焦點(diǎn)、準(zhǔn)線得到方程即可.【詳解】由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離與定點(diǎn)的距離相等，由拋物線的定義知，P的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以，軌跡方程為，故選：D25．（2023春·廣東江門·高二新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，過直線上一動(dòng)點(diǎn)P作與y軸垂直的直線，與線段的中垂線交于點(diǎn)Q，則Q點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)中垂線性質(zhì)得到，結(jié)合拋物線的定義判斷出點(diǎn)的軌跡是拋物線，由此求解出軌跡方程.【詳解】設(shè)，因?yàn)榈闹写咕€經(jīng)過點(diǎn)，所以，又因?yàn)檩S，所以表示到直線的距離，且表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，點(diǎn)不在直線上，由拋物線的定義可知：點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)軌跡方程為，所以，所以，所以軌跡方程為.故選：D.26．（2023秋·山東青島·高二青島二中?？茧A段練習(xí)）已知?jiǎng)訄AM與直線y=2相切，且與定圓外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)動(dòng)圓M與直線y=2相切，且與定圓外切，可得動(dòng)點(diǎn)M到C（0，-3）的距離與到直線y=3的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是拋物線，由此易得軌跡方程．【詳解】設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為r，由題意可得M到C(0，－3)的距離與到直線y＝3的距離相等,由拋物線的定義可知，動(dòng)圓圓心的軌跡是以C(0，-3)為焦點(diǎn)，以y＝3為準(zhǔn)線的一條拋物線，所以，其方程為，故選：A27．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)M的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合拋物線的定義，即可求解.【詳解】由題意，動(dòng)點(diǎn)滿足，即，即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離，又由點(diǎn)不在直線上，根據(jù)拋物線的定義，可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，以的拋物線.故選：D.考點(diǎn)四直線與拋物線的位置關(guān)系直線與拋物線位置關(guān)系的判斷及應(yīng)用28．（2023春·上海浦東新·高二上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過定點(diǎn)且與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】根據(jù)題意，考慮直線斜率不存在和存在兩種情況，由直線與拋物線位置關(guān)系，聯(lián)立直線與拋物線方程求解，即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程為，只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則直線方程為，聯(lián)立，得，①當(dāng)時(shí)，直線方程為，只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意；②當(dāng)時(shí)，令，解得，即直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn).所以滿足題意的直線有3條.故選：C29．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）直線與拋物線的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】A【分析】直線過定點(diǎn)，在拋物線內(nèi)部，即可得出結(jié)論．【詳解】直線過定點(diǎn)，∵，∴在拋物線內(nèi)部，∴直線與拋物線相交，故選：A．30．（2023春·江蘇連云港·高二期末）已知直線l過點(diǎn)且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線l的方程是（

）A． B．C． D．或【答案】D【分析】先判斷點(diǎn)在拋物線上，再分直線的斜率不存在，直線的斜率為0和直線的斜率存在且不為0，三種情況討論求解即可.【詳解】將點(diǎn)（1，2）的坐標(biāo)代入拋物線方程得，即該點(diǎn)在拋物線上．①若直線的斜率不存在，直線l的方程為，當(dāng)直線l與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，不合題意；②若直線的斜率為0，則直線平行于x軸，則滿足題意；③若直線的斜率存在且不為0，設(shè)，聯(lián)立方程組，將代入化簡(jiǎn)得，則，此時(shí)．

綜上，直線的方程為或．故選：D．31．（2023春·江蘇南京·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，則當(dāng)時(shí)，直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先設(shè)直線,把直線與拋物線聯(lián)立,結(jié)合,找到與關(guān)系式,計(jì)算即可得到斜率.【詳解】由題意知,設(shè)直線:,聯(lián)立方程,可得,即得①又因?yàn)?可得,②結(jié)合①②,可得,因?yàn)?,又因所以即可得故選:.32．（2023春·江蘇連云港·高二?？计谥校┻^拋物線上定點(diǎn)作圓的兩條切線，分別交拋物線于另外兩點(diǎn)、，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為，根據(jù)該直線與圓相切求出的值，設(shè)點(diǎn)、，求出、的值，求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.【詳解】圓的圓心為，半徑為，易知軸，所以，直線、的斜率必然存在，設(shè)過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為，即，由題意可得，解得，設(shè)點(diǎn)、，不妨設(shè)直線、的斜率分別為、，則，可得，同理，可得，直線的斜率為，易知點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，直線的方程為，即.故選：B.33．（2023秋·安徽·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，直線的傾斜角為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】過點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)，分析可得，當(dāng)取得最大值時(shí)，最大，此時(shí)與拋物線相切，設(shè)出直線的方程，將拋物線的方程，由可求得直線的斜率，即可求得直線的傾斜角.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，易知點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足點(diǎn)為，由拋物線的定義可得，易知軸，則，所以，，當(dāng)取得最大值時(shí)，取最小值，此時(shí)最大，則直線與拋物線相切，由圖可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則，解得，因此，直線的傾斜角為或.故選：D.弦長(zhǎng)問題34．（2023春·四川成都·高二樹德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則（

