菱形的判定與性質(zhì)-2020-2021學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊常考題（人教版）（解析版）

專題15菱形的判定與性質(zhì)

★知識歸納

?菱形的定義

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

要點梳理：菱形的定義的兩個要素：①是平行四邊形.②有一組鄰邊相等.即菱形是一個平行四邊形，然后增加

一對鄰邊相等這個特殊條件.

?菱形的性質(zhì)

菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：

1.菱形的四條邊都相等；

2.菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.

3.菱形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（對角線所在的直線），對稱軸的交點就是對稱中心.

要點梳理：（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對稱圖形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部

分.

（2）菱形的面積由兩種計算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底X高；另一種是兩條對角線

乘積的一半（即四個小直角三角形面積之和）.實際上，任何一個對角線互相垂直的四邊形的

面積都是兩條對角線乘積的一半.

（3）菱形可以用來證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計算問題.

?菱形的判定

菱形的判定方法有三種：

1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

3.四條邊相等的四邊形是菱形.

要點梳理：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個條件來判定菱形，后一種方法是在四邊形的基礎(chǔ)上

加上四條邊相等.

★實操夯實

一.選擇題（共12小題）

1.如圖，絲帶重疊的部分一定是（）

X

A.正方形B.矩形C.菱形D.都有可能

【解答】解：過點4作AELBC于E,AFLCO于凡因為兩條彩帶寬度相同，

所以A8〃C￡>,AD//BC,AE=AF.

四邊形ABC。是平行四邊形.

"：SBABCD=BC-AE=CD-AF.又

：.BC=CD,

四邊形A8CO是菱形.

故選：C.

2.如圖，在菱形ABC。中，對角線AC、8。相交于點。，E為AB的中點且8=4,貝DOE等于（

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：???四邊形ABC。是菱形，

.?.AB=BC=CO=Ar>=4,AO1.CO,

又?點E是邊A8的中點，

：.EO=^CB=2.

2

故選：B.

3.若菱形的兩條對角線分別長8、6,則菱形的面積為（）

A.48B.24C.14D.12

【解答】解：???菱形的兩條對角線分別長8、6,

.?.S=>lx8X6=24

2

故選：B.

4.下列說法中，錯誤的是（）

A.對頂角相等

B.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

C.兩直線平行，同位角相等

D.兩邊及一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

【解答】解：A、對頂角相等，本選項說法正確，不符合題意；

8、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，本選項說法正確，不符合題意；

C、兩直線平行，同位角相等，本選項說法正確，不符合題意；

。、兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，本選項說法錯誤，符合題意；

故選：D.

5.從下列條件中選擇一個條件添加后，還不能判定平行四邊形A8C。是菱形，則這個條件是（）

A.ACVBDB.AC=BDC.AB=BCD.AD=CD

【解答】解：A、對角線垂直的平行四邊形是菱形.不符合題意；

8、對角線相等的平行四邊形是矩形.符合題意：

C、鄰邊相等的平行四邊形是菱形.不符合題意；

。、鄰邊相等的平行四邊形是菱形，不符合題意；

故選：B.

6.如圖，AC=AD,BC=BD,則正確的結(jié)論是（）

A.A8垂直平分CDB.CD垂直平分A3

C.與互相垂直平分D.四邊形4。8c是菱形

【解答】解：?.?AC=A。，BC=BD,

???A8垂直平分CD,

7.如圖，在菱形48CD中，對角線AC、BD交于點0,且AC=6,BD=8,過A點作AE垂直BC,交BC于點E,

則些的值為（）

CE

A_________D

A/

BEC

A.gB.二C.二D.-5

12251824

【解答】解：???四邊形ABC。是菱形，

：.C0=—AC=3,BO=—BD=4,AO.LBO,

22

AfiC=VcO2+BO2=V32+42='

"：SHABCD=—AC'BD=BCXAE,

&2

.6X8

：.AE=±-----------=及.

55

在RtAABE中，8七=JAB2_AE?=荷-管嚴(yán)看,

：.CE=BC-BE=5-上=逆，

55

理的值為工，

CE18

故選：C.

