華師一附中2024屆高三數學獨立作業(yè)6 試卷含答案

華師一附中2024屆高三數學獨立作業(yè)（6）一、單選題1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．化簡的結果為（）A． B． C． D．3．定義在上的減函數滿足條件：對，，總有，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．4．函數的圖象大致為（

）A． B．C． D．5．已知函數在其定義域內的一個子區(qū)間上不單調，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．已知，均為銳角，且，則（

）A．B．C．D．7．已知定義在上的函數和都是奇函數，當時，，若函數在區(qū)間上有且僅有個零點，則實數的最小值為（

）A． B． C． D．8．一個半球體狀的雪堆，假設在融化過程中雪堆始終保持半球體狀，其體積變化的速率與半球面面積成正比，已知半徑為的雪堆在開始融化的3小時，融化了其體積的，則該雪堆全部融化需要（

）小時A． B．4 C．5 D．6二、多選題9．已知函數，則下列說法正確的是（

）A．恒成立 B．函數在上單調遞增C．函數的極小值為 D．函數只有一個零點10．已知，為不相等的正實數，滿足，則下列結論正確的是（

）A．B．C．D．11．關于函數，下列說法正確的有（

）A．在上是增函數B．為偶函數C．的最小值為，無最大值D．對，，都有12．已知函數，若方程有且只有三個實根，且，則（

）A． B． C． D．三、填空題13．已知冪函數在上單調遞增，則m＝．14．若命題：“任意實數使得不等式成立”為假命題，則實數的范圍是.15．已知函數，函數，若函數恰有三個零點，則的取值范圍是．16．若存在兩個不等的正實數，，使得成立，則實數的取值范圍為.四、解答題17．若正數，，滿足．(1)求的最大值；(2)求的最小值．18．已知函數.(1)若在上有意義且不單調，求a的取值范圍；(2)若集合，且，求a的取值范圍.19．已知函數(1)判斷在定義域上是否存在極值？若存在求出其極值，若不存在說明理由．(2)若在恒成立，求a的取值范圍．20．某地打算修建一條公路，但設計路線正好經過一個野生動物遷徙路線，為了保護野生動物，決定修建高架橋，為野生動物的遷徙提供安全通道.若高架橋的兩端及兩端的橋墩已建好，兩端的橋墩相距1200米，余下的工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經預測，一個橋墩的工程費用為500萬元，距離為x米的相鄰兩橋墩之間的橋面工程費用為萬元，假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其它因素，記余下工程的費用為y萬元.(1)試寫出y關于x的函數關系式；(2)需新建多少個橋墩才能使y最??？并求出其最小值.參考數據：，21．已知函數.(1)討論的單調性；(2)函數有兩個不同的極值點，證明：.22．已知函數.(1)當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積；(2)若，求實數a的取值范圍.華師一高三數學獨立作業(yè)6參考答案1．D【分析】解不等式求出，再根據補集的概念求解即可.【詳解】由，得到，∴，由，得到，∴，∴，故選：D.2．D【分析】運用化簡【詳解】因為，所以即又因為且所以=故選：D3．D【分析】利用函數的單調性，結合對數函數的單調性進行求解即可.【詳解】在中，令，得，所以有，因為函數是定義在上的減函數，所以有，故選：D4．A【分析】根據的解析式先判斷奇偶性，代入特殊值即可求解.【詳解】依題意，因為，所以，所以，所以為奇函數，所以D選項錯誤；因為，所以C選項錯誤；因為，所以B選項錯誤；因此排除了BCD選項，而A選項圖象符合函數的性質.故選：A.5．A【分析】利用導數求得的單調性和極值點，由題意得極值點在區(qū)間內，結合定義域，即可得答案.【詳解】由題意得，令，解得或（舍），當時，，則為減函數，當時，，則為增函數，所以在處取得極小值，所以，解得，又為定義域的一個子區(qū)間，所以，解得，所以實數的取值范圍是.故選：A6．A【分析】由已知條件可得，構造函數，，利用導數可得在上為增函數，從而可得，再由正余弦函數的單調性可得結論【詳解】因為，所以，可得，令，，，所以在上為增函數，∴，∵，均為銳角，∴，∴，，故A正確C錯誤；因為無法確定的大小，故BD錯誤；故選：A.7．B【分析】根據函數的奇偶性確定函數的周期，將函數的零點問題轉化為兩函數的交點，最后通過數形結合求解出參數的值.【詳解】因為是奇函數，所以函數的圖象關于點成中心對稱，即．又因為函數為奇函數，所以，即，所以函數是周期為的周期函數．由于函數為定義在上的奇函數，則，得．又因為當時，，所以，，于是得出，．作出函數與函數的圖象如下圖所示，由圖象可知，函數與函數在區(qū)間上從左到右個交點的橫坐標分別為，，，，，，，，，，第個交點的橫坐標為．因此，實數的取值范圍是，故實數的最小值為．故選：B．8．D【分析】設雪堆在時刻的體積為，側面積，依題意令，即可求出，令（為常數），求出，再根據求出，即可得解．【詳解】設雪堆在時刻的體積為，側面積．令，即于是，令（為常數），由，得，故．又，即，得，從而，因雪堆全部融化時，，故，即雪堆全部融化需小時．故選：D．9．BCD【分析】對函數求導，確定函數的單調性、極值、最值以及零點個數.【詳解】對于A，當時，，，A錯誤；令可得，解得，令可得，解得，的增區(qū)間為：，的減區(qū)間為：，函數在上單調遞增，B正確；對于C，由上可知，的極小值為：，C正確；對于D，令，解得，由的單調性以及當時，，可知，D正確.故選：BCD.10．ABD【分析】A選項，方程變形得到，利用基本不等式求出答案；B選項，由變形后，利用基本不等式求出最值；C選項，由由變形得到，構造，求導得到其單調性，進而求出最值情況；D選項，由證明出，進而證明出.【詳解】A選項，由可知，即，故，因為，所以，所以，故，A選項正確；B選項，由A選項可知，，又，故，當且僅當，時或，時取“=”，B選項正確；C選項，由A選項可知，，又，故，令，有，令，解得，令，解得，可知的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，故，故，C選項錯誤；D選項，等價于，即，因為，又，故，當且僅當，即時，等號成立，故D選項正確.故選：ABD.11．BC【分析】利用指對數復合函數的單調性判斷單調性，奇偶性定義判斷，再根據指對、對勾函數性質求最值，函數圖象下凹，數形結合判斷D.【詳解】由題設，而在上遞增，在上遞減，在上遞增，所以在上遞減，在上遞增，又在定義域上遞增，所以在上遞減，在上遞增，A錯；由，即為偶函數，B對；由上，僅當時等號成立，則，無最大值，C對；綜上分析知：為下凹的圖象，上任意取兩點都有，D錯.