）．A．8 B． C．16 D．32【答案】C【分析】根據(jù)過拋物線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式求得正確答案.【詳解】焦點(diǎn)，直線的方程為，由，消去并化簡(jiǎn)得，設(shè)，所以，所以.故選：C35．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)，從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)拋物線反射后光線都平行于拋物線的軸，已知拋物線，若從點(diǎn)發(fā)射平行于軸的光射向拋物線的A點(diǎn)，經(jīng)A點(diǎn)反射后交拋物線于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，由于直線AB過焦點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式方程求出直線AB為，聯(lián)立拋物線方程，得，根據(jù)韋達(dá)定理求出B點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式可求出.【詳解】由條件可知與軸平行，令，可得，故A點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)榻?jīng)過拋物線焦點(diǎn)，所以為，整理得，聯(lián)立，得，，所以，又，所以，，所以，故選：A.36．（2023春·山東濟(jì)南·高二山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，則過作傾斜角為45°的直線分別交拋物線于，（在軸上方）兩點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【分析】先根據(jù)橢圓方程求拋物線的方程，分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線，得到直角梯形，結(jié)合拋物線的定義在梯形中求，即得結(jié)果.【詳解】依題意，是拋物線的焦點(diǎn)，故，則，.根據(jù)已知條件如圖所示，在軸上方，分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，過B作的垂線，垂足為P，設(shè)，根據(jù)拋物線的定義知，所以直角梯形中，，，又直線AB的傾斜角，故，解得，即，故選：A.37．（2023·山東青島·高二山東省萊西市第一中學(xué)學(xué)業(yè)考試）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程消去x得，代入計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題意知，∴過A、B的直線方程為，即：設(shè)，則∴故選：A.38．（2023春·河南·高二校聯(lián)考期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為為上一點(diǎn)，且在第一象限，直線與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，過點(diǎn)且與軸平行的直線與交于點(diǎn)，若，則的面積為（

）A．8 B．12 C． D．【答案】C【分析】過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)幾何關(guān)系得為等邊三角形，，再計(jì)算面積即可.【詳解】解：如圖，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，所以，，．因?yàn)?，所以，，．所以，．又因?yàn)?，所以，所以為等邊三角形，所以．若在第三象限，結(jié)果相同．故選：C39．（2023秋·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）已知直線l過點(diǎn)，且垂直于x軸．若l被拋物線截得的線段長(zhǎng)為，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將代入可得交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合弦長(zhǎng)為可得，進(jìn)而得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)即可【詳解】當(dāng)時(shí)，，顯然，解得，故，解得，故拋物線，焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：A40．（2023秋·河南·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知A，B為拋物線，上的兩點(diǎn)，且，則AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)的最小值為（