七_(dá)________

區(qū)

BEC

8.如圖，△ABC中，DE"BC,EF//AB,要判定四邊形。8尸E是菱形，還需要添加的條件是（)

A.BE平分N4BCB.AD=BDC.BELACD.AB=AC

【解答】解：當(dāng)BE平分NA2C時，四邊形DBFE是菱形，

理由：,JDE//BC,

:.NDEB=NEBC,

■:NEBC=NEBD,

：.ZEBD=ZDEB,

：.BD=DE,

VDE//BC,EF//AB,

四邊形O8FE是平行四邊形，

BD=DE,

四邊形O8FE是菱形.

其余選項均無法判斷四邊形尸E是菱形，

故選：A.

9.關(guān)于菱形，下列說法錯誤的是（）

A.對角線互相平分B.對角線互相垂直

C.四條邊相等D.對角線相等

【解答】解：???菱形的性質(zhì)有四邊相等，對角線互相垂直平分,

對角線相等不是菱形的性質(zhì),

故選：D.

10.如圖，菱形ABC。的邊AB的垂直平分線交AB于點E,交AC于點尸，連接。尸.當(dāng)NBA￡>=100°時，則NCD尸

=()

A.15°B.30°C.40°D.50°

【解答】解：如圖，連接8尸，

;四邊形48co是菱形，

：.CD=BC,ZDCF=ZBCF,

在△BC尸和△OCF中，

'CD=BC

ZDCF=ZBCF>

CF=CF

.,.△BCF^ADCF(SAS)

:.NCBF=NCDF

垂直平分48,ZBAF=Ax100°=50°

2

NABF=NBAF=50”

?；NA8C=I8O°-100°=80°,ZCfiF=80°-50°=30°

AZCDF=30°.

故選：B.

11.如圖，在菱形A8C￡＞中，ZA=60°,E、尸分別是4B,AO的中點，DE、B尸相交于點G,連接B。，CG.有

下歹|J結(jié)論：①NBGD=120°；②BG+DG=CG；③/\BDF/ACGB；④S菱形ABCQ=AB2；⑤2DE=?DC：?BF

=BC,正確結(jié)論的有（）個.

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：,??四邊形ABC。是菱形，

：.AB=BC=CD=AD,ZA=ZBCD.

VZA=60°,

：.ZBCD=60a,

???△A3。是等邊三角形，△3OC是等邊三角形.

AZADB=ZABD=60°,NCDB=NCBD=60°.

,:E,尸分別是AB,AO的中點，

：.ZBFD=ZDEB=90°,

:?NGDB=NGBD=30°,

：.ZGDC=ZGBC=90°,DG=BG,

.?.ZBGD=360°-90°-90°-60°=120°,

故①正確；

在△CDG和△CHG中,

CD=CB

CG=CG，

DG=BG

.,.△CDG^ACBG(SSS),

；./￡>GC=NBGC=6(r.

.?./GCO=30°,

:.CG=2GD=GD+GD,

：.CG=DG+BG.

故②正確.

???△GBC為直角三角形,

：.CG>BC,

；.CGHBD,

.?.△BZ）下與aCGB不全等.

故③錯誤;

VSs)r,ABCD—2S^ADB=2X—AB*DE

2

=AB-^-AB

2

=?AB-

2

故④錯誤；

■:DE=\[^E=?AB=?CD,

22

：.2DE=y/2CD,

故⑤正確;

VBD>BF,BD=BC,

：.BC>BF,

故⑥錯誤.

，正確的有：①②⑤共三個.

故選：C.

12.如圖，團(tuán)ABCQ中，對角線AC、3。相交于點O,A￡）=2AC,M、N、尸分別是。4、OB、CD的中點，下列結(jié)

2

論：

①CNLBD；

②MN=NP；

③四邊形MNCP是菱形：

④ND平分NPNM.