故選：BC12．ABD【分析】根據的圖像將方程轉化為兩個函數的交點問題，通過函數圖像判斷A，C，D的正誤，利用導數的幾何意義可求出的值，進而判斷B的正誤.【詳解】根據題意，令，可得，或，作出的圖像，如圖一所示，由方程可得，，所以，當時，，則有，即，當時，，則有，即，當時，，則有，即，設，所以，作出和圖像如圖二所示，因為直線繞坐標系原點旋轉，當直線與相切時，直線與有三個交點，如果直線繼續(xù)逆時針旋轉，會有四個交點，當直線過時，，即，此時也過點，所以直線與有兩個個交點，綜上，當且僅當直線與相切時，直線與有三個交點，所以，，，故A正確，C錯誤，因為，設切點坐標為，所以，解得，故B正確，因為，，，所以，，所以，故D正確，故選：ABD.13．4【分析】根據冪函數的定義與性質列式求解.【詳解】由題意可得，解得故答案為：4.14．【分析】根據全稱命題和特稱命題的關系，將原命題等價轉化成不等式的有解問題進行求解.【詳解】由題意，存在實數使得不等式成立，所以不等式的解集非空，①當時，，得，符合題意，②當時，不等式對應的二次函數開口向下，故的解集顯然非空，符合題意，③當時，因為不等式的解集非空，所以，即，解得或，所以或，綜上或，故答案為：15．【分析】利用導數法，作出函數的大致圖象，令，或，由沒有解，得到的解的個數與方程解的個數相等求解.【詳解】解：當時，，所以，當時，，函數在上單調遞減，當時，，函數在上單調遞增，且，，，當時，，當時，，當時，與一次函數相比，函數增長更快，從而，當時，，所以，當時，，函數在上單調遞增，當時，，函數在上單調遞減，且，，當時，，當時，，當時，與對數函數相比，一次函數增長更快，從而當，且時，，根據以上信息，可作出函數的大致圖象：