）．A． B． C． D．1【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的弦長(zhǎng)公式，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)直線AB的方程為，，，聯(lián)立方程組，得，則，，．因?yàn)?，所以，得．因?yàn)?，所以AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．故選：C41．（2023秋·廣東深圳·高二深圳市羅湖外語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知圓與拋物線相交于M，N，且，則（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】由圓與拋物線的對(duì)稱性及，可得點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入拋物線得橫坐標(biāo)，求出即可得解.【詳解】因?yàn)閳A與拋物線相交于M，N，且，由對(duì)稱性，不妨設(shè)，代入拋物線方程，則，解得，所以，故故選：B焦點(diǎn)弦問題42．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高二湘府中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，點(diǎn)N在準(zhǔn)線l上，滿足，，則（）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】由拋物線方程可知，焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，設(shè)準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)為，畫出圖象，由拋物線定義及可知是正三角形，結(jié)合平行關(guān)系可判斷，利用直角三角形性質(zhì)即可求解.【詳解】由題，，拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)為，如圖所示，由題知，由定義可知，因?yàn)?，所以是正三角形，則對(duì)，因?yàn)?，所以，所以，故選：C43．（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，N為C上一點(diǎn)，且N在第一象限，直線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M且與x軸平行的直線與C交于點(diǎn)P，若，則直線的斜率為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】過N作準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q，根據(jù)拋物線的定義以及兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等、等腰三角形的性質(zhì)可得，通過直線的傾斜角為即可得結(jié)果.【詳解】如圖，過N作準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q，則．又因?yàn)椋裕驗(yàn)?，即所以，即．直線的斜率為．故選：D.44．（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學(xué)?？计谥校┮阎本€過拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于C點(diǎn)，若，則等于（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，根據(jù)相似得到，再利用拋物線的性質(zhì)得到答案.【詳解】如圖所示：過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，則，，，故，即.故選：B45．（2023春·浙江金華·高二浙江金華第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)傾斜角為α的直線l經(jīng)過拋物線C：的焦點(diǎn)F，與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)A在x軸上方，點(diǎn)B在x軸下方．若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由拋物線的性質(zhì)，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，在直角三角形中求出傾斜角為的余弦值.【詳解】過，分別作準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于，，過作于，則，由拋物線的性質(zhì)可得，，，因?yàn)?，∴，所以，?故選：A．（四）中點(diǎn)弦問題46．（2023春·湖北省直轄縣級(jí)單位·高二?？计谥校┤魭佄锞€的弦AB中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線AB的斜率為（

）A．－4 B．4 C．－2 D．2【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)差法求解即可.【詳解】設(shè)，，則.所以，所以.故選：B47．（2023春·江西·高二校聯(lián)考期中）已知拋物線，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn).若，則直線的斜率是（