其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解答】解：???四邊形4BCO是平行四邊形，

：.AB^CD,AB//CD,BC=AD,0A=0C=Lc,

2

■：AD^^AC,

2

0C=BC,

,:N是08的中點，

:.CNLBD,①正確;

?.?何、N分別是04、。8的中點，

MN是aAOB的中位線，

:.MN〃AB,MN=LAB,

2

:CNLBD,

：.ZCND=90°,

是CD的中點，

:.NP=LCD=PD=PC,

2

:.MN=NP,②正確；

"：MN//AB,AB//CD,

：.MN//CD,

又?：NP=PC,MN=NP,

:.MN=PC,

.?.四邊形MNCP是平行四邊形，無法證明四邊形MNCP是菱形：③錯誤;

"：MN//CD,

：.NPDN=NMND,

'：NP=PD,

：.NPDN=/PND,

NMND=NPND,

:.ND平■分NPNM,④正確；

正確的個數(shù)有3個，

故選：C.

填空題（共4小題）

13.如圖，AC是菱形4BCZ）的對角線，P是AC上的一個動點，過點P分別作和BC的垂線，垂足分別是點尸

和E,若菱形的周長是12m,面積是6。/,則PE+PF的值是2cm.

SAABC=SAABP+SABPCS^?ABCD=3)

：.AB=BC=—X12=3Cem),

4

11)

??SAABP+SABPC=2-AB-PE+yBC-PE=3

*t?yX3XX3XPF=3,

0

???PE+PF=3X仔=2(cm),

故答案為：2.

14.如圖，在菱形ABC。中，AC=6,AB=5,點E是直線48、CO之間任意一點，連接AE、BE、DE、CE,則4

EA8和△EC。的面積和等于12.

D

【解答】解：連接交4c于O,

?.?四邊形A8CD是菱形，

：.ACJ-BD,OA=—AC=—X6=3,

22

；A8=5,

由勾股定理得：08=4,

:.BD=2OB=8,

'JAB//CD,

：./\EAB和△ECC的高的和等于點C到直線AB的距離，

/XEAB和△ECQ的面積和=/><菱形ABCO的面積/X/AOBD=!X6X8=12.

故答案為：12

15.有兩個全等矩形紙條，長與寬分別為11和7,按如圖所示的方式交叉疊放在一起，則重合部分構(gòu)成的四邊形

8GDH的周長為也

【解答】解：由題意得：矩形ABCD絲矩形8ED凡

Z.ZA=90°,AB=BE=7,AD//BC,BF//DE,4D=11,

...四邊形BGDH是平行四邊形，

平行四邊形BGDH的面積=8GXA8=8HX8E,

BG=BH,

四邊形BGDH是菱形，

BH=DH=DG=BG,

設(shè)BH=DH=x,則AH=11-X,

在RtZXAB”中，由勾股定理得：72+(II-%)2=?,

解得：工=毀，

11

8”=適，

11

二四邊形8GD”的周長=4B”=&當(dāng)&,

11

故答案為：340.

11

16.如圖，小華剪了兩條寬為3的紙條，交叉疊放在一起，且它們較小的交角為60°,則它們重疊部分的面積為6

60°

【解答】解：過點3作3EL4。于點E,BF上CD于點F,

根據(jù)題意得：AD//BC,AB//CD,BE=BF=3,

???四邊形ABCD是平行四邊形,

*：ZBAD=ZBCD=\2O°,

ZABE=ZCBF=3O°,

：.AB=2AE,BC=2CF,

VAB2=A￡2+BE2,

?9?AB=2,^/3,

同理：BC=2班,

：.AB=BC,

，四邊形ABC。是菱形，

?"。=2?,

:.S箜賬ABCD=AD?BE=6如.

故答案為：6#\/3.

三.解答題（共10小題）

17.如圖，在RtZ\A8C中，ZACB=90a,AC的垂直平分線交48于點E,連接CE,BF〃CE交DE的延長線于

點尸.

(1)求證：四邊形BCE尸是平行四邊形；

(2)當(dāng)N4滿足什么條件時，四邊形BCEF是菱形？回答并證明你的結(jié)論.