令，得或，由圖象可得沒有解，所以方程的解的個數與方程解的個數相等，而方程的解的個數與函數的圖象與函數的圖象的交點個數相等，由圖可知：當時，函數的圖象與函數的圖象有3個交點．故答案為：16．【分析】對已知等式進行變形，構造新函數，利用導數判斷函數的單調性，結合題意進行求解即可.【詳解】，構造函數，所以原問題等價于存在兩個不等的正實數，，使得，顯然函數不是正實數集上的單調函數，，設，當時，單調遞增，當時，單調遞減，故，當時，即時，單調遞增，所以不符合題意；當時，即時，顯然存在，使得，因此一定存在區(qū)間，使得在上異號，因此函數在上單調性不同，因此一定存在兩個不等的正實數，，使得成立，故答案為：【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是由構造函數.17．(1)(2)【分析】（1）對直接利用基本不等式，即可得出的最大值；（2）將看作一個整體，由，展開后，再利用基本不等式，即可得出答案.【詳解】（1）因為，所以，當且僅當時等號成立，所以當，時，．（2），當且僅當時等號成立，∴當，時，．18．(1)；(2).【分析】（1）根據題意得到二次函數的對稱軸在之間，且在上恒為正，結合二次函數的性質即得；（2）設為方程的兩個根，計算，得到，進而即得.【詳解】（1）當時，，由題知：二次函數的對稱軸在之間，且在上恒正，∴，解得，即；（2）因為，不妨設為方程的兩個根，∴，由，得，即，且，由，得，∴，∵，∴，∴，又為方程的兩個根，∴，∴，解得，∴.19．(1)不存在，理由見解析(2)【分析】（1）求導，先判斷單調性，再求出判斷極值是否存在即可；（2）分離參數，構造函數，利用導數求出函數的單調區(qū)間，再求出最值即可.【詳解】（1），，記，則當；當,即在單調遞減，在單調遞增，，在R上單調遞增，即在定義域R上極值不存在.（2）因為在恒成立，所以在恒成立.顯然當不等式成立，當時，在上恒成立，令，則,記，當時，單調遞增，故，故當時，，即，當時，；當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，，所以.綜上，實數的取值范圍是．20．(1)(2)需新建個橋墩才能使y最小，最小值為萬元.【分析】（1）利用題中的已知條件設出需要建設橋墩的個數，進而表示出工程的費用即可；（2）利用（1）的結果，再利用導數研究函數的單調性即可求出最值.【詳解】（1）由已知兩端的橋墩相距1200米，且相鄰兩橋墩相距x米，故需要建橋墩個，則所以y關于x的函數關系式為，（2）由（1）知令，即，解得（舍）或當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增；所以當時，y有最小值，且又（萬元）所以需新建個橋墩才能使y最小，最小值為萬元.21．(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出導函數，分類討論確定和的解得增減區(qū)間；（2）求出，由可得這樣只要證，即證，再利用，消去參數，然后設，進一步化二元為一元，再引入新函數，利用導數證明不等式成立．【詳解】（1）（i）當時，，則在為增函數（ii）當時，令得當時，當時，所以在為減函數，在為增函數綜上：當時，在為增函數當時，在為減函數，在為增函數（2），則，要證，只要證，即證，所以所以只要證，只要證設，則只要證，所以只要證設（），則，設，則，所以為減函數，所以，所以為增函數所以，所以成立，所以原式得證.【點睛】方法點睛：關于極值點的不等式證明方法，函數（其中含有參數）的極值點是，需要證明關于的不等式成立，由于其中含有三個參數，因此需要用消元法消元，最終得出一元不等式，對一元不等式再引入新函數，利用導數進行證明．消元方法是：由，可把參數用極值點表示，代入消去，然后再設，不等式轉化為關于的不等式，化為一元不等式，從而易得證．22．(1)(2)【分析】（1）由題意可知，則可求出切點坐標為，切線斜率為，再利用點斜式寫出直線，則可求出答案；（2）由定義域為，則，討論當與0的大小關系，即可去掉絕對值，利用則可求出求出實數a的取值范圍.【詳解】（1）當時，，，，切點，∴切線方程為，即.令，得；令，得，所以三角形的面積是：.（2）①當時，，此時，令，.當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增，所以，又，則，又，所以，∴，∴，此時符合題意.②當時