）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】拋物線的中點(diǎn)弦,運(yùn)用點(diǎn)差法即可解決..【詳解】設(shè)，所以整理得.因?yàn)椋允蔷€段的中點(diǎn)，所以，所以，即，所以直線的斜率是3.故選：A.48．（2023·高二單元測(cè)試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，若A、B為拋物線上兩點(diǎn)，且線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M．當(dāng)，時(shí)，拋物線的方程為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)焦半徑公式可得，結(jié)合點(diǎn)斜式與兩直線垂直的關(guān)系可得，進(jìn)而聯(lián)立求解可得.【詳解】設(shè)，，．①中垂線方程為，令有，解得．②由①②解得．故選：D49．（2023春·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）已知拋物線，過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，進(jìn)而根據(jù)題意，結(jié)合中點(diǎn)弦的問題得，進(jìn)而再求解準(zhǔn)線方程即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，所以①，②，所以，①②得：，即，因?yàn)橹本€AB的斜率為1，線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，所以，即，所以拋物線，準(zhǔn)線方程為.故選：B考點(diǎn)五拋物線中的參數(shù)范圍及最值問題50．（2023春·安徽宿州·高二校聯(lián)考期末）拋物線上一點(diǎn)到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出與平行且與相切的直線方程，從而與之間的距離即為上一點(diǎn)到直線距離的最小值，利用點(diǎn)到直線距離公式求出即可.【詳解】設(shè)直線與相切，聯(lián)立與得：，由，得：，則直線為，故與之間的距離即為上一點(diǎn)到直線距離的最小值，由兩平行線間距離公式得：.故選：A51．（2023·高二單元測(cè)試）已知點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在圓上，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先計(jì)算拋物線上的點(diǎn)P到圓心距離的最小值，再減去半徑即可.【詳解】設(shè)，由圓心，得，∴時(shí)，，∴．故選：C.52．（2023·高二單元測(cè)試）已知點(diǎn)（x，y）在拋物線y2=4x上，則的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．0【答案】B【分析】將拋物線方程代入，利用二次函數(shù)的性質(zhì)配方即可求最值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)(x，y)在拋物線y2=4x上，所以x≥0，因?yàn)閦=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2，所以當(dāng)x=0時(shí)，z最小，最小值為3.故選：B.53．（2023·高二單元測(cè)試）已知過點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，若直線，的斜率分別為，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先由題意，設(shè)，，直線的方程為：，聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達(dá)定理，得出，，再由題意，表示出，根據(jù)基本不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，所以可設(shè)，，直線的方程為：，由得，因此，，且，又直線，的斜率分別為，，點(diǎn)，所以，，因此，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；所以；當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；所以，綜上.故選：C.考點(diǎn)六拋物線的定值、定點(diǎn)問題54．（2023春·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且．(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)且斜率存在的直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率分別為，求證：為定值．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦半徑公式求出，即可得解；（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求得，再結(jié)合斜率公式即可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：點(diǎn)在拋物線上，且，，解得，拋物線的方程為；（2）證明依題意，設(shè)直線，聯(lián)立，得，則，故為定值．55．（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知點(diǎn)在拋物線上，且到的焦點(diǎn)的距離與到軸的距離之差為.(1)求的方程；(2)當(dāng)時(shí)，是上不同于點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率之積為為垂足.證明：存在定點(diǎn)，使得為定值.【答案】(1)或(2)證明見解析【分析】（1）首先表示出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，再表示出的坐標(biāo)，依題意得到方程，解得即可；（2）依題意可得拋物線方程與點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)：，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，根據(jù)直線、的斜率之積為，得到、的關(guān)系，即可求出直線過定點(diǎn)，即可得到點(diǎn)在以為直徑的圓上，求出圓心坐標(biāo)與半徑，即可得到定點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得證.【詳解】（1）解：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，又點(diǎn)在拋物線上，即，所以，即，依題意可得，解得或，或.（2）解：，，.設(shè)：，，，聯(lián)立，消去整理得，①，且，，，，即，適合①，將m代入得，令，解得，直線恒過定點(diǎn).又，點(diǎn)在以為直徑的圓上，因?yàn)?、的中點(diǎn)為，，所以以為直徑的圓方程為，所以存在使得.56．（2023春·黑龍江·高二黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎獟佄锞€：上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，(1)求拋物線的方程；(2)若在第一象限，不過的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且直線，的斜率之積為，證明：直線過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義和已知條件可求出的值，即可求得拋物線的方程；（2）設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得，，再由整理，由此得到，直線的方程為，從而求得定點(diǎn)．【詳解】（1）由拋物線方程可得，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)閽佄锞€：上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，所以，解得，所以拋物線的方程為：；（2）拋物線的方程為，在拋物線上，所以，因?yàn)樵诘谝幌笙?，故，所以，依題意，直線的斜率存在若不存在，則與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消去，得，則，，，因?yàn)橹本€，的斜率之積為1，即，故，整理得，所以，得，故直線的方程為，所以直線過定點(diǎn)．57．（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)是該拋物線上一定點(diǎn)，過點(diǎn)作圓（其中）的兩條切線分別交拋物線于點(diǎn)，連接．探究：直線是否過一定點(diǎn)，若過，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)直線恒過定點(diǎn)．【分析】（1）根據(jù)拋物線定義即可知，即可求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線、與圓相切，得出等量關(guān)系式，可得直線方程的表達(dá)式，即可求出定點(diǎn).【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是1，所以，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）當(dāng)時(shí)，，所以，設(shè)，則直線為，即．因?yàn)橹本€與圓相切，所以，整理得．同理，直線與圓相切，可得．所以可得是方程的兩個(gè)根，所以，代入，化簡(jiǎn)得，若直線過定點(diǎn)，則須滿足，解得所以直線恒過定點(diǎn)．考點(diǎn)七拋物線的綜合問題58．【多選】（2023春·江西上饒·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線C:的焦點(diǎn)，過的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以下說法正確的是（