【解答】解：(1)證明：尸垂直平分4C,ZACB=90°,

：.DF//BC,

又?：BF//CE,

，四邊形8CEF是平行四邊形；

(2)當(dāng)NA=30°時，四邊形8CE尸是菱形.

理由是：

尸垂直平分AC,NAC8=90°,NA=30°,

；.E4=EC,ZABC=90a-30°=60°,

AZACE=ZA=30°,

即N8CE=90°-30°=60°,

...△BCE是等邊三角形，

；.BC=EC,

由(1)得四邊形BCEF是平行四邊形，

...四邊形BCEF是菱形.

18.如圖，在菱形ABCD中，E'為對角線8。上一點，且AE=DE,連接CE.

(1)求證：CE=DE.

(2)當(dāng)BE=2,CE=1時，求菱形的邊長.

【解答】(1)證明：???四邊形ABCZ)是菱形，

:.NABE=NCBE,AB^CB,

在AABE和△CBE中，

'AB=CB

<ZABE=ZCBE,

BE=BE

：.4ABE馬叢CBE(SAS),

：.AE^CE,

\"AE=DE,

:.CE=DE；

(2)解：如圖，連接AC交8。于H,

?..四邊形ABC。是菱形，

：.AHA.BD,BH=DH,AH=CH,

,:CE=DE=AE=1,

：.BD=BE+DE^2+\^3,

：.BH=^BD=^-,EH=BE-BH=2-

2222

?2仰2=,F-Cf)2=^

在RtZ\AHE中，由勾股定理得：AH=

22=2+2=

在Rtz\AH2中，由勾股定理得：^=7BH+AHy)

，菱形的邊長為

19.菱形ABCD的邊長為6,/。=60°,點E在邊4。上運動.

(1)如圖1,當(dāng)點E為AO的中點時，求AO：CO的值;

(2)如圖2,尸是AB上的動點，且滿足BF+￡>E=6,求證：是等邊三角形.

【解答】(1)解：?.?四邊形ABC。是菱形,

：.BC=AD=6,AD//BC,

1,點E為AD的中點,

.'.AE=—AD—3,

2

'：AD//BC,

:.叢AOEs^cOB,

?A0=AE=3_=l

"CO而百亍

(2)證明：?.?四邊形A8CC是菱形,

：.AB=BC,AD//BC,ZB=Z￡>=60°,

.'.ZCAE^ZACB,△ABC是等邊三角形，

：.AC=BC,NACB=60°,

.?.Z￡AC=60°=NB,

"：AE+DE=AD^f>,BF+DE=6,

：.AE=BF,

在△ACE和△BCF中，

'AE=BF

<ZCAE=ZB>

AC=BC

.,.△ACE^AfiCF(SAS),

：.CE=CF,NACE=NBCF,

：.ZACE+ZACF^NBCF+NACF=ZACB=60°,

即/EC尸=60°,

...△CEF是等邊三角形.

20.如圖，在RtZ\ABC中，NACB=90°,過點C的直線MN〃AB,。為A3邊上一點，過點。作OE_L8C,交直

線MN于E,垂足為F,連接C。、BE.

(1)求證：CE=AD\

(2)當(dāng)。在A8中點時，四邊形BEC。是什么特殊四邊形？說明你的理由.

【解答】（1）證明：；OEJ_BC,

:.NDFB=9Q°,

VZACB=90°,

NACB=NDFB,

：.AC//DE,

?:MN"AB,即CE//AD,

/.四邊形ADEC是平行四邊形，

CE=AD；

(2)解：四邊形BEC￡＞是菱形，理由如下：

?.,。為A8中點，

：.AD=BD,

'：CE=AD,

：.BD=CE,

■:BD//CE,

四邊形8ECD是平行四邊形，

VZACB=90°,。為AB中點，

：.CD=BD,

...四邊形B￡C￡＞是菱形.

21.一張矩形紙ABCQ,將點B翻折到對角線AC上的點M處，折痕CE交A8于點E.將點。翻折到對角線AC

上的點“處，折痕4尸交OC于點凡折疊出四邊形AECF.