）A．為定值 B．AB中點(diǎn)的軌跡方程為C．最小值為16 D．O在以AB為直徑的圓外【答案】ABD【分析】首先確定拋物線方程，再根據(jù)直線與拋物線聯(lián)立得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，，逐項(xiàng)分析轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系求解判斷即可.【詳解】由題意可知：，所以，則拋物線方程為C：，設(shè)直線l的方程為：，所以，則，所以，對(duì)于A：，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：設(shè)的中點(diǎn)為，則有，所以滿足，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)），故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，則O在以AB為直徑的圓外，所以選項(xiàng)D正確．故選：ABD.59．【多選】（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在上的射影為，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切C．設(shè)，則D．過點(diǎn)與拋物線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有2條【答案】ABC【分析】已知拋物線的方程，利用拋物線的性質(zhì)，焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合判斷各選項(xiàng)．【詳解】取的中點(diǎn)，在上的投影為，在的投影為，如圖所示：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋?，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，根據(jù)拋物線的性質(zhì)，，為梯形的中位線，故，以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，顯然直線，與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)過的直線方程為，聯(lián)立可得，令，解得，所以直線與拋物線也只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)有三條直線符合題意，故D錯(cuò)誤.故選：ABC60．【多選】（2023春·浙江·高二慈溪中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．的坐標(biāo)是B．若點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是11C．可能為銳角D．的最小值是9【答案】BD【分析】利用拋物線的定義可判斷A，利用拋物線的定義和幾何關(guān)系結(jié)合圖形可判斷B，利用韋達(dá)定理求得恒成立即可判斷C，利用韋達(dá)定理求得，再用基本不等式可判斷D.【詳解】由題可知，，所以焦點(diǎn)為,故A錯(cuò)誤；如圖，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義可得，所以周長(zhǎng)為,由圖可知，當(dāng)與點(diǎn)等高時(shí)，有最小值，最小值為到準(zhǔn)線的距離為，所以，所以周長(zhǎng)的最小值是11，故B正確；設(shè)，則由得，所以，因?yàn)?，所以一定是鈍角，故C錯(cuò)誤；根據(jù)拋物線的定義可知由上述過程可知，，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，所以的最小值是9，故D正確.故選:BD.61．【多選】（2023春·山東菏澤·高二?？计谀┻^拋物線上一點(diǎn)A(1，-4)作兩條相互垂直的直線，與C的另外兩個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，則（

）A．C的準(zhǔn)線方程是B．過C的焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為8C．直線MN過定點(diǎn)(0，4)D．當(dāng)點(diǎn)A到直線MN的距離最大時(shí)，直線MN的方程為【答案】AD【分析】由題可得為，進(jìn)而判斷A，利用焦點(diǎn)弦的方程結(jié)合拋物線的定義結(jié)合條件可判斷B，設(shè)為，聯(lián)立拋物線利用韋達(dá)定理結(jié)合條件可得m、n的數(shù)量關(guān)系，可判斷C，由C分析所得的定點(diǎn)P，要使到直線的距離最大有，可得此時(shí)直線的方程判斷D.【詳解】將代入中得：，則為，所以的準(zhǔn)線方程是，故A正確；由題可知的焦點(diǎn)為，可設(shè)過的焦點(diǎn)的直線為，由，可得，設(shè)交點(diǎn)為，則，，所以，即過C的焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為16，故B不正確；設(shè)，，直線為，聯(lián)立拋物線得：，所以，，又，所以，因?yàn)?，，即，所以，整理得，故，得，所以直線為，所以直線過定點(diǎn)，故C不正確；當(dāng)時(shí)，到直線的距離最大，此時(shí)直線為，故D正確.故選：AD.【【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023春·北京·高二人大附中?？计谀┦菕佄锞€上一點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，則（

）A． B．3 C． D．4【答案】A【分析】將點(diǎn)代入，可得，即可求出準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線的定義，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，即可求得【詳解】解：因?yàn)槭菕佄锞€上一點(diǎn)，所以，則拋物線的準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義可知，，故選：A.2．（2023秋·陜西安康·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】先聯(lián)立拋物線與圓求出A，B橫坐標(biāo)，再代入拋物線求出縱坐標(biāo)即可求解.【詳解】由對(duì)稱性易得A，B橫坐標(biāo)相等且大于0，聯(lián)立得，解得，則，將代入可得，則.故選：C.3．（2023春·江蘇連云港·高二?？计谀┮阎獟佄锞€C的焦點(diǎn)是直線與坐標(biāo)軸的一個(gè)交點(diǎn)，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出直線與軸和軸的交點(diǎn)，結(jié)合拋物線方程的性質(zhì)求出相應(yīng)的拋物線方程即可.【詳解】令，得，直線與軸的交于點(diǎn)，令，得，直線與軸的交于點(diǎn)，若以點(diǎn)為焦點(diǎn)，則，，焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．若以點(diǎn)為焦點(diǎn)，則，，焦點(diǎn)在軸的正半軸，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：D．4．（2023春·安徽宿州·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在拋物線上，直線交軸于點(diǎn)，若，則點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為（

）A．5 B．3 C．4 D．6【答案】A【分析】過點(diǎn)P作x軸的垂線，可知，由此結(jié)合可得，求得，即可求得答案.【詳解】如圖，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為N，則,由題意知，，即，因?yàn)?，所?故,所以點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為,即點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，故選：A.5．（2023春·山東·高二沂水縣第一中學(xué)期末）圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑，深度，信號(hào)處理中心位于焦點(diǎn)處，以頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，若是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】由已知點(diǎn)在拋物線上，利用待定系數(shù)法求拋物線方程，結(jié)合拋物線定義求的最小值.【詳解】設(shè)拋物線的方程為，因?yàn)?，，所以點(diǎn)在拋物線上，所以，故，所以拋物線的方程為，所以拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，在方程中取可得，所以點(diǎn)在拋物線內(nèi)，過點(diǎn)作與準(zhǔn)線垂直，為垂足，點(diǎn)作與準(zhǔn)線垂直，為垂足，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)直線與準(zhǔn)線垂直時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為3，故選：B.二、多選題6．（2023春·浙江金華·高二浙江金華第一中學(xué)?？计谀┲本€l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，連接點(diǎn)A和坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線交拋物線準(zhǔn)線于點(diǎn)D，則（

）．A．F坐標(biāo)為 B．最小值為4C．一定平行于x軸 D．可能為直角三角形【答案】BC【分析】對(duì)A選項(xiàng)直接由拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)即可判定，對(duì)于B選項(xiàng)設(shè)線，設(shè)點(diǎn)得到，利用基本不等式即可得到其最小值，對(duì)于C選項(xiàng)利用B選項(xiàng)中得到的結(jié)論，即可證明即可證明平行，對(duì)于D選項(xiàng)，對(duì)三個(gè)內(nèi)角進(jìn)行判定其向量點(diǎn)乘是否為0或是斜率乘積是否為即可.【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，，，，即，故A錯(cuò)誤,對(duì)B選項(xiàng)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線得，則，，兩式相乘得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，故B正確；對(duì)C選項(xiàng)，,令，則，故,因?yàn)?故一定平行于軸，故C正確，對(duì)D選項(xiàng)，因?yàn)?故不為直角,兩式作差得，故，即，,故不為直角,同理故不為直角，故D錯(cuò)誤，故選：BC.7．（2023春·福建福州·高二福建省福州屏東中學(xué)?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為，，是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為B．若直線過點(diǎn)，則C．若，則的最小值為D．若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為【答案】BCD【分析】由拋物線方程確定焦點(diǎn)坐標(biāo)知A錯(cuò)誤；直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可知B正確；根據(jù)過焦點(diǎn)可知最小值為通徑長(zhǎng)，知C錯(cuò)誤；利用拋物線焦半徑公式，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)縱坐標(biāo)，知D正確.【詳解】解：拋物線，即，對(duì)于A，由拋物線方程知其焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，依題意，直線斜率存在，設(shè)其方程為，由，消去整理得，，，故B正確；對(duì)于C，若，則直線過焦點(diǎn)，所以，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為拋物線的通徑長(zhǎng)，故C正確；對(duì)于D，，，即點(diǎn)縱坐標(biāo)為，到軸的距離為，故D正確.故選：BCD.三、填空題8．（2023秋·上海閔行·高二?？计谀┻^拋物線的焦點(diǎn)且斜率為2的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則線段長(zhǎng)為___．【答案】5【分析】首先求過焦點(diǎn)的直線方程，再與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，即可求解.【詳解】由拋物線方程可知，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以過焦點(diǎn)，斜率為2的直線為，與拋物線方程聯(lián)立，得，整理為：，，線段的長(zhǎng)為.故答案為：59．（2023春·湖北隨州·高二隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)期末）拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為___________.【答案】【分析】根據(jù)拋物線的定義，將轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，再結(jié)合圖形可求出結(jié)果.【詳解】由，得，準(zhǔn)線方程為：，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：10．（2023春·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）拋物線的準(zhǔn)線方程是，則實(shí)數(shù)_______