(1)求證：AF//CE；

(2)當(dāng)N54C=30度時，四邊形AECF是菱形？說明理由.

【解答】（1）證明：???四邊形ABC。為矩形，

J.AD//BC,

：.ZDAC^ZBCA,

由翻折知，ZDAF=ZHAF=^ZDAC,ZBCE=ZMCE=AZBCA,

22

，ZHAF=AMCE,

J.AF//CE-,

（2）解：當(dāng)N8AC=30°時四邊形AEC尸為菱形，理由如下：

?.?四邊形ABCO是矩形，

.*./￡>=NBAD=90°,AB//CD,

由（1）得：AF//CE,

四邊形AECF是平行四邊形，

,：ZBAC=30°,

.?.ND4c=60°.

AZ4CD=30°,

由折疊的性質(zhì)得ND4F=NH4F=30°,

ZACD,

：.AF=CF,

四邊形AEC尸是菱形;

故答案為：30.

22.如圖，平行四邊形ABC。，F(xiàn)是對角線AC上的一點，過點。作OE〃AC,S.DE=CF,連接AE、DE、EF.

(1)求證：△ADE9XBCF：

(2)若N8AF+NAED=180°,求證：四邊形A8FE為菱形.

【解答】證明：(1),??平行四邊形A3C。,

J.AD^BC,AD//BC,

：.ZDAC=ZBCF,

'：DE//AC,

：.ZDAC=ZEDA,

：.ZFCB=ZEDA,

在△?!￡)￡：與△BCF1中

'AD=BC

-ZFCB=ZEDA-

DE=CF

:.叢ADE?叢BCF(SAS)：

(2)'：DE//AC,且DE=FC,

/.四邊形EFCD是平行四邊形，

：.DC=EF,H.DC//EF,

又*：AB=CD,AB//CD,

：.AB=EF,AB//EF,

四邊形ABFE是平行四邊形,

?/△ADEmABCF,

：.ZAED=ZBFC,

VZ^F+ZAED=180°,

AZBAF+ZBFC=180°,

又N8E1+N8/C=180°,

：.ZBAF=ZBFA,

；,BA=BF,

???四邊形ABFE為菱形.

23.如圖，在1248c。中，點G是對角線AC上一點，QE垂直平分CG,交GC于點。，交3C于點E,作G尸〃AO

交DE于點F,連接

(1)求證：四邊形GFCE是菱形；

(2)點”為線段AO上一點，連接HF,當(dāng)N1=N2時，若A￡)=6,CF=2,求A”?C”的值.

【解答】解：（1）四邊形GEC尸是菱形,

?：EG=EC,DE.LAC,

：.GO=COf

VGF//AD,AD//BC,

：.GF//BC,

：.ZFGO=ZECO,ZGFO=ZCEO,

在△G”＞與△CEO中,

'/FGO=/ECO

，NGFO=NCEO，

GO=CO

.?.△GfO<△CEO(AAS),

GF=EC,

四邊形GFCE是平行四邊形，

又,：EG=EC,

平行四邊形GFCE是菱形；

(2)?:NDHC=Nl+NADH=N2+/FHC,/1=/2,

ZADH=ZFHC,

■：四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AD//BC,

?..四邊形GFCE是菱形，

：.CE=CF,ZHCF=ZACB,

:"HCF=/DAH,

：.AADH^/\CHF,

.AD=AH

"HCCF'

.?.AH?C”=AZ>FC=6X2=12.

24.在Rt^ABC中，ZBAC=90°,。是BC的中點，E是AO的中點，過點A作A/〃BC交BE的延長線于點F.

(1)求證：AAEFqADEB；

(2)證明四邊形AOCF是菱形.

BDC

【解答】證明：(1)-：AF//BC,

，NAFE=ZDBE,

是AZ)的中點，AZ)是BC邊上的中線，

：.AE=DE,BD=CD,

在△AFE和△DBE中，

rZAFE=ZDBE

<ZFEA=ZBED-

AE=DE

：./\AFE^/\DBE(A4S)；

(2)由(1)